河北部分学校2026-2027学年高二第一学期9月月考数学试题

高二数学参考答案及解析 GRO1B 题号 2 3 4 6 9 10 11 答案 D BCD BC AC 1.C【解析】由直线1的倾斜角为45°，得直线1的斜率k=1an45°=1，故选C 2.A【解析】由a=(3,0,2),b=(x,2,一2)可得a十b=(x+3,2,0), 因为(a+b)⊥a,则(a+b)·a=0,即3(x+3)=0,解得x=一3.故选A 3B【解析】对于A选项，a=m十子n=(2a一c)+(2a十c)成立，放不能构成空间的另一个基底： 对于B选项，不存在实数x,y,使得b=xm十yn=x(2a一c)十y(2a十c),故能构成空间的另一个基底： 对于C选项c=一2m十之n=一之(2a-c)+之(2a十c),故不能构成空间的另一个基底： 对于D选顶a十c=-m十子n=一(2a一e)十子(2a十c),故不能构成空间的另一个基账 故选B. 4.D【解析】设原点为0(0.0,0).O心=xOi+O店+0元.即(1，-1，A)=(2xy.3z), 则x-号y=-18-号：因为四点共面所以x+y十：1，即号-1+分-1，解得-号 故选D 5.B【解析】由A1,4,B(-2,2.C(-1,0),得直线AC,BC的斜率分别为x=高-2.kr= 0-4 2-0 2十】一2，如图，因为过点C(一1,0)的直线1与线段AB有交点，所以直线1斜率的取值范围为 (-∞，-2]U[2,+6©).故选B 6.A【解析】设正方体的棱长为2，以D点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， D Di. 则O(1.1,0),A1(2.0,2),B(2,2,0)C1(0,2,2), 设P(a,2-a,2)(0≤a≤2)，则0p=(a-1,1-a,2),A1B=(0,2,-2),A,C=(-2,2,0), 由正方体的几何特征易知DB:⊥平面A,BC,所以与DB=(2,2,2)平行的向量n=(1,1,1)为平面 A:BC,的一个法向量.则直线OP与平面A,BC,所成的角0的正弦值sin0=cos《n,OP)|= 高二数学B参考答案第1页（共8页） |m.0|-_a-1+1-a+2-2× 1 n1o市3×√2(a-1+26'a-1)+2 由0a≤2，可得/a-1)+2∈[反.w3],所以sin0=名× 1 6(a-1)+2 亏停故法A 7.C【解析】因为AA=A0+0O+0,A,001⊥A0.001⊥0，A且异面直线0A,0A所成的角为3， 所以(0.0)=誓或至所以1A1=10+00+0,不1=0+0司+0，不下= √A0+0O+0,A,+240.0O,+A0.0,A,+0O,·0A=√/4+9+1+2A0·0,A =√11+2A0I041cosA0.01A>. 当A0.0A)=号时，AA1=14+2×2X1×号=4， 当A0.0A-时，Am1=14-2×2X1X号=25. 综上，A4=23或4.由于选项中只有23.故选C 0 A 0 8.A【解析】不妨设AD=√2，AB=CC,=1,建立如图所示的空间直角坐标系D-ryx 则D(0.0.0),A(1,1,0).C(0,1,0),B(1,2.0),设P(1,t.1)(t∈[1.2])， 得到DA-C官=(1,1,0).C=(1.t-1,1),D币=(1..1)， 记平面PAD和平面PBC的夹角为0. 记平面PAD的法向量为m=(x1y121),则 m·Di=x1+y,=0. m·Dp=x1十ty1+1=0. 令x1=1.则y,=-1c,=1-1,所以m=(1,-1,1-1),则m|=√2+(1-1)下 记平面PBC的法向量为n=.则n·可-十，=0， m.C币=x2+(t-1)y+=0, 令x1=1,则y=-182=1-2.所以n=(1,-1,1-2).则1n=√/2+(1-2y, 0-1-2)+2 [(1-1)(t-2)P+4(1-1)(t-2)+4 所以|cos0=cos(m,n〉= W/(t-1)+2×√/-2)2+2 0=0-D12+2-D+24-2y+ 2(:-1)°+2(1-2)1一4(t-1)(t-2) 2(:-1)一(t-2)于 m0=1-ow0=0-1D0-2+24-+24-2》+4-0-1D4-2+24-1D+2-2y+4 2 2 2 32 -+2+22-+50+4G-0+2+4G-8+2)+4+2-+2+2+2≤7当且仅当 1一时，不等式取等号，所以血智，放平面PD与平面PB收C的夹角的正孩值的最大值为智，放走入 高二数学B参考答案第2页（共8页） 9.B以CD【解析】对于A,显然直线11的斜率存在，若L们，则一m(m十1)十2=0.解得m=1或m=一2，经检 验m=1时，这两条直线重合，所以m=一2，故1亿的充要条件不是“m=1或m=一2”.故A不正确： 对于B,若11⊥1：，则2(m十1)十m=0,解得m■ 子放B正确。 对于C.若直线y=(m十1Dx一2m+3不经过第四象限，则m十10、 1-2m十3≥0 解得一1≤m≤.放C正确： 对于D,若m=2.则直线2：2x-2y=0,即12：x一y=0,显然直线12与直线y=x+2平行，设直线：关 于直线y=x+2对称的直线方程为y=x+k(k≠0，则2-0L=k-2 ,解得泰=4，所以m=2时， √/1+1√+ 直线I:关于直线y=x十2对称的直线方程为y=x十4.即x一y十4=0，故D正确.放选BCD 10.BC【解析】：在直二面角C-AB-D中，AB⊥BC,AB⊥AD,∴.AB,BC,AD两两垂直，以B为坐标原 点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0.0),A(1,0,0),C(0,0,1),D(1,1,0),故AC=(-1,0.1),BD=(1,1.0), 对于A,设直线AC与BD所成的角为9，则os0=AC,D=-1X1十0X1+1X0l1 ACIBD(-1)+1下X√+1F 2 ∴0=60°，故A错误 对于B.CM=BN=u0<a<2,dw话-9 =2w=1--1-② 2w慢o1）N②，受o小m-o,2-小 又应(-10.0不.应-0X(-1+受×0+（图-小X0=0 MNLAB.放B正确： 对于c-o,-小 -0+②)+②-)--+1， 易知当a-号时，瓜取得最小值：即瓜取得技小值：瓜一【停-2<号+1-厚故 C正确： 对FD.背a-号时Mgo》N侵o, 所以-(o2》-(22o小， 1 AMn=-2+2=0, 设平面AMN的法向量为n=(x,y,),测 ,1 令x=1,则n=(1,1,1), 瓜n=+=0, :市=(0，l,0点D到平面AN的离d=n·立_ 可骨号发D说t配 1 n 言一就此D上出做w越作云(4自写八 11,AC【解析】对于A,把点P(1.0.2)代入2x一y十m=0,得2十2m=0,解得m=-1.故A正确： 对于B,因为平面a的方程为x一y十=1，所以平而a的一个法向量为m■(1，一1,1)， 又平面3的方程为x+2y一x=6,所以平面3的-一个法向量为n=(1,2,一1)， 所以eos(m,n)= m·n -2 2 m·n3Xw6 3 则这两平面夹角的正弦值为，1-（号引-号所以B错说， 对于C,因为平面a的方程为2x一y一e=0,所以平面a的一个法向量u=(2,一1，一1) 设点Q(3,2,3)在平面a内的射影为M(a,b,c),则MQ=(3-a,2-b,3-c).且Mu, 3-a_2-b=3-c 于是有2 写子解得6-是所以M(停景碧》，故C正确： 2a-b-c=0, 19 6' 对于D,因为平面a的方程为3x+2y-x=5,所以平面a的一个法向量为a=(3.2,一1)： 因为平面3的方程为2x十y十z=0,所以平面3的一个法向量为b■(2,1.1). 设直线1的方向向量为e=(xy2).则有a:C3x十2y一t=0, lb·e=2x+y十g=0, 取x=3,则y=一5，x=一1，则e=(3,一5，一1)， 又因为平面y的方程为x一y十：=0，所以平面Y的一个法向量为c=(1,一1,1)， 7 √105 设直线1与平面7的夹角为0，则m0=o3e,e训三。：日石×霜花7 所1m0--2e、 5,故D错误故选AC 12.【答案】(-1，-1) 【解析】方程m+2)r-(m-1)y+3=0.即m(x-y)十(2x+y+3)=0,由任y=0: 2x+y+3=0可得 :二：所以方程m+2江一m-y十3=0所表示的直线何过的定点坐标为(-1，一D 13.【答案】3 【解析】由题可知，AB=(2-x,2,0),又直线AB的一个方向向量为(1,1,0)，所以2-x=2,解得x=0, 所以AB=(2,2,0),A=22, 又BC=(1,0,-1),所以BC1=/1+0+(-1)F=2,且AB.BC=2×1+2×0+0×(-1)=2, 所以向世花在街世武上的投影物做的做长为之-看一-区。 故点A到直线BC的距离为d=√AB-(W2)=√8-2=6. 所以Sar-2BC到d-2×2X6-原. 14【答1 【解析】如图，取BD的中点O,连接OA,(OC,则由题易得(C⊥BD,OA=4,OC=3,又因为平面 ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD-BD,OCC平面BCD,所以OC⊥平面ABD,所以OA⊥ 商二数学B参芳答案第4页（共8页） OC,所以AC=5 AC.BD=(Ad+元).B丽=Ad.BD+元.BD, 因为，BD-0,所以AC.市-Ad,B币-2(A市+A)(AD-A. 设1A心=m(m>0).A=n(n>0.由题意得，十二10. m2+n2=64, 则2m=(m+n)2-(m2+n2)=36.所以(m一n)2=(m2+n2)-2mm=28, 则m-n=士27，则AC·B币=士107. 设AC与D夹角为期。=m配励一配丽-故着案为 3= -2+x. 2 15.【解】(1)因为A(-2,1),点M(3,1)为边AC的中点，所以有 11+g 可得C(8,1).…2分 2 1-31 又因为B(4,3),所以k红一8-4一2 小3分 因为AD是BC边上的高， 所以有大0·火假=一1.印一号×kw=-1.解得o=2.…5分 所以高AD所在直线的方程为y一1=2(x十2)，即2x一y十5=0.…6分 (2)由(1)知C(8.1). ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为y=x, 因为该直线过点C,所以有1=8，解得=8，则所求直线方程为y=写：…10分 ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为后十名-1a≠0， 因为该直线过点C,所以右8+}-1，解得a=0,则所求直线方程为x十y一9=0.…12分 综上，过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y一名或x+y一9=0.…13分 16.【解11喝知市-i+正-P成+成-p瓜)-市+号i-号a+0, 所以成-成+元=号元+币-号a十b-号c.…3分 2 由题意得a=bl=le=l,a·b=b·c=e·a=立： 可得-(a+b-号)-0+b++ab 5 5bc-ge·a=g …6分 放球的长度为 …7分 商二数学B参考答業第5页（共8页） (2油知，P币=号a+b,又疏=P呢-P哦-号元-p丽=名c-b, 所以亦.=（仔a+b)小（层eb）音a·c-导ab+号bc-b=-名1o分 4…12分 设异面直线PF与BE所成的角为0， 则os=os(Pp元，E1=P序.正 3 IPFBE反77' 33 即异面直线PF与BE所成的角的余弦值为号.…15分 17.【解】(1)证明：因为四边形ABB1A1为矩形，所以AB⊥AA. 连接AB1,在△CAB:中，AC=2,AB,=AA+AB-3+2=13,B,C=√/7， 所以AC十AB=17=B:C,所以AC⊥AB, 又AC⊥AB,AB∩AB=A,AB1,ABC平面ABB,A1,所以AC⊥平面ABB1A1, 又AA,C平面ABB1A1,所以AC⊥AA1. 所以AB,AC,AA,两两垂直，…3分 以A为坐标原点，直线AB,AC,A4,分别为x,y,轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知B,(2,03),B(2,0,0).F(1,0,3).G(1.1,0),所以F元-(0.1.-3.…5分 易得n=(们，0,0)为平面ACA,的一个法向量，…6分 因为F℃·n=(0,1,-3)·(1.0,0)=0,所以FG1n, 又FG过平面ACA1,所以FG/平面ACA1,…8分 (2)由(1)可知F元=(0,1，-3)，B=(-1,0,3),…9分 设平面BFG的法向量为m=(x,y,:), {G·m=y-3x=0, 则B萨·m=-十3红=0 令义=1，得m=(3,3,1),…11分 又平面ACA,的一个法向量为n=(1,0,0),…12分 设平面BFG与平面ACA,的夹角为8， 则ms0=1osm-ma=市x 3 319 19· …14分 即平面BFG与平面ACA,夹角的余弦伯为39 …15分 高二数学B参考答案第6页（共8页） 18.【解】(1)因为边AC上的高BH所在直线方程为x一2y十2=0， 所以边AC所在直线的斜率为一2，且经过点C(1,3),…2分 所以边AC所在直线的方程为y-3=一2(x一1)， 即边AC所在直线的方程为2x十y一5=0.……4分 (2)设点B的坐标为(x。ya), 因为边AC上的高BH所在直线方程为x一2y+2=0, 所以无0-2y0十2=0。…5分 又因为点(，1)是边AB的中点，所以点A的坐标为（一x。,2一y。),…6分 由边AC所在直线的方程为2x十y-5=0, 所以2(-x。)+(2-y。)一5=0，即2x。+y。+3=0, …7分 8 曲2++3=0 51 得 xu-2y%+2=0 所以点B的坐标为(；，》 …9分 yo5 91 （3)由(2可得点A的坐标为管，号）所以一 55 8 5 所以直线AB的方程为y一号-号(+8）.即x一2y十2=0.…12分 设∠BAC的平分线上任意一点的坐标为(x·y), 又h线AC所在直线的方程为2x十y-5=0, 则l2x+y-51_lk-2y+2到 4444…14分 2+1√1+2 所以2x+y-5=|x-2y+2.即2x+y-5=x-2y+2或2x+y-5=-(x-2y+2). 即x十3y一7=0或3x一y-3=0,…16分 又因为km=2kx=一2， 所以结合图形可知∠BAC的平分线所在直线的方程为x十3y一7=0.…17分 19.【解】(1)如图，连接BD,BD 设BA=a.BC=b,BB,=e,由题易得a|=b=1,lc=2, 依题意，a·b=0,a·c=1×2×cos60°-=1，b·c=1×2×cos120°=-1， 而Bd=Bi+Bi=B店十BC+B=a十b-c,…4分 高二数学B参考答業第7页（共8页） 所以BD=(a十b-e)=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c =1十1十4十0-2X12X(一1)=6，即BD=√6。…6分 (2)①由(1)知AA=c,令cl=m>0,因为∠C,CB=∠C,CD=∠BCD=0, 所以a·b=cos(x-0)■-cos8,a·e=mcos0,b·e=mcos(r-0)=一mcos0, 易知BC=b十c,Bd=a十b,A1C=-a十b-c,…8分 /BD·A,C=(a+b)·(-a+b-c)=mcos0-mcos0=0, 因为AC⊥平面BC,D,所以 BCi.A C=(b+e).(-a+b-e)=cos 0-mcos 0-m'+1=0. 整理得(m一1)(m十1十cos8)=0,而m十1十cos8>0,解得m=1, 所以AA1的长为1.…10分 ②当0e[后，引时，由0得a·b=b·e=-m0a·c=os0eo,引， CB,=-b+c,则1CBi=√(-b+c)=√2+2cos0,|CAl=√(a-b+c万=/3+6cos, CB,.CA=(-b+c）·(a-b+c)=2十4cos8.… …12分 而CA,为平面BC,D的一个法向量， 设直线CB,与平面BC,D所成角为a,则ima=osCB,C不= CB,·CA, ICB,IICA, 2+4cos0 2 ,1+2cos0_2× 1 …14分 2+2cos0×√3+6cos0V3W1+c0s95 ,2-1+cos81 号1十d01.121十s0号则1K2 1 2 1+cos 03 6<×2-1+os0≤3 1 33W ≤2，即ima5,22 33 所以直线CB,与平面BC:D所成的角的正弦值的取值范围是5,22 …17分 33绝密★启用前6，代人四，中阳人一前别同书，根（袋%形水木 高二数学 GRO1B 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回！ 对馆州人知微=动出（农【代部小本）： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知直线1的倾斜角为45°，则该直线的斜率为 A.-1 B号 C.1 D.5 2.已知向量a=(3,0,2),b=(x,2,-2),且(a+b)⊥a,则x= A.-3 B-号 D.3 3.已知{a,b,c)是空间的一个基底，则可以与向量m=2a-c,n=2a十c构成空间另一个基底的 向量是 A.a D.a+c 小0 4.已知空间中A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,3),D1,一1，)四点共面，则1二 A号 B1 C.2 9 02 5.已知点A1,4),B(-2,2),C(一1,0)，若过点C的直线1与线段AB有交点，则直线1斜率的 取值范围为 A.[-2,2] 01整五0价M08B(仁©，22U[2,+∞ c(号可 D(←-号oju2,+∞) 6.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点O为线段AC的中点，点P在线段A,C1上，直线OP与 平面A,BC,所成的角为0，则sin8的取值范围是 A. 2 67 「27 33 B. 33 c 33 n 7.已知0，A1,OA分别是圆台O0,的上、下底面圆半径，且10，A,1=1,1OA1=2,1Q011=3, 若异面直线O,A1,OA所成的角为，则A4,的可能取值为 A.1 B.22 C23 D.2 高二数学B第1页（共4页） 8.已知在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AML底面ABCD,AD=2AB=2CC,∠ADC= 云点P是校A,B上的动点，则平面PAD与平西PBC的夹角的正弦值的最大值为 7】 Ag号 C.9 n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线11：(m+1)r-y产2m+30,1,:2么兰my=m+2=0,则下列说法正确的是答，回 A4m,的充要条件为m=1或m二-2 R若则m=号 C若直线1，不经过第四象限，则m∈[1，引 D.若m=2,则直线l:关于直线y=x+2对称的直线方程为x一y十4=0 10.在直二面角CAB-D中，AB⊥BC,AB⊥AD,AB=BC=AD=1,点M, N分别在线段AC和BD上移动，且CM=BN=a(O<a<2),则 A.直线AC与BD所成的角为30 B.MN⊥AB C当。- 2 时，MN的长最小，且最小值为号 D当MN的长最小时，点D到平面AN的E离为号。 1L.空间直角坐标系O-yz中，已知向量u=(a,b,c)(abkc≠0)，则经过点P,(xoyo,xo),且法 向量为u的平面方程为a(x一x)十b(y一yo)十c(z一z)=0.根据上面的材料，以下选项说 法正确的是 A若过点P(1,0,2)的平面方程为2x-y+mz=0,则m=-1 B若平面。的方程为x一y十：■1，平面B的方程为x十2y一z=6,则这两平面夹角的正弦值 C者平面。的方程为2z-y:=0,则点Q32,3)在平面。内的射影的坐标为吕，号) D.若平面a的方程为3x+2y-x=5,平面B的方程为2x+y十z=0,平面y的方程为x- y十z=0,a∩月=1，则直线1与平面y的夹角的余弦值为 15 高二数学B第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.中 12.方程(m十2)x一（m一1)y十3=0所表示的直线恒过的定点坐标为 13.在空间直角坐标系中，已知A(x,1,2),B(2,3,2),C(3,3,1),若直线AB的一个方向向量为 (1,1,0),则△ABC的面积为 14.在四而体ABCD中，平面ABD与平面CBD互相垂直，AB⊥AD,AB十AD=10,△BCD为 等腰三角形，且BC-CD=5,BD=8,则异面直线AC与BD夹角的余弦值为 是自合节，中数的 四、解答题：本题共5小题，共？分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)△ABC中，已知A(-2,1),B(4,3),点M(3,1)为边AC的中点 (1)求BC边上的高AD所在直线的一般式方程； (2)求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程。 16.(本小题满分15分)如图，正四面体PABC的棱长为1，若E,F分别在棱PC,AB上，且 PE=2EC,-2FA.设P所=a,Pi-b,P心=c.0, (1)试用a,b,c表示E京，并求EF的长度： (2)求异面直线PF与BE所成的角的余弦值. A9 高二数学B第3页（共4页） 17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥CABB,A,中，四边形ABB,A1为矩形，AC⊥AB,且AB= AC=2,A,=3,B,C=√17，F,G分别为线段A,B1,BC的中点. (1)证明：FG平面ACA,: (2)求平面BFG与平面ACA,夹角的余弦值. 18.(本小题满分17分)已知三角形ABC的顶点C(1,3),边AC上的高BH所在的直线方程为 x-2y+2=0,点(0,1)是边AB的中点. (1)求边AC所在直线的方程： (2)求点B的坐标； 过都珍容公1共，农2进小时提小8共得本：已器益， (3)求∠BAC的平分线所在直线的方程. 道发深日落 净组者，别的1出江 19.(本小题满分17分)如图，平行六面体ABCD-A,B,C,D1的底面ABCD是菱形，AB=1, ∠C,CB=∠C,CD=0,∠BCD=P. 1D当0=子9=，AM,=2时，求BD的长， ,70.,5,0,1,0H,o.0.Hms (2)当0=P,A,C⊥平面BCD时， ①求AA,的长： 05，0，)，（公：）H,1点3 ②当9∈[后引时，求直线CB,与平面BC,D所成的角的正弦值的取值范围 B C D 32鸡后的)达，点冲海心0京：中G 85 D