专题10.1 计数原理专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题10-1 计数原理 1．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 2．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 4．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 5．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 6．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 重难点题型1 分类加法计数原理 分类标准的选择 （1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准． （2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏． 1．（2026·广东深圳·模拟预测）2026年世界杯小组赛，某组有4支球队，每两队之间赛一场，则该组小组赛阶段共进行比赛场数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（2026·山西忻州·模拟预测）从集合中任取3个不同的数.若这3个数的和为偶数，则不同取法共有（   ） A．40种 B．44种 C．48种 D．52种 3．（2026·湖北襄阳·模拟预测）从0，1，2，3，4这五个数中随机选取4个不同的数，组成的四位偶数有（     ）个 A．36 B．48 C．60 D．68 4．（2026·江苏南京·模拟预测）某校运动会需要名同学（含甲、乙、丙等）排成一列参加入场式，其中甲不能站在队列两端，乙和丙之间恰好间隔名同学，则不同的队列排法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（2026·广西桂林·模拟预测）由数字0，1，2组成的五位数的正整数中，偶数的个数共有（   ） A．54 B．69 C．108 D．160 6．（2026·辽宁朝阳·三模）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（   ） A．30种 B．90种 C．150种 D．180种 7．（2026·河北秦皇岛·二模）两位同学进行乒乓球比赛，约定先净胜3局者胜，随即比赛结束. 若恰好经过9局比赛结束，则这9局比赛中，两位同学胜负的所有情况种数为________. 8．（2026·安徽合肥·二模）某旅游博主准备从安徽省的5个国家全域旅游示范区与10个不是国家全域旅游示范区的省全域旅游示范区中选4个去打卡，若国家全域旅游示范区至少选3个，则选取方法种数为________．（用数字作答） 9．（2026·安徽·模拟预测）某公园的一处景观湖中有4个小岛，现需要在小岛之间建3座桥，使得这4个小岛彼此相连（即从任意一个小岛都能走到另外任意一个小岛），每座桥只能连接2个小岛，则一共有________种不同的建桥方案. 10．（2026·重庆北碚·模拟预测）现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个大小、质地完全相同的小球， 甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记被抽取的球的序号分别为 ，则满足 的情况有_____种. 重难点题型2 分步乘法计数原理 利用分步乘法计数原理解题的策略 （1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的． （2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成． 1．（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛.规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（ ） A． B． C． D．48 3．（2026·山西忻州·模拟预测）某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 4．（2026·安徽六安·模拟预测）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 5．（2026·黑龙江·模拟预测）现代科技前沿的五大热门研究领域是：人工智能、量子计算、脑机接口、可控核聚变、深空探测．甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取其中一个不同的领域作为课外科研研读主题，若甲、乙都没有选人工智能，乙也没有选深空探测，则5名同学所有可能的选择有（    ）种 A．18 B．36 C．54 D．72 6．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现有四名志愿者在端午节三天假期里到公园志愿服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有__________种. 8．（2026·福建泉州·模拟预测）为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、乙、丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数为__________. 9．（2026·四川绵阳·三模）融合科技和娱乐的无人机群表演深受人们欢迎．现有架无人机依次围成一个圆形飞行表演编队（相邻）．操控员需要对每架无人机发送两种编码：频段编码（0或1）和校验编码（或），无人机端接收频段编码和校验编码．为了保证无人机群飞行的稳定，要求相邻两架无人机之间的频段编码或者校验编码至少有一个相同，称满足这样条件的编码为合法编码，设该无人机群飞行编队的合法编码有种．则__________，__________． 重难点题型3 两个计数原理的综合应用 利用两个计数原理解题时的三个注意点 （1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事． （2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图． （3）对于复杂问题，一般是先分类再分步． 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）在实验中学的足球班赛中，高一1班和高二2班进行到了点球大战，两队各派5名队员依次主罚，进球记1分，不进记0分．罚点球从1班开始先罚，两个班队员依次轮流主罚．在任一队员罚球结束后，若有一队进球数领先对方的分数大于对方剩余主罚人数，则比赛立即结束．每个点球只有“得分”和“不得分”两种可能，以{1班得分序列，2班得分序列}表示得分情况，如{11111，1101}表示1班五罚均得分，2班仅在第3罚罚失，则比赛恰好在1班的第5名队员罚球结束后结束的得分情况共___________种． 4．（2026·湖北武汉·三模）一个的灯阵，每盏灯颜色各不相同，初始时所有灯均熄灭，每次可以任选一整行或一整列，使其中所有灯的状态同时反转，经过若干次操作后，恰有8盏灯亮，只按最终灯亮位置计算（如右图为其中一种情况），可得到的不同亮灯图案共有_______________种. 5．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法. 6．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有____种不同的铺设方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10-1 计数原理 1．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为 种. 故所有分配方案共有种. 2．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、实际问题中的组合计数问题 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理、排列数的计算 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 5．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 6．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 【答案】9 【难度】0.4 【知识点】棱锥的结构特征和分类、分类加法计数原理 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【详解】因为空间中有三个点，且， 不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种： 第一种：为正四棱锥的侧面，如图1， 此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的; 不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；    第二种：为正四棱锥的对角面，如图2， 此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的; 不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种； 综上所述：总共有9种情况. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 重难点题型1 分类加法计数原理 分类标准的选择 （1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准． （2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏． 1．（2026·广东深圳·模拟预测）2026年世界杯小组赛，某组有4支球队，每两队之间赛一场，则该组小组赛阶段共进行比赛场数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【详解】. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）从集合中任取3个不同的数.若这3个数的和为偶数，则不同取法共有（   ） A．40种 B．44种 C．48种 D．52种 【答案】B 【难度】0.78 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】分类讨论3个不同的数全为偶数或2个奇数和1个偶数，结合组合数运算求解. 【详解】集合中，奇数有5个，偶数有4个. 任取3个不同的数，和为偶数，需所取奇数的个数为偶数，故有两种情况： 全为偶数，有种； 取2个奇数和1个偶数，有种. 所以不同取法共有种. 3．（2026·湖北襄阳·模拟预测）从0，1，2，3，4这五个数中随机选取4个不同的数，组成的四位偶数有（     ）个 A．36 B．48 C．60 D．68 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【详解】四位偶数要求个位为偶数，且千位不能为0，按个位是否为0分两类计算： 情况1：个位为0. 只需从剩余的1,2,3,4这4个数中选3个排列在千位、百位、十位， 排列数为； 情况2：个位为2或4. 个位有种选择；千位不能为0，也不能与个位重复，共种选择； 剩余百位、十位从剩下的3个数中选2个排列，排列数为； 该情况总个数为. 两类相加，总共有个符合要求的四位偶数. 4．（2026·江苏南京·模拟预测）某校运动会需要名同学（含甲、乙、丙等）排成一列参加入场式，其中甲不能站在队列两端，乙和丙之间恰好间隔名同学，则不同的队列排法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【难度】0.53 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】应先分析乙丙相对位置“间隔人”意味着他们占据位置为第和第位置或第和第位置，再结合甲不在两端的限制进行分类讨论，最后安排其余人. 【详解】以乙丙的位置分两类完成， 第一类：当乙丙在第和第位置，有种不同的方法， 再排第位，从除甲、乙、丙三个人中剩余人中选一个人，有种， 其余个人两个位置全排列，有种， 根据分步乘法原理，有种不同的队列排法. 第二类：当乙丙在第和第位置，有种不同的方法， 再排第位，从除甲、乙、丙三个人中剩余人中选一个人，有种， 其余个人两个位置全排列，有种， 根据分步乘法原理，有种不同的队列排法. 由分类加法计数原理，共有种不同的队列排法. 5．（2026·广西桂林·模拟预测）由数字0，1，2组成的五位数的正整数中，偶数的个数共有（   ） A．54 B．69 C．108 D．160 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题 【详解】0为个位的偶数共有个； 2为个位的偶数共有个， 故偶数的个数共有个. 6．（2026·辽宁朝阳·三模）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（   ） A．30种 B．90种 C．150种 D．180种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】先得到分配方案有或，分两种情况，结合排列组合知识得到答案 【详解】由已知可得5个人分三个班，每班至少1人，则可能的分配方案有或， 若分配方案为，则分配方案有种， 若分配方案为，则分配方案有种， 则不同分配方式共有种． 7．（2026·河北秦皇岛·二模）两位同学进行乒乓球比赛，约定先净胜3局者胜，随即比赛结束. 若恰好经过9局比赛结束，则这9局比赛中，两位同学胜负的所有情况种数为________. 【答案】54 【难度】0.42 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】确定第9局胜者，分为A赢和B赢两类。对一类，先计算总排列数，再减去比赛中途已提前分出胜负的情况，用反射原理剔除无效情形，最后按对称性乘2即可. 【详解】设两位同学为A、B，恰好9局比赛结束意味着第9局结束才第一次出现分差为3，之前任何时刻分差都小于3. 分两种情况讨论（A最终获胜、B最终获胜，两种情况对称）： ①若A最终获胜： 9局结束A净胜3局，因此A共赢6局、B共赢3局，且第9局一定是A赢（否则比赛提前结束）， 即前8局A赢5局、B赢3局，前8局结束分差为，且全程分差始终满足分差. 前8局选5局A赢，总共有种排列； 减去过程中碰到分差（A提前赢）的情况，考虑从出发，8步后到达，且过程中曾到达的路径. 将第一次到达之前的步骤关于水平线作对称反射，则起点被反射到，而终点仍为. 反射后，路径变为从出发，8步后到达. 从到，净变化为， 因此需要向下走步、向上走步，路径数为种，即一共有种情况； 减去过程中碰到分差（B提前赢）的情况，共1种（只有前3局全是B赢这1种情况）； 因此A最终获胜的有效情况数为. ②若B最终获胜： 由对称性，同理可得有效情况数也为. 综上，总情况数为. 8．（2026·安徽合肥·二模）某旅游博主准备从安徽省的5个国家全域旅游示范区与10个不是国家全域旅游示范区的省全域旅游示范区中选4个去打卡，若国家全域旅游示范区至少选3个，则选取方法种数为________．（用数字作答） 【答案】105 【难度】0.82 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】需按“国家全域旅游示范区选3个、选4个”两种情况分类讨论，再用分类加法计数原理求和. 【详解】我们将选取情况分为两类： 选3个国家全域旅游示范区，1个省全域旅游示范区的方法数：. 选4个国家全域旅游示范区，0个省全域旅游示范区的方法数：. 所以总选取方法种数为：. 9．（2026·安徽·模拟预测）某公园的一处景观湖中有4个小岛，现需要在小岛之间建3座桥，使得这4个小岛彼此相连（即从任意一个小岛都能走到另外任意一个小岛），每座桥只能连接2个小岛，则一共有________种不同的建桥方案. 【答案】16 【难度】0.45 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理 【分析】根据分类计数原理，结合排列组合求解即可. 【详解】分两类：①将4个小岛连成一条线，只需要考虑小岛的顺序即可，并且完全相反的两种顺序算同一种建桥方案，故有种不同的方案； ②任选一个小岛作为“中心”，分别与另外3个小岛相连，有4种不同的方案. 因此，不同的建桥方案共有16种. 10．（2026·重庆北碚·模拟预测）现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个大小、质地完全相同的小球， 甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记被抽取的球的序号分别为 ，则满足 的情况有_____种. 【答案】90 【难度】0.5 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】假设有，可得共有5种组合，有4种选择，分、，、讨论，可得答案. 【详解】假设，那么对于 ， 可化简为， 所以，即， 若可以取，对应的就是， 所以共有5种组合，对于每一组，有4种选择， 当确定后，考虑它们的排列顺序， 如果，有三种排列， 如果，同理也有三种排列， 如果，那么有种排列， 如果，那么有种排列， 可得每个组合共有种排列， 所以的5种组合共有种. 重难点题型2 分步乘法计数原理 利用分步乘法计数原理解题的策略 （1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的． （2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成． 1．（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【详解】若乙排在第一位，则可知不符合题意； 若乙排在第二位，则甲在乙前，甲乙必相邻，因此不符合题意； 若乙排在第三位，则甲在乙前，甲乙不相邻，甲应在第一位，此时有种排列方法； 若乙排在第四位，同理，甲应在第一位或第二位，此时有种排列方法； 乙排在第五位，同理，甲应在第一位、第二位或第三位，此时有种排列方法； 故共有种排列方法. 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛.规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（ ） A． B． C． D．48 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据给定条件，利用两个基本原理及有限制条件的排列计数问题列式求解. 【详解】依题意，甲、乙两人至少有1人参加， 当甲乙两人都参加时，不同参赛安排方案数为种； 当甲乙之一参加时，不同参赛安排方案数为种， 所以所求参赛方案种数为. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用分步乘法计数原理列式计算. 【详解】先选重复数字，有10种；再选重复数字所在的两个位置，有种． 剩下两个位置填两个不同数字，且不能等于重复数字，因此从其余9个数字中有序选2个，有种． 所以总数为． 4．（2026·安徽六安·模拟预测）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 5．（2026·黑龙江·模拟预测）现代科技前沿的五大热门研究领域是：人工智能、量子计算、脑机接口、可控核聚变、深空探测．甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取其中一个不同的领域作为课外科研研读主题，若甲、乙都没有选人工智能，乙也没有选深空探测，则5名同学所有可能的选择有（    ）种 A．18 B．36 C．54 D．72 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】优先安排约束最多的乙，再安排有约束的甲，最后对剩余3人全排列，结合分步乘法计数原理计算总情况数. 【详解】第一步：安排乙，由题意乙不能选人工智能、深空探测， 故可从剩余3个领域中任选1个，共种选法； 第二步：安排甲，甲不能选人工智能，且不能与乙选择的领域重复， 此时剩余可选领域共种选择，即种选法； 第三步：安排剩余3名同学，剩余3个不同领域进行全排列，即种排法， 根据分步乘法计数原理，总选择种数为. 6．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 【答案】 【难度】0.68 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题、计算古典概型问题的概率 【分析】先计算所有满足每个家庭至少1人的总分配方法数，再计算甲恰好被安排在A家庭的分配方法数，二者的比值即为所求概率. 【详解】先从5人中任选2人组成1组，剩余3人各自成组，再将4组全排列分配到4个家庭，总方法数为种. 志愿者甲恰好被安排在A家庭有两种情况： ① A家庭仅分配甲1人：剩余4人分配到另外3个家庭，每个家庭至少1人，先从4人中任选2人组成1组，剩余2人各自成组，再将3组全排列分配到3个家庭，方法数为种； ② A家庭分配甲和另外1名志愿者：先从其余4人中选1人与甲共同分配到A家庭，剩余3人全排列分配到另外3个家庭，方法数为种. 因此甲恰好被安排在A家庭的总方法数为种. 故所求概率为. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现有四名志愿者在端午节三天假期里到公园志愿服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有__________种. 【答案】12 【难度】0.72 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【详解】由题意知，第一天2人，剩下2人分到第二天和第三天，每天各1人， 第一步：从4名志愿者中选2人在第一天服务，安排方案有种， 第二步：剩下2名志愿者，要分配到第二天和第三天，且每天1人，安排方案有种， 根据分步乘法计数原理，安排方案共有种. 8．（2026·福建泉州·模拟预测）为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、乙、丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数为__________. 【答案】208 【难度】0.38 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先考虑早上，只能有乙丁，或丙丁，再结合对称性只需先考虑早上是乙丁的情况，在此基础上考虑中午与晚上每个时段有10种排法，再减去不满足的情况得中午和晚上共有种排法，即可根据分步乘法原理求解. 【详解】第一步，先考虑早上，只能有乙丁，或丙丁， 由对称性可知，只需先考虑乙丁，则有种； 第二步，考虑中午和晚上，除掉乙丙，每个时段共有种组合， 故中午晚上共有种，需扣掉以下几种情况： 第一，中午晚上没有甲，则只有乙丙丁，每个时段有种排法，共有16种； 第二，中午晚上没有丙，则每个时段有种排法，共有36种； 第三，中午晚上没有甲丙，则只有乙丁，共有种排法； 所以中午和晚上共有种排法， 所以安排方法总数为种. 9．（2026·四川绵阳·三模）融合科技和娱乐的无人机群表演深受人们欢迎．现有架无人机依次围成一个圆形飞行表演编队（相邻）．操控员需要对每架无人机发送两种编码：频段编码（0或1）和校验编码（或），无人机端接收频段编码和校验编码．为了保证无人机群飞行的稳定，要求相邻两架无人机之间的频段编码或者校验编码至少有一个相同，称满足这样条件的编码为合法编码，设该无人机群飞行编队的合法编码有种．则__________，__________． 【答案】 28 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、构造法求数列通项 【分析】根据题设条件可构建，利用构造法可求的通项. 【详解】无人机端接收频段编码和校验编码有四种不同编码情况，分别为， 如图所示，当有3架无人机时， 若编码相同时，有种不同方法， 若编码不同时，有种不同方法，则， 设架无人机围成圆形，每架无人机有4种状态（频段与校验的组合）， 相邻无人机必须满足频段相同或校验相同. 考虑线性排列：第一架有4种选择，之后每架有3种选择（与前一架兼容），故线性排列数为． 对于环形排列，需首尾兼容，利用对称性，固定第一架为某状态， 设表示从该状态出发经过步回到自身的路径数（每步有3种选择），环形排列数． 由递推可得，初始，解得， 因此， 重难点题型3 两个计数原理的综合应用 利用两个计数原理解题时的三个注意点 （1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事． （2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图． （3）对于复杂问题，一般是先分类再分步． 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可. 【详解】如图所示：    当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】先对图中挂件进行编号，根据已知条件分析讨论各层挂件的涂色方法数，从而得出所有的涂色方法种数． 【详解】给挂件进行如图所示的编号， 中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件， 用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色， 1号有4种涂色方法，2，3，4号有种涂色方法， 分情况讨论5，6，7号的涂色方法： ①若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ②若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ③若5号与1号异色，与3号同色，5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，7号有2种涂色方法； 当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ④若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有2种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； 综上，所有的涂色方法种数为，故C正确． 故选：C． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）在实验中学的足球班赛中，高一1班和高二2班进行到了点球大战，两队各派5名队员依次主罚，进球记1分，不进记0分．罚点球从1班开始先罚，两个班队员依次轮流主罚．在任一队员罚球结束后，若有一队进球数领先对方的分数大于对方剩余主罚人数，则比赛立即结束．每个点球只有“得分”和“不得分”两种可能，以{1班得分序列，2班得分序列}表示得分情况，如{11111，1101}表示1班五罚均得分，2班仅在第3罚罚失，则比赛恰好在1班的第5名队员罚球结束后结束的得分情况共___________种． 【答案】112 【难度】0.42 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】将问题拆分为“前8次不提前结束”和“第9次刚好结束”两个阶段，先筛选出前8次分差为1的有效比分并计算对应组合路径数，再匹配第9次唯一的得分操作，最后求和得到总情况数. 【详解】由题意，罚球顺序：1班第1人→2班第1人→1班第2人→2班第2人→…→1班第5人（第9次罚球）， 结束规则：任一队员罚完后，若一队领先分数大于对方剩余未罚人数，比赛立即结束. “比赛恰好在1班第5人罚完后结束”需同时满足： 前8次罚球（双方各罚4人）结束后，比赛未提前结束； 第9次（1班第5人）罚球结束后，比赛立即触发结束条件. 前8次罚球的约束（未提前结束）： 设前8次结束后，1班进球个，2班进球个，此时双方各剩余1次罚球， 比赛未结束，因此： 若1班领先：领先分数≤2班剩余人数（1人），即； 若2班领先：领先分数≤1班剩余人数（1人），即. 综上，前8次比分满足. （1）有效比分筛选， 第9次罚球后要触发结束，因此平分（、、、、）需排除（第9次后分差仍，无法结束）， 最终前8次有效比分为：. （2）中间过程无提前结束的验证， 对于上述比分，所有对应路径在中间步骤均不会触发结束： 以上比分分差均为1，在之前每一轮罚球后，分差始终s1，而对方剩余人数始终≥1，因此不会提前触发结束条件，所有路径均有效， 因此每个比分对应的路径数可直接用组合数计算：1班4罚进个的组合数，乘以2班4罚进个的组合数. 各比分路径数计算： 前8次比分 路径数计算 路径数 第9次罚球的结束条件：第9次为1班第5人罚球，罚完后1班全部罚完（剩余0人），2班剩余1人未罚. 分两类讨论： （1）前8次1班领先（，如1:0、2:1、3:2、4:3）：1班进球后分差变为2， 此时2班剩余1人，，满足结束条件；不进球则分差仍为1，不结束. →仅“进球”1种操作可结束比赛； （2）前8次2班领先（，如、、、）：1班不进球则分差仍为1， 此时1班剩余0人，，满足结束条件；进球则比分打平，不结束. →仅“不进球”1种操作可结束比赛. 综上，每类前8次比分对应第9次恰好1种得分选择，可使比赛结束. 将所有有效情况相加：. 4．（2026·湖北武汉·三模）一个的灯阵，每盏灯颜色各不相同，初始时所有灯均熄灭，每次可以任选一整行或一整列，使其中所有灯的状态同时反转，经过若干次操作后，恰有8盏灯亮，只按最终灯亮位置计算（如右图为其中一种情况），可得到的不同亮灯图案共有_______________种. 【答案】78 【难度】0.22 【知识点】涂色问题 【分析】按照反转的行数和列数的不同情况，分类计算所有能得到8盏灯亮的不同图案，相加可得到总数. 【详解】要想得到8盏灯亮的不同图案，可分如下情况进行讨论： 设行数为，列数为. 若. 时，总数为. 时，总数为. 时，总数为(此时内部有一半重复). 时，总数为(与，重复). 时，总数为(与，重复). 总数为. 若. 时，总数为. 时，总数为. 时，与上述重复不计. 时，总数为(与，重复). 时，总数为(与，重复). 总数为. 综上所述，一共有种. 5．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法. 【答案】29 【难度】0.4 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理来求解即可. 【详解】设：列从左到右为，行从下到上为， 起点()，简记为，终点()，简记为 如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格， 则小明必经过和， 当小明经过到达时，按以下步骤： 从到，这三步中有一步向右，两步向上，故有种走法， 下面又分两类情形到达， 第1类是从到，只有2种走法，然后再向右走到， 而从到，这三步中有一步向上，两步向右，故有种走法， 所以第1类从到的走法有种； 第2类是从到，这三步中有一步向右，两步向上，故有种走法， 然后从到，只能全向右走，只有1种走法， 所以第2类从到的走法有种； 所以小明经过到达的走法有种； 当小明经过到达时，按以下步骤： 从到，只能全向右走，只有1种走法， 再从到，只能全向上走，也是只有1种走法， 最后从到，只有2种走法， 所以小明经过到达的走法有种； 故小明从起点到终点不同的走法共有种. 6．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有____种不同的铺设方法． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】涂色问题 【分析】设出使用红色，黄色，绿色地砖的块数，根据题意列出方程组，从而求得所用每种颜色地砖的块数，再根据红色地砖所在位置分类讨论即可求解. 【详解】设使用红色地砖块，黄色地砖块，绿色地砖块， 由题意得，，解得 ， 即使用红色地砖3块，黄色地砖2块，绿色地砖1块． 下面分四种情形讨论： ①3块红色地砖使用在第1，3，5块地砖的位置时，1块绿色地砖有种方式铺设， 剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有3种不同的铺设方法； ②3块红色地砖使用在第2，4，6块地砖的位置时，1块绿色地砖有种方式铺设， 剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有3种不同的铺设方法； ③3块红色地砖使用在第1，3，6块地砖的位置时，1块绿色地砖只能在第4，5块地砖的位置铺设， 有种方法，剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有2种不同的铺设方法； ④3块红色地砖使用在第1，4，6块地砖的位置时，1块绿色地砖只能在第2，3块地砖的位置铺设， 有种方法，剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有2种不同的铺设方法. 综上，共有 种不同的铺设方法． 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $