2026-2027学年苏科版·九年级数学上册第一次月考试卷

2026—2027学年度第一学期第一次月考 九年级数学试题 （苏科版） （考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数　时间：120分钟　满分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 作答提示：本卷共24题，满分120分，考试时间120分钟。选择题、填空题只写最终答案；解答题须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项正确） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是 A．ax²+bx+c=0　　　B．x²-2x=x²+5　　　C．(x-1)(x+2)=1　　　D．x³-x²=0　　　 2. 已知 x=1 是关于 x 的方程 x²+ax+2=0 的一个根，则 a 的值为 A．2　　　B．-2　　　C．3　　　D．-3　　　 3. 用配方法解方程 x²+8x+9=0，配方正确的是 A．(x+4)²=25　　　B．(x+4)²=7　　　C．(x-4)²=7　　　D．(x+8)²=55　　　 4. 方程 x²-2x-3=0 的两个根分别为 A．x₁=1，x₂=3　　　B．x₁=-1，x₂=-3　　　C．x₁=1，x₂=-3　　　D．x₁=-1，x₂=3　　　 5. 下列函数中，属于反比例函数的是 A．y=　　　B．y=　　　C．y=x²　　　D．y=3x+1　　　 6. 反比例函数 y= 的图象一定经过点 A．(2,4)　　　B．(-2,3)　　　C．(2,3)　　　D．(-3,2)　　　 7. 反比例函数 y=- 的图象位于 A．第一、三象限　　　B．第二、四象限　　　C．第一、二象限　　　D．第三、四象限　　　 8. 对于反比例函数 y=，下列说法正确的是 A．图象经过点(1,-2)　　　B．图象分布在第二、四象限　　　C．当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小　　　D．y 随 x 的增大而减小　　　 9. 如图，点 P 是反比例函数 y=（x>0）图象上的一点，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，若所得矩形的面积为 6，则 k 的值为 A．6　　　B．-6　　　C．3　　　D．12　　　 10. 若关于 x 的一元二次方程 x²-2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是 A．m≤1　　　B．m<1　　　C．m≥1　　　D．m>1　　　 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将方程 (2x-1)(x+3)=x²+1 化为一元二次方程的一般形式为　　　　　　。 12. 设 x₁、x₂ 是方程 2x²-4x-1=0 的两个实数根，则 + 的值为　　　　　　。 13. 反比例函数 y= 的图象经过点(2,-3)，则 k=　　　　　　。 14. 已知点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)都在反比例函数 y= 的图象上，且 2≤x₁<x₂≤6，则 y₁、y₂ 的大小关系是　　　　　　（用“<”连接）。 15. 一定质量的气体温度不变时，压强 p（kPa）与体积 V（L）成反比例。当 V=100 L 时，p=40 kPa；当 V=300 L 时，p=　　　　　　kPa。 三、解答题（本大题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程 （1）x²-16=0； （2）x²-6x+8=0； （3）x²+4x-2=0（用配方法）； （4）3x²-6x+1=0（用公式法）。 17. 已知关于 x 的方程 x²-2mx+m²-1=0。（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为 x₁、x₂，若 x₁²+x₂²=10，求 m 的值。 18. 某工厂今年第一季度的产值为 50 万元，技术革新后第三季度的产值达到 72 万元。（1）若第二、第三两个季度产值的平均增长率相同，求平均增长率；（2）按此增长率，预计今年第四季度的产值为多少万元？ 19. 已知反比例函数 y= 的图象经过点 A(-3,-2)。（1）求该反比例函数的解析式；（2）判断点 B(-1,-6)是否在该函数图象上，并说明理由；（3）当 -6≤x≤-2 时，求 y 的取值范围。 20. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=10 cm，BC=6 cm。动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 1 cm/s 的速度向点 B 运动，同时动点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 2 cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一个点到达终点时另一个也随之停止。设运动时间为 t s，△PBQ 的面积为 S cm²。（1）用含 t 的代数式分别表示 PB、BQ 的长；（2）求 S 与 t 之间的函数关系式及 t 的取值范围；（3）当△PBQ 的面积为 8 cm² 时，求 t 的值；（4）△PBQ 的最大面积是多少？ 21. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A(1,4)、B(4,1)两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出当 kx+b> 时 x 的取值范围；（3）求△AOB 的面积；（4）在 x 轴上是否存在点 P，使△PAB 为等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 22. 某商场销售一种成本为每件 40 元的纪念品。按每件 50 元销售时平均每天可售出 200 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件。设每件纪念品的销售单价为 x 元（x≥50），每天的销售利润为 w 元。（1）求 w 与 x 之间的函数关系式；（2）要使每天的销售利润为 2160 元，且让顾客得到更多实惠，每件纪念品的销售单价应定为多少元？（3）每件销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，有一块长 24 m、宽 14 m 的矩形草地，物业准备在草地上修两条互相垂直、宽度相同的矩形健身步道（纵向平行于草地的宽，横向平行于草地的长），剩余草地种植花草。设步道的宽度为 x m。（1）用含 x 的代数式表示种植花草部分的总面积；（2）若种植花草部分的总面积为 200 m²，求步道的宽度；（3）若种植花草部分的总面积不小于 200 m²，求步道宽度的取值范围。 24. 如图，一次函数 y=-x+6 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N，与反比例函数 y=（x>0）的图象交于 A(2,4)、B(4,2)两点。（1）求反比例函数的解析式及点 M 的坐标；（2）求△AOM 的面积；（3）若点 P 是反比例函数 y= 图象上的一点，且 S△POM=4，求点 P 的坐标。 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分）：1—5．CDBDB　　6—10．CBCAA 二、填空题（每小题3分，共15分）： 11．x²+5x-4=0 12．-4 13．-6 14．y₂<y₁ 15． 三、解答题（共75分） 16．解：（1）x²=16，x₁=4，x₂=-4。（2分） （2）(x-2)(x-4)=0，x₁=2，x₂=4。（2分） （3）x²+4x=2，(x+2)²=6，x₁=-2+√6，x₂=-2-√6。（3分） （4）a=3，b=-6，c=1，Δ=36-12=24>0， x==。（3分） 17．（1）证明：Δ=(-2m)²-4(m²-1)=4>0， ∴ 该方程总有两个不相等的实数根。（4分） （2）解：x₁+x₂=2m，x₁x₂=m²-1， x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=2m²+2=10，m²=4，m=±2。（8分） 18．解：（1）设平均增长率为 x， 50(1+x)²=72，(1+x)²=，1+x=1.2（负根舍去），x=20%。 答：平均增长率为 20%。（6分） （2）72×(1+20%)=86.4（万元）。 答：预计第四季度的产值为 86.4 万元。（8分） 19．解：（1）把 A(-3,-2)代入 y=，k=6， ∴ 反比例函数解析式为 y=。（2分） （2）当 x=-1 时，y==-6，点 B(-1,-6)在该函数图象上。（5分） （3）k=6>0，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小。 x=-6 时 y=-1；x=-2 时 y=-3， ∴ 当 -6≤x≤-2 时，-3≤y≤-1。（8分） 20．解：（1）PB=(10-t)cm，BQ=2t cm。（2分） （2）S=(10-t)·2t=-t²+10t，0≤t≤3（Q 先到达点 C）。（5分） （3）令 S=8，t²-10t+8=0，t=5±√17，结合 0≤t≤3，得 t=5-√17。（7分） （4）S=-(t-5)²+25，在 0≤t≤3 内 S 随 t 增大而增大， 当 t=3 时 S 最大为 21。 答：△PBQ 的最大面积为 21 cm²。（9分） 21．解：（1）把 A(1,4)代入 y=，m=4，反比例函数为 y=； 把 A(1,4)、B(4,1)代入 y=kx+b，解得 k=-1，b=5，一次函数为 y=-x+5。（3分） （2）由图象，当 x<0 或 1<x<4 时，kx+b>。（5分） （3）直线 AB 交 x 轴于 C(5,0)， S△AOB=×5×4-×5×1=。（7分） （4）存在。点 P 的坐标为 (0,0)、(1-√2,0)、(1+√2,0)、(4-√17,0)、(4+√17,0)。（10分） 22．解：（1）每件利润为(x-40)元，每天销售量为(700-10x)件， w=(x-40)(700-10x)=-10x²+1100x-28000。（3分） （2）令 w=2160，x²-110x+3016=0，(x-52)(x-58)=0，x₁=52，x₂=58。 为让顾客得到更多实惠，取 x=52。 答：每件销售单价应定为 52 元。（6分） （3）w=-10(x-55)²+2250，当 x=55 时，w 最大为 2250。 答：每件销售单价定为 55 元时利润最大，最大利润为 2250 元。（9分） 23．解：（1）四块种植花草的部分平移后拼成新矩形，长(24-x)m，宽(14-x)m， 总面积为 (24-x)(14-x)=x²-38x+336（m²）。（3分） （2）x²-38x+336=200，x²-38x+136=0，(x-4)(x-34)=0， 结合 0<x<14，x=4。答：步道宽 4 m。（6分） （3）x²-38x+336≥200，(x-4)(x-34)≥0，结合 0<x<14，得 0<x≤4。 答：步道宽度取值范围为 0<x≤4（m）。（8分） 24．解：（1）把 A(2,4)代入 y=，k=8，反比例函数为 y=； 在 y=-x+6 中令 y=0，x=6，∴ M(6,0)。（2分） （2）S△AOM=×6×4=12。（3分） （3）S△POM=×6×|yP|=4，|yP|=。 得 P(6，) 或 P(-6，-)。（5分） 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $