精品解析：四川达州市静边镇渠县初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

四川省达州市静边镇初级中学2026-2027学年 九年级上学期第一次学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的三个判定条件：只含有一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】A选项，原方程整理为，同时满足三个条件，是一元二次方程． B选项，方程分母中含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除． C选项，原方程展开整理得，含有两个未知数，不满足条件，排除． D选项，未知数的最高次数为3，不满足条件，排除． 2. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵平行四边形具有对角线互相平分、对角相等的性质，故C、D不符合题意． ∵菱形是特殊的平行四边形，对角线互相垂直，该性质平行四边形不一定具有，故A符合题意． ∵对角线相等不是菱形和平行四边形的必然性质，故B不符合题意． 3. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，将代入方程求解m的值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解即可． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 解得， 方程为一元二次方程， 二次项系数，即， ， 故选A． 4. 如图，已知某菱形花坛的周长是24m，，则花坛对角线的长是（ ） A. 3m B. 6m C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意可求出，根据，可求出，根据菱形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长为， ∴，， ∵， ∴， 设交于点， ∴在中，，， ∴， ∴， 故选：． 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 6. 如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据旋转的性质得到，即，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据，和勾股定理，可以求出的长，本题得以解决． 【详解】解；∵绕点A顺时针旋转得到， ， ，， 三点共线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， 则， ， ， ， 解得：， 的长为2． 故选：B． 7. 已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 8. 把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若m，n是方程的两个实数根，_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴． 故答案为 10. 如图，在平行四边形中，延长到点，使，连接，请你添加一个条件_____，使四边形是矩形． 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 【分析】要使四边形是矩形，由已知条件，易证得平行且等于，得出四边形是平行四边形，根据矩形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件． 根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，可以添加等． 11. 已知三角形的两边长为3和5，第三边的长为方程的根，则该三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系是解题的关键． 解一元二次方程得，或，根据三角形的三边关系可得第三边长为4，然后求周长即可． 【详解】解：， ， 解得或， 由题意知，第三边的长大于，小于， ∴第三边长为4， ∴该三角形的周长为， 故答案为：． 12. 如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分对角，直角三角形两个锐角互余． 根据菱形的性质得出，从而得出，，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：四边形为菱形， ， ，， ， ， 故答案为：． 13. 如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴, 又 ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，，， ， ， ，． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 16. 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积． 【答案】（1）略；（2）39. 【解析】 【分析】（1）根据ASA证明△AOE≌△COF，得EO=FO，从而得出四边形AFCE为平行四边形，进一步由FE⊥AC，即可证得结论； （2）根据勾股定理可求出AC的长，再根据菱形的面积公式即可求得结果. 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥FC， ∴∠EAO=∠FCO， ∵EF垂直平分AC， ∴AO=CO，FE⊥AC， 又∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴EO=FO， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵FE⊥AC， ∴平行四边形AFCE为菱形； （2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得：，又EF=6，∴菱形AFCE的面积. 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和菱形面积的计算、勾股定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键. 17. 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以 把代入已知方程，得 化简，得： 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数． 【答案】（1）y2－y－2=0（2）cy2+by+a=0（c≠0） 【解析】 【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y．把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0． （2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程． 【详解】解：（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y． 把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0． （2）设所求方程的根为y，则（x≠0），于是（y≠0）． 把代入方程，得， 去分母，得a+by+cy2=0． 若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意． ∴c≠0． ∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）． 18. 如图1，将两个全等的三角尺ABC与三角尺DEF如图摆放（BC与EF重合），其中，，． （1）如图2，固定三角尺ABC不动，将三角尺DEF沿BC方向平移至图2位置，分别连接AE，BD，则四边形ABDE的形状为________； （2）如图3，在图2的基础上，将三角尺DEF沿BC方向继续平移，当四边形ABDE是菱形时，分别连接AF，CD． ①请判断此时四边形AFDC的形状，并说明理由； ②若，直接写出形ABDE的周长． 【答案】（1）四边形AFDC是平行四边形，理由见解析 （2）①四边形AFDC是菱形，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论； （2）①连接AD，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AFDC是平行四边形，根据菱形的性质可得AD⊥BE，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论； ②根据菱形的性质可得AC=AF=1，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2，AB=，根据菱形的性质可得AB=BD=DE=AE=，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形ABDE的形状为平行四边形，理由如下： ∵两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起， ∴ED=AB， 又∵∠ABC=∠DEF=30°， ∴， ∴四边形ABDE是平行四边形， 故答案为：平行四边形； 【小问2详解】 ①四边形AFDC的形状是菱形．理由如下： 连接AD， ∵平移过程中△ABC≌△DEF， ∴AC=DF，∠ACB=∠DFE， ∴． ∴四边形AFDC是平行四边形， ∵四边形ABDE是菱形， ∴AD⊥BE， ∴AD⊥CF， ∴平行四边形AFDC是菱形； ②∵平行四边形AFDC是菱形，AF=1， ∴AC=AF=1， ∵△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°． ∴BC=2，， ∵四边形ABDE是菱形， ∴AB=BD=DE=AE=， ∴四边形ABDE的周长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，菱形的对角线，，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理．根据菱形的性质可得为的中点，由为的中点可得为的中位线，从而可得，即可得到菱形的周长． 【详解】解：菱形的对角线交于点， 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， 菱形的周长为， 故答案为：16． 20. 已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 21. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交于点，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形外角性质，根据矩形的性质得到，根据角平分线求出，由此得到，再根据三角形外角性质求出答案． 【详解】解：在矩形中，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为． 22. 对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 23. 如图，在矩形中，，的垂直平分线交的延长线于点E，连接交于点H，若H是的中点，则的长为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据线段中点的定义可得，证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，设，表示出，中垂线的性质，得到，进而得到的长，在中，利用勾股定理求出的值，再利用，即可得解． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵的垂直平分线交的延长线于点E， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：7． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． （1）一元二次方程的两根为，则_____ ； （2）已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】（1）， （2）①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【解析】 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； 【小问2详解】 ①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 25. 某旅游景点9月30日接待游客1.2万人次，10月2日接待游客2.7万人次． （1）求今年9月30日到10月2日，该景点接待游客的日平均增长率； （2）由于暴雨天气，该景点10月3日接待游客人次比10月2日减少了，10月4日天气放晴，接待游客人次比10月3日增加了6a%，又因假期即将结束，10月5日接待游客人次比10月4日减少了a%，即使这样，10月5日接待游客人次还是比9月30日增加了50%，求a的值． 【答案】（1）该景点接待游客的日平均增长率为50％；（2）a的值为10． 【解析】 【分析】（1）设景点接待游客的日平均增长率为x，根据9月30日和10月2日接待游客的人数列出方程求解即可； （2）根据“10月5日接待游客人数还是比9月30日增加了50%”列方程求解． 【详解】（1）设景点接待游客的日平均增长率为x，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：景点接待游客的日平均增长率为50%； （2）根据题意得： ， 解得：，（舍去） 答：a的值是10． 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的等量关系并列出方程式解题的关键． 26. 已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形． （1）若正方形边长为6． ①如图1，E，F分别在边上，于H，且，请直接写出F点的坐标． ②如图2，若D为上一点，且，Q为y轴正半轴上一点，且，求点Q坐标． （2）若正方形边长为4，如图3，E、F分别在边上，当F为的中点，于H，在直线上E点的两侧有点D、G，能使线段，，且，求． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①通过证明，求出，即可求点的坐标； ②过点作交轴于点，可证明，连接，可证明，设，则，，在中由勾股定理求出，即可求； （2）在中，求出，，再由，可得，连接，，证明，分别得到，，则，再证明，可求，，推导出，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出． 【小问1详解】 ①， ， ， ， ， ， ， ， , ， ； ②如图2，过点作交轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， 连接， ， ， 又， ， ， ，， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ； 【小问2详解】 为的中点，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， 连接，， 是的中点，是的中点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， 在中，． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市静边镇初级中学2026-2027学年 九年级上学期第一次学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 3. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 4. 如图，已知某菱形花坛的周长是24m，，则花坛对角线的长是（ ） A. 3m B. 6m C. D. 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 6. 如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若m，n是方程的两个实数根，_____________． 10. 如图，在平行四边形中，延长到点，使，连接，请你添加一个条件_____，使四边形是矩形． 11. 已知三角形的两边长为3和5，第三边的长为方程的根，则该三角形的周长为______． 12. 如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则___________． 13. 如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为___． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 16. 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积． 17. 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以 把代入已知方程，得 化简，得： 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数． 18. 如图1，将两个全等的三角尺ABC与三角尺DEF如图摆放（BC与EF重合），其中，，． （1）如图2，固定三角尺ABC不动，将三角尺DEF沿BC方向平移至图2位置，分别连接AE，BD，则四边形ABDE的形状为________； （2）如图3，在图2的基础上，将三角尺DEF沿BC方向继续平移，当四边形ABDE是菱形时，分别连接AF，CD． ①请判断此时四边形AFDC的形状，并说明理由； ②若，直接写出形ABDE的周长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，菱形的对角线，，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为______． 20. 已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 21. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交于点，若，则的度数为_______． 22. 对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 23. 如图，在矩形中，，的垂直平分线交的延长线于点E，连接交于点H，若H是的中点，则的长为_____． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． （1）一元二次方程的两根为，则_____ ； （2）已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 25. 某旅游景点9月30日接待游客1.2万人次，10月2日接待游客2.7万人次． （1）求今年9月30日到10月2日，该景点接待游客的日平均增长率； （2）由于暴雨天气，该景点10月3日接待游客人次比10月2日减少了，10月4日天气放晴，接待游客人次比10月3日增加了6a%，又因假期即将结束，10月5日接待游客人次比10月4日减少了a%，即使这样，10月5日接待游客人次还是比9月30日增加了50%，求a的值． 26. 已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形． （1）若正方形边长为6． ①如图1，E，F分别在边上，于H，且，请直接写出F点的坐标． ②如图2，若D为上一点，且，Q为y轴正半轴上一点，且，求点Q坐标． （2）若正方形边长为4，如图3，E、F分别在边上，当F为的中点，于H，在直线上E点的两侧有点D、G，能使线段，，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $