章末检测（三）不等式-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

**基本信息** 本单元卷聚焦不等式核心内容，通过基础巩固到综合应用的梯度设计，结合2024年汽车以旧换新政策等社会热点情境，适配高中数学不等式单元复习，有效检测数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合运算、充分条件、不等式性质等|如第1题结合集合与不等式，第5题含参数恒成立问题，基础与能力并重| |多项选择题|3/18|不等式性质、二次不等式解集|如第9题多选项辨析不等式命题，第11题结合基本不等式多结论判断，考查批判性思维| |填空题|3/15|不等式解集、均值不等式|如13题比较算术/几何/调和平均数，14题恒成立求参数范围，强化知识迁移| |解答题|5/77|基本不等式应用、实际问题建模|如19题结合汽车以旧换新政策的利润最大化模型，体现数学与现实联系，培养建模能力|

章末检测（三）　不等式 （时间：120分钟　满分：150分） 　　 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A＝{x｜x2－4＜0}，B＝{x｜x2－4x＋3＞0}，则A∪B＝（　　） A.{x｜－2＜x＜1} B.{x｜x＜1或x＞3} C.{x｜x＜2或x＞3} D.{x｜x＜－2或x＞3} 解析：C　因为A＝{x｜x2－4＜0}＝{x｜－2＜x＜2}，B＝{x｜x2－4x＋3＞0}＝{x｜x＜1或x＞3}，所以A∪B＝{x｜x＜2或x＞3}.故选C. 2.设x∈R，则“－2＜x＜0”是“＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　＜0等价于（x＋3）（x－1）＜0，解得－3＜x＜1，因为（－2，0）⫋（－3，1），所以“－2＜x＜0”是“＜0”的充分不必要条件.故选A. 3.若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（　　） A.ac2＜bc2 B.＜ C.＞ D.a2＞ab＞b2 解析：D　对于A，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，A错误；对于B，当a＝－2，b＝－1时，＝－，＝－1，此时＞，B错误；对于C，因为－＝＜0，所以＜，C错误；对于D，因为a＜b＜0，所以a－b＜0，所以a2－ab＝a（a－b）＞0，ab－b2＝b（a－b）＞0，所以a2＞ab＞b2，D正确.故选D. 4.已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是（　　） A.{x｜x＜5a，或x＞－a} B.{x｜x＞5a，或x＜－a} C.{x｜－a＜x＜5a} D.{x｜5a＜x＜－a} 解析：A　方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1＜0，所以a＜－，所以－a＞5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x｜x＜5a，或x＞－a}，故选A. 5.设k为实数，若关于x的不等式kx2－2x＋k≥0恒成立，则k的取值范围为（　　） A.（－∞，－1]∪[1，＋∞） B.[1，＋∞） C.[－1，0）∪（0，1] D.（－1，1） 解析：B　当k＝0时，不等式为－2x≥0，解得x≤0，所以不等式kx2－2x＋k≥0不恒成立，当k≠0时，由不等式kx2－2x＋k≥0恒成立，所以解得k≥1，所以k的取值范围为[1，＋∞）.故选B. 6.若实数a，b满足ab＞0，则a2＋b2＋＋1的最小值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：B　因为ab＞0，则a2＋b2＋＋1≥2ab＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当2ab＝且a＝b，即a＝b＝时，等号成立，此时取得最小值3.故选B. 7.设m＝－1，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小关系为（　　） A.m＞p＞n B.p＞n＞m C.n＞m＞p D.m＞n＞p 解析：D　由m＝－1＝＝，n＝－＝＝，p＝－＝＝，而＋1＜＋＜＋，则＞＞，则m＞n＞p.故选D. 8.若正实数x，y满足x＋2y＝4，若不等式m2－m＞＋有解，则m的取值范围是（　　） A.（－，1） B.（－∞，－）∪（1，＋∞） C.（－1，） D.（－∞，－1）∪（，＋∞） 解析：D　由x＋2y＝4，则x＋2（y＋1）＝6，所以＋＝（＋）×[x＋2（y＋1）]×＝［2＋2＋＋］≥［4＋2］＝，当且仅当＝，即x＝3，y＝时等号成立，则m2－m＞，即（m－）（m＋1）＞0，解得m∈（－∞，－1）∪（，＋∞）.故选D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（　　） A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd B.若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0 C.若＜＜0，则＜ D.若ab＜0，bc＞ad，则－＞0 解析：BC　对于A，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b，c＞d，而ac＝－2＝bd，故A错误；对于B，由ab＞0，－＝＞0，得bc－ad＞0，故B正确；对于C，由＜＜0，得a＜0，b＜0，则＜0＜，故C正确；对于D，由ab＜0，bc＞ad，得－＝＜0，故D错误.故选B、C. 10.已知关于x的不等式a（x－1）（x＋3）＋2＞0的解集是{x｜x1＜x＜x2}，其中x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　） A.x1＋x2＋2＝0 B.－3＜x1＜x2＜1 C.｜x1－x2｜＞4 D.x1x2＋3＜0 解析：ACD　根据不等式解集的形式可知a＜0，且x1，x2是一元二次方程a（x－1）（x＋3）＋2＝0，即ax2＋2ax＋2－3a＝0的解，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝＝－3＜－3，所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＜0，选项A、D正确.因为｜x1－x2｜＝＝＝2＞4，所以选项C正确.由方程a（x－1）·（x＋3）＝0的解是－3和1，不等式a（x－1）·（x＋3）＋2＞0的解集为{x｜x1＜x＜x2}，数形结合可知x1＜－3＜1＜x2，选项B错误.故选A、C、D. 11.已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20，则下列结论正确的有（　　） A.xy的最大值为10 B.＋的最大值为40 C.＋的最小值为 D.4x2＋25y2的最小值为200 解析：ACD　对于A，因为x＞0，y＞0且2x＋5y＝20，所以20＝2x＋5y≥2，所以xy≤10，当且仅当2x＝5y，即y＝2，x＝5时取等号，所以xy的最大值为10，故A正确；对于B，（＋）2＝2x＋5y＋2＝20＋2≤40，所以＋≤2，当且仅当2x＝5y，即y＝2，x＝5时取等号，即＋的最大值为2，故B错误；对于C，＋＝（＋）（2x＋5y）＝（4＋25＋＋）≥（29＋2）＝，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，即＋的最小值为，故C正确；对于D，因为（2x）2＋（5y）2≥2×2x×5y，所以2[（2x）2＋（5y）2]≥（2x）2＋（5y）2＋2×2x×5y，所以4x2＋25y2＝（2x）2＋（5y）2≥＝200，当且仅当2x＝5y，即y＝2，x＝5时取等号，所以4x2＋25y2的最小值为200，故D正确.故选A、C、D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，2），则关于x的不等式＋c＞bx的解集为　（－∞，0）　. 解析：由题意，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，2），即－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，∴解得则关于x的不等式＋c＞bx，可化为－2a＞－ax，即x＋＜2，即＜0，解得x＜0. 13.设a＞0，b＞0，记A＝，G＝，H＝分别为a，b的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过a≠b时A，G，H的大小关系，则A，G，H中最大的为　A　，最小的为　H　. 解析：因为a＞0，b＞0，a≠b，所以A－G＝－＝＝＞0，G－H＝－＝＝＞0，所以A＞G，G＞H，所以A＞G＞H，所以A，G，H中最大的为A，最小的为H. 14.已知正实数a，b满足＋＝1，若a＋2b＞m2－3m＋11恒成立，则实数m的取值范围为　（－1，4）　. 解析：因为a＋2b＋1＝（a＋b）＋（b＋1）＝[（a＋b）＋（b＋1）]·（＋）＝9＋＋＋1≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝9，b＝3时取等号，所以a＋2b≥15，即a＋2b的最小值为15，因为a＋2b＞m2－3m＋11恒成立，所以m2－3m＋11＜15，即（m－4）（m＋1）＜0，解得－1＜m＜4，故实数m的取值范围为（－1，4）. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）解答下列各题. （1）若x＞3，求x＋的最小值. （2）若正数x，y满足9x＋y＝xy， ①求xy的最小值；②求2x＋3y的最小值； 解：（1）由题知x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7. 当且仅当x－3＝，即x＝5时取等号，则x＋的最小值为7. （2）①由9x＋y＝xy结合基本不等式得： xy＝9x＋y≥2＝6⇒（－6）≥0，又x，y为正数， 则≥6，即xy≥36，当且仅当9x＝y，即x＝2，y＝18时取等号， 故xy的最小值为36. ②由9x＋y＝xy可得＋＝1，则2x＋3y＝（2x＋3y）＝29＋＋≥29＋2＝29＋6. 当且仅当 即x＝＋1，y＝9＋时取等号.故2x＋3y的最小值为29＋6. 16.（本小题满分15分）已知不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x｜x＞4或x＜1}. （1）求实数a，b的值； （2）若正实数x，y满足x＋y＝2，求t＝＋的最小值. 解：（1）由题意可得 解得 ∴实数a，b的值分别为1，4. （2）由（1）知t＝＋， ∵x＞0，y＞0， ∴t＝＋＝（＋）（x＋y） ＝（5＋＋）≥（5＋2）＝， 当且仅当＝，且x＋y＝2， 即x＝，y＝时，等号成立. ∴t的最小值为. 17.（本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围. 解：（1）若命题p为真命题，即方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根， 则有Δ＝（2m－4）2－4m＝4m2－20m＋16＞0， 解得m＜1或m＞4. ∴实数m的取值范围为{m｜m＜1或m＞4}. （2）若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. 设y＝x2－4x＋13，则只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可. ∵y＝x2－4x＋13＝（x－2）2＋9，2≤x≤3， ∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3. ∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤3}. ∵命题p，q一真一假， ∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有解得m＜－3或m＞4； 若命题p为假命题，命题q为真命题，则有解得1≤m≤3. 综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m｜m＜－3或1≤m≤3或m＞4}. 18.（本小题满分17分）已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1（t∈R）. （1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0； （2）若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围. 解：（1）∵二次函数y＝x2－2tx＋t2－1有两个互为相反数的零点， ∴方程x2－2tx＋t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设为x1，x2，∴x1＋x2＝0. 由根与系数的关系可得，x1＋x2＝2t＝0，解得t＝0. ∵x2－2tx＋t2－1≥0， ∴x2－1≥0，解得x≥1或x≤－1. ∴该不等式的解集为{x｜x≥1或x≤－1}. （2）∵Δ＝（－2t）2－4（t2－1）＝4t2－4t2＋4＝4＞0， ∴∀t∈R，该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于－2且小于4， ∴解得－1＜t＜3. ∴实数t的取值范围是{t｜－1＜t＜3}. 19.（本小题满分17分）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定的报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7 000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2 000万元，每生产x（x∈N*）百件，需另投入成本W（x）万元，且0≤x＜45时，W（x）＝3x2＋260x；当x≥45时，W（x）＝501x＋－4 950，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）分别写出0≤x＜45与x≥45时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 解：（1）由题意可得当0≤x＜45时，y＝500x－3x2－260x－2 000＝－3x2＋240x－2 000， 当x≥45时，y＝500x－（501x＋－4 950）－2 000＝2 950－（x＋）. （2）由（1）得0≤x＜45时，y＝－3x2＋240x－2 000＝－3（x－40）2＋2 800， x＝40（百件）时，ymax＝2 800（万元）， 当x≥45时，y＝2 950－（x＋）＝2 970－（x＋20＋）， 因为x＋20＞0，＞0， 所以2 970－（x＋20＋）≤2 970－2＝2 970－2×70＝2 830， 当且仅当x＋20＝，即x＝50时等号成立，ymax＝2 830（万元）， 而2 800＜2 830，故x＝50（百件）时，利润最大. 综上所述，当该产品的年产量为50百件时，公司所获年利润最大，最大年利润是2 830万元. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $