第三章《 图形的相似》单元基础卷2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版数学九上《图形的相似》单元基础卷，全面覆盖相似三角形判定与性质、位似图形等核心知识，通过基础巩固与情境应用的分层设计，适配单元复习需求，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|比例线段、相似判定、位似性质|第7题结合杠杆原理，体现模型意识| |填空题|6题/18分|影长计算、平行线分线段成比例|第13题墙影问题，发展几何直观| |解答题|8题/72分|相似证明与计算、位似作图|23题正方形背景综合全等与相似，提升推理能力|

第三章《 图形的相似》基础卷-北师大版数学九上单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知y=2x，则等于（　　） A． B． C．1 D．-1 2．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，记△COD的面积为的面积为若则（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形与四边形A'B'C'D'是以原点为位似中心的位似图形．若B'（2.0），B（4，0），A'B'=，则AB=（　　） A．3 B． C． D． 4．如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　） A．BC//B'C' B．OB'：BB'=3：5 C．△A'B'C'与△ABC的周长比是3：5 D．△A'B'C'与△ABC的面积比是9：25 6．如图，已知△ABC，直线l1与边AB， AC分别交于点 D， E，直线l2与边AB， AC分别交于点 M，N，l1∥l2∥BC，下列比例式一定正确的是（ ) A． B． C． D． 7．阿基米德曾说：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理．图甲是用杠杆撬石头的示意图，当用力向下压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA=150cm， 阻力臂OB=50cm， BD=20cm，则AC的长度是(　　) A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm 8． 如图， 已知△ABC∽△ADE， 则下列结论错误的是 (　　) A．∠C=∠E B．∠1=∠2 C． D． 9．如图， ▱ABCD与 ▱AEFG是以点A为位似中心的位似图形.若AB：BE=3：2， DG=4，则EF的长为(　　) A．6 B．9 C．10 D．12 10．如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC∽△DBA，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．∠BAD=∠ADC 二、填空题（每题3分，共18分） 11．高米的旗杆在水平地面上的影长米，此时测得附近一个建筑物的影子长米，则该建筑物的高是　 　米． 12． 如图，点 D，E，F分别在△ABC的三边上，若 则 的值为　 　. 13．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为　 　米． 14．如图，，AC：CF＝2：3，DE＝9，则BD的长为　 　． 15．如图所示，四边形 ABCD 与四边形 EFGH位似，位似中心为点 O，若 则 　 　. 16．如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，△ABC中，点D和点E分别在AB，AC上，AC=2AD，AB=2AE，DE=5，求BC的长度. 18．如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长． 19．在四边形中，，连接，点在上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，，，求的度数和的长． 20．如图，点D在边BC上，，． （1）求证：； （2）若，，，求BD的长． 21．如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长． 22．如图，在中 ，，平分交于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明． 23．在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线BD为装饰分割线，点P是BD上一点，点E是BC上一点，连接AE、PA、PE、PC，AE与BD交于点F. （1）求证：△ABP≌△CBP （2）若PE=PC，AP⊥PE，求证： 24．已知O是坐标原点，的坐标分别为． （1）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为___________； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； （3）若点在线段上，直接写出变化（2）后点D的对应点的坐标为___________． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴把代入中，得； 故答案为：D． 【分析】把代入化简即可求解． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴，(两直线平行，内错角相等)， ∴(两角分别相等的两个三角形相似)。 ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比， ∴ 故答案为：C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，结合平行线的性质求解面积比。解题时先由两直线平行推出内错角相等，依据两角对应相等判定两个三角形相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，将已知的边长比平方后即可得到两个三角形的面积比。 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵B'（2.0），B（4，0）， ∴OB'=2，OB=4 ∵四边形与四边形A'B'C'D'是以原点为位似中心的位似图形 ∴，即 解得：AB= 故答案为：B 【分析】根据两点间距离可得OB'=2，OB=4，再根据位似图形性质即可求出答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ l1∥l2∥l3 ∴ ∴ 故答案选：B 【分析】利用平行线分线段成比例性质即可求出EF的长。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5， ∴△A'B'C'△ABC，AC//A'C'，BC//B'C'， ∴△A'B'C'与△ABC周长比为3：5，S△A'B'C' S△ABC=9：25， ∴OB'：OB=3：5， ∴OB'：BB'=3：2， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误。 故答案为：B 【分析】根据位似图形的性质和相似三角形的性质逐一分析各选项即可。 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ l1∥l2∥BC， ∴，，△ADE∽△AMN， ∴， 故答案为：B. 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断A，B，D选项，再根据两直线平行的到△ADE∽△AMN，根据对应边成比例判断C选项解答即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：因为AC∥BD， 所以△OAC∽△OBD， 所以 因为 OA=150cm， OB=50cm， BD=20cm， 所以， 所以AC=（cm） 故答案为：A。 【分析】首先根据AC∥BD，得出△OAC∽△OBD，进而得出，进一步即可得出AC的长。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴，，，， ∴， ∴， ∴只有D选项中的结论错误，符合题意， 故选：D． 【分析】相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此逐一判断即可． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，，， ，即， ， ，解得， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：C . 【分析】根据位似图形相似，相似多边形的对应线段成比例求出AG长，再根据平行四边形的对边相等解答即可． 10．【答案】C 【解析】【解答】解：， ，，，， A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故答案为：C． 【分析】根据相似三角形的对应边成比例，且对应角相等，逐项判断解答即可． 11．【答案】16 【解析】【解答】解：根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例， 设建筑物的高是x米，则 解得：x=16. 故该建筑物的高为16米， 故答案为16. 【分析】根据题意得到在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，设建筑物的高是x米，则进而即可求解。 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得。 又∵DF∥AB，同理可得。 将代入，得。 故答案为： 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。先由DE∥AC得到CD与BD的比例，再由DF∥AB得到AF与FC和BD与CD的关系，代入计算即可。 13．【答案】 【解析】【解答】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【分析】过点D作于点E，连接，则，根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出答案. 14．【答案】6 【解析】【解答】解：∵， ∴，即， ∴BD＝6， 故答案为：6． 【分析】 平行线分线段成比例定理： 当一组平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例。 利用得到，即可求解． 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O ∴四边形ABCD∽四边形EFGH ∴ 故答案为： 【分析】根据位似图形性质即可求出答案. 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵在中，， ∴， ∴ 故答案为：． 【分析】本题根据条件“在中，”，即可得出，然后根据相似三角形的性质，即“相似三角形面积比等于相似比的平方”计算即可。 17．【答案】解：， ， 又， ， ， ． 【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到，然后根据对应边成比例解答即可． 18．【答案】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】【分析】根据可得，代入数值求出，进而即可求解． 19．【答案】（1）已知：AB∥DC，∠ADB=∠EDC 求证： 证明：∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：∵∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，BD=BE+DE=5+4=9 ∴，即 ∴ 所以 【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和，掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）由平行得到，结合，根据两个对应角相等的两个三角形相似即可得证； （2）根据，得到，继而得到，因为BE=BC，根据等边对等角得到∠BCE=∠BED=50°，由于△BCE内角和180°，可以求出∠EBC的度数。BD=BE+ED=9，，根据相似三角形的对应边成比例，得到，把DE、AB、BD的值代入求出CD. （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴． 20．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD ∴∠BAC＝∠DAE 又∠C＝∠E ∴△ABC∽△ADE （2）解：∵△ABC∽△ADE， ∴BC：DE＝4：5 ∵DE＝10 ∴BC＝8 ∵CD＝2 ∴BD＝BC－CD＝6 【解析】【分析】（1）由角的构成及等式的性质推出∠BAC=∠DAE，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出结论； （2）由相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出BC：DE=4：5，代值求出BC=8，最后根据BD=BC-CD可算出答案. （1）证明：∵∠BAD＝∠CAE ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD ∴∠BAC＝∠DAE 又∠C＝∠E ∴△ABC∽△ADE （2）∵△ABC∽△ADE， ∴BC：DE＝4：5 ∵DE＝10 ∴BC＝8 ∵CD＝2 ∴BD＝BC－CD＝6 21．【答案】（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD； （2）解：∵△ABC∽△ACD， ∴，即， ∴AC=(负值已舍)． ∴AC的长为． 【解析】【分析】（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD； （2）利用相似三角形的性质：对应边成比例，求出AC的长，注意实际问题舍去负值． （1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD； （2）解：∵△ABC∽△ACD， ∴，即， ∴AC=(负值已舍)． ∴AC的长为． 22．【答案】（1）解：即为所作： （2）解：，理由如下： 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方程，作出一个角等于已知角，即可求解； （2）根据平分 可得，从而得到，即，再根据平行线分线段成比例的性质得到，即可求解． （1）解：即为所作： （2）解：，理由如下： 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABP=∠CBP=45° 在△ABP和△CBP中 ∴△ABP≌△CBP（SAS） （2）证明：由得△ABP≌△CBP； ∴PA=PC ∵PE=PC ∴PE=PA， 又∵AP⊥PE ∴∠APE=90° ∴∠PEA=∠PAE=45° 又∵∠EPF=∠BPE（公共角）， ∴△PEF∽△PBE， ∴， ∴ 【解析】【分析】（1）先求出AB=CB，∠ABP=∠CBP=45°，再利用“SAS”证出△ABP≌△CBP即可； （2）利用全等三角形的性质可得PA=PC，再求出∠PEA=∠PAE=45°，结合∠EPF=∠BPE，证出△PEF∽△PBE，利用相似三角形的性质可得，最后求出即可. 24．【答案】（1）解∶ 如图所示：即为所求； ​​​​​​​ （2）解∶ 如图所示：即为所求； （3） 【解析】【解答】解∶（3） ∵作的位似图形，新图与原图相似比为，且， ∴点D的对应点的坐标为； 故答案为： 【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）根据位似图形的性质，即可求解； 学科网（北京）股份有限公司 $