第五单元 比的认识（易错专项讲义）数学北师大版六年级上册（新教材）

第五单元 比的认识易错专项讲义  易错题型01 比的意义 易错题型02 比与分数、除法的关系 易错题型03 比的基本性质 易错题型04 求比值和化简比 易错题型05 比例的意义 易错题型01 比的意义 1、同时满足「明确比的定义判定规则、对应前后项的数量关系匹配正确比值计算逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的比的意义问题的合规解题结果，随意混淆比和除法/分数的边界、错配前后项对应数量的不符合比的定义规则的结论不能作为有效解题依据。 2、处理基础比的意义判定类问题时，要明确两个数相除又叫做两个数的比，比的前后项是有顺序的，不能随意颠倒前后项的对应数量，得到比的含义完全错位的错误结果。 3、处理比的各部分名称识别类问题时，要明确比号前面的数是前项，比号后面的数是后项，前项除以后项得到的商是比值，不能把前后项的位置搞反，得到比值数值完全错误的结果。 4、处理不同类量的比的意义类问题时，要明确路程和时间的比得到的是速度，总价和数量的比得到的是单价，不能把不同类量的比当成无意义的运算，得到比的实际含义完全错配的错误结果。 5、标注比的意义问题的最终结果时，要明确标注比的前后项对应的实际含义，比值是一个数值，不能在比值后面随意加和比无关的单位，避免出现前后项顺序颠倒、单位错配的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理比赛计分场景的“比”的辨析类问题时，要明确足球比赛里的2:0只是计分的对比符号，不是数学意义上的比，它不满足比的后项不能为0的规则，不能把计分比和数学上的比混为一谈，得到概念混淆的错误结果。 【题型精讲1】如果大圆和小圆直径的比是4∶3，那么大、小圆的面积比是（    ）。 A．16∶9 B．3∶4 C．64∶27 D．4∶3 【易错巩固1】一条绳子对折三次后的长度与原来长度的比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶6 C．1∶8 D．8∶1 【易错巩固2】钟面上，分针与秒针的转动速度比是（    ）。 A．12∶1 B．1∶12 C．60∶1 D．1∶60 【易错巩固3】甲、乙两人都要从地到地，甲每分钟走71m，乙每分钟走65m，甲、乙所用的时间比是（ ）。 【易错巩固4】在天平的左边，物体挂在天平左边刻度5处，物体挂在天平右边刻度4处，天平恰好平衡，则、两个物体的质量比是（ ）。 【易错巩固5】六年级有男生110人，女生119人，六年级的男生与女生的人数比是（ ），男生与六年级的总人数比是（ ），女生与六年级的总人数比是（ ）。 易错题型02 比与分数、除法的关系 1、同时满足「明确比与分数、除法的对应映射规则、三者属性边界匹配正确转换逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的比与分数、除法的关系问题的合规解题结果，随意混淆三者的对应位置、错配核心属性的不符合等价转换规则的结论不能作为有效解题依据。 2、处理基础对应关系匹配类问题时，要明确比的前项对应除法的被除数、分数的分子，比号对应除号、分数线，后项对应除数、分母，比值对应商、分数值，不能把对应位置搞错位，得到转换结果完全错误的结果。 3、处理比的后项限制类问题时，要明确比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为0，三者的限制规则完全统一，不能错误判定其中某一项可以为0，得到违背底层数学逻辑的错误结果。 4、处理三者核心区别辨析类问题时，要明确比表示两个量的倍比关系，除法是一种运算过程，分数是一个独立的数，三者不能完全等同，不能直接把比完全等价于除法或分数，得到概念边界模糊的错误结果。 5、标注比与分数、除法的关系问题的最终结果时，要明确标注转换前后的对应关系，核对转换过程中数值没有发生变化，避免出现对应位置错配、前后数值不等的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理带不同单位的比转分数类问题时，要先统一两个量的单位，再完成比到分数的转换，不能带着不同单位的数值直接转换，得到分数数值完全错误的结果。 7、同一道比与分数、除法的关系的解题过程中，三者的对应映射标准、0除外的限制规则必须完全统一，不能中途随意更改对应位置的定义、混淆三者的属性边界，打乱转换逻辑的严谨性。 8、用比与分数、除法的关系规则解决实际问题时，要先锚定「先明确三者的对应映射关系、按规则完成等价转换、验证结果符合三者的核心属性」的核心规则，不能直接硬套单一的除法运算逻辑，忽略三者联动转换专属的等价属性。 【题型精讲2】16÷24＝＝（   ）∶12＝（   ）×＝（   ）÷。 【易错巩固1】5∶8＝＝（    ）÷（    ）。 【易错巩固2】。 【易错巩固3】11÷6＝11∶（    ）＝    4∶（    ）＝2    （    ）∶7＝0.5 【易错巩固4】6∶10＝12∶（    ）＝＝（    ）÷40＝（    ）（填小数）。 【易错巩固5】3∶（    ）＝＝0.75＝18∶（    ）＝（    ）÷40。 易错题型03 比的基本性质 1、同时满足「明确比的基本性质核心规则、前后项同步乘除非0数后比值完全不变」规则得到的结果，才是本单元认可的比的基本性质问题的合规解题结果，随意不同步操作前后项、乘除0的不符合性质规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理基础比的基本性质判定类问题时，要明确比的前项和后项必须同时乘或者同时除以完全相同的非0数，才能保证比值不变，不能只单独给前项做乘除操作，得到比值发生改变的错误结果。 3、处理整数比化简类问题时，要利用比的基本性质，给前后项同时除以它们的最大公因数，直接得到前后项互质的最简整数比，不能只做部分约分，得到化简不彻底的错误结果。 4、处理小数比化简类问题时，要利用比的基本性质，给前后项同时乘10、100这类整十整百数，先把小数比转化成整数比，再继续化简，不能直接带着小数直接约分，得到化简结果不符合整数要求的错误结果。 5、标注比的基本性质问题的最终结果时，要明确标注化简后的结果是最简整数比，核对前后项都是整数且公因数只有1，避免出现前后项仍有公因数、结果不是比的形式的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理分数比化简类问题时，要利用比的基本性质，给前后项同时乘两个分母的最小公倍数，先把分数比转化成整数比，再继续化简，不能直接用前项除以后项得到的分数直接当成最终比，得到结果格式错误的结果。 7、同一道比的基本性质的运算过程中，前后项同步乘除的规则、0除外的限制条件必须完全统一，不能中途随意更改乘除的数值、只给其中一项做运算，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理比的基本性质和商不变规律、分数基本性质联动类问题时，要明确三者的核心逻辑完全相通，操作规则完全统一，不能错误判定三者的变化规则存在差异，得到性质联动错误的结果。 【题型精讲3】如果把2∶5的前项加上6，要使它的比值不变，后项应（    ）。 A．加上6 B．加上15 C．减去6 D．不确定 【易错巩固1】3∶4的前项加上21，要使比值不变，后项应该加上（    ）。 A．21 B．28 C．18 D．14 【易错巩固2】在4∶9中，后项加上18，要使比值不变，前项应（    ）。 A．加上18 B．加上8 C．乘2 D．乘4 【易错巩固3】4∶3的前项扩大到原来的5倍，要使比值不变，后项应该扩大到原来的（ ）倍，如果后项加上12，要使比值不变，前项应加上（ ）。 【易错巩固4】0.8与的最简单的整数比是（ ），如果将最简单的整数比的前项加上12，要使比值不变，后项应加上（ ）。 【易错巩固5】把化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。如果前项乘2，那么要使比值不变，后项应该是（ ）；如果前项和后项都除以0.25，那么比值是（ ）。 易错题型04 求比值和化简比 1、同时满足「明确求比值/化简比的定义规则、对应计算方法匹配正确结果形式」规则得到的结果，才是本单元认可的求比值和化简比问题的合规解题结果，随意混淆两类题型的结果要求、错配计算逻辑的不符合运算规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理基础求比值类问题时，要严格按照“比的前项除以后项”的规则计算，得到的结果是一个具体数值，可以是整数、小数或最简分数，不能把结果写成带比号的形式，得到结果格式完全错误的结果。 3、处理整数比化简类问题时，要给比的前项和后项同时除以它们的最大公因数，得到前后项互质的最简整数比，不能只做部分约分，得到化简不彻底的错误结果。 4、处理小数比化简类问题时，要先给前后项同时乘10、100等整十整百数，把小数比转化为整数比，再按整数比的方法化简，不能直接带着小数约分，得到结果不符合整数要求的错误结果。 5、标注求比值和化简比问题的最终结果时，要明确区分两类结果的形式：求比值的结果是一个数，化简比的结果是一个最简整数比，核对结果形式和题型要求完全匹配，避免出现结果形式错配、前后项仍有公因数的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理分数比化简类问题时，要给前后项同时乘两个分母的最小公倍数，把分数比转化为整数比，再按整数比的方法化简；如果用前项除以后项的方法计算，最终结果必须还原成比的形式，不能直接把得到的分数当成单一数值，得到化简比结果格式错误的结果。 7、同一道求比值和化简比的运算过程中，比的基本性质应用规则、结果形式的判定标准必须完全统一，不能中途随意更改乘除的数值、混淆两类题型的结果要求，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理带不同单位的比的计算类问题时，要先把前后项的单位统一成相同单位，再进行求比值或化简比的操作，不能带着不同单位的数值直接计算，得到数值完全错误的结果。 【题型精讲4】求比值。 3.6∶            40分∶2小时 【易错巩固1】求比值。 250千克∶1.5吨    34时∶15分    400米∶2.5千米 【易错巩固2】求比值。 6∶24            0.3∶3 【易错巩固3】化简下列各比并求出比值。 8∶56                                2.5∶1.5                 【易错巩固4】化简比。 0.36∶3            0.9∶0.03＝ 【易错巩固5】化简比并求出比值。 0.54∶2.7        0.2kg∶45g             易错题型05 比例的意义 1、同时满足「明确比例的意义判定规则、两个比的比值完全相等」规则得到的结果，才是本单元认可的比例的意义问题的合规解题结果，随意把比值不相等的两个比用等号连接、错配比例项的不符合比例定义规则的结论不能作为有效解题依据。 2、处理基础比例判定类问题时，要明确表示两个比相等的式子才叫做比例，必须先分别算出两个比的比值，确认比值完全相等才能判定它们可以组成比例，不能仅凭表面数字相似就直接判定成比例，得到判定结果完全错误的结果。 3、处理比例各部分名称识别类问题时，要明确组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项是比例的外项，中间的两项是比例的内项，不能把内外项的位置搞反，得到内外项对应关系完全错误的结果。 4、处理比和比例的概念辨析类问题时，要明确比是由两个数组成的式子，表示两个数的相除关系；比例是由两个相等的比组成的等式，有四个项，不能把比和比例混为一谈，得到概念边界完全模糊的错误结果。 5、标注比例的意义问题的最终结果时，要明确写出完整的比例等式，核对等式左右两边两个比的比值完全相等，避免出现等号两边比值不等、漏写比例项的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理生活情境类比例判定问题时，比如判断两张图片是否相像、蜂蜜水甜度是否一致，要分别算出对应两个量的比的比值，确认比值相等才能判定符合比例要求，不能仅凭肉眼目测就下结论，得到情境判定错误的结果。 7、同一道比例的意义的解题过程中，比例的定义判定标准、比值的计算规则必须完全统一，不能中途随意更改比值的判定要求、混淆比和比例的概念边界，打乱判定逻辑的严谨性。 8、处理“从多个比里挑选能组成比例的比”类筛选问题时，要先把所有给出的比的比值全部计算出来，把比值相等的比两两配对组成比例，不能随意乱配对，得到组成的比例不成立的错误结果。 9、处理正方形边长比和周长比的比例判定问题时，要明确两个正方形的边长比和周长比的比值相等，可以组成比例；但边长比和面积比的比值不相等，不能组成比例，不能错误判定边长比和面积比也能组成比例，得到特殊场景判定错误的结果。 【题型精讲5】下面的式子中，（    ）是比例。 A． B． C． D． 【易错巩固1】下面各比中，能与3∶8组成比例的是（    ）。 A．8∶3 B． C．∶2 D． 【易错巩固2】从12的因数中选出4个数，组成一个比例是（ ）。 【易错巩固3】在8∶10，0.5∶0.4，这三个比中，能与组成比例的一个比是（ ）。 【易错巩固4】粤绣是中国四大名绣之一，下面是两幅粤绣。先填空，再回答问题。 （1）图中两幅粤绣作品的边长的比是（    ），周长的比是（    ），两个比能组成比例吗？如果能，请写出这个比例。 （2）图中两幅粤绣作品面积的比是（ ）。这个比和边长的比（ ）组成比例（填“能”或“不能”）。 【易错巩固5】学校买了5箱白粉笔，用了160元，买了3箱红粉笔，用了96元，根据题中提供的信息写出两个不同的比例。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 比的认识易错专项讲义  易错题型01 比的意义 易错题型02 比与分数、除法的关系 易错题型03 比的基本性质 易错题型04 求比值和化简比 易错题型05 比例的意义 易错题型01 比的意义 1、同时满足「明确比的定义判定规则、对应前后项的数量关系匹配正确比值计算逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的比的意义问题的合规解题结果，随意混淆比和除法/分数的边界、错配前后项对应数量的不符合比的定义规则的结论不能作为有效解题依据。 2、处理基础比的意义判定类问题时，要明确两个数相除又叫做两个数的比，比的前后项是有顺序的，不能随意颠倒前后项的对应数量，得到比的含义完全错位的错误结果。 3、处理比的各部分名称识别类问题时，要明确比号前面的数是前项，比号后面的数是后项，前项除以后项得到的商是比值，不能把前后项的位置搞反，得到比值数值完全错误的结果。 4、处理不同类量的比的意义类问题时，要明确路程和时间的比得到的是速度，总价和数量的比得到的是单价，不能把不同类量的比当成无意义的运算，得到比的实际含义完全错配的错误结果。 5、标注比的意义问题的最终结果时，要明确标注比的前后项对应的实际含义，比值是一个数值，不能在比值后面随意加和比无关的单位，避免出现前后项顺序颠倒、单位错配的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理比赛计分场景的“比”的辨析类问题时，要明确足球比赛里的2:0只是计分的对比符号，不是数学意义上的比，它不满足比的后项不能为0的规则，不能把计分比和数学上的比混为一谈，得到概念混淆的错误结果。 【题型精讲1】如果大圆和小圆直径的比是4∶3，那么大、小圆的面积比是（    ）。 A．16∶9 B．3∶4 C．64∶27 D．4∶3 【答案】A 【分析】两个圆的半径比等于直径比，面积比等于半径的平方比。 【解答】大、小圆的直径比是，则半径比也是。大、小圆的面积比为： 【易错巩固1】一条绳子对折三次后的长度与原来长度的比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶6 C．1∶8 D．8∶1 【答案】C 【分析】绳子对折一次平均分成2段，对折两次平均分成4段，对折三次平均分成8段。将绳子的全长看作单位“1”，用1除以平均分成的段数，即可求出每一小段占全长的几分之几；再根据比的意义，求出一条绳子对折三次后的长度与原来长度的比是多少即可。 【解答】2×2×2＝8（段） 1÷8＝ ∶1＝1∶8 因此，一条绳子对折三次后的长度与原来长度的比是1∶8。 【易错巩固2】钟面上，分针与秒针的转动速度比是（    ）。 A．12∶1 B．1∶12 C．60∶1 D．1∶60 【答案】D 【分析】整个钟面被平均分成12个大格，60个小格，分针1分钟绕钟面旋转1小格，秒针1分钟绕钟面旋转一周，刚好是60小格，由此可知，分针的转动速度∶秒针的转动速度＝1∶60，据此解答。 【解答】分析可知，分针1分钟绕钟面旋转1小格，秒针1分钟绕钟面旋转60小格，所以分针与秒针的转动速度比是1∶60。 故答案为：D 【易错巩固3】甲、乙两人都要从地到地，甲每分钟走71m，乙每分钟走65m，甲、乙所用的时间比是（ ）。 【答案】65∶71 【分析】从A到B路程相同，路程＝速度×时间。路程一定，速度与时间成反比，时间比是速度比前后项交换位置。 【解答】甲速度∶乙速度＝71∶65，甲时间∶乙时间＝65∶71 【易错巩固4】在天平的左边，物体挂在天平左边刻度5处，物体挂在天平右边刻度4处，天平恰好平衡，则、两个物体的质量比是（ ）。 【答案】4∶5 【分析】要使天平恰好平衡，则需要满足：物体A的质量×5＝物体B的质量×4，假设物体A的质量×5＝物体B的质量×4＝20，进而求出物体A和B的质量，最后求出A、B两个物体的质量比。 【解答】假设物体A的质量×5＝物体B的质量×4＝20 20÷5＝4 20÷4＝5 A、B两个物体的质量比是4∶5。 【易错巩固5】六年级有男生110人，女生119人，六年级的男生与女生的人数比是（ ），男生与六年级的总人数比是（ ），女生与六年级的总人数比是（ ）。 【答案】110∶119 110∶229 119∶229 【分析】将男生人数与女生人数相加算出总人数，分别写出对应的比即可。 【解答】男生与女生的人数比：110∶119 总人数：110＋119＝229（人） 男生与总人数的比：110∶229 女生与总人数的比：119∶229 易错题型02 比与分数、除法的关系 1、同时满足「明确比与分数、除法的对应映射规则、三者属性边界匹配正确转换逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的比与分数、除法的关系问题的合规解题结果，随意混淆三者的对应位置、错配核心属性的不符合等价转换规则的结论不能作为有效解题依据。 2、处理基础对应关系匹配类问题时，要明确比的前项对应除法的被除数、分数的分子，比号对应除号、分数线，后项对应除数、分母，比值对应商、分数值，不能把对应位置搞错位，得到转换结果完全错误的结果。 3、处理比的后项限制类问题时，要明确比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为0，三者的限制规则完全统一，不能错误判定其中某一项可以为0，得到违背底层数学逻辑的错误结果。 4、处理三者核心区别辨析类问题时，要明确比表示两个量的倍比关系，除法是一种运算过程，分数是一个独立的数，三者不能完全等同，不能直接把比完全等价于除法或分数，得到概念边界模糊的错误结果。 5、标注比与分数、除法的关系问题的最终结果时，要明确标注转换前后的对应关系，核对转换过程中数值没有发生变化，避免出现对应位置错配、前后数值不等的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理带不同单位的比转分数类问题时，要先统一两个量的单位，再完成比到分数的转换，不能带着不同单位的数值直接转换，得到分数数值完全错误的结果。 7、同一道比与分数、除法的关系的解题过程中，三者的对应映射标准、0除外的限制规则必须完全统一，不能中途随意更改对应位置的定义、混淆三者的属性边界，打乱转换逻辑的严谨性。 8、用比与分数、除法的关系规则解决实际问题时，要先锚定「先明确三者的对应映射关系、按规则完成等价转换、验证结果符合三者的核心属性」的核心规则，不能直接硬套单一的除法运算逻辑，忽略三者联动转换专属的等价属性。 【题型精讲2】16÷24＝＝（   ）∶12＝（   ）×＝（   ）÷。 【答案】3；8；； 【分析】从已知的16÷24入手，化为分数是＝。 根据除法与分数、除法与比的关系，＝2÷3＝2∶3； （）∶12＝2∶3，比的后项3变成12乘了4，前项2也要乘4； （）×＝，一个数乘等于，这个数＝＝＝； （）÷＝，被除数＝＝＝。 【解答】16÷24＝＝2÷3＝2∶3； ＝； （）∶12＝＝2∶3＝（2×4）∶（3×4）＝8∶12； （）×＝，＝＝； （）÷＝，＝＝； 16÷24＝＝（8）∶12＝（）×＝（）÷。 【易错巩固1】5∶8＝＝（    ）÷（    ）。 【答案】；5；8 【分析】分数的分子相当于被除数、比的前项，分母相当于除数、比的后项，据此填空。 【解答】5是前项，相当于分数的分子、除法中的被除数，8是后项，相当于分数的分母、除法中的除数。因此5∶8＝＝5÷8 【易错巩固2】。 【答案】10；40；40；4 【分析】将化为分数是，化为百分数是；将的分子、分母同时乘得，根据分数与除法的关系得：；将的分子、分母同时乘得；再根据分数与比的关系得（分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号）；据此解答。 【解答】 【易错巩固3】11÷6＝11∶（    ）＝    4∶（    ）＝2    （    ）∶7＝0.5 【答案】6；；2；3.5 【分析】（1）根据比与除法的关系，比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，根据除法与分数的关系，被除数相当于分子，除数相当于分母； （2）根据比的后项＝比的前项÷比值； （3）根据比的前项＝比的后项×比值。 【解答】11÷6＝11∶6＝； 4÷2＝2，所以4∶2＝2； 7×0.5＝3.5，所以3.5∶7＝0.5。 【易错巩固4】6∶10＝12∶（    ）＝＝（    ）÷40＝（    ）（填小数）。 【答案】20；3；24；0.6 【分析】根据比的基本性质：6∶10的前项和后项都乘2就是12∶20；根据比与分数的关系，比的前项相当于分数的分子，后项相当于分母，比号对应分数线，即6∶10＝；根据分数的基本性质：的分子、分母同时除以2就是；根据比与除法的关系，‌比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除数，比号相当于除号，即6∶10＝6÷10；根据商不变的规律：除数10乘4，被除数6也乘4，就是24÷40；用比的前项除以后项求比值。 【解答】6∶10 ＝（6×2）∶（10×2） ＝12∶20 6∶10＝ ＝＝ 6∶10＝6÷10 6÷10 ＝（6×4）÷（10×4） ＝24÷40 6÷10＝0.6 所以6∶10＝12∶20＝＝24÷40＝0.6。 【易错巩固5】3∶（    ）＝＝0.75＝18∶（    ）＝（    ）÷40。 【答案】4，12，24，30 【分析】以已知的0.75为统一基准来逐个计算：比的后项＝前项÷比值；分母＝分子÷分数值；被除数＝商×除数。 【解答】因为3÷0.75＝4，所以3∶4＝0.75； 因为9÷0.75＝12，所以＝0.75； 因为18÷0.75＝24，所以18∶24＝0.75； 因为40×0.75＝30，所以30÷40＝0.75； 3∶（4）＝＝0.75＝18∶（24）＝（30）÷40。 易错题型03 比的基本性质 1、同时满足「明确比的基本性质核心规则、前后项同步乘除非0数后比值完全不变」规则得到的结果，才是本单元认可的比的基本性质问题的合规解题结果，随意不同步操作前后项、乘除0的不符合性质规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理基础比的基本性质判定类问题时，要明确比的前项和后项必须同时乘或者同时除以完全相同的非0数，才能保证比值不变，不能只单独给前项做乘除操作，得到比值发生改变的错误结果。 3、处理整数比化简类问题时，要利用比的基本性质，给前后项同时除以它们的最大公因数，直接得到前后项互质的最简整数比，不能只做部分约分，得到化简不彻底的错误结果。 4、处理小数比化简类问题时，要利用比的基本性质，给前后项同时乘10、100这类整十整百数，先把小数比转化成整数比，再继续化简，不能直接带着小数直接约分，得到化简结果不符合整数要求的错误结果。 5、标注比的基本性质问题的最终结果时，要明确标注化简后的结果是最简整数比，核对前后项都是整数且公因数只有1，避免出现前后项仍有公因数、结果不是比的形式的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理分数比化简类问题时，要利用比的基本性质，给前后项同时乘两个分母的最小公倍数，先把分数比转化成整数比，再继续化简，不能直接用前项除以后项得到的分数直接当成最终比，得到结果格式错误的结果。 7、同一道比的基本性质的运算过程中，前后项同步乘除的规则、0除外的限制条件必须完全统一，不能中途随意更改乘除的数值、只给其中一项做运算，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理比的基本性质和商不变规律、分数基本性质联动类问题时，要明确三者的核心逻辑完全相通，操作规则完全统一，不能错误判定三者的变化规则存在差异，得到性质联动错误的结果。 【题型精讲3】如果把2∶5的前项加上6，要使它的比值不变，后项应（    ）。 A．加上6 B．加上15 C．减去6 D．不确定 【答案】B 【分析】根据题意，2∶5的前项加上6后变为8，前项扩大到原来的4倍，根据比的基本性质，要使比值不变，后项也要扩大到原来的4倍，计算出变化后的后项再减去原来的后项即可，据此解答。 【解答】根据分析可得： 变化后的前项：2＋6＝8 前项扩大的倍数：8÷2＝4 变化后的后项：5×4＝20 后项应加的数：20－5＝15 所以后项应加上15。 【易错巩固1】3∶4的前项加上21，要使比值不变，后项应该加上（    ）。 A．21 B．28 C．18 D．14 【答案】B 【分析】先计算前项加21后的数值，用加21后的数值除以3，求出前项扩大到原来的倍数，根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘（或除以）同一个数（0除外）比值不变），后项也要扩大到原来的相同倍数，用4乘扩大的倍数减去4即可得到需要加的数。 【解答】 所以的前项加上21，要使比值不变，后项应该加上28。 【易错巩固2】在4∶9中，后项加上18，要使比值不变，前项应（    ）。 A．加上18 B．加上8 C．乘2 D．乘4 【答案】B 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此计算。 【解答】变化后的后项： 后项扩大到原来的倍数： 变化后前项应为： 前项应增加的数： 即前项应加上8。 【易错巩固3】4∶3的前项扩大到原来的5倍，要使比值不变，后项应该扩大到原来的（ ）倍，如果后项加上12，要使比值不变，前项应加上（ ）。 【答案】5 16 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，由此计算比的前项扩大的倍数确定后项的值。 【解答】①4∶3的前项扩大到原来的5倍，要使比值不变，后项应该扩大到原来的 5 倍； ②（3＋12）÷3 ＝15÷3 ＝5 4×5－4 ＝20－4 ＝16 即如果4∶3的后项加上12，要使比值不变，前项应加上16。 【易错巩固4】0.8与的最简单的整数比是（ ），如果将最简单的整数比的前项加上12，要使比值不变，后项应加上（ ）。 【答案】4∶3 9 【分析】首先把分数转化为小数，，那么，根据比的性质，前后项同时乘10消去小数点得到，再同时除以它们的最大公因数2，就得到最简整数比。 最简整数比是，前项加上12之后，新的前项是，相当于前项从4变成16，乘了4。根据比的基本性质：比的前后项同时乘同一个不为0的数，比值不变，后项也要乘4，得到新后项是，所以后项需要加上。 【解答】0.8∶ ＝0.8∶0.6 ＝（0.8×10）∶（0.6×10） ＝8∶6 ＝（8÷2）∶（6÷2） ＝4∶3 4＋12＝16，16÷4＝4 3×4＝12，12－3＝9 0.8与的最简单的整数比是4∶3，如果将最简单的整数比的前项加上12，要使比值不变，后项应加上9。 【易错巩固5】把化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。如果前项乘2，那么要使比值不变，后项应该是（ ）；如果前项和后项都除以0.25，那么比值是（ ）。 【答案】3∶4 /0.75 /0.75 【分析】化简整数比：因为比的前后项可以同时乘两个分母的最小公倍数消去分母和小数，所以先将0.5转化为分数，再给比的前后项同乘最小公倍数，得到整数比后再约分为最简整数比。 求比值：因为比值是比的前项除以后项的商，所以用最简比的前项除以后项即可得到比值。 前项乘2保持比值不变：因为比的基本性质是比的前后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，所以后项也要乘2计算得到结果。 前后项都除以0.25求比值：因为根据比的基本性质，前后项同时除以同一个非零数比值不变，所以比值和原比值相等。 【解答】 原比后项为，根据比的基本性质，后项应乘2，得 把化成最简单的整数比是，比值是。如果前项乘2，那么要使比值不变，后项应该是；如果前项和后项都除以0.25，那么比值是。 易错题型04 求比值和化简比 1、同时满足「明确求比值/化简比的定义规则、对应计算方法匹配正确结果形式」规则得到的结果，才是本单元认可的求比值和化简比问题的合规解题结果，随意混淆两类题型的结果要求、错配计算逻辑的不符合运算规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理基础求比值类问题时，要严格按照“比的前项除以后项”的规则计算，得到的结果是一个具体数值，可以是整数、小数或最简分数，不能把结果写成带比号的形式，得到结果格式完全错误的结果。 3、处理整数比化简类问题时，要给比的前项和后项同时除以它们的最大公因数，得到前后项互质的最简整数比，不能只做部分约分，得到化简不彻底的错误结果。 4、处理小数比化简类问题时，要先给前后项同时乘10、100等整十整百数，把小数比转化为整数比，再按整数比的方法化简，不能直接带着小数约分，得到结果不符合整数要求的错误结果。 5、标注求比值和化简比问题的最终结果时，要明确区分两类结果的形式：求比值的结果是一个数，化简比的结果是一个最简整数比，核对结果形式和题型要求完全匹配，避免出现结果形式错配、前后项仍有公因数的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理分数比化简类问题时，要给前后项同时乘两个分母的最小公倍数，把分数比转化为整数比，再按整数比的方法化简；如果用前项除以后项的方法计算，最终结果必须还原成比的形式，不能直接把得到的分数当成单一数值，得到化简比结果格式错误的结果。 7、同一道求比值和化简比的运算过程中，比的基本性质应用规则、结果形式的判定标准必须完全统一，不能中途随意更改乘除的数值、混淆两类题型的结果要求，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理带不同单位的比的计算类问题时，要先把前后项的单位统一成相同单位，再进行求比值或化简比的操作，不能带着不同单位的数值直接计算，得到数值完全错误的结果。 【题型精讲4】求比值。 3.6∶            40分∶2小时 【答案】2；； 【分析】第一个用比的前项除以后项，即可求出比值； 第二个先将小时换算成分，然后用比的前项除以后项，即可求出比值。 【解答】 分小时 【易错巩固1】求比值。 250千克∶1.5吨    34时∶15分    400米∶2.5千米 【答案】；136；； 【分析】先根据吨千克，时分，千米米，大单位化小单位乘进率，统一单位后用比的前项除以比的后项得到比值。 【解答】吨千克 千克吨 时分 时分 千米米 米千米 【易错巩固2】求比值。 6∶24            0.3∶3 【答案】；；； 【分析】（）（4）因为比值是比的前项除以后项所得的商，所以用每个比的前项除以对应后项即可得到比值。 （）如果比的项包含小数、分数，那么先统一形式（将小数化分数或者分数化小数），再进行除法运算。 （）计算分数除法时，根据分数除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，将除法转化为乘法计算。 【解答】 【易错巩固3】化简下列各比并求出比值。 8∶56                                2.5∶1.5                 【答案】 【分析】化简比结果是最简整数比，求比值结果是数值。 （）根据比的基本性质：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数，得到最简整数比，再用前项除以后项得到比值。 （）根据比的基本性质：把比的前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，可以转化为整数比，再按整数比的方法化简计算。 （）先把前项和后项同时乘，转化为整数比，再按整数比的方法化简计算。 （）先统一为分数，把比的前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，转化为整数比，再按整数比的方法化简计算。 【解答】 【易错巩固4】化简比。 0.36∶3            0.9∶0.03＝ 【答案】3∶25；4∶3；7∶1；30∶1 【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比； 第一组：先给比的前项和后项同时乘100，化为整数比，再同时除以12，化为最简比； 第二组：给比的前项和后项同时乘10，化为最简比； 第三组：给比的前项和后项同时乘7，化为最简比； 第四组：先给比的前项和后项同时乘100，化为整数比，再同时除以3，化为最简比。 【解答】 【易错巩固5】化简比并求出比值。 0.54∶2.7        0.2kg∶45g             【答案】 1∶5，0.2；40∶9，；7∶6，；135∶2， 【分析】根据比的基本性质，前项和后项同时乘100，再同时除以54，将其化简为最简整数比，再用前项除以后项即可求出比值。 先统一单位，将kg换算为g（1kg＝1000g），根据比的基本性质，前项和后项同时除以5将其化简为最简整数比，再用前项除以后项即可求出比值。 根据比的基本性质，前项和后项同时乘8将其化简为最简整数比，再用前项除以后项即可求出比值。 根据比的基本性质，前项和后项同时乘15将其化简为最简整数比，再用前项除以后项即可求出比值。 【解答】0.54∶2.7 ＝（0.54×100）∶（2.7×100） ＝54∶270 ＝（54÷54）∶（270÷54） ＝1∶5 1∶5＝1÷5＝0.2 0.2kg∶45g ＝200g∶45g ＝200∶45 ＝（200÷5）∶（45÷5） ＝40∶9 40∶9＝40÷9＝ 0.875∶ ＝（0.875×8）∶（×8） ＝7∶6 7∶6＝7÷6＝ 9∶ ＝（9×15）∶（×15） ＝135∶2 135∶2＝135÷2＝ 易错题型05 比例的意义 1、同时满足「明确比例的意义判定规则、两个比的比值完全相等」规则得到的结果，才是本单元认可的比例的意义问题的合规解题结果，随意把比值不相等的两个比用等号连接、错配比例项的不符合比例定义规则的结论不能作为有效解题依据。 2、处理基础比例判定类问题时，要明确表示两个比相等的式子才叫做比例，必须先分别算出两个比的比值，确认比值完全相等才能判定它们可以组成比例，不能仅凭表面数字相似就直接判定成比例，得到判定结果完全错误的结果。 3、处理比例各部分名称识别类问题时，要明确组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项是比例的外项，中间的两项是比例的内项，不能把内外项的位置搞反，得到内外项对应关系完全错误的结果。 4、处理比和比例的概念辨析类问题时，要明确比是由两个数组成的式子，表示两个数的相除关系；比例是由两个相等的比组成的等式，有四个项，不能把比和比例混为一谈，得到概念边界完全模糊的错误结果。 5、标注比例的意义问题的最终结果时，要明确写出完整的比例等式，核对等式左右两边两个比的比值完全相等，避免出现等号两边比值不等、漏写比例项的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理生活情境类比例判定问题时，比如判断两张图片是否相像、蜂蜜水甜度是否一致，要分别算出对应两个量的比的比值，确认比值相等才能判定符合比例要求，不能仅凭肉眼目测就下结论，得到情境判定错误的结果。 7、同一道比例的意义的解题过程中，比例的定义判定标准、比值的计算规则必须完全统一，不能中途随意更改比值的判定要求、混淆比和比例的概念边界，打乱判定逻辑的严谨性。 8、处理“从多个比里挑选能组成比例的比”类筛选问题时，要先把所有给出的比的比值全部计算出来，把比值相等的比两两配对组成比例，不能随意乱配对，得到组成的比例不成立的错误结果。 9、处理正方形边长比和周长比的比例判定问题时，要明确两个正方形的边长比和周长比的比值相等，可以组成比例；但边长比和面积比的比值不相等，不能组成比例，不能错误判定边长比和面积比也能组成比例，得到特殊场景判定错误的结果。 【题型精讲5】下面的式子中，（    ）是比例。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比例是表示两个比相等的式子，必须同时满足两点：①左右两边都是比；②中间是等号。 【解答】A．6×18＝36×3，是乘法等式，不含两个比，不是比例。 B．，是用大于号连接，不是等式，不是比例。 C．∶6＝∶12，是两个比用等号连接，验证： 内项积：，外项积：， 内项积等于外项积，两个比相等，符合比例的要求，是比例。 D．，左边是加法算式，不是比，不是比例。 【易错巩固1】下面各比中，能与3∶8组成比例的是（    ）。 A．8∶3 B． C．∶2 D． 【答案】C 【分析】判断两个比能否组成比例，只需看两个比的比值是否相等，先算出的比值，再逐一计算各选项比的比值对比即可。 【解答】 A．， B．， C．， D．， 【易错巩固2】从12的因数中选出4个数，组成一个比例是（ ）。 【答案】2∶3＝4∶6 【分析】根据乘积为12的乘法算式写出12的因数，再根据比例的意义（表示两个比相等的式子），通过计算两个比的比值相等，写出符合要求的比例。 【解答】12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有：1，2，3，4，6，12。 2∶3＝2÷3＝ 4∶6＝4÷6＝ 2∶3＝4∶6（答案不唯一） 【易错巩固3】在8∶10，0.5∶0.4，这三个比中，能与组成比例的一个比是（ ）。 【答案】0.5∶0.4 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，因此只需将各比化简为最简整数比，与的最简整数比相同的比，即可与其组成比例。 【解答】＝＝5∶4 8∶10＝（8÷2）∶（10÷2）＝4∶5 0.5∶0.4＝（0.5×10）∶（0.4×10）＝5∶4 ＝＝4∶5 因为和0.5∶0.4的最简整数比均为5∶4，所以能与组成比例的一个比是0.5∶0.4。 【易错巩固4】粤绣是中国四大名绣之一，下面是两幅粤绣。先填空，再回答问题。 （1）图中两幅粤绣作品的边长的比是（    ），周长的比是（    ），两个比能组成比例吗？如果能，请写出这个比例。 （2）图中两幅粤绣作品面积的比是（ ）。这个比和边长的比（ ）组成比例（填“能”或“不能”）。 【答案】（1）5∶9；20∶36；能组成比例，5∶9＝20∶36 （2） 不能 【分析】（）已知第一个正方形的边长是厘米，第二个正方形的边长是厘米，根据比的意义分别求出边长的比、周长的比，再根据比例的意义，求出两个比的比值，如果比值相等就能组成比例，否则就不能组成比例； （）首先根据正方形的面积公式：面积等于边长乘边长，分别求出两个正方形的面积，然后求出面积的比，再求出面积比的比值与边长比的比值进行比较，如果比值相等就能组成比例，否则就不能组成比例。 【解答】（1）（厘米） （厘米） 图中两幅粤绣作品的边长的比是，周长的比是，能组成比例，。 （2）（平方厘米） （平方厘米） 图中两幅粤绣作品面积的比是。这个比和边长的比不能组成比例。 【易错巩固5】学校买了5箱白粉笔，用了160元，买了3箱红粉笔，用了96元，根据题中提供的信息写出两个不同的比例。 【答案】 ； 【分析】根据比例的意义，找到两组比值相等的比即可组成比例。“总价÷数量＝单价”若两种粉笔单价相等，则总价∶数量＝总价∶数量，总价∶总价＝数量∶数量，据此写出两个比例（答案不唯一）。 【解答】白粉笔：（元） 红粉笔：（元） 比例： / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $