第五单元 认识图形（易错专项讲义）数学北师大版三年级上册（新教材）

第五单元 认识图形易错专项讲义  易错题型01 直角、锐角、钝角的认识 易错题型02 角的比较大小 易错题型03 长方形和正方形的概念及特点 易错题型04 画指定长宽（边长）的长方形（正方形） 易错题型05 数图形（长方形或正方形） 易错题型01 直角、锐角、钝角的认识 1、同时满足「明确三类角的度数边界、和直角的大小对比关系完全准确」规则得到的结果，才是本单元认可的直角、锐角、钝角的认识问题的合规解题结果，随意错判角的类型、混淆度数边界的不符合角的分类规则的判定不能作为有效解题依据。 2、处理直角基础认知类问题时，要明确直角的大小是固定的90度，所有直角的大小完全相等，不能错误认为大图形里的直角比小图形里的直角更大，得到直角大小认知完全错误的结果。 3、处理锐角基础认知类问题时，要明确锐角是比直角小的角，度数范围在0度到90度之间，不能把等于90度的角判定为锐角，得到锐角的边界判定完全错误的结果。 4、处理钝角基础认知类问题时，要明确钝角是比直角大、同时比平角小的角，度数范围在90度到180度之间，不能把大于180度的角错判为钝角，得到钝角的边界判定完全错误的结果。 5、标注直角、锐角、钝角的认识问题的最终结果时，要明确标注判定的角的类型，核对和直角的大小对比关系完全匹配，避免出现类型标错、大小关系颠倒的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理三角尺上的角的识别类问题时，要明确每把三角尺都有1个直角和2个锐角，没有钝角，不能在三角尺上找出钝角，得到三角尺角的组成认知完全错误的结果。 7、同一道角的识别运算过程中，三类角的度数判定标准、和直角的大小对比规则必须完全统一，不能中途随意更改直角的大小定义、混淆锐角和钝角的边界，打乱认知逻辑的严谨性。 8、处理生活场景中的角的识别类问题时，比如课本的角、钟表指针形成的角，要先和直角做大小对比再判定类型，不能仅凭视觉直觉乱判，得到角的类型判定完全错误的结果。 【题型精讲1】妈妈解锁手机的图案密码中有3个锐角和2个直角，妈妈的解锁密码可能是图案（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】角是由1个顶点引出两条直直的线组成的图形，在三角板上，最大的角就是直角，比直角大的角是钝角，比直角小的角是锐角；用三角板上的直角比一比就可以找到几个直角、几个锐角和几个钝角；逐项分析各个选项中各种角的数量，即可解答。 【解答】A．解锁图案中有2个锐角，0个直角，不符合题意； B．解锁图案中有3个锐角，2个直角，符合题意； C．解锁图案中有1个锐角，3个直角，1个钝角，不符合题意。 【易错巩固1】欣欣给妈妈留了三块披萨（如图），妈妈回家后吃掉了其中一块，披萨形成的角只剩下1个钝角、1个直角和4个锐角，妈妈吃掉的是最有可能哪一块披萨？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 【答案】C 【分析】三角尺中最大的那个角是直角，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角。用直角三角尺的直角和图中的角度对比，数一数，对比选项分析解答。据此解答。 【解答】A．甲，吃掉甲后，形成的角是3个锐角，不符合题意； B．乙，吃掉乙后，形成的角是2个钝角，1个直角，3个锐角，不符合题意； C．丙，吃掉丙后，形成的角是1个钝角，1个直角，4个锐角，符合题意； 故答案为：C 【易错巩固2】用一副三角尺拼了一个钝角，一个角是直角，另一个角一定是（    ）。 A．直角 B．锐角 C．钝角 【答案】B 【分析】根据比直角大的角是钝角，比直角小的角是锐角，直角和锐角拼在一起一定大于直角，用一副三角尺拼了一个钝角，一个角是直角，另一个角一定是锐角。以此选择即可。 【解答】根据分析可知： 用一副三角尺拼了一个钝角，一个角是直角，另一个角一定是锐角。 故答案为：B 【易错巩固3】观察钟面（如图），分针与时针形成的夹角是（ ）角，秒针与时针形成的夹角是（ ）角，分针与秒针形成的夹角是（ ）角。 【答案】直 钝 锐 【分析】这个钟面上，时针指向数字9，分针指向数字12，秒针指向数字2。钟面上相邻两个数字之间是1个大格，整圈一共12个大格。 利用三角板上的标准直角来对比判断，和三角板直角大小完全相等的角是直角，比直角大的角是钝角，比直角小的角是锐角；依次判断分针与时针的夹角，秒针与时针的夹角，分针与秒针的夹角。 【解答】分针在12、时针在9，两根指针之间刚好隔了3个大格，这个角的大小和三角板的直角完全相等，所以是直角。 判断秒针在2、时针在9，两根指针之间隔了5个大格，这个角的大小比三角板的直角要大，所以是钝角。 判断分针在12、秒针在2，两根指针之间只隔了2个大格，这个角的大小比三角板的直角要小，所以是锐角。 【易错巩固4】王红星期天的时间是这样安排的：早上7：30起床洗漱，8：00吃早餐，9：00阅读。这三个时刻钟面上的时针与分针所形成的夹角依次是（ ）角、（ ）角和（ ）角。 【答案】锐 钝 直 【分析】钟面的特点：钟面一圈是360°，平均分成12个大格，每个大格的夹角是30°。通过观察三个时刻时针和分针的位置，数出它们之间间隔的大格数量，与3个大格进行比较即可判断角的类型。 【解答】7：30的时候，时针在7和8中间，分针指向6，两者之间只隔1个半大格，夹角是30°＋15°＝45°，小于90°，是锐角。 8：00的时候，时针指向8，分针指向12，两者之间隔4个大格，夹角是4×30°＝120°，大于90°小于180°，是钝角。 9：00的时候，时针指向9，分针指向12，两者之间隔3个大格，夹角是3×30°＝90°，是直角。 这三个时刻钟面上的时针与分针所形成的夹角依次是锐角、钝角和直角。 【易错巩固5】钟面上9时整，时针和分针所成的较小角是（ ）角，9时30分时针和分针所成的较小角是（ ）角。 【答案】直 钝 【分析】根据钟表的认识，当分针指向12时，时针指向几就是几时整；时针刚过几就是几时，分针指向第多少个小格就是多少分，据此得出相应的时间钟面上时针和分针的位置。用三角尺上的直角比较即可，比直角小的角叫做锐角，比直角大的角叫做钝角。 【解答】钟面上9时整，时针和分针所成的较小角是直角；9时30分，时针和分针所成的较小角是钝角。 易错题型02 角的比较大小 1、同时满足「明确角的大小判定核心规则、比较方法完全符合操作规范」规则得到的结果，才是本单元认可的角的比较大小问题的合规解题结果，仅凭边的长短乱判、操作不规范的不符合角的大小本质的判定不能作为有效解题依据。 2、处理活动角比较大小类问题时，要明确角的大小只和两条边的张口大小有关，张口越大角就越大，不能错误认为边越长角就越大，得到角的大小认知完全错误的结果。 3、处理观察法比较角的大小类问题时，要在两个角的大小差异非常明显的场景下使用，直接通过视觉直观判断张口大小，不能在角的大小接近时硬用观察法，得到判定结果出错的结果。 4、处理重叠法比较角的大小类问题时，要把两个角的顶点完全重合、其中一条边完全对齐，再看另一条边的位置判定大小，不能随意摆放两个角就直接对比，得到重叠比较操作不规范的错误结果。 5、标注角的比较大小问题的最终结果时，要明确标注两个角的大小关系，核对比较过程完全符合操作规则，避免出现大小关系写反、比较逻辑混乱的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、同一道角的比较大小的运算过程中，角的大小判定标准、重叠法的操作规则必须完全统一，不能中途随意更改角的大小判定依据、混淆边的长短和张口大小的影响，打乱认知逻辑的严谨性。 7、处理多个角排序比较大小类问题时，要两两对比张口大小，按从大到小或从小到大的顺序排列，不能仅凭视觉直觉乱排顺序，得到角的大小排序完全错位的结果。 【题型精讲2】下面标志牌上标出的角中，最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】角是由一个点引出两条射线所组成的图形。角的大小与边的长短无关，与角的开口有关，开口越大，角就越大；反之，角就越小。以此选择即可。 【解答】角的开口最大。 标志牌上标出的角中，最大的是。 【易错巩固1】贝贝喝果汁时发现吸管的弯折程度不同，形成的角也不同，（    ）吸管形成的角度最小。 A． B． C． 【答案】A 【分析】角的大小由两条边张开的程度决定：两条边张开得越小，角就越小；张开得越大，角就越大，和边的长短无关。据此解答即可。 【解答】图示：A吸管两条边张开得最小，形成的角度最小。 【易错巩固2】放风筝是我国一项民间体育活动。下面三个风筝与地面形成的角中最大的是（ ），最小的是（ ）。（填序号） 【答案】② ① 【分析】根据题意，角是由一个点引出两条射线所组成的图形，这个点就是角的顶点，两条线就是角的边。角的大小与边的长短无关，与角的张口有关，开口越大，角就越大；反之，角就越小。比较三幅图中风筝线与地面的夹角，可以看到2号风筝的夹角最大，1号风筝与地面的夹角最小。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 放风筝是我国一项民间体育活动。下面三个风筝与地面形成的角中最大的是②，最小的是①。（填序号） 【易错巩固3】下面哪个钟面上的指针所形成的角最大？画“○”。哪个钟面上的指针所形成的角最小？画“√”。 （    ）              （    ）             （    ）            （    ） 【答案】（√）（    ）（    ）（○） 【分析】根据题意，角的大小与角的两边长短无关，只与角张开的大小有关。观察钟面可知，第四个钟面上时针和分针形成的角最大，第一个钟面上时针和分针形成的角最小。 以此答题即可。 【解答】根据分析可知： （√）      （   ）       （   ）     （○） 【易错巩固4】鳄鱼在岸上晒太阳时喜欢张大嘴巴。谁的嘴巴张得最大？最大的画“√”。 【答案】 【分析】鳄鱼嘴巴张开的形状像一个角；角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关；通过观察叉开的程度比较大小。（如果要比较的图叉开程度区别不大，可用重合的方法进行比较，需要把两个角的顶点对齐，一条边也对齐，通过观察另一条边落在图内还是图外来分辨角的大小。） 【解答】通过观察叉开的程度可知：第二条鳄鱼嘴巴张得最大。 易错题型03 长方形和正方形的概念及特点 1、同时满足「明确长方形、正方形的概念边界、边和角的特征判定完全准确」规则得到的结果，才是本单元认可的长方形和正方形的概念及特点问题的合规解题结果，随意错判图形类型、混淆边和角的特征的不符合图形定义的判定不能作为有效解题依据。 2、处理长方形基础特征认知类问题时，要明确长方形的对边相等，四个角都是直角，较长的边叫长、较短的边叫宽，不能错误认为长方形四条边都相等，得到长方形边的特征认知完全错误的结果。 3、处理正方形基础特征认知类问题时，要明确正方形的四条边长度都相等，四个角都是直角，每条边都统一叫做边长，不能错误认为正方形只有两组对边相等，得到正方形边的特征认知完全错误的结果。 4、处理长方形和正方形的关系判定类问题时，要明确正方形是特殊的长方形，完全满足长方形的所有特征，不能错误把正方形排除在长方形的范畴之外，得到图形从属关系判定完全错误的结果。 5、标注长方形和正方形的概念及特点问题的最终结果时，要明确标注图形的类型、对应边和角的特征，核对特征描述完全匹配图形定义，避免出现特征描述错配、图形类型标错的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理“在长方形里剪下最大的正方形”类问题时，要明确这个最大正方形的边长就等于原长方形的宽，不能随意把边长定为原长方形的长，得到剪出的正方形超出原长方形边界的错误结果。 7、同一道长方形和正方形的概念及特点的判定过程中，边和角的特征判定标准、图形从属关系的规则必须完全统一，不能中途随意更改边的长度定义、混淆直角的判定标准，打乱认知逻辑的严谨性。 8、处理用小棒拼摆长方形、正方形的操作类问题时，要严格对应图形的边的特征选择小棒，拼长方形需要两组长度分别相等的小棒，拼正方形需要四根长度完全相等的小棒，不能随意乱选小棒拼摆，得到拼出的图形不符合定义的结果。 9、处理生活场景中的图形识别类问题时，比如课本、地砖、桌面的图形判定，要对照边和角的特征逐一核对，不能仅凭视觉直觉乱判，得到图形类型判定完全错误的结果。 10、用长方形和正方形的概念及特点规则解决问题时，要先锚定「先对照边和角的核心特征逐一核对、确认图形类型、匹配对应图形的专属属性」的核心规则，不能直接硬套普通四边形的通用特征乱判，忽略长方形和正方形专属的特殊图形属性。 【题型精讲3】下面的图形都是四边形，这些图形都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图（    ）。 A．① B．② C．③ 【答案】C 【分析】长方形和正方形都属于四边形，它们都有4个角，且每个角都是直角。它们的区别在于边：长方形的对边相等，正方形的四条边都相等。据此即可完成填空。 【解答】A．图①可确定对边相等，但相邻的边不能确定是否相等，所以不一定是正方形，不符合题意。 B．图②对边、相邻的边都不能确定是否相等，所以不一定是正方形，不符合题意。 C．图③可以确定四条边相等，有四个直角，所以一定是正方形，符合题意。 【易错巩固1】丽丽要用4根小棒拼一个长方形，她应该选择小棒（    ）。 A．①②③④ B．③④⑤⑥ C．①②④⑤ 【答案】C 【分析】长方形的特征是对边长度相等，拼长方形需要4根小棒，正好分成两组，每组长度相等。先整理各小棒长度：①2厘米、②2厘米、③3厘米、④4厘米、⑤4厘米、⑥5厘米。分析选项即可。 【解答】A．长度是2、2、3、4，只有一组相等，不符合。 B．长度是3、4、4、5，只有一组相等，不符合。 C．长度是2、2、4、4，正好有两组分别相等的长度，符合长方形对边相等的要求。 丽丽要用4根小棒拼一个长方形，她应该选择小棒①②④⑤。 【易错巩固2】在一张长8厘米、宽3厘米的长方形纸上剪最大的正方形纸，一共可以剪（ ）张最大的正方形纸。 【答案】2 【分析】在长方形纸上剪最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽。本题长方形宽是3厘米，所以剪出的正方形边长为3厘米。用长方形的长除以正方形边长，商就是能剪出的正方形个数，余数剩下的长度不够再剪出一个正方形。 【解答】根据分析， 最大正方形边长＝长方形的宽＝3厘米 8÷3＝2（个）……2（厘米） 商是2，表示可以剪2个边长为3厘米的正方形，余下2厘米，不够再剪一个边长3厘米的正方形。 因此一共可以剪2张最大的正方形纸。 【易错巩固3】家里一块长方形玻璃打碎成了5块（如下图），爸爸想找工人师傅配一块一模一样的玻璃，由于家中没有合适的尺子测量这块玻璃的长和宽，只能带着某些碎片去找工人师傅。你觉得爸爸最少拿（ ）块碎片，工人师傅就可以知道原来玻璃的长和宽，应该拿碎片（ ）。 【答案】2 ①、④ 【分析】配一块与原来相同的长方形玻璃，需要知道原玻璃的长和宽。观察碎玻璃保留的原玻璃外边：①号碎玻璃保留了一条完整的宽边，④号碎玻璃和①号玻璃拼在一起保留了一条完整的长边。带上①、④号碎玻璃即可分别量出原玻璃的宽和长，据此确定最少需要带的碎玻璃。 【解答】①号碎玻璃保留了原玻璃一条完整的宽边，可以量出原玻璃的宽。 ④号碎玻璃和①号玻璃拼在一起保留了一条完整的长边，可以量出原玻璃的长。 带上①、④号碎玻璃，能分别量出原玻璃的宽和长；只带其中一块，只能知道长或宽中的一个量，不能配出相同的长方形玻璃。 所以最少拿2块碎玻璃，应该拿①、④号碎玻璃。 【易错巩固4】有一张长12厘米、宽5厘米的长方形纸，把它分成长3厘米、宽2厘米的小长方形纸，怎样分才能使分出的小长方形纸最多？（画示意图） 【答案】把这张长方形纸的宽分为2厘米和3厘米，裁成两张长方形纸，第一张的长是12厘米、宽是3厘米，第二张的长是12厘米、宽是2厘米，再把第一张的长平均分成6份，裁成6张小长方形纸，把第二张的长平均分成4份，裁成4张小长方形纸。一共裁成10个小长方形。 【分析】根据题意，把大长方形的宽（5厘米）分成2厘米＋3厘米两段，得到上下两个长12厘米的长条。上方宽2厘米的长条：把小长方形竖放（小长方形的长3厘米沿大长方形的长摆放，宽刚好对齐长条的2厘米宽），一共可以放12÷3＝4个；下方宽3厘米的长条：把小长方形横放（小长方形的长3厘米刚好对齐长条的3厘米宽，宽沿大长方形的长摆放），一共可以放12÷2＝6个；总共4＋6＝10个，刚好完全分完，是能分出最多小长方形的分法。 【解答】12÷3＋12÷2 ＝4＋6 ＝10（个） 答：把这张长方形纸的宽分为2厘米和3厘米，裁成两张长方形纸，第一张的长是12厘米、宽是3厘米，第二张的长是12厘米、宽是2厘米，再把第一张的长平均分成6份，裁成6张小长方形纸，把第二张的长平均分成4份，裁成4张小长方形纸。一共裁成10个小长方形。 图略 【易错巩固5】如图，在一张长方形纸上截取一个最大的正方形后，剩下的长方形正好可以分成3个相同的小正方形，这3个小正方形的边长都是4厘米，原来的长方形纸的长和宽各是多少厘米？ 【答案】16厘米；12厘米 【分析】我们知道正方形四条边都相等，长方形对边相等。通过剩下长方形能分成3个相同小正方形且小正方形边长已知，来推算原来长方形的长和宽。截取后剩下的长方形可以分成3个相同的小正方形，因为大正方形的边长等于长方形的宽。所以长方形纸的宽等于3个小正方形的边长之和。长方形纸的长等于最大正方形的边长加上1个小正方形的边长。据此解答。 【解答】4×3＝12（厘米） 12＋4＝16（厘米） 答：原来的长方形纸的长是16厘米，宽是12厘米。 易错题型04 画指定长宽（边长）的长方形（正方形） 1、同时满足「明确指定长宽/边长的数值边界、画图操作完全符合长方形正方形的图形特征」规则得到的结果，才是本单元认可的画指定长宽（边长）的长方形（正方形）问题的合规解题结果，随意错标边长、图形特征不符合定义的不符合画图规则的作品不能作为有效解题依据。 2、处理方格纸上画指定长和宽的长方形类问题时，要先数出对应长和宽的方格数，再依次连接四个顶点，确保对边长度完全匹配指定数值，不能数错方格数，得到长和宽数值完全不符合要求的错误图形。 3、处理方格纸上画指定边长的正方形类问题时，要数出对应边长的方格数，确保四条边的方格数完全相等，四个角都是直角，不能把四条边画成长短不一，得到图形不是正方形的错误结果。 4、标注画指定长宽（边长）的长方形（正方形）问题的最终结果时，要在图形的对应边上明确标注出长、宽或边长的具体数值，核对标注数值和指定要求完全一致，避免出现漏标边长、数值标错的问题，导致图形的实际指代完全失真。 5、处理点子图上画指定长宽的长方形类问题时，要先数出对应长和宽的点子间隔数，再依次连接四个顶点，不能直接数点子的个数当成边长长度，得到边长数值完全错误的结果。 6、处理“画长是宽的几倍”的指定长方形类问题时，要先算出宽的长度，再算出长的对应长度，再按两个数值画图，不能直接把倍数当成边长长度，得到长和宽的倍数关系完全错误的结果。 7、用画指定长宽（边长）的长方形（正方形）规则解决问题时，要先锚定「先确认指定的长、宽/边长的具体数值、按计数规则数出对应长度的格数/间隔数、验证画出的图形完全符合长方形/正方形的特征」的核心规则，不能直接硬套随手画图形的随意操作逻辑，忽略指定边长画图专属的精准量化属性。 【题型精讲4】画一个边长为4厘米的正方形，标注出边长长度。 【答案】 【分析】根据正方形的特征，正方形是一种四边形，其四条边长度相等且四个角都是直角，用三角尺的两条直角边，分别画两条长度为4厘米的线段，然后再用两条同长度的线段连接成正方形。并标注出边长长度即可。 【解答】画图略 【易错巩固1】按要求画图。（小正方形的边长是1厘米） （1）画一个宽2厘米，长是宽的3倍的长方形。 （2）画一个边长为4厘米的正方形。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先算出第一个图形的长：已知宽是2厘米，长是宽的3倍，2×3＝6厘米，在方格纸上画出占6个小格长、2个小格宽的长方形即可。 （2）直接在方格纸上画出四条边都占4个小格的正方形即可。 【解答】（1）略 （2）略 【易错巩固2】用圆规和直尺，画一个长8厘米，宽5厘米的长方形。（留下作图痕迹） 【答案】 【分析】长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等，作图时要满足这两个特征。 【解答】用直尺画一条长8厘米的线段作为长方形的长，记为线段AB。 用圆规量取5厘米的长度，以A为端点，向线段上方画弧线，将直尺的刻度线跟端点重合，向上画垂线，与弧线交于一点，再将A点与这个交点连线，则这条线段就是长方形的宽。另一条宽同理。 连接两条宽的另外两个端点，得到长方形的另一条长，即可得到符合要求的长方形。 【易错巩固3】在方格纸上画一个长7厘米、宽3厘米的长方形，并在长方形中画出一个最大的正方形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【答案】（画法不唯一） 【分析】根据长方形的特征，每个角都是直角，对边相等，用三角尺的两条直角边，分别画一条长为7个小格的线段，一条宽边长为3个小格的线段，然后再用两条长和宽同长度的线段连接成长方形。在长方形中画出一个最大的正方形，长方形的宽就是正方形的边长，即正方形的边长是3厘米，据此从长方形某一顶点沿长边方向量取3厘米（3个小方格）处画垂线；即可在长方形中画出一个最大的正方形。 【解答】画图略（画法不唯一） 【易错巩固4】请在下面的方格纸中画出一个长6厘米，宽3厘米的长方形和一个边长为4厘米的正方形。（每一小格表示边长为1厘米的正方形） 【答案】 【分析】长方形的定义：两组对边分别相等、四个角都是直角的四边形叫做长方形；通常情况下，长的那一边为长，短的那一边为宽；正方形的定义：四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形；据此画出相应的长方形和正方形即可，据此作图。 【解答】画图略； 【易错巩固5】按要求作图。（每个小正方形边长代表实际1米） （1）王爷爷打算用篱笆围一块长3米，宽2米的长方形菜地，有一面靠墙，在方格图中画出示意图。 （2）在这个长方形菜地中画一个最大的正方形种上胡萝卜，给胡萝卜地涂上阴影。 【答案】（1）（2）如下图： 【分析】（1）由题意得，王爷爷打算用篱笆围一块长3米，宽2米的长方形菜地，每个小正方形的边长代表实际1米，那么长方形菜地的长是3个小正方形的边长，宽是2个小正方形的边长。有一面靠墙，可以以墙为长方形的一条长来画长方形菜地，也可以以墙为长方形的一条宽来画长方形菜地。 （2）在长3米，宽2米的长方形菜地中画一个最大的正方形，那么正方形的边长是2米，那么正方形的边长就对应着2个小正方形的边长。据此作图。 【解答】（1）（2）图略。 易错题型05 数图形（长方形或正方形） 1、同时满足「明确数图形的分类计数规则、统计过程完全不重复不遗漏」规则得到的结果，才是本单元认可的数图形（长方形或正方形）问题的合规解题结果，随意乱数、漏数重复数的不符合计数规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理单排拼接的长方形计数类问题时，要按“基础线段数依次累加”的方法计算，比如4个小长方形拼接时总数为4+3+2+1=10个，不能盲目逐个乱数，得到漏数重复数的错误结果。 3、处理方格网中的正方形计数类问题时，要按边长从小到大分类统计，边长为1格、2格、3格的正方形分别计数后再累加，不能只数单个小正方形，得到总数统计不全的错误结果。 4、处理方格网中的长方形计数类问题时，要先数出横向的线段总数量、纵向的线段总数量，两个数值相乘得到长方形总个数，不能只数直观可见的基础长方形，得到总数统计严重偏少的结果。 5、标注数图形（长方形或正方形）问题的最终结果时，要明确标注统计出的长方形、正方形的具体数量，核对分类计数的每一步累加完全正确，避免出现数量标错、漏统计某类图形的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理“数出图中所有正方形”的专项问题时，要注意正方形是特殊的长方形，统计长方形总数时要把所有正方形包含在内，不能把正方形从长方形总数里剔除，得到长方形总个数统计偏少的错误结果。 7、同一道数图形的运算过程中，分类计数的判定标准、图形的定义边界必须完全统一，不能中途随意更改图形的判定规则、漏数跨多个小格拼接的组合图形，打乱计数逻辑的严谨性。 8、处理“含干扰线条的组合图形”数图形类问题时，要先排除无关干扰线条，再按分类规则统计目标图形，不能把被干扰线条拆分的图形错当成完整图形统计，得到计数结果完全错误的结果。 9、处理“数出图中指定大小的正方形”类问题时，要先确认指定边长的数值，再按该边长逐行逐列排查统计，不能把不同边长的正方形混入统计，得到指定图形的数量统计错误的结果。 10、用数图形（长方形或正方形）规则解决问题时，要先锚定「先确定分类计数的维度、按规则逐类统计累加、验证总数无重复无遗漏」的核心规则，不能直接硬套盲目逐个点数的随意操作逻辑，忽略数图形专属的分类计数不重不漏属性。 【题型精讲5】如图中一共有（    ）个长方形。 A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】长方形有4个直角，对边相等。根据图示可知，单个的长方形有4个，由2个小长方形组成的大长方形有4个，由4个小长方形组成的大长方形有1个，最后把所有长方形个数相加，就是一共的长方形的个数。 【解答】4＋4＋1＝9（个） 【易错巩固1】图中有（    ）个长方形。 A．4 B．7 C．8 【答案】C 【分析】分别数出单个长方形个数，有4个；两个拼在一起的长方形个数，有3个；三个拼在一起的长方形个数，有1个，最后将个数相加得到长方形的总数。 【解答】4＋3＋1 ＝7＋1 ＝8（个） 图中有8个长方形。 故答案为：C 【易错巩固2】数一数共有（    ）个长方形。 A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】可以先一个一个地数有4个小长方形，再数由两个小长方形组成的大长方形有3个，再数由三个小长方形组成的大长方形有2个，再数由四个小长方形组成的大长方形有1个，最后把所有的个数加起来。据此解答。 【解答】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 所以，数一数共有10个长方形。 故答案为：D 【易错巩固3】图中有（ ）个长方形，（ ）个正方形。 【答案】6 3 【分析】对边平行且相等，且四个角都是直角的四边形是长方形；四条边都相等，且四个角都是直角的四边形是正方形。据此按单个、组合的顺序分类计数即可。 【解答】观察图形，由2个图形横向拼接成的长方形有2个（第一行和第二行各1个），由2个图形纵向拼接成的长方形有2个（第一列和第二列各1个），空白部分的小长方形有2个，因此长方形的总数为2＋2＋2＝6（个）； 图中阴影部分的小正方形有2个，由4个图形拼接成的大正方形有1个，因此正方形的总数为2＋1＝3（个）。 【易错巩固4】图中有（ ）个含的正方形。 【答案】6 【分析】 先数含“”的小正方形，共1个；再数由4个小正方形组成的稍大的正方形，共4个，都含“”；最后数由9个小正方形组成的大正方形，有1个也含“”。再把这些数相加即可。 【解答】1＋4＋1＝5＋1＝6（个） 图中有（6）个含的正方形。 【易错巩固5】数一数。 长方形有（ ）个；正方形有（ ）个。 长方形有（ ）个；正方形有（ ）个。 【答案】6 5 22 14 【分析】正方形的四条边都相等，长方形的对边相等，据此计数长方形和正方形的数量。第一个图形可以看出是由5个小正方形拼成的图形；第二个图形可以看出是由9个小正方形拼成的1个大正方形。纵向的正方形以及横向的正方形又能各自组成长方形，故在数长方形时不要忘记纵向以及横向组成的长方形，据此解答。 【解答】 横向组成的长方形：3个 纵向组成的长方形：3个 长方形：3＋3＝6（个） 因此，长方形有6个；正方形有5个。 第二个图形中，由两个小正方形组成的长方形，横向数有6个，纵向数有6个；由三个小正方形组成的长方形，横向数有3个，纵向数有3个；由6个小正方形组成的长方形，横向数有2个，纵向数有2个。 所以长方形个数：6＋6＋3＋3＋2＋2＝22（个） 第二个图形中，按1个正方形数有9个正方形，按4个正方形数有4个正方形，按9个正方形数有1个正方形。 所以正方形个数：9＋4＋1＝14（个） 因此，长方形有22个；正方形有14个。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 认识图形易错专项讲义  易错题型01 直角、锐角、钝角的认识 易错题型02 角的比较大小 易错题型03 长方形和正方形的概念及特点 易错题型04 画指定长宽（边长）的长方形（正方形） 易错题型05 数图形（长方形或正方形） 易错题型01 直角、锐角、钝角的认识 1、同时满足「明确三类角的度数边界、和直角的大小对比关系完全准确」规则得到的结果，才是本单元认可的直角、锐角、钝角的认识问题的合规解题结果，随意错判角的类型、混淆度数边界的不符合角的分类规则的判定不能作为有效解题依据。 2、处理直角基础认知类问题时，要明确直角的大小是固定的90度，所有直角的大小完全相等，不能错误认为大图形里的直角比小图形里的直角更大，得到直角大小认知完全错误的结果。 3、处理锐角基础认知类问题时，要明确锐角是比直角小的角，度数范围在0度到90度之间，不能把等于90度的角判定为锐角，得到锐角的边界判定完全错误的结果。 4、处理钝角基础认知类问题时，要明确钝角是比直角大、同时比平角小的角，度数范围在90度到180度之间，不能把大于180度的角错判为钝角，得到钝角的边界判定完全错误的结果。 5、标注直角、锐角、钝角的认识问题的最终结果时，要明确标注判定的角的类型，核对和直角的大小对比关系完全匹配，避免出现类型标错、大小关系颠倒的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理三角尺上的角的识别类问题时，要明确每把三角尺都有1个直角和2个锐角，没有钝角，不能在三角尺上找出钝角，得到三角尺角的组成认知完全错误的结果。 7、同一道角的识别运算过程中，三类角的度数判定标准、和直角的大小对比规则必须完全统一，不能中途随意更改直角的大小定义、混淆锐角和钝角的边界，打乱认知逻辑的严谨性。 8、处理生活场景中的角的识别类问题时，比如课本的角、钟表指针形成的角，要先和直角做大小对比再判定类型，不能仅凭视觉直觉乱判，得到角的类型判定完全错误的结果。 【题型精讲1】妈妈解锁手机的图案密码中有3个锐角和2个直角，妈妈的解锁密码可能是图案（    ）。 A． B． C． 【易错巩固1】欣欣给妈妈留了三块披萨（如图），妈妈回家后吃掉了其中一块，披萨形成的角只剩下1个钝角、1个直角和4个锐角，妈妈吃掉的是最有可能哪一块披萨？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 【易错巩固2】用一副三角尺拼了一个钝角，一个角是直角，另一个角一定是（    ）。 A．直角 B．锐角 C．钝角 【易错巩固3】观察钟面（如图），分针与时针形成的夹角是（ ）角，秒针与时针形成的夹角是（ ）角，分针与秒针形成的夹角是（ ）角。 【易错巩固4】王红星期天的时间是这样安排的：早上7：30起床洗漱，8：00吃早餐，9：00阅读。这三个时刻钟面上的时针与分针所形成的夹角依次是（ ）角、（ ）角和（ ）角。 【易错巩固5】钟面上9时整，时针和分针所成的较小角是（ ）角，9时30分时针和分针所成的较小角是（ ）角。 易错题型02 角的比较大小 1、同时满足「明确角的大小判定核心规则、比较方法完全符合操作规范」规则得到的结果，才是本单元认可的角的比较大小问题的合规解题结果，仅凭边的长短乱判、操作不规范的不符合角的大小本质的判定不能作为有效解题依据。 2、处理活动角比较大小类问题时，要明确角的大小只和两条边的张口大小有关，张口越大角就越大，不能错误认为边越长角就越大，得到角的大小认知完全错误的结果。 3、处理观察法比较角的大小类问题时，要在两个角的大小差异非常明显的场景下使用，直接通过视觉直观判断张口大小，不能在角的大小接近时硬用观察法，得到判定结果出错的结果。 4、处理重叠法比较角的大小类问题时，要把两个角的顶点完全重合、其中一条边完全对齐，再看另一条边的位置判定大小，不能随意摆放两个角就直接对比，得到重叠比较操作不规范的错误结果。 5、标注角的比较大小问题的最终结果时，要明确标注两个角的大小关系，核对比较过程完全符合操作规则，避免出现大小关系写反、比较逻辑混乱的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、同一道角的比较大小的运算过程中，角的大小判定标准、重叠法的操作规则必须完全统一，不能中途随意更改角的大小判定依据、混淆边的长短和张口大小的影响，打乱认知逻辑的严谨性。 7、处理多个角排序比较大小类问题时，要两两对比张口大小，按从大到小或从小到大的顺序排列，不能仅凭视觉直觉乱排顺序，得到角的大小排序完全错位的结果。 【题型精讲2】下面标志牌上标出的角中，最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固1】贝贝喝果汁时发现吸管的弯折程度不同，形成的角也不同，（    ）吸管形成的角度最小。 A． B． C． 【易错巩固2】放风筝是我国一项民间体育活动。下面三个风筝与地面形成的角中最大的是（ ），最小的是（ ）。（填序号） 【易错巩固3】下面哪个钟面上的指针所形成的角最大？画“○”。哪个钟面上的指针所形成的角最小？画“√”。 （    ）              （    ）             （    ）            （    ） 【易错巩固4】鳄鱼在岸上晒太阳时喜欢张大嘴巴。谁的嘴巴张得最大？最大的画“√”。 易错题型03 长方形和正方形的概念及特点 1、同时满足「明确长方形、正方形的概念边界、边和角的特征判定完全准确」规则得到的结果，才是本单元认可的长方形和正方形的概念及特点问题的合规解题结果，随意错判图形类型、混淆边和角的特征的不符合图形定义的判定不能作为有效解题依据。 2、处理长方形基础特征认知类问题时，要明确长方形的对边相等，四个角都是直角，较长的边叫长、较短的边叫宽，不能错误认为长方形四条边都相等，得到长方形边的特征认知完全错误的结果。 3、处理正方形基础特征认知类问题时，要明确正方形的四条边长度都相等，四个角都是直角，每条边都统一叫做边长，不能错误认为正方形只有两组对边相等，得到正方形边的特征认知完全错误的结果。 4、处理长方形和正方形的关系判定类问题时，要明确正方形是特殊的长方形，完全满足长方形的所有特征，不能错误把正方形排除在长方形的范畴之外，得到图形从属关系判定完全错误的结果。 5、标注长方形和正方形的概念及特点问题的最终结果时，要明确标注图形的类型、对应边和角的特征，核对特征描述完全匹配图形定义，避免出现特征描述错配、图形类型标错的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理“在长方形里剪下最大的正方形”类问题时，要明确这个最大正方形的边长就等于原长方形的宽，不能随意把边长定为原长方形的长，得到剪出的正方形超出原长方形边界的错误结果。 7、同一道长方形和正方形的概念及特点的判定过程中，边和角的特征判定标准、图形从属关系的规则必须完全统一，不能中途随意更改边的长度定义、混淆直角的判定标准，打乱认知逻辑的严谨性。 8、处理用小棒拼摆长方形、正方形的操作类问题时，要严格对应图形的边的特征选择小棒，拼长方形需要两组长度分别相等的小棒，拼正方形需要四根长度完全相等的小棒，不能随意乱选小棒拼摆，得到拼出的图形不符合定义的结果。 9、处理生活场景中的图形识别类问题时，比如课本、地砖、桌面的图形判定，要对照边和角的特征逐一核对，不能仅凭视觉直觉乱判，得到图形类型判定完全错误的结果。 10、用长方形和正方形的概念及特点规则解决问题时，要先锚定「先对照边和角的核心特征逐一核对、确认图形类型、匹配对应图形的专属属性」的核心规则，不能直接硬套普通四边形的通用特征乱判，忽略长方形和正方形专属的特殊图形属性。 【题型精讲3】下面的图形都是四边形，这些图形都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图（    ）。 A．① B．② C．③ 【易错巩固1】丽丽要用4根小棒拼一个长方形，她应该选择小棒（    ）。 A．①②③④ B．③④⑤⑥ C．①②④⑤ 【易错巩固2】在一张长8厘米、宽3厘米的长方形纸上剪最大的正方形纸，一共可以剪（ ）张最大的正方形纸。 【易错巩固3】家里一块长方形玻璃打碎成了5块（如下图），爸爸想找工人师傅配一块一模一样的玻璃，由于家中没有合适的尺子测量这块玻璃的长和宽，只能带着某些碎片去找工人师傅。你觉得爸爸最少拿（ ）块碎片，工人师傅就可以知道原来玻璃的长和宽，应该拿碎片（ ）。 【易错巩固4】有一张长12厘米、宽5厘米的长方形纸，把它分成长3厘米、宽2厘米的小长方形纸，怎样分才能使分出的小长方形纸最多？（画示意图） 【易错巩固5】如图，在一张长方形纸上截取一个最大的正方形后，剩下的长方形正好可以分成3个相同的小正方形，这3个小正方形的边长都是4厘米，原来的长方形纸的长和宽各是多少厘米？ 易错题型04 画指定长宽（边长）的长方形（正方形） 1、同时满足「明确指定长宽/边长的数值边界、画图操作完全符合长方形正方形的图形特征」规则得到的结果，才是本单元认可的画指定长宽（边长）的长方形（正方形）问题的合规解题结果，随意错标边长、图形特征不符合定义的不符合画图规则的作品不能作为有效解题依据。 2、处理方格纸上画指定长和宽的长方形类问题时，要先数出对应长和宽的方格数，再依次连接四个顶点，确保对边长度完全匹配指定数值，不能数错方格数，得到长和宽数值完全不符合要求的错误图形。 3、处理方格纸上画指定边长的正方形类问题时，要数出对应边长的方格数，确保四条边的方格数完全相等，四个角都是直角，不能把四条边画成长短不一，得到图形不是正方形的错误结果。 4、标注画指定长宽（边长）的长方形（正方形）问题的最终结果时，要在图形的对应边上明确标注出长、宽或边长的具体数值，核对标注数值和指定要求完全一致，避免出现漏标边长、数值标错的问题，导致图形的实际指代完全失真。 5、处理点子图上画指定长宽的长方形类问题时，要先数出对应长和宽的点子间隔数，再依次连接四个顶点，不能直接数点子的个数当成边长长度，得到边长数值完全错误的结果。 6、处理“画长是宽的几倍”的指定长方形类问题时，要先算出宽的长度，再算出长的对应长度，再按两个数值画图，不能直接把倍数当成边长长度，得到长和宽的倍数关系完全错误的结果。 7、用画指定长宽（边长）的长方形（正方形）规则解决问题时，要先锚定「先确认指定的长、宽/边长的具体数值、按计数规则数出对应长度的格数/间隔数、验证画出的图形完全符合长方形/正方形的特征」的核心规则，不能直接硬套随手画图形的随意操作逻辑，忽略指定边长画图专属的精准量化属性。 【题型精讲4】画一个边长为4厘米的正方形，标注出边长长度。 【易错巩固1】按要求画图。（小正方形的边长是1厘米） （1）画一个宽2厘米，长是宽的3倍的长方形。 （2）画一个边长为4厘米的正方形。 【易错巩固2】用圆规和直尺，画一个长8厘米，宽5厘米的长方形。（留下作图痕迹） 【易错巩固3】在方格纸上画一个长7厘米、宽3厘米的长方形，并在长方形中画出一个最大的正方形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【易错巩固4】请在下面的方格纸中画出一个长6厘米，宽3厘米的长方形和一个边长为4厘米的正方形。（每一小格表示边长为1厘米的正方形） 【解答】画图略； 【易错巩固5】按要求作图。（每个小正方形边长代表实际1米） （1）王爷爷打算用篱笆围一块长3米，宽2米的长方形菜地，有一面靠墙，在方格图中画出示意图。 （2）在这个长方形菜地中画一个最大的正方形种上胡萝卜，给胡萝卜地涂上阴影。 易错题型05 数图形（长方形或正方形） 1、同时满足「明确数图形的分类计数规则、统计过程完全不重复不遗漏」规则得到的结果，才是本单元认可的数图形（长方形或正方形）问题的合规解题结果，随意乱数、漏数重复数的不符合计数规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理单排拼接的长方形计数类问题时，要按“基础线段数依次累加”的方法计算，比如4个小长方形拼接时总数为4+3+2+1=10个，不能盲目逐个乱数，得到漏数重复数的错误结果。 3、处理方格网中的正方形计数类问题时，要按边长从小到大分类统计，边长为1格、2格、3格的正方形分别计数后再累加，不能只数单个小正方形，得到总数统计不全的错误结果。 4、处理方格网中的长方形计数类问题时，要先数出横向的线段总数量、纵向的线段总数量，两个数值相乘得到长方形总个数，不能只数直观可见的基础长方形，得到总数统计严重偏少的结果。 5、标注数图形（长方形或正方形）问题的最终结果时，要明确标注统计出的长方形、正方形的具体数量，核对分类计数的每一步累加完全正确，避免出现数量标错、漏统计某类图形的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理“数出图中所有正方形”的专项问题时，要注意正方形是特殊的长方形，统计长方形总数时要把所有正方形包含在内，不能把正方形从长方形总数里剔除，得到长方形总个数统计偏少的错误结果。 7、同一道数图形的运算过程中，分类计数的判定标准、图形的定义边界必须完全统一，不能中途随意更改图形的判定规则、漏数跨多个小格拼接的组合图形，打乱计数逻辑的严谨性。 8、处理“含干扰线条的组合图形”数图形类问题时，要先排除无关干扰线条，再按分类规则统计目标图形，不能把被干扰线条拆分的图形错当成完整图形统计，得到计数结果完全错误的结果。 9、处理“数出图中指定大小的正方形”类问题时，要先确认指定边长的数值，再按该边长逐行逐列排查统计，不能把不同边长的正方形混入统计，得到指定图形的数量统计错误的结果。 10、用数图形（长方形或正方形）规则解决问题时，要先锚定「先确定分类计数的维度、按规则逐类统计累加、验证总数无重复无遗漏」的核心规则，不能直接硬套盲目逐个点数的随意操作逻辑，忽略数图形专属的分类计数不重不漏属性。 【题型精讲5】如图中一共有（    ）个长方形。 A．4 B．5 C．8 D．9 【易错巩固1】图中有（    ）个长方形。 A．4 B．7 C．8 【易错巩固2】数一数共有（    ）个长方形。 A．4 B．5 C．8 D．10 【易错巩固3】图中有（ ）个长方形，（ ）个正方形。 【易错巩固4】图中有（ ）个含的正方形。 【易错巩固5】数一数。 长方形有（ ）个；正方形有（ ）个。 长方形有（ ）个；正方形有（ ）个。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $