3.3 幂函数 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础认知、性质应用、综合探究三层设计，覆盖幂函数定义、性质及综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|幂函数定义、解析式、定义域|单选题1-2题直接考查定义判断，填空题11-12题强化概念特征，夯实数学抽象基础| |性质应用|单调性、奇偶性、大小比较|单选题3-8题结合单调性与奇偶性分析，多选题11-12题深化参数讨论，发展逻辑推理能力| |综合探究|图像关系、参数综合、应用问题|解答题17-20题融合奇偶性与单调性，如21题结合不等式求解，培养数学表达与问题解决能力|

3.3 幂函数 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．下列幂函数中过点，的偶函数是（    ） A． B． C． D． 5．已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．已知幂函数在单调递减，且其图像关于y轴对称，则m可以是（   ） A． B． C． D． 7．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 8．比较实数与的大小，正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较 9．已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 10．幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 二、多选题 11．如果幂函数的图象不过原点,则实数m的取值为(   ) A.0 B.2 C.1 D.无解 12．已知幂函数,则m的值可能为(      ) A. B.2 C.7 D. 二、填空题 11．一般地，函数________称为幂函数，其中为常数. 12．幂函数的特征： (1)以幂的底为自变量，指数为______; (2)的系数为______，且只有一项. 13．已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 14．记所有指数为自然数的幂函数都经过的点所构成的集合为A，则__________（用列举法表示） 15．已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 16．若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为__________. 三、解答题 17．已知幂函数（）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值． 18．已知函数和，说明这两个函数图象之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象. 19．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 20．已知幂函数. (1)求的值； (2)若为偶函数，求的解析式； (3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.3 幂函数 同步练习》参考答案（附解析） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A B C D C C B C BC AC 1．D 【知识点】判断函数是否是幂函数 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 2．D 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值 【详解】由题意得，，则，则. 3．A 【知识点】判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 4．B 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】结合所过点及偶函数定义逐项判断即可得. 【详解】对A：的定义域为，故该函数不为偶函数，故A错误； 对B：令，有，，定义域为， 且，故该函数为偶函数，故B正确； 对C：的定义域中不含，不过点，故C错误； 对D：令，定义域为，且， 故该函数为奇函数，故D错误. 5．C 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的定义域 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 6．D 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】利用幂函数的单调性和奇偶性来进行判断即可. 【详解】由幂函数在单调递减，可得指数， 因此排除指数为正的选项A，B， 再由图像关于轴对称，说明是偶函数， 对于C：，，定义域为， 因为，所以是奇函数，关于原点对称，故C不符合要求， 对于D：，，定义域为， 因为，所以是偶函数，关于轴对称，因此答案选D. 7．C 【知识点】判断一般幂函数的单调性、根据函数是幂函数求参数值、判断五种常见幂函数的奇偶性 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 8．C 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】设函数，利用函数的单调性即可判断. 【详解】设函数，则在上单调递增； 又，所以，即. 故选：C. 9．B 【知识点】求与幂函数有关的复合函数值域、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值. 【详解】因为，所以定义域为， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，. 故选：B. 10．C 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 11．答案：BC 解析：由已知可得,解得或2. 故选：BC. 12．答案：AC 解析：因为幂函数, 所以,解得或, 当时,,满足题意; 当时,,满足题意. 故选:AC 13． 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】略 【详解】略 14． 常数 1 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】略 【详解】略 15． 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 16． 【知识点】列举法表示集合、幂函数图象过定点问题 【分析】根据给定条件，利用幂函数的图象性质求解. 【详解】所有指数为自然数的幂函数的图象有且只有一个公共点， 所以. 故答案为：. 17．或 【知识点】幂函数的奇偶性的应用 【分析】根据幂函数图象的对称性和定义域的特征进行求解即可. 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 所以该幂函数是偶函数，设， 则有， 所以有为偶数， 幂函数的图象与轴和轴无交点， 所以， 因为， 所以当时，为偶数， 当时，不是偶数， 当时，为偶数， 综上所述：的值是或. 故答案为：或 18．14 【知识点】求幂函数的值域、判断集合的子集（真子集）的个数、求幂函数的定义域 【分析】分别分析取不同值时，的定义域和值域，可得集合A，根据非空真子集个数的求法，代入公式，即可得答案. 【详解】当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 当时，，定义域为R，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 所以集合，则集合的非空真子集个数为. 故答案为：14 19．或． 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数的奇偶性的应用 【分析】由条件可知，，并且关于原点对称，则是奇数. 【详解】∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点， ∴，∴； ∵，，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数， ∴或． 20．关系见解析，作图见解析 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、幂函数图象过定点问题 【分析】根据平移规律写出图象之间的关系，并根据函数的性质和描点法画出函数的图象. 【详解】函数的图象向右平移1个单位得到函数的图象， 在第一象限是单调递增函数，且满足，所以函数是偶函数，关于轴对称，且过点，，， 所以两个函数的图象如图所示， 21．(1) (2) 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据幂函数的定义可解得参数的值，再根据函数为偶函数即可求解； （2）结合幂函数的单调性及奇偶性、定义域求解. 【详解】（1）∵函数为幂函数， ，即，解得或. 当时，，满足，此时为偶函数，符合题意； 当时，，不满足，此时不是偶函数，不符合题意. 综上可得，. （2）由（1）得，所以在上单调递减，在上单调递增且为偶函数， 因为， 所以， 解得或或. 故实数的取值范围为. 22．(1)2或3 (2) (3) 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）根据幂函数的定义建立方程，解方程，验证即可； （2）由（1），结合奇偶函数的定义即可求解； （3）由（2）可得，对称轴为，结合二次函数的单调性建立不等式，解之即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 解得或3. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以或3； （2）由（1）知，当时，，则，为奇函数； 当时，，则，为偶函数， 所以的解析式为； （3）由（2）知，，则，对称轴为， 又函数在上不是单调函数， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $