第3章 不等式（单元分层自测·能力提升卷）数学苏教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 不等式·能力提升卷（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D A A A B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．9 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1） 当时，原不等式可化为，即， 所以不等式的解集为.（6分） （2） 由一元二次不等式与对应一元二次方程的关系可知，和是方程的两个实数根， 由韦达定理得，解得.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）将代入得．① 因为，①可变形为． 不等式恒成立等价于． 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的取值范围为．（6分） （2）整理， 得，即， ①当时，不等式整理为，解得； ②当时，方程的两根为：，． 解不等式得或； ③当时 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得．（13分） 综上所述，若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为或．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为的解集为， 所以为方程的根，且， 则，即， 所以不等式，即为， 则，即，解得或， 所以关于的不等式的解集为或.（5分） （2）①当时，， 因为对于一切实数恒成立， 所以， 因为存在，使得成立， 所以，即， 而，所以有.（10分） ②因为，，，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为8.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间.（5分） （2）设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 因，故，即，即比更接近于；（10分） （3），理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 则，因， 故，即，即比更接近于，故更接近.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由集合，得方程的两根为1或5， 则，解得， 由，即为，则， 即，解得， 所以.（4分） （2）若，则方程，解得， 由，则，即， 当时，不等式为，解得，即； 当，不等式变形为， 令，解得或，（7分） 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时， .（11分） （3）由，解得或， 令，解得， 即的解集为， 若存在整数m，使解集M中恰有3个整数，则这三个整数解为， 可得，即，解得或， 又或，则满足条件的整数m的值为或3.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 不等式·能力提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算 3．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 5．已知集合，且，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知实数，满足，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式错误的是（    ） A． B． C． D． 10．设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 11．已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 13．已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____． 14．记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值． 16．（15分） 已知二次函数，其中． (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 17．（15分） 已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 18．（17分） 对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 19．（17分） 已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 (1)若集合，求集合N； (2)若集合，求集合 (3)是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 不等式·能力提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为实数，满足，则，可得，，故AB错误； 对于选项C：例如，，则，故C错误； 对于选项D：由基本不等式可得，因为，故等号不可取， 故,故D正确. 2．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算 【答案】B 【解析】设第一次油价为元 / 升，第二次油价为元 / 升，， 第一种方案的均价是，第二种方案的均价是， 由，所以第二种方案的均价更低，更划算. 3．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不等式为不成立，故解集为； 当时，二次不等式大于0解集为空集，即二次函数恒成立； 则，即，解得； 综上， 所以实数的取值范围是. 4．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1． 5．已知集合，且，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上可知，的取值范围是. 6．已知实数，满足，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，则 ， 所以 ，解得，， 因此. 又，，则， 所以 ，即， 故的取值范围是. 7．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 8．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，即， 而， 则， 即，得，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A：若为负数（如，满足），则此时，与矛盾. 若为一正一负（如，满足），则，此时，也与矛盾. 因此，时，不总是成立，A选项错误； 对于选项B：若为正数，为负数（如，满足）， 此时，，. 因此，时，不总是成立，B选项错误； 对于选项C：对于任意实数，因此（分母恒正）. 又， 所以即因此C选项正确； 对于选项D：， 已知故，又， 故分子. 若，则，故， 因此，即成立； 若，且，（例如），分母， 此时差值大于，即，原不等式不成立； 若，（即）；分母此时差值小于，原不等式成立. 因此该不等式并不恒成立，是错误的. 10．设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】ACD 【解析】由，得， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，取，则，，B错误； 对于C，， 则，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，得，则， 当且仅当时取等号，D正确. 11．已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A：由，故，故A错误； 对于B：则，故，故B正确； 对于C：令，则， 且， 则依题意 ， 因此，当时取等号，故C正确； 对于D： ， 即，当且仅当时取等号，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】由的解集为可得，且时，， 根据韦达定理可得即，即， 代入可得化简得，解得. 13．已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____． 【答案】9 【解析】不等式对所有正实数，都成立， 对所有正实数，都成立， ，当且仅当时等号成立， ，故实数的最小值为9． 14．记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】由均值不等式得：， 当，即时，， 当 时，即，， 综上的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值． 【解析】（1） 当时，原不等式可化为，即， 所以不等式的解集为.（6分） （2） 由一元二次不等式与对应一元二次方程的关系可知，和是方程的两个实数根， 由韦达定理得，解得.（13分） 16．（15分） 已知二次函数，其中． (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【解析】（1）将代入得．① 因为，①可变形为． 不等式恒成立等价于． 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的取值范围为．（6分） （2）整理， 得，即， ①当时，不等式整理为，解得； ②当时，方程的两根为：，． 解不等式得或； ③当时 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得．（13分） 综上所述，若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为或．（15分） 17．（15分） 已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 【解析】（1）因为的解集为， 所以为方程的根，且， 则，即， 所以不等式，即为， 则，即，解得或， 所以关于的不等式的解集为或.（5分） （2）①当时，， 因为对于一切实数恒成立， 所以， 因为存在，使得成立， 所以，即， 而，所以有.（10分） ②因为，，，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为8.（15分） 18．（17分） 对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 【解析】（1）证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间.（5分） （2）设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 因，故，即，即比更接近于；（10分） （3），理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 则，因， 故，即，即比更接近于，故更接近.（17分） 19．（17分） 已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 (1)若集合，求集合N； (2)若集合，求集合 (3)是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由集合，得方程的两根为1或5， 则，解得， 由，即为，则， 即，解得， 所以.（4分） （2）若，则方程，解得， 由，则，即， 当时，不等式为，解得，即； 当，不等式变形为， 令，解得或，（7分） 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时， .（11分） （3）由，解得或， 令，解得， 即的解集为， 若存在整数m，使解集M中恰有3个整数，则这三个整数解为， 可得，即，解得或， 又或，则满足条件的整数m的值为或3.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 不等式·能力提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算 3．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 5．已知集合，且，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知实数，满足，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式错误的是（    ） A． B． C． D． 10．设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 11．已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 13．已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____． 14．记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值． 16．（15分） 已知二次函数，其中． (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 17．（15分） 已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 18．（17分） 对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 19．（17分） 已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 (1)若集合，求集合N； (2)若集合，求集合 (3)是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $