3.3 幂函数 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3 幂函数 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．请写出图象对应的解析式号码. 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案. 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 【例2】已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)解不等式. 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据是幂函数，得到，求出的值； （2）由是偶函数和在上单调递增，得到并且为偶数求解. （3）根据是偶函数且在上递增，转化为求解. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或； （2）由（1）可知， 又在上单调递增， 所以，解得， 又，所以、、或， 又是偶函数，所以为偶数， 当时，满足条件； 当时，满足条件； 当时，满足条件； 当时，满足条件； 所以或； （3）因为是偶函数且在上递增， 所以可化为， 即， 所以或． 所以的范围是． 【例3】已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由②得函数为奇函数，对m分类讨论判断即可； （2）利用函数单调性求值域. 【详解】（1）对任意的，都有，∴是奇函数. 且，则当时，，满足①不满足②； 当时，，满足①②； 当时，，不满足①②. 故幂函数的解析式为； （2），，故的值域为. 【基础夯实】 一、单选题 1．下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解. 【详解】，均不是幂函数， 在上单调递增， 是幂函数，且在上单调递减． 故答案为：B. 2．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【详解】设幂函数，依题意，，解得，则，所以. 3．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【答案】B 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，不符合题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，图象关于轴对称， 且在上是减函数，符合题意． 4．下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 5．若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 6．已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 7．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 8．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 二、多选题 9．幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 10．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，设幂函数（为实数）， 其图像经过点，，解得， ，其定义域为，不关于原点对称， 则函数不为奇函数，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的， 都有成立，故C正确，D错误. 11．下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 三、填空题 12．函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 13．写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】令，因为， 所以是偶函数，满足② ； 任取，且， 则 ， 即，所以在上单调递减，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 14．若＜，则实数m的取值范围__． 【答案】 【分析】结合幂函数的定义域以及其在(0,+∞)上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为幂函数的定义域是{x|}，且在(0,+∞)上单调递增， 则原不等式等价于，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．已知幂函数，且在定义域上不单调． (1)证明：是奇函数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)根据幂函数的定义：幂函数的系数必须为1，即， 整理得，解得或， 若，则，根据幂函数的性质可知： 在和上都单调递减， 但在整个定义域上不单调，符合条件， 若，则，定义域为， 在定义域上单调递增，不符合“不单调”的条件，舍去， 因此，定义域为， 关于原点对称，且对任意定义域内的，有： ，故是奇函数 (2) 【分析】（1）先根据幂函数定义求出的可能值，再结合不单调条件确定，最后验证证明奇函数. （2）利用奇函数性质将不等式转化，再根据函数单调性分情况讨论求解的取值范围. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 又因为是奇函数，所以， 由（1）可知，，根据幂函数的性质可得： 在和上单调递减， 所以不等式成立的条件是两个自变量同属一个单调区间， 且自变量的绝对值满足，同时自变量不能为0，即： 1）两个自变量都大于，，即，解得， 2）两个自变量都小于，，即，无解， 3）且，则，即，解得， 4）且，则，即，解得， 此时正数函数值小于负数函数值，不成立，舍去， 综上所述：的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．请写出图象对应的解析式号码. 【例2】已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)解不等式. 【例3】已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【基础夯实】 一、单选题 1．下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 3．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 4．下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 5．若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   7．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 二、多选题 9．幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 10．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 11．下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 三、填空题 12．函数的图象过定点______. 13．写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 14．若＜，则实数m的取值范围__． 四、解答题 15．已知幂函数，且在定义域上不单调． (1)证明：是奇函数； (2)若，求实数的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $