第四单元 分数的应用（易错专项讲义）数学北师大版六年级上册（新教材）

该小学数学第四单元分数的应用易错专项讲义通过分题型梳理构建知识体系，将分数四则混合运算、量率对应等四大易错题型的运算规则和解题逻辑用框架图呈现，清晰展示运算顺序、单位“1”判定等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“易错点-精讲-分层巩固”的递进设计，如量率对应问题中通过“比一个数多几分之几”的实例分析培养运算能力和推理意识，练习从基础计算到综合应用覆盖不同层次，助力学生自主复习，为教师提供精准教学支持。

第四单元 分数的应用易错专项讲义  易错题型01 分数四则混合运算 易错题型02 分数连乘、连除及乘除混合运算解决问题 易错题型03 量率对应问题 易错题型04 整数乘法运算律推广到分数乘法 易错题型01 分数四则混合运算 1、同时满足“分数四则混合运算顺序与整数四则混合运算顺序完全统一、同级运算从左到右依次推进”的运算流程，才是本单元认可的标准运算顺序结论，随意跳步颠倒同级运算顺序得到的结果不能作为有效运算依据。 2、判定运算级别的属性时，要明确先算乘除后算加减是两级运算的固定优先级，不能把不同级别的运算直接划等号，混淆二者的运算先后边界。 3、判定括号的运算优先级属性时，要明确有括号时必须先算括号内部的运算，不同层级括号要按小括号→中括号→大括号的顺序逐层计算，不能跨括号直接跳算外层运算，违背运算顺序的底层逻辑。 4、反向核验分数四则混合运算结果时，从最终结果逆推每一步运算的逆运算过程，最终还原出的原始算式必须完全匹配原式的运算层级，不能出现运算顺序错位的逻辑矛盾。 5、标注简便运算的运算定律使用结果时，要准确对应乘法分配律、结合律、交换律的适用场景，避免出现定律名称错配、运算变形标注混乱的问题，导致运算步骤的逻辑指代模糊。 6、同一道分数四则混合运算题目中，运算顺序规则、运算定律的适用条件必须完全统一，不能中途随意切换运算优先级、更改分数除法的转换规则，打乱判定逻辑的严谨性。 7、判定分数和小数混合运算的属性时，要明确统一数字形式的核心原则：优先选择能让计算全程约分无复杂通分的统一方式，不能生硬强制统一化分数或化小数，增加不必要的计算复杂度。 【题型精讲1】计算下面各题，能简算的要简算。              【答案】3；；； 【分析】（1）先根据乘法分配律展开算式，再分别相乘计算； （2）先把除法转化为乘法，再利用乘法交换律调整运算顺序简便计算； （3）逆用乘法分配律，提取公因数简算； （4）逆用乘法分配律，提取公因数简算。 【解答】（1） （2） （3） （4） 【易错巩固1】计算下面各题。              【答案】42；；；36 【分析】从左往右依次计算。 甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数，转化成后，从左往右依次计算。 先算小括号里的除法，再算小括号外的乘法。 从左往右依次计算。 【解答】 【易错巩固2】脱式计算。                  【答案】；； 【分析】先算乘法，再算减法。 先算除法，再算加法。 从左往右依次计算。 【解答】 【易错巩固3】脱式计算。          【答案】2；2；4 【分析】第一题： 先算除法：再算加法： 第二题： 先算除法：再算减法： 第三题： 从左往右依次算：先转除法为乘法，再算乘法： 【解答】 【易错巩固4】计算下面各题，能简算的要简算。          【答案】24；1； 【分析】（1）利用乘法分配律，提取相同因数，简化计算。 （2）利用减法的性质，将连续减法转化为减去两个数的和，再算与结果的乘法，简化计算。 （3）将除法转化为乘法，利用乘法交换律，简化计算。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝24 （2） ＝ ＝ ＝ ＝1 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错巩固5】计算下面各题，注意使用简便算法。                           【答案】；； ； 【分析】（1）逆用乘法分配律简便计算； （2）利用乘法分配律简便计算； （3）按照四则混合运算的顺序，先计算分数乘除法，再计算分数减法； （4）按照四则混合运算的顺序，先计算小括号里面的分数加法，再计算中括号里面的分数乘法，最后计算括号外面的分数除法。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝50 （3） ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错巩固6】脱式计算，能用简便方法的可以用简便方法计算。                      【答案】；3； 【分析】①一个数除以一个分数，等于乘这个分数的倒数。再根据乘法分配律简化计算。 ②一个数除以一个分数，等于乘这个分数的倒数。再根据减法的性质简化计算。 ③先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算括号外的乘法。 【解答】 【易错巩固7】怎样简便就怎样算。                  【答案】；； 【分析】（1）运用减法的性质进行简便计算； （2）逆用乘法分配律进行简便计算； （3）运用乘法分配律进行简便计算。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1×7 ＝7 ＝ ＝15－9 ＝6 【易错巩固8】下面各题，怎样算简便就怎样算。                                                       【答案】；7 ； 【分析】（1）先把除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），再利用乘法交换律调整顺序，简化计算。 （2）直接根据乘法分配律a×（b－c）＝a×b－a×c，简便计算。 （3）先算除法，除以一个数等于乘它的倒数，再根据加法结合律a＋b＋c＝a＋（b＋c），简便计算。 （4）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝7 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错巩固9】下面各题，怎样算简便就怎样算。          【答案】2；； 【分析】（1）先根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成×7－×7－，进一步计算得到3－－，再根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）把算式写成3－（＋），再计算即可； （2）先逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式写成：×（＋），再进一步计算即可； （3）按照先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算括号外面的除法的顺序计算即可。 【解答】（－）×7－ ＝×7－×7－ ＝3－－ ＝3－（＋） ＝3－1 ＝2 ×＋× ＝×（＋） ＝×1 ＝ ÷[（＋）×] ＝÷[×] ＝÷ ＝× ＝ 易错题型02 分数连乘、连除及乘除混合运算解决问题 1、同时满足“先准确锁定题目中所有单位‘1’、每一步运算的单位‘1’前后完全统一”的推导逻辑，才是本单元认可的标准解题结论，随意中途切换单位“1”得到的结果不能作为有效解题依据。 2、判定单位“1”的属性时，要明确单位“1”是被当作参照标准的整体量，不能把比较量和作为标准的单位“1”直接划等号，混淆二者的定义边界。 3、判定分数分率的属性时，要明确分率是描述两个量之间比例关系的无量纲标准，不同的单位“1”对应专属的分率，不能跨单位“1”混用分率，违背分数应用题的底层逻辑。 4、反向核验分数连乘连除解题结果时，从最终算出的结果逆推每一步的对应分率，最终还原出的原始已知量必须完全匹配题干给出的数值，不能出现量率错位的逻辑矛盾。 5、标注解题过程中的量率对应关系时，要准确对应每一个数值和它匹配的分率，避免出现量率名称错配、单位“1”标注混乱的问题，导致分数关系的指代模糊。 6、处理分数乘除转换的判定场景时，要明确已知单位“1”用乘法、求单位“1”用除法的核心规则，不能随意在未知单位“1”的场景下用乘法计算，得到不符合分数应用题逻辑的错误结果。 7、同一道分数乘除混合解决问题的题目中，单位“1”的判定标准、量率的对应关系必须完全统一，不能中途随意切换参照标准、更改乘除运算的判定规则，打乱解题逻辑的严谨性。 8、判定连续求一个数的几分之几是多少的连乘场景时，要明确每一步的单位“1”是上一步算出的结果，不能始终把初始总量当成所有步骤的单位“1”，违背连乘问题的递进逻辑。 9、判定已知一个数的几分之几的几分之几是多少、求这个数的连除场景时，要明确每一步的单位“1”都是待求的未知量，不能直接把已知数值当成单位“1”用乘法计算，违背连除问题的逆向推导逻辑。 10、核验乘除混合运算解决问题的最终结果时，要明确结果的单位必须和题干要求的所求量单位完全匹配，不能漏写单位、错写单位，也不能把分率和带单位的具体量混淆，违背分数应用题的结果规范要求。 【题型精讲2】小诺查到某城市去年夏至这天的日照时长为小时，秋分这天的日照时长是夏至的，冬至这天的日照时长是秋分的，冬至这天的日照时长是多少小时？ 【答案】小时 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法计算，先根据夏至日照时长算出秋分的日照时长，再根据秋分的日照时长算出冬至的日照时长。 【解答】 （小时） 答：冬至这天的日照时长是小时。 【易错巩固1】蛇的冬眠时间约是180天，青蛙的冬眠时间约是蛇的，熊的冬眠时间约是青蛙的。熊的冬眠时间大约是多少天？（先画图表示蛇、青蛙、熊冬眠时间的关系，再列式计算） 【答案】图见详解；120天 【分析】把蛇的冬眠时间看作单位“1”（画一条线段代表蛇的冬眠时间，标注上180天），青蛙的冬眠时间是蛇的（把代表蛇冬眠时间的线段平均分成6份，另画一条这样5份长的线段代表青蛙的冬眠时间），根据分数乘法的意义，用180天乘即可算出青蛙的冬眠时间；再把青蛙的冬眠时间看作单位“1”，熊的冬眠时间是青蛙的（把代表青蛙冬眠时间的线段平均分成5份，另画一条这样4份长的线段代表熊的冬眠时间，并用“？天”表示问题），则用青蛙的冬眠时间乘即可得到熊的冬眠时间。 【解答】作图如下： 180×× ＝150× ＝120（天） 答：熊的冬眠时间大约是120天。 【易错巩固2】学校与园林所联合开展植树活动，一共种了120棵松树，种的柳树是松树的，种的柏树是柳树的，这次活动种了多少棵柏树？ 【答案】96棵 【分析】求一个数的几分之几是多少，单位“1”已知，用乘法，一个数乘几分之几。先求柳树的棵数，再求柏树的棵数。 【解答】120× ＝80 ＝96（棵） 答：这次活动种了96棵柏树。 【易错巩固3】我国快递行业发展迅速，物流自动化已是大势所趋。“双十一”活动结束后，某快递公司的3台智能分拣机器人小时共分拣货物万件，平均每台智能分拣机器人每小时分拣货物多少万件？ 【答案】万件 【分析】求单台单位时间的工作量，用总分拣量依次除以分拣时间和机器人台数，即可求解。 【解答】 （万件） 【易错巩固4】天安门前的检阅区设在东西两个华表之间，长为96米，受阅官兵每步行进米，每分走112步，走完检阅区需要多少分钟？（用分数表示） 【答案】分钟 【分析】根据求96米里有几个米，用除法计算，可得走完检阅区需要的步数，又知每分走112步，再求总步数里有几个112步，还用除法计算，结果保留分数形式。 【解答】 （分钟） 答：走完检阅区需要分钟。 【易错巩固5】为迎接双十一，奥德乐联合商家搞促销活动。有的商家参加了促销活动，其中服装类有48家，占参与促销活动商家的，奥德乐一共有多少商家？ 【答案】210家 【分析】把参与促销活动的商家数量看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，用48除以，即可求出参与促销活动的商家数量。再把奥德乐商家的总数量看作单位“1”，同样根据分数除法的意义，用参与促销活动的商家数量除以，即可求出奥德乐一共有多少商家。 【解答】 ＝ ＝ ＝210（家） 答：奥德乐一共有210家商家。 【易错巩固6】妈妈一共买了三种新年糖果，其中奶糖45颗。酥糖的颗数是奶糖的，是水果糖的，妈妈买了多少颗水果糖？ 【答案】24颗 【分析】把奶糖的颗数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用奶糖的颗数乘求出酥糖的颗数，再把水果糖的颗数看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，用酥糖的颗数除以即可求出水果糖的颗数。 【解答】45×÷ ＝18× ＝24（颗） 答：妈妈买了24颗水果糖。 【易错巩固7】据研究，儿童负重最好不要超过自身体重的，否则不利于身体发育。小明妹妹的体重是35千克，妹妹的体重是哥哥的，小明的书包重6千克。小明的书包超重了吗？ 【答案】没有超重 【分析】已知妹妹体重35千克且是小明体重的，根据“已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法”，可得小明体重为千克；再依据儿童负重不超过自身体重的标准，按“求一个数的几分之几是多少用乘法”，算出小明最大负重为千克，最后比较书包重量与最大负重的大小。 【解答】 （千克） 6千克＜6.3千克，因此没有超重。 答：小明的书包没有超重。 【易错巩固8】加工车间的师傅们在装巧克力，一共有6000千克，已经装完了总量的。如果每盒装千克，那么他们已经装完了多少盒巧克力？ 【答案】1600盒 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。将巧克力的总量看作单位“1”，先用巧克力总重量乘求出已经装完的重量，再用已经装完的重量除以每盒的重量，即可求已经装完的盒数。 【解答】 ＝ ＝ ＝1600（盒） 答：他们已经装完了1600盒巧克力。 【易错巩固9】在解决“工厂要加工1500个零件，5天加工了这批零件的，离交货日期还有7天，照这样计算，工厂能按时完成任务吗”这个问题时，王东认为工厂能按时完成任务，李明认为工厂不能按时完成任务。你觉得谁的想法正确？请写出你的思考过程。 【答案】李明的想法正确 【分析】由题意可知，把要加工的这批零件个数看作单位“1”，5天加工了，可用乘法先算出这批零件的是多少，然后去除以5算出每天加工多少个零件，再用每天加工的数量去乘，得出在这两个时间内可以加工多少个零件，得数大于或等于1500，则能按时完成任务，得数小于1500，则不能按时完成任务。据此解答。 【解答】 （个） （个） 答：不能地完成任务，李明的想法正确。 易错题型03 量率对应问题 1、同时满足“先锁定题目中的单位‘1’、分率与对应数量完全匹配”的推导结果，才是本单元认可的标准解题结论，随意把分率套用到不匹配的数量上得到的结果不能作为有效解题依据。 2、判定“比一个数多/少几分之几”的分率属性时，要明确这里的分率是两个量的差值和单位“1”的比值，不能把差值分率直接当成最终量对应的分率，混淆分率的指代边界。 3、判定“已知总量求另一部分量”的分率属性时，要明确部分量对应的分率是该部分占单位“1”（总量）的比例，不同部分对应专属的分率，不能跨部分混用分率，违背分数应用题的底层逻辑。 4、反向核验两类题型的解题结果时，从最终算出的结果逆推对应的分率，最终还原出的已知量必须完全匹配题干给出的数值，不能出现量率错位的逻辑矛盾。 5、标注解题过程中的量率对应关系时，要准确对应每一个分率指代的是“多/少的部分”还是“最终的总量/部分量”，避免出现分率指代错配、单位“1”标注混乱的问题，导致数量关系指代模糊。 6、处理“求比一个数多/少几分之几的数”的计算场景时，要明确核心公式：若单位“1”已知，最终量 = 单位“1”的量 × (1 ± 多/少的分率)，不能直接用单位“1”的量乘多/少的分率就当作最终结果，得到不符合题意的错误结果。 7、同一道相关题目中，单位“1”的判定标准、分率的指代关系必须完全统一，不能中途随意切换单位“1”、更改分率对应的数量，打乱解题逻辑的严谨性。 8、判定“已知总量及一部分分率求另一部分量”的计算场景时，要明确另一部分量对应的分率是1−1−已知部分占总量的分率，不能直接用总量乘已知部分的分率当作另一部分的结果，违背部分和总量的逻辑关系。 9、判定连续多/少几分之几的叠加场景时，要明确每一步的单位“1”是上一步算出的结果，不能始终把初始的原数当成所有步骤的单位“1”，违背连续增减问题的递进逻辑。 10、核验两类题型的最终结果时，要明确结果的单位必须和题干所求量的单位完全匹配，不能把分率结果当成带单位的具体量，也不能出现结果和实际逻辑矛盾（如减少后的量比原数还大、部分量比总量还大）的问题，违背分数应用题的结果规范要求。 【题型精讲3】振兴乡村需要大力扶持农业发展。光明村养殖场里有黄牛125头，奶牛比黄牛多，奶牛有多少头？ 【答案】175头 【分析】把黄牛的数量看作单位“1”，奶牛比黄牛多，则奶牛数量是黄牛的（1＋），用黄牛数量乘对应分率即可求出奶牛数量。 【解答】125×（1＋） ＝125× ＝175（头） 答：奶牛有175头。 【易错巩固1】一种衬衫原价一件240元，比一条裤子贵40元。换季降价销售，都比原价格降低了。现在买一件衬衫和一条裤子共需多少元？ 【答案】275元 【分析】先用衬衫价格减去40元计算出裤子原价，求比一个数少几分之几的数是多少，用乘法，分别计算出衬衫和裤子现在的价格，再用加法得到现价总和。 【解答】 （元） 答：现在买一件衬衫和一条裤子共需275元。 【易错巩固2】狗不理包子是一道以猪肉、面粉等为食材蒸制而成的小吃。一家狗不理包子店，昨天售出包子720个，今天比昨天多售出，今天售出包子多少个？ 【答案】个 【分析】以昨天的售出量为单位“1”，今天比昨天多售出，因此今天的售出量对应分率为，用单位“1”的量乘对应分率即可求解。 【解答】 （个） 答：今天售出包子个。 【易错巩固3】一所新建的希望小学为学校图书馆购书，第一次购书2400册。第二次购书比第一次购书增加了。第二次购书多少册？ 【答案】3000册 【分析】把第一次购书的册数看作单位“1”，第二次比第一次增加了，第二次购书的册数是第一次的（），根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用第一次购书的册数乘对应的分率，即可求出第二次购书的册数。 【解答】 （册） 答：第二次购书3000册。 【易错巩固4】为切实增强社区居民防范电诈的意识和识别能力，某社区不定期举办防范电诈宣讲活动，今年第一季度比去年同期电诈案件减少了，去年同期有600起电诈案件，今年第一季度有多少起电诈案件？ 【答案】起 【分析】把去年同期电诈案件数看作单位“1”，今年第一季度案件数是去年的，单位“1”的量已知，用乘法计算今年的案件数。 【解答】 （起） 答：今年第一季度有480起电诈案件。 【易错巩固5】《红楼梦》是我国历史上思想性和艺术性结合非常完美的一部小说，共有120回。前面一部分是曹雪芹所著，占全书的，后面一部分是后人所著，后面一部分有多少回？ 【答案】40回 【分析】把全书总回数看作单位“1”，已知前面一部分占全书的，则后面一部分占全书的（1－）。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【解答】120×（1－） ＝120× ＝40（回） 答：后面一部分有40回。 【易错巩固6】阅读不仅可以增加小学生的知识储备，还能拓宽他们的视野。在个人成长和心理健康方面带来深远的影响。近期学校开展了一系列的读书活动。小兰读了一本200页的故事书，第一天看了。第二天看了余下的。还剩多少页未读？ 【答案】120页 【分析】两个分数对应的单位“1”不同，先以总页数为单位“1”，那么第一天余下整本书的，用总页数乘算出第一天余下的页数，再以第一天余下的页数为单位“1”，那么最终剩余第一天余下的，用第一天余下的页数乘即可。 【解答】 （页） （页） 答：还剩120页未读。 【易错巩固7】学校图书室有45名同学在看书，其中女生占，后来又来了几名女生，这时女生占看书人数的，后来又来了多少名女生？ 【答案】7人 【分析】解题时抓住男生人数不变的特点，先求出男生人数，再根据后来男生占总人数的分率用男生人数除以男生人数占比求出后来的总人数，最后用后来总人数减去原来总人数，就能得到新来女生的人数。 【解答】45×（1－）÷（1－）－45 ＝45×÷－45 ＝20×－45 ＝52－45 ＝7（人） 答：后来又来了7名女生。 【易错巩固8】某区教师积极应用AI技术提高备课质量。调查表明，经常用豆包、DeepSeek等AI辅助备课的教师达到。全区教师约9000人，大约有多少人不经常使用AI辅助备课？ 【答案】2250人 【分析】根据题意，把全区教师的人数看作单位“1”，经常使用AI辅助备课达到。那么不经常使用AI辅助备课达到（1－）。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法。用9000乘（1－）即可。 【解答】9000×（1－） ＝9000× ＝2250（人） 答：大约有2250人不经常使用AI辅助备课。 【易错巩固9】甲、乙、丙三人共加工了480个零件，已知甲加工的个数是其他两个人加工总数的，乙加工的个数是其他两人加工总数的，丙加工了多少个零件？ 【答案】150个 【分析】首先，将“乙、丙两人的加工总数”看作单位“1”，因为甲加工的个数是其他两个人加工总数的，所以三人加工总数的分率为1＋，甲加工的个数占三人加工总数的；然后，将“甲、丙两人的加工总数” 看作单位“1”，因为乙加工的个数是其他两人加工总数的，所以三人加工总数的分率为1＋，乙加工的个数占三人加工总数的。最后，将“三人加工总数”看作单位“1”，求出丙占总数的分率后，用三人加工的总数乘丙的分率即可求解。 【解答】甲加工的个数占总数的分率： 乙加工的个数占总数的分率： 丙加工的个数占总数的分率： 丙加工的个数：（个） 答：丙加工了150个零件。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，解题的关键在于理解分率与单位“1”之间的关系，通过明确不同的单位“1”，分别求出甲、乙、丙的分率。 易错题型04 整数乘法运算律推广到分数乘法 1、同时满足“运算律的适用形式完全匹配整数乘法对应定律、分数参与运算后结果与原式按常规顺序计算结果完全一致”的变形结论，才是本单元认可的标准简便运算结论，随意套用不匹配的运算律得到的结果不能作为有效运算依据。 2、判定乘法交换律的属性时，要明确交换律仅改变因数的前后排列顺序，不改变任意一个因数本身的数值，不能随意拆分或篡改交换位置的分数因数，混淆交换律的定义边界。 3、判定乘法结合律的属性时，要明确结合律仅通过添加括号改变运算的先后顺序，所有参与运算的因数完全保留，不能随意新增或删减原式中的分数因数，违背结合律的底层逻辑。 4、反向核验运算律的变形结果时，把通过运算律调整后的算式按常规从左到右顺序计算，最终得到的结果必须和原式直接计算的结果完全相等，不能出现运算结果前后矛盾的逻辑错误。 5、标注运算律的使用过程时，要准确对应每一步变形所使用的运算律名称，避免出现交换律、结合律、分配律名称错配、变形步骤标注混乱的问题，导致运算逻辑指代模糊。 6、处理乘法分配律的判定场景时，要明确两个数的和与一个数相乘，可以让它们分别与这个数相乘再相加，不能只把括号内的第一个数和外部因数相乘、漏乘括号内的其余项，得到不符合分配律规则的错误结果。 6、同一道分数乘法简便运算的题目中，运算律的适用前提、分数的运算属性必须完全统一，不能中途随意切换运算规则、篡改分数的原始数值，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲4】下列选项中，当（    ）时，运用乘法分配律计算最简便。 A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】用乘法分配律把算式拆成，如果是2和3的公倍数，两次乘法都能得到整数，计算最简便。 【解答】A．，，结果是分数，计算麻烦； B．，，结果是分数，计算麻烦； C．，，，，全部是整数计算，最简便； D．，，结果是分数，计算麻烦。 【易错巩固1】要使算式能简便计算，□里可以填（    ）。 A．7 B． C．14 D．18 【答案】D 【分析】要使算式能简便计算，观察算式，是用乘法分配律进行简便运算，逐项分析选项即可。 【解答】A．□里填7，式子变为，无法简便运算； B．□里填，式子变为，无法简便运算； C．□里填14，式子变为，无法简便运算； D．□里填18，式子变为，运用乘法分配律变为 ，可以简便运算。 故答案为：D 【易错巩固2】小丽在计算时，错算成，所得的结果比正确的结果（    ）。 A．多14 B．少14 C．多16 D．少16 【答案】C 【分析】根据乘法分配律，将变成，再与比较计算，即可解答。 【解答】 ＝ ＝30－14 ＝16 所得的结果比正确的结果多16。 故答案为：C 【易错巩固3】乐乐在计算时，误算成，结果与原来相差（ ）。 【答案】11a 【分析】先利用乘法分配律展开正确算式，再和错误算式作差，求出两个结果的差值。 【解答】正确算式：（a＋）×12 ＝a×12＋×12 ＝12a＋8 错误算式：a＋×12＝a＋8 两式相减：（12a＋8）－（a＋8） ＝12a＋8－a－8 ＝11a 【易错巩固4】小马虎在计算时，算成了，正确结果与小马虎的结果之间相差（ ）。 【答案】 【分析】将括号利用乘法分配律打开，将式子变为，用减去，计算结果即可。 【解答】－ ＝－ ＝－ ＝ ＝ ＝ 所以正确结果与小马虎的结果之间相差。 【易错巩固5】笑笑在参加读书节活动时要看一本240页的书，她第一天看了这本书的，第二天看了这本书的，两天一共看了多少页？ 【答案】108页 【分析】先求出两天看的页数占全书总页数的分率之和，再用总页数乘这个分率和，就能得到两天一共看的页数。 【解答】 ＝240× （页） 答：两天一共看了108页。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 分数的应用易错专项讲义  易错题型01 分数四则混合运算 易错题型02 分数连乘、连除及乘除混合运算解决问题 易错题型03 量率对应问题 易错题型04 整数乘法运算律推广到分数乘法 易错题型01 分数四则混合运算 1、同时满足“分数四则混合运算顺序与整数四则混合运算顺序完全统一、同级运算从左到右依次推进”的运算流程，才是本单元认可的标准运算顺序结论，随意跳步颠倒同级运算顺序得到的结果不能作为有效运算依据。 2、判定运算级别的属性时，要明确先算乘除后算加减是两级运算的固定优先级，不能把不同级别的运算直接划等号，混淆二者的运算先后边界。 3、判定括号的运算优先级属性时，要明确有括号时必须先算括号内部的运算，不同层级括号要按小括号→中括号→大括号的顺序逐层计算，不能跨括号直接跳算外层运算，违背运算顺序的底层逻辑。 4、反向核验分数四则混合运算结果时，从最终结果逆推每一步运算的逆运算过程，最终还原出的原始算式必须完全匹配原式的运算层级，不能出现运算顺序错位的逻辑矛盾。 5、标注简便运算的运算定律使用结果时，要准确对应乘法分配律、结合律、交换律的适用场景，避免出现定律名称错配、运算变形标注混乱的问题，导致运算步骤的逻辑指代模糊。 6、同一道分数四则混合运算题目中，运算顺序规则、运算定律的适用条件必须完全统一，不能中途随意切换运算优先级、更改分数除法的转换规则，打乱判定逻辑的严谨性。 7、判定分数和小数混合运算的属性时，要明确统一数字形式的核心原则：优先选择能让计算全程约分无复杂通分的统一方式，不能生硬强制统一化分数或化小数，增加不必要的计算复杂度。 【题型精讲1】计算下面各题，能简算的要简算。              【易错巩固1】计算下面各题。              【易错巩固2】脱式计算。                  【易错巩固3】脱式计算。          【易错巩固4】计算下面各题，能简算的要简算。          【易错巩固5】计算下面各题，注意使用简便算法。                           【易错巩固6】脱式计算，能用简便方法的可以用简便方法计算。                      【易错巩固7】怎样简便就怎样算。                  【易错巩固8】下面各题，怎样算简便就怎样算。                                                       【易错巩固9】下面各题，怎样算简便就怎样算。          易错题型02 分数连乘、连除及乘除混合运算解决问题 1、同时满足“先准确锁定题目中所有单位‘1’、每一步运算的单位‘1’前后完全统一”的推导逻辑，才是本单元认可的标准解题结论，随意中途切换单位“1”得到的结果不能作为有效解题依据。 2、判定单位“1”的属性时，要明确单位“1”是被当作参照标准的整体量，不能把比较量和作为标准的单位“1”直接划等号，混淆二者的定义边界。 3、判定分数分率的属性时，要明确分率是描述两个量之间比例关系的无量纲标准，不同的单位“1”对应专属的分率，不能跨单位“1”混用分率，违背分数应用题的底层逻辑。 4、反向核验分数连乘连除解题结果时，从最终算出的结果逆推每一步的对应分率，最终还原出的原始已知量必须完全匹配题干给出的数值，不能出现量率错位的逻辑矛盾。 5、标注解题过程中的量率对应关系时，要准确对应每一个数值和它匹配的分率，避免出现量率名称错配、单位“1”标注混乱的问题，导致分数关系的指代模糊。 6、处理分数乘除转换的判定场景时，要明确已知单位“1”用乘法、求单位“1”用除法的核心规则，不能随意在未知单位“1”的场景下用乘法计算，得到不符合分数应用题逻辑的错误结果。 7、同一道分数乘除混合解决问题的题目中，单位“1”的判定标准、量率的对应关系必须完全统一，不能中途随意切换参照标准、更改乘除运算的判定规则，打乱解题逻辑的严谨性。 8、判定连续求一个数的几分之几是多少的连乘场景时，要明确每一步的单位“1”是上一步算出的结果，不能始终把初始总量当成所有步骤的单位“1”，违背连乘问题的递进逻辑。 9、判定已知一个数的几分之几的几分之几是多少、求这个数的连除场景时，要明确每一步的单位“1”都是待求的未知量，不能直接把已知数值当成单位“1”用乘法计算，违背连除问题的逆向推导逻辑。 10、核验乘除混合运算解决问题的最终结果时，要明确结果的单位必须和题干要求的所求量单位完全匹配，不能漏写单位、错写单位，也不能把分率和带单位的具体量混淆，违背分数应用题的结果规范要求。 【题型精讲2】小诺查到某城市去年夏至这天的日照时长为小时，秋分这天的日照时长是夏至的，冬至这天的日照时长是秋分的，冬至这天的日照时长是多少小时？ 【易错巩固1】蛇的冬眠时间约是180天，青蛙的冬眠时间约是蛇的，熊的冬眠时间约是青蛙的。熊的冬眠时间大约是多少天？（先画图表示蛇、青蛙、熊冬眠时间的关系，再列式计算） 【易错巩固2】学校与园林所联合开展植树活动，一共种了120棵松树，种的柳树是松树的，种的柏树是柳树的，这次活动种了多少棵柏树？ 【易错巩固3】我国快递行业发展迅速，物流自动化已是大势所趋。“双十一”活动结束后，某快递公司的3台智能分拣机器人小时共分拣货物万件，平均每台智能分拣机器人每小时分拣货物多少万件？ 【易错巩固4】天安门前的检阅区设在东西两个华表之间，长为96米，受阅官兵每步行进米，每分走112步，走完检阅区需要多少分钟？（用分数表示） 【易错巩固5】为迎接双十一，奥德乐联合商家搞促销活动。有的商家参加了促销活动，其中服装类有48家，占参与促销活动商家的，奥德乐一共有多少商家？ 【易错巩固6】妈妈一共买了三种新年糖果，其中奶糖45颗。酥糖的颗数是奶糖的，是水果糖的，妈妈买了多少颗水果糖？ 【易错巩固7】据研究，儿童负重最好不要超过自身体重的，否则不利于身体发育。小明妹妹的体重是35千克，妹妹的体重是哥哥的，小明的书包重6千克。小明的书包超重了吗？ 【易错巩固8】加工车间的师傅们在装巧克力，一共有6000千克，已经装完了总量的。如果每盒装千克，那么他们已经装完了多少盒巧克力？ 【易错巩固9】在解决“工厂要加工1500个零件，5天加工了这批零件的，离交货日期还有7天，照这样计算，工厂能按时完成任务吗”这个问题时，王东认为工厂能按时完成任务，李明认为工厂不能按时完成任务。你觉得谁的想法正确？请写出你的思考过程。 易错题型03 量率对应问题 1、同时满足“先锁定题目中的单位‘1’、分率与对应数量完全匹配”的推导结果，才是本单元认可的标准解题结论，随意把分率套用到不匹配的数量上得到的结果不能作为有效解题依据。 2、判定“比一个数多/少几分之几”的分率属性时，要明确这里的分率是两个量的差值和单位“1”的比值，不能把差值分率直接当成最终量对应的分率，混淆分率的指代边界。 3、判定“已知总量求另一部分量”的分率属性时，要明确部分量对应的分率是该部分占单位“1”（总量）的比例，不同部分对应专属的分率，不能跨部分混用分率，违背分数应用题的底层逻辑。 4、反向核验两类题型的解题结果时，从最终算出的结果逆推对应的分率，最终还原出的已知量必须完全匹配题干给出的数值，不能出现量率错位的逻辑矛盾。 5、标注解题过程中的量率对应关系时，要准确对应每一个分率指代的是“多/少的部分”还是“最终的总量/部分量”，避免出现分率指代错配、单位“1”标注混乱的问题，导致数量关系指代模糊。 6、处理“求比一个数多/少几分之几的数”的计算场景时，要明确核心公式：若单位“1”已知，最终量 = 单位“1”的量 × (1 ± 多/少的分率)，不能直接用单位“1”的量乘多/少的分率就当作最终结果，得到不符合题意的错误结果。 7、同一道相关题目中，单位“1”的判定标准、分率的指代关系必须完全统一，不能中途随意切换单位“1”、更改分率对应的数量，打乱解题逻辑的严谨性。 8、判定“已知总量及一部分分率求另一部分量”的计算场景时，要明确另一部分量对应的分率是1−1−已知部分占总量的分率，不能直接用总量乘已知部分的分率当作另一部分的结果，违背部分和总量的逻辑关系。 9、判定连续多/少几分之几的叠加场景时，要明确每一步的单位“1”是上一步算出的结果，不能始终把初始的原数当成所有步骤的单位“1”，违背连续增减问题的递进逻辑。 10、核验两类题型的最终结果时，要明确结果的单位必须和题干所求量的单位完全匹配，不能把分率结果当成带单位的具体量，也不能出现结果和实际逻辑矛盾（如减少后的量比原数还大、部分量比总量还大）的问题，违背分数应用题的结果规范要求。 【题型精讲3】振兴乡村需要大力扶持农业发展。光明村养殖场里有黄牛125头，奶牛比黄牛多，奶牛有多少头？ 【易错巩固1】一种衬衫原价一件240元，比一条裤子贵40元。换季降价销售，都比原价格降低了。现在买一件衬衫和一条裤子共需多少元？ 【易错巩固2】狗不理包子是一道以猪肉、面粉等为食材蒸制而成的小吃。一家狗不理包子店，昨天售出包子720个，今天比昨天多售出，今天售出包子多少个？ 【易错巩固3】一所新建的希望小学为学校图书馆购书，第一次购书2400册。第二次购书比第一次购书增加了。第二次购书多少册？ 【易错巩固4】为切实增强社区居民防范电诈的意识和识别能力，某社区不定期举办防范电诈宣讲活动，今年第一季度比去年同期电诈案件减少了，去年同期有600起电诈案件，今年第一季度有多少起电诈案件？ 【易错巩固5】《红楼梦》是我国历史上思想性和艺术性结合非常完美的一部小说，共有120回。前面一部分是曹雪芹所著，占全书的，后面一部分是后人所著，后面一部分有多少回？ 【易错巩固6】阅读不仅可以增加小学生的知识储备，还能拓宽他们的视野。在个人成长和心理健康方面带来深远的影响。近期学校开展了一系列的读书活动。小兰读了一本200页的故事书，第一天看了。第二天看了余下的。还剩多少页未读？ 【易错巩固7】学校图书室有45名同学在看书，其中女生占，后来又来了几名女生，这时女生占看书人数的，后来又来了多少名女生？ 【易错巩固8】某区教师积极应用AI技术提高备课质量。调查表明，经常用豆包、DeepSeek等AI辅助备课的教师达到。全区教师约9000人，大约有多少人不经常使用AI辅助备课？ 【易错巩固9】甲、乙、丙三人共加工了480个零件，已知甲加工的个数是其他两个人加工总数的，乙加工的个数是其他两人加工总数的，丙加工了多少个零件？ 易错题型04 整数乘法运算律推广到分数乘法 1、同时满足“运算律的适用形式完全匹配整数乘法对应定律、分数参与运算后结果与原式按常规顺序计算结果完全一致”的变形结论，才是本单元认可的标准简便运算结论，随意套用不匹配的运算律得到的结果不能作为有效运算依据。 2、判定乘法交换律的属性时，要明确交换律仅改变因数的前后排列顺序，不改变任意一个因数本身的数值，不能随意拆分或篡改交换位置的分数因数，混淆交换律的定义边界。 3、判定乘法结合律的属性时，要明确结合律仅通过添加括号改变运算的先后顺序，所有参与运算的因数完全保留，不能随意新增或删减原式中的分数因数，违背结合律的底层逻辑。 4、反向核验运算律的变形结果时，把通过运算律调整后的算式按常规从左到右顺序计算，最终得到的结果必须和原式直接计算的结果完全相等，不能出现运算结果前后矛盾的逻辑错误。 5、标注运算律的使用过程时，要准确对应每一步变形所使用的运算律名称，避免出现交换律、结合律、分配律名称错配、变形步骤标注混乱的问题，导致运算逻辑指代模糊。 6、处理乘法分配律的判定场景时，要明确两个数的和与一个数相乘，可以让它们分别与这个数相乘再相加，不能只把括号内的第一个数和外部因数相乘、漏乘括号内的其余项，得到不符合分配律规则的错误结果。 6、同一道分数乘法简便运算的题目中，运算律的适用前提、分数的运算属性必须完全统一，不能中途随意切换运算规则、篡改分数的原始数值，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲4】下列选项中，当（    ）时，运用乘法分配律计算最简便。 A．2 B．3 C．6 D．9 【易错巩固1】要使算式能简便计算，□里可以填（    ）。 A．7 B． C．14 D．18 【易错巩固2】小丽在计算时，错算成，所得的结果比正确的结果（    ）。 A． 多14 B．少14 C．多16 D．少16 【易错巩固3】乐乐在计算时，误算成，结果与原来相差（ ）。 【易错巩固4】小马虎在计算时，算成了，正确结果与小马虎的结果之间相差（ ）。 【易错巩固5】笑笑在参加读书节活动时要看一本240页的书，她第一天看了这本书的，第二天看了这本书的，两天一共看了多少页？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $