第3章 不等式（单元分层自测·基础通关卷）数学苏教版必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，是方程的两个根，则 （    ） A．3 B． C．7 D． 4．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 6．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．关于的不等式的解集中恰有4个整数，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 8．已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（    ） A．都大于2 B．都小于2 C．至多有一个大于2 D．至少有一个不小于2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 11．已知，，，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为； B．的最大值为； C．的最大值为； D．的最小值为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某厂商更新设备，已知在未来（）年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低；则此设备的使用年限为______，年平均最低花费为______万元. 13．已知，则的最小值为______． 14．已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知不等式. (1)若，解这个关于的不等式； (2)若且，解这个关于的不等式. 16．（15分） 根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ (3)已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 17．（15分） 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 18．（17分） 已知关于x的方程有两个不相等的实根，． (1)若方程有两个不相等的实根，，，求n的取值范围； (2)若，求k的值； (3)求的取值范围． 19．（17分） 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 不等式·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D A B A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．4 32 13．3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）代入，则不等式等价于 ， 解这个不等式组，可得其解集为.（6分） （2）当且时，此不等式为，则该不等式等价于 . 若，则该不等式解集为， 若，则该不等式解集为， 综上所述：时，则该不等式解集为，时，则该不等式解集为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故当时，的最大值为，此时.（5分） （2）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为6，此时.（10分） （3）因为，，所以，即， 所以，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最大值为，此时，.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即，（4分） 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；（6分） （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即，（10分） 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意，关于的方程有两个不相等的实根， 故， 解得：，因此，又，， 故的取值范围是．（5分） （2）由题意，当，即时， 有，， 故，即， 解得：或． 又，故．（10分） （3）由题意，当，即时， 有，， 故， 关于为开口向上的二次函数，对称轴为， 由， 故， 即的取值范围为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为．（5分） （2），理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以.（10分） （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，是方程的两个根，则 （    ） A．3 B． C．7 D． 4．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 6．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．关于的不等式的解集中恰有4个整数，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 8．已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（    ） A．都大于2 B．都小于2 C．至多有一个大于2 D．至少有一个不小于2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 11．已知，，，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为； B．的最大值为； C．的最大值为； D．的最小值为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某厂商更新设备，已知在未来（）年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低；则此设备的使用年限为______，年平均最低花费为______万元. 13．已知，则的最小值为______． 14．已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知不等式. (1)若，解这个关于的不等式； (2)若且，解这个关于的不等式. 16．（15分） 根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ (3)已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 17．（15分） 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 18．（17分） 已知关于x的方程有两个不相等的实根，． (1)若方程有两个不相等的实根，，，求n的取值范围； (2)若，求k的值； (3)求的取值范围． 19．（17分） 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】即为，所以， 所以. 2．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，若，则，那么，所以A错误； 对于B，， 所以，所以B错误； 对于C，当时，，而，此时，所以C错误； 对于D，因为对任意的均成立，所以恒成立，D正确. 3．已知，是方程的两个根，则 （    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】D 【解析】因为，是方程的两个根， 所以 ，所以 . 4．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题＂＂是真命题，又 ， 则 ， 解得 ． 5．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为； 且； 因为，故． 6．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 7．关于的不等式的解集中恰有4个整数，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先将不等式左侧因式分解，可得 分三类讨论： 当时，不等式解集为，若解集中恰有4个整数，则整数为1、2、3、4，因此需满足； 当时，不等式解集为，若解集中恰有4个整数，则整数为、、0、1，因此需满足； 当时，不等式解集为，仅含1个整数，不符合题意； 综合上述情况，实数的取值集合为. 8．已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（    ） A．都大于2 B．都小于2 C．至多有一个大于2 D．至少有一个不小于2 【答案】D 【解析】首先计算三个代数式的和： 已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断： 对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误； 对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误； 对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误； 对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【解析】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，因为，，则， 所以，B对； 对于C选项，若，，不妨取，，，， 则，，此时，C错； 对于D选项，若，，不妨取，，，， 则，，此时，D错. 10．已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】可化为， 解得，， 由题意可知，解得， 所以实数的可能取值为. 11．已知，，，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为； B．的最大值为； C．的最大值为； D．的最小值为. 【答案】BCD 【解析】已知，结合基本不等式逐一判断选项： 选项A ：由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，没有最小值（可趋近于），A错误； 选项B ：由得， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 选项C： 因为 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 选项D ：因为 ， 又因为，，，所以，即， 所以 ， 当且仅当​时取等号，由得， 即代入，得. 因此当时，的最小值为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某厂商更新设备，已知在未来（）年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低；则此设备的使用年限为______，年平均最低花费为______万元. 【答案】 4 32 【解析】由题意可知，此设备的年平均花费为， 当且仅当，即时等号成立． 此时年平均最低花费为. 13．已知，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 14．已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意得，解得或， 又，即，故，解得， 综上，的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知不等式. (1)若，解这个关于的不等式； (2)若且，解这个关于的不等式. 【解析】（1）代入，则不等式等价于 ， 解这个不等式组，可得其解集为.（6分） （2）当且时，此不等式为，则该不等式等价于 . 若，则该不等式解集为， 若，则该不等式解集为， 综上所述：时，则该不等式解集为，时，则该不等式解集为.（13分） 16．（15分） 根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ (3)已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故当时，的最大值为，此时.（5分） （2）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为6，此时.（10分） （3）因为，，所以，即， 所以，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最大值为，此时，.（15分） 17．（15分） 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即，（4分） 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；（6分） （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即，（10分） 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是.（15分） 18．（17分） 已知关于x的方程有两个不相等的实根，． (1)若方程有两个不相等的实根，，，求n的取值范围； (2)若，求k的值； (3)求的取值范围． 【解析】（1）由题意，关于的方程有两个不相等的实根， 故， 解得：，因此，又，， 故的取值范围是．（5分） （2）由题意，当，即时， 有，， 故，即， 解得：或． 又，故．（10分） （3）由题意，当，即时， 有，， 故， 关于为开口向上的二次函数，对称轴为， 由， 故， 即的取值范围为．（17分） 19．（17分） 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【解析】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为．（5分） （2），理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以.（10分） （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时．（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $