河北衡水市安平中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段检测数学试题

安平中学2026-2027学年第一学期第一次月考 高二年级数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2．已知直线，直线．若，则（    ） A． B． C．2 D．2或 3．若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5. 已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则CD的长等于（    ）  A． B． C． D． 7. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．经过定点的直线都可以用方程表示． C．直线必过定点 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 10. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 11. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是__________. 13.已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是__________. 14．对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 16．(本小题满分15分) 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 17．(本小题满分15分) 在平行六面体中，，，，E为与的交点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长； (3)求异面直线与所成的角． 18．(本小题满分17分) 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19．(本小题满分17分) 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学试题答案 安平中学2026-2027学年第一学期第一次月考 高二年级数学试题答案 1.【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以.故选：C 2. 【详解】因为，所以，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意．故．故选：A. 3. 【详解】由题意，令， 所以，解得，所以在基底下的坐标为，故选：A 4. 【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.因为，所以点到直线的距离为.故选：A 5. 【详解】如下图所示，若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或，，，直线的斜率或，直线斜率的取值范围是，故D正确．故选：D． 6. 【详解】由二面角的平面角的定义知向量， 所以，得， 由得，因为，所以 ，可得.故选：A. 7. 【详解】经过点的直线方程为，即， 故直线的一个方向向量为，又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则.故选：A 8. 【答案】A【详解】设圆，则该圆的圆心为，半径为，对于圆上两不同点，根据圆的性质，当为圆的切线时，最大，若，则在中，，则，所以若直线上存在一点，使得，则等价于圆心为到直线的距离，即，解得：，所以实数的取值范围是. 9. 【详解】A：对直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确；B：经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故错误；C：当时，可整理为：，恒过定点；当时，即为，过点；故直线必过定点，正确； D：直线与直线平行，则， 此时即，也即，则两平行线间的距离，故D错误.综上所述，正确的选项是：.故选：. 10. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；   如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则，，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误；对于C，时，，又，设平面的法向量为，则，故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确：对于D，当时，，则，又由C已得平面的法向量为， 则当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 11. 【详解】选项A：，故A正确；选项B：当与圆相切且直线时，最大，此时，，，，故B正确；选项C：由， 当与直线垂直，最小，最小，，，故C错误； 选项D：由题意知，则，，即，，， 当最小，取得最小值，此时垂直于直线， 所以直线方程为.，联立，解得，即， 则以为直径的圆的方程为，即为四边形的外接圆，方程为，由四边形的外接圆与圆相交于，两圆方程相减即为的方程，故D正确.故选：ABD. 12. 【解答过程】当直线经过原点时，此时直线方程可设为，代入点，解得，所以直线方程为即；当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为，代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 13. 【详解】因为，，所以点P的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆，则点P的轨迹方程为，又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点，因为，且，所以，解得. 14. 【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系设，， ，，，，， 由可知，，整理为， ，因为，得，且，所以，所以的最大值为，当时等号成立，所以的最大值为. 15. 【详解】（1）圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离，解得，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或. （2）直线与圆相交，理由如下：圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长. 16. (1)证明：由直线整理可得：，即，则由，即，故直线过定点； （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时，到直线的距离最大，因为，则；因为，故，解得； （3）由可得：当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故，解得； 此时三角形面积为，要使面积取最小值，只需取的最小值即可；由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值，此时直线方程为，即． 17. 【详解】（1）由题意得， 即. （2）由（1）得 ， 所以线段的长为. （3） ，所以异面直线与所成的角为. 18. 【解答过程】（1）证明：取的中点，连接，如图：因为为棱的中点，所以，又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面； （2）由题意知平面，且，可知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，易知则，设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又，设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以，由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是，设，，即，可得,所以，则点到平面的距离是，又，可得,所以，，即存在点到平面的距离是,. 19. 解：（1）易知圆的圆心为，半径为,因为点为圆的“伴随点”，所以，可得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故点所在曲线的方程为. （2）（i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以，可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以点所在曲线的方程为；可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”，所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线，两圆方程相减可得，因此直线的方程为. （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下：易知直线与圆和圆的交点为；因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为；依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得，易知,；此时 ,令，解得或或易知时,取定值为4，时,取定值为12，当时,取定值为3；综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值，当点的坐标为时，取定值为4；当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 2 学科网（北京）股份有限公司 $