第五单元 平行四边形和梯形（易错专项讲义）数学人教版四年级上册（新教材）

第五单元 平行四边形和梯形易错专项讲义  易错题型01 平移和垂直的特征 易错题型02 画平行线和垂线 易错题型03 平行四边形和梯形的认识 易错题型04 数图形（平行四边形或梯形的个数） 易错题型05 平行四边形或梯形的周长类问题 易错题型01 平移和垂直的特征 1、同时满足「明确平移的直线运动属性、垂直的直角相交判定规则」得到的结果，才是本单元认可的平移和垂直的特征问题的合规解题结果，随意混淆平移与旋转的边界、错判垂直的直角相交条件的不符合几何定义的结论不能作为有效解题依据。 2、处理基础平移判定类问题时，要明确平移是物体沿直线运动，运动过程中物体的形状、大小、自身方向均不发生改变，不能把绕点/轴转动的旋转运动误判为平移，得到概念完全混淆的错误结果。 3、处理基础垂直判定类问题时，要明确两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足，不能把普通相交的非直角场景误判为垂直，得到判定逻辑错位的错误结果。 4、处理点到直线的距离类垂直特征问题时，要明确从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度才是这点到直线的距离，不能把任意斜线段的长度当成点到直线的距离，得到数值偏大的错误结果。 5、标注平移和垂直的特征问题的最终结果时，要明确垂直场景标注垂足符号、平移场景标注运动方向，核对垂直相交形成的角为90°，避免出现漏标垂足、平移方向判定错误的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理平行线间的垂直特征类问题时，要明确两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些垂直线段长度全部相等，也就是平行线间的距离处处相等，不能把不同位置的垂直线段判定为长度不等，得到违背平行属性的错误结果。 7、同一道平移和垂直的特征问题的运算过程中，平移的判定标准、垂直的直角相交定义必须完全统一，不能中途随意更改平移的直线运动属性、混淆垂直和普通相交的边界，打乱几何判定逻辑的严谨性。 【题型精讲1】将一张正方形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．互相重合 D．长度不一样 【易错巩固1】下面的图形（    ）中，既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段。 A． B． C． D． 【易错巩固2】下图中有（    ）组平行线，（    ）组垂线。（   ） A．3，4 B．4，6 C．5，6 D．6，4 【易错巩固3】下面有一排字母： 有互相垂直线段的字母是（ ）；有互相平行线段的字母是（ ）；既有互相垂直，又有互相平行的线段的字母是（ ）。 【易错巩固4】下面的汉字中，（ ）只有互相平行的线段，（ ）只有互相垂直的线段，（ ）既有互相平行的线段又有互相垂直的线段。 木   王   曰   立 上   三   田   下 【易错巩固5】如图，点E、F、G、H分别是长方形ABCD四条边上的中点，点O是图形的中心，EO＝5厘米，OH＝8厘米。 （1）EF与GH互相（ ），EG与FH互相（ ）。（填“平行”或“垂直”） （2）点A到BC的距离是（ ）厘米，点A到DC的距离是（ ）厘米。 易错题型02 画平行线和垂线 1、同时满足「明确平行线和垂线的标准作图步骤、对应几何定义匹配正确操作逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的画平行线和垂线问题的合规解题结果，随意违背平移对齐操作规范、错判直角相交条件的不符合几何作图规则的图形不能作为有效解题依据。 2、处理基础画任意一组平行线的问题时，要先固定直尺作为平移基准，用三角板的一条边紧贴直尺平移画出第二条直线，保证两条直线间距全程相等，不能直接随手画两条看似不相交的直线，得到实际会相交的错误平行线。 3、处理基础画任意一组垂线的问题时，要把三角板的一条直角边和已知直线完全对齐，沿另一条直角边画出第二条直线，保证两条直线相交成90°直角，不能直接凭感觉画两条相交直线，得到夹角不是直角的错误垂线。 4、处理过直线外一点画已知直线的平行线问题时，要先把三角板的一边与已知直线完全重合，用直尺紧贴三角板的另一条边固定基准，平移三角板直到对齐指定点后再画线，不能平移过程中三角板发生偏移，得到和原直线不平行的错误结果。 5、标注画平行线和垂线的最终结果时，要明确在垂线的相交位置标注直角垂足符号，平行线保持全程间距均匀，避免出现漏标垂足、平行线间距忽大忽小的问题，导致图形的实际几何指代完全失真。 6、处理过直线上一点画已知直线的垂线问题时，要把三角板的直角顶点精准对准指定的点，沿另一条直角边画出垂线，不能让直角顶点偏离指定点，得到垂线不经过指定点的错误结果。 7、同一道画平行线和垂线的操作过程中，三角板的对齐判定标准、直角边的使用规则必须完全统一，不能中途随意移动直尺基准、混淆三角板的直角边和斜边，打乱作图逻辑的严谨性。 8、处理点子图上画指定平行线的问题时，要保证两条直线经过的点子行列完全对齐，倾斜角度全程一致，不能出现直线中途拐折的情况，得到局部相交的错误平行线。 9、处理长方形/正方形的规范作图问题时，要利用画垂线的方法画出相邻边，利用画平行线的方法画出对边，保证邻边垂直、对边平行，不能画出邻边夹角不是直角的变形图形，得到不符合长方形定义的错误结果。 10、用画平行线和垂线规则解决实际作图问题时，要先锚定「先对齐基准边、固定平移/直角判定标准、完成作图后验证平行/垂直属性」的核心规则，不能直接硬套随手画直线的普通作图逻辑，忽略平行线和垂线专属的几何操作规范。 【题型精讲2】过点画出已知直线的平行线，过点作已知直线的垂线。 【易错巩固1】画一画。 （1）过A点作线段BC的垂线，并量出A点到直线BC的距离 （2）过A点作线段BC的平行线 【易错巩固2】按要求作图。 （1）经过点画出直线的垂线。 （2）经过点画出直线的平行线。 （3）量一量，所画出的两条直线形成的夹角分别是（    ）°和（    ）°。 【易错巩固3】如图，幸福小区有一块梯形草坪。物业准备在草坪上修两条小路，第一条小路刚好是从点C走到AD边的最近路线；第二条小路从点B出发，与CD平行。请你在图中画出这两条小路。 【易错巩固4】点A代表幸福村，直线BC代表幸福村旁边的一条公路。 （1）请设计一条路，使它既经过村子，又与公路平行。 （2）请再设计一条连接幸福村与公路BC最近的路。 【易错巩固5】苏州的周庄古镇景色宜人，古诗描述为“清风拂绿柳，白水映红桃。舟行碧波上，人在画中游”，许多游人慕名前往，划船赏景。 （1）请为游船设计一条路线，使航线过点且平行于两边的河岸。 （2）有一位游客划船到B点时想要上岸，请画出他上岸的最近航线。 易错题型03 平行四边形和梯形的认识 1、同时满足「明确平行四边形和梯形的定义判定规则、对应图形特征匹配正确几何属性」规则得到的结果，才是本单元认可的平行四边形和梯形的认识问题的合规解题结果，随意混淆两类图形的边界、错判核心特征的不符合四边形分类规则的结论不能作为有效解题依据。 2、处理基础平行四边形判定类问题时，要明确两组对边分别互相平行的四边形才是平行四边形，两组对边分别平行且相等、对角相等，不能把只有一组对边平行的四边形误判为平行四边形，得到概念完全混淆的错误结果。 3、处理基础梯形判定类问题时，要明确只有一组对边互相平行的四边形才是梯形，互相平行的这组对边分别叫做上底和下底，不平行的两边叫做腰，不能把两组对边都平行的四边形误判为梯形，得到判定逻辑错位的错误结果。 4、处理特殊梯形判定类问题时，要明确两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形，不能把普通梯形直接判定为等腰梯形或直角梯形，得到特征错配的错误结果。 【题型精讲3】长方形ABCD中，M是AB边上除端点外的任意一点，沿虚线CM将长方形剪开，用这两部分图形不能拼成的是（    ）。 A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【易错巩固1】小乐在如图的梯形上剪了一刀，剪了一个平行四边形，另一个可能是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形或梯形 【易错巩固2】选择图中的四个点，依次连接起来，能围成一个梯形，这四个点可能是（    ）。 A．A—B—F—C—A B．B—F—E—C—B C．E—G—D—C—E D．B—F—G—E—B 【易错巩固3】下面图形中，有（ ）个平行四边形，有（ ）个梯形。 【易错巩固4】图中，③④⑤⑥拼成的图形是一个（ ）形。用（ ）和（ ）可以拼成平行四边形。（填序号） 【易错巩固5】如图是由一张长方形纸折叠而成的等腰梯形（单位：厘米），这个梯形的高是（ ）厘米，下底是（ ）厘米。 易错题型04 数图形（平行四边形或梯形的个数） 1、同时满足「明确平行四边形/梯形的定义判定规则、有序枚举计数不重不漏」规则得到的结果，才是本单元认可的数图形（平行四边形或梯形的个数）问题的合规解题结果，随意把不符合定义的图形计入总数、重复计数或遗漏隐藏图形的不符合几何计数规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理基础单层排列的平行四边形计数问题时，要先数出最小的基础平行四边形数量，再按“1+2+3+…+n”的求和公式累加组合图形数量，不能直接只数单个基础图形，得到总数遗漏的错误结果。 3、处理基础单层排列的梯形计数问题时，要先确认所有待数图形都满足“只有一组对边平行”的梯形定义，再按从左到右的顺序有序枚举，不能把两组对边都平行的平行四边形误计入梯形总数，得到概念混淆的错误结果。 4、处理双层网格类平行四边形计数问题时，要分别算出长边方向的线段总数量、短边方向的线段总数量，两个数值相乘得到平行四边形总个数，不能直接按单层图形的求和公式硬套，得到总数偏小的错误结果。 5、标注数图形（平行四边形或梯形的个数）问题的最终结果时，要明确标注对应图形的名称和总个数，核对计数过程中标记的所有图形都符合定义，避免出现图形类型和数量错配、漏写图形名称的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理嵌套组合类梯形计数问题时，要先按“单个基础梯形、2个基础图形拼成的梯形、多个基础图形拼成的梯形”的层级分层计数，不能东一个西一个随手乱数，得到重复计数或遗漏的错误结果。 7、同一道数图形（平行四边形或梯形的个数）的运算过程中，平行四边形和梯形的定义判定标准、有序枚举的计数规则必须完全统一，不能中途随意更改图形的判定边界、打乱计数的固定顺序，打乱计数逻辑的严谨性。 8、处理带干扰线条的复杂图形计数问题时，要先把不符合平行/梯形对边要求的干扰图形排除，再按固定顺序标记计数，不能把局部看似符合特征的非完整封闭图形计入总数，得到虚高的错误结果。 9、处理计数完成后的验证环节时，要把所有数过的图形逐一核对定义，用总数量反向拆分回各层级的计数结果，不能数完直接结束，得到总数和各层级计数之和不匹配的错误结果。 10、用数图形（平行四边形或梯形的个数）规则解决实际问题时，要先锚定「先明确待数图形的定义、按固定分类标准有序枚举、标记验证确保不重不漏」的核心规则，不能直接硬套普通数零散物品的数数逻辑，忽略几何图形计数专属的有序分类属性。 【题型精讲4】下面的组合图形中，梯形有（    ）个。 A．3 B．2 C．1 D．0 【易错巩固1】图中一共有（    ）个平行四边形。 A．8 B．9 C．10 【易错巩固2】下列图形中各有几个平行四边形？ （1）（ ）个 （2）（ ）个 【易错巩固3】数一数，下图中有（ ）个平行四边形，（ ）个梯形。 【易错巩固4】数一数下图中有（ ）个平行四边形和（ ）个梯形。 【易错巩固5】下图中各有多少个平行四边形？ 易错题型05 平行四边形或梯形的周长类问题 1、同时满足「明确平行四边形/梯形的周长定义、对应边长特征匹配正确求和逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的平行四边形或梯形的周长类问题的合规解题结果，随意错配边长等量关系、漏算/多算边的不符合周长定义的数值不能作为有效解题依据。 2、处理基础平行四边形周长计算类问题时，要利用平行四边形两组对边分别相等的特征，用“（相邻两边长度之和）×2”算出总周长，不能直接把四条边的长度随意乱加，得到周长数值错误的结果。 3、处理基础等腰梯形周长计算类问题时，要明确等腰梯形两条腰的长度完全相等，用上底加下底再加两条相等腰的长度得到总周长，不能把两条腰的长度当成不同数值乱加，得到周长数值错位的错误结果。 4、处理“长方形框架拉成平行四边形”类周长问题时，四条边的长度全程没有发生变化，周长和原长方形的周长完全相等，不能错误判定边的长度发生改变，得到周长数值变化的错误结论。 5、标注平行四边形或梯形的周长类问题的最终结果时，要明确标注对应场景的长度单位，核对所有边的长度都被计入求和，避免出现漏写单位、漏算某条边的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理“已知平行四边形周长和其中一条边长，求邻边长度”类反向问题时，要用周长先除以2得到一组邻边的长度和，再减去已知边的长度得到邻边长度，不能直接用周长减已知边，得到邻边数值偏小的错误结果。 7、同一道平行四边形或梯形的周长类问题的运算过程中，边长的判定标准、周长的求和规则必须完全统一，不能中途随意更改平行四边形对边相等的特征、混淆等腰梯形两腰相等的定义，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理靠墙围梯形类周长问题时，要明确靠墙的那一侧边不需要计入围栏总长度，用其余三条边的长度相加得到围栏总长度，不能把靠墙的边也重复计入求和，得到围栏总长度虚高的错误结果。 9、处理“已知等腰梯形周长、上底、下底，求单条腰长”类反向问题时，要用周长先减去上底和下底的长度，再把剩余的长度除以2得到单条腰的长度，不能直接把剩余长度当成单条腰长，得到腰长数值偏大的错误结果。 10、用平行四边形或梯形的周长类问题规则解决实际问题时，要先锚定「先梳理图形的边长特征、把所有需要计入周长的边的长度求和、验证结果符合边长逻辑」的核心规则，不能直接硬套普通不规则四边形的周长计算逻辑，忽略平行四边形和梯形专属的边长等量属性。 【题型精讲5】把两个完全一样的等腰梯形拼成一个平行四边形（如下图），那么一个等腰梯形的周长是多少厘米？ 【易错巩固1】聪聪做了四个完全一样的平行四边形，已知一个平行四边形相邻两条边分别长3厘米和4厘米。他想用这四个平行四边形拼成一个更大的平行四边形，那么拼成的大平行四边形的周长最长是多少？最短是多少？ 【易错巩固2】“绿色蔬菜”是绿色食品的一种，指蔬菜在生长过程中农药使用后残留在蔬菜里的农药残留物指标低于国家或国际规定的标准。王大爷准备一面靠墙围一个梯形菜地种植绿色蔬菜，菜地的上底是28米，下底是50米，两条腰都是24米，该梯形菜地至少要围多少米的篱笆？ 【易错巩固3】一个等腰梯形，上底是8厘米，下底的长度是上底的2倍，腰长比上底多2厘米，把这个梯形剪成一个最大的平行四边形，这个平行四边形的周长是多少厘米？ 【易错巩固4】已知一个等腰梯形的上底是5厘米，下底比上底的2倍少3厘米，一条腰长6厘米。这个梯形的周长是多少厘米？ 【易错巩固5】用一根铁丝围成一个平行四边形，平行四边形相邻两条边的长度分别是9厘米和13厘米。现在用这根铁丝围成一个等腰梯形，梯形上底是7厘米，下底是19厘米，这个等腰梯形的腰长是多少厘米？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 平行四边形和梯形易错专项讲义  易错题型01 平移和垂直的特征 易错题型02 画平行线和垂线 易错题型03 平行四边形和梯形的认识 易错题型04 数图形（平行四边形或梯形的个数） 易错题型05 平行四边形或梯形的周长类问题 易错题型01 平移和垂直的特征 1、同时满足「明确平移的直线运动属性、垂直的直角相交判定规则」得到的结果，才是本单元认可的平移和垂直的特征问题的合规解题结果，随意混淆平移与旋转的边界、错判垂直的直角相交条件的不符合几何定义的结论不能作为有效解题依据。 2、处理基础平移判定类问题时，要明确平移是物体沿直线运动，运动过程中物体的形状、大小、自身方向均不发生改变，不能把绕点/轴转动的旋转运动误判为平移，得到概念完全混淆的错误结果。 3、处理基础垂直判定类问题时，要明确两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足，不能把普通相交的非直角场景误判为垂直，得到判定逻辑错位的错误结果。 4、处理点到直线的距离类垂直特征问题时，要明确从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度才是这点到直线的距离，不能把任意斜线段的长度当成点到直线的距离，得到数值偏大的错误结果。 5、标注平移和垂直的特征问题的最终结果时，要明确垂直场景标注垂足符号、平移场景标注运动方向，核对垂直相交形成的角为90°，避免出现漏标垂足、平移方向判定错误的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理平行线间的垂直特征类问题时，要明确两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些垂直线段长度全部相等，也就是平行线间的距离处处相等，不能把不同位置的垂直线段判定为长度不等，得到违背平行属性的错误结果。 7、同一道平移和垂直的特征问题的运算过程中，平移的判定标准、垂直的直角相交定义必须完全统一，不能中途随意更改平移的直线运动属性、混淆垂直和普通相交的边界，打乱几何判定逻辑的严谨性。 【题型精讲1】将一张正方形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．互相重合 D．长度不一样 【答案】A 【分析】将正方形纸上下对折，得到水平方向的折痕，再左右对折，得到竖直方向的折痕，两条折痕相交成直角 【解答】正方形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕互相垂直。 【易错巩固1】下面的图形（    ）中，既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。如黑板的上下两条边、火车的两条铁轨，都是互相平行的线段。垂线的定义：两条直线相交成直角时，就说这两条直线互相垂直。如黑板的相邻两条边、课本的相邻两条边，都是互相垂直的线段。逐个分析选项中的图形，判断是否存在互相平行和互相垂直的线段。 【解答】A．是四边形：只有互相平行的对边，没有互相垂直的线段，不符合要求。 B．是箭头图形：左侧长方形部分的上下两条长线段互相平行，同时相邻的横竖线段相交成直角，存在互相垂直的线段，符合要求。 C．是圆内加十字：圆的轮廓是曲线不是线段，内部两条交叉线段互相垂直，但没有互相平行的线段，不符合要求。 D．是正六边形：只有互相平行的对边，没有互相垂直的线段，不符合要求。 【易错巩固2】下图中有（    ）组平行线，（    ）组垂线。（   ） A．3，4 B．4，6 C．5，6 D．6，4 【答案】B 【分析】在同一平面内，两条永不相交的直线叫做平行线，如果同一平面内的这样的两条直线不平行，说明它们一定相交。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 【解答】 中有4组平行线，6组垂线。 【易错巩固3】下面有一排字母： 有互相垂直线段的字母是（ ）；有互相平行线段的字母是（ ）；既有互相垂直，又有互相平行的线段的字母是（ ）。 【答案】F、L、H、T F、H、Z、N F、H 【分析】根据垂直和平行的性质：在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直，不相交的两条直线叫做平行线；据此判断即可。 【解答】有互相垂直线段的字母是F、L、H、T； 有互相平行线段的字母是F、H、Z、N； 既有互相垂直，又有互相平行的线段的字母是F、H。 【易错巩固4】下面的汉字中，（ ）只有互相平行的线段，（ ）只有互相垂直的线段，（ ）既有互相平行的线段又有互相垂直的线段。 木   王   曰   立 上   三   田   下 【答案】立，三 木，下 王，曰，上，田 【分析】同一平面内不相交的两条线互相平行，相交成直角的两条线互相垂直，逐个分析汉字即可。 【解答】汉字中，立，三只有互相平行的线段，木，下只有互相垂直的线段，王，曰，上，田既有互相平行的线段又有互相垂直的线段。 【易错巩固5】如图，点E、F、G、H分别是长方形ABCD四条边上的中点，点O是图形的中心，EO＝5厘米，OH＝8厘米。 （1）EF与GH互相（ ），EG与FH互相（ ）。（填“平行”或“垂直”） （2）点A到BC的距离是（ ）厘米，点A到DC的距离是（ ）厘米。 【答案】（1）平行 垂直 （2）10 16 【分析】（1）在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行；在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。据此解答。 （2）根据题意，点F是AB的中点，点O是图形的中心，AF＝FB＝EO＝5厘米，据此求出点A到BC的距离；点E是AD的中点，点O是图形的中心，AE＝ED＝OH＝8厘米，据此求出点A到DC的距离。 【解答】（1）EF与GH互相平行，EG与FH互相垂直。 （2）5×2＝10（厘米）；8×2＝16（厘米） 点A到BC的距离是10厘米，点A到DC的距离是16厘米。 易错题型02 画平行线和垂线 1、同时满足「明确平行线和垂线的标准作图步骤、对应几何定义匹配正确操作逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的画平行线和垂线问题的合规解题结果，随意违背平移对齐操作规范、错判直角相交条件的不符合几何作图规则的图形不能作为有效解题依据。 2、处理基础画任意一组平行线的问题时，要先固定直尺作为平移基准，用三角板的一条边紧贴直尺平移画出第二条直线，保证两条直线间距全程相等，不能直接随手画两条看似不相交的直线，得到实际会相交的错误平行线。 3、处理基础画任意一组垂线的问题时，要把三角板的一条直角边和已知直线完全对齐，沿另一条直角边画出第二条直线，保证两条直线相交成90°直角，不能直接凭感觉画两条相交直线，得到夹角不是直角的错误垂线。 4、处理过直线外一点画已知直线的平行线问题时，要先把三角板的一边与已知直线完全重合，用直尺紧贴三角板的另一条边固定基准，平移三角板直到对齐指定点后再画线，不能平移过程中三角板发生偏移，得到和原直线不平行的错误结果。 5、标注画平行线和垂线的最终结果时，要明确在垂线的相交位置标注直角垂足符号，平行线保持全程间距均匀，避免出现漏标垂足、平行线间距忽大忽小的问题，导致图形的实际几何指代完全失真。 6、处理过直线上一点画已知直线的垂线问题时，要把三角板的直角顶点精准对准指定的点，沿另一条直角边画出垂线，不能让直角顶点偏离指定点，得到垂线不经过指定点的错误结果。 7、同一道画平行线和垂线的操作过程中，三角板的对齐判定标准、直角边的使用规则必须完全统一，不能中途随意移动直尺基准、混淆三角板的直角边和斜边，打乱作图逻辑的严谨性。 8、处理点子图上画指定平行线的问题时，要保证两条直线经过的点子行列完全对齐，倾斜角度全程一致，不能出现直线中途拐折的情况，得到局部相交的错误平行线。 9、处理长方形/正方形的规范作图问题时，要利用画垂线的方法画出相邻边，利用画平行线的方法画出对边，保证邻边垂直、对边平行，不能画出邻边夹角不是直角的变形图形，得到不符合长方形定义的错误结果。 10、用画平行线和垂线规则解决实际作图问题时，要先锚定「先对齐基准边、固定平移/直角判定标准、完成作图后验证平行/垂直属性」的核心规则，不能直接硬套随手画直线的普通作图逻辑，忽略平行线和垂线专属的几何操作规范。 【题型精讲2】过点画出已知直线的平行线，过点作已知直线的垂线。 【答案】 【分析】把三角板的一边靠紧已知直线，另一条边靠紧一直尺，沿直尺移动三角板，使三角板原来靠紧已知直线的边经过点A，沿该边画直线，即为过点A的已知直线的平行线。 将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点B，沿该直角边画直线，即为过点B的已知直线的垂线。 【解答】略 【易错巩固1】画一画。 （1）过A点作线段BC的垂线，并量出A点到直线BC的距离 （2）过A点作线段BC的平行线 【答案】（1）；2厘米 （2） 【分析】（1）画图方法：把三角板的一条直角边对齐线段BC，沿着BC平移三角板，让三角板的另一条直角边刚好碰到A点，沿着这条过A的直角边画直线，和BC（或BC的延长线）交于一点，这个交点就是垂足，记得在垂足处标上直角符号。测量结果：用直尺量A点到垂足之间的线段长度，就是A点到直线BC的距离，2厘米。 （2）画图方法：先把一把三角板的一条边对齐线段BC，再用直尺紧紧抵住三角板的另一条边，固定直尺不动，沿着直尺平移三角板，直到刚才对齐BC的那条边经过A点，沿着这条边画直线，得到的就是过A点且平行于BC的平行线。 【解答】（1）略 量出A点到直线BC的距离是2厘米。 （2）略 【易错巩固2】按要求作图。 （1）经过点画出直线的垂线。 （2）经过点画出直线的平行线。 （3）量一量，所画出的两条直线形成的夹角分别是（    ）°和（    ）°。 【答案】（1） （2） （3）40；140 【分析】（1）过点O作直线a的垂线：用三角板的一条直角边与直线a重合，沿直线a平移三角板，使另一条直角边经过点O，沿该直角边画直线，即为直线a的垂线，标注垂直； （2）过点O作直线b的平行线：用三角板的一边与直线b重合，用直尺靠紧三角板的另一边，沿直尺平移三角板，使与直线b重合的边经过点O，沿该边画直线，即为直线b的平行线。 （3）测量两条新作直线的夹角：用量角器的中心对准两直线交点，刻度线与其中一条直线重合，读取另一条直线对应的刻度是，再根据平角为，得到另一个夹角的度数。 【解答】（1）图略。 （2）图略。 （3）量出一个角为，另一个是：。 【易错巩固3】如图，幸福小区有一块梯形草坪。物业准备在草坪上修两条小路，第一条小路刚好是从点C走到AD边的最近路线；第二条小路从点B出发，与CD平行。请你在图中画出这两条小路。 【答案】 【分析】对于第一条小路，因为点到直线的最短距离是垂线段，所以过点C作AD边的垂线，垂足在AD上，该垂线段就是所求小路。 对于第二条小路，利用平移的方法，把CD边沿着水平方向平移，让CD边刚好经过点B，此时这条经过B的线段就和CD平行，另一端落在AD边上。 【解答】画图略 【易错巩固4】点A代表幸福村，直线BC代表幸福村旁边的一条公路。 （1）请设计一条路，使它既经过村子，又与公路平行。 （2）请再设计一条连接幸福村与公路BC最近的路。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用平行线的特征：经过点A画一条直线，和公路BC不相交，就得到经过村子且和公路平行的路。 （2）点到直线之间，垂线段最短。从点A向直线BC作垂线段，这条垂线段就是村子到公路最近的路。 【解答】（1）作图方法：用直尺和三角板，把三角板的一条直角边对齐BC，将直尺靠在三角板的另一条直角边上，沿着直尺平移三角板，使这条边经过点A，沿着这条边画出直线，即为过A点且与BC平行的路。（图略） （2）作图方法：把三角板的一条直角边对齐BC，沿着BC移动三角板，让另一条直角边经过点A，从A点向BC画出垂线段，标上直角符号，这条垂线段就是距离最近的路。（图略） 【易错巩固5】苏州的周庄古镇景色宜人，古诗描述为“清风拂绿柳，白水映红桃。舟行碧波上，人在画中游”，许多游人慕名前往，划船赏景。 （1）请为游船设计一条路线，使航线过点且平行于两边的河岸。 （2）有一位游客划船到B点时想要上岸，请画出他上岸的最近航线。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）过点A的航线平行于两边的河岸，把河岸看作直线，过直线外一点A作已知直线的平行线，先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点A在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可，此时航线过点A且平行于两边的河岸。 （2）根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，游客从B点上岸的最近航线，也就是作过点B到岸边的垂线段，把靠近B点的河岸看作一条直线，三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点B时，沿这条直角边画的直线就是过点B作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【解答】（1）略 （2）略 易错题型03 平行四边形和梯形的认识 1、同时满足「明确平行四边形和梯形的定义判定规则、对应图形特征匹配正确几何属性」规则得到的结果，才是本单元认可的平行四边形和梯形的认识问题的合规解题结果，随意混淆两类图形的边界、错判核心特征的不符合四边形分类规则的结论不能作为有效解题依据。 2、处理基础平行四边形判定类问题时，要明确两组对边分别互相平行的四边形才是平行四边形，两组对边分别平行且相等、对角相等，不能把只有一组对边平行的四边形误判为平行四边形，得到概念完全混淆的错误结果。 3、处理基础梯形判定类问题时，要明确只有一组对边互相平行的四边形才是梯形，互相平行的这组对边分别叫做上底和下底，不平行的两边叫做腰，不能把两组对边都平行的四边形误判为梯形，得到判定逻辑错位的错误结果。 4、处理特殊梯形判定类问题时，要明确两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形，不能把普通梯形直接判定为等腰梯形或直角梯形，得到特征错配的错误结果。 【题型精讲3】长方形ABCD中，M是AB边上除端点外的任意一点，沿虚线CM将长方形剪开，用这两部分图形不能拼成的是（    ）。 A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】B 【分析】长方形ABCD中，M是AB边上除端点外的任意一点，沿虚线CM将长方形剪开，得到一个直角三角形和一个直角梯形，通过拼接验证四种图形： 如图：把①号三角形剪下后平移到图形的左边，就可以拼成一个平行四边形； 如图，把①号三角形剪下后平移到图形左边，并翻转三角形就可以拼成一个等腰梯形，但不是直角梯形； 当点M是长方形ABCD的边AB的中点，沿虚线CM将长方形剪开分成两部分，可以拼成： 如图，把①号三角形通过旋转并平移到图形的上边，可以拼成一个直角三角形， 即可以拼成三角形；据此解答即可。 【解答】如图，当M为AB边上除端点外的任意一点时，沿CM剪开得到一个直角三角形和一个直角梯形，无法拼成直角梯形；仅当M为AB中点时可拼成三角形，所有取值情况下均无法拼成直角梯形。 【易错巩固1】小乐在如图的梯形上剪了一刀，剪了一个平行四边形，另一个可能是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形或梯形 【答案】D 【分析】梯形有一组对边平行，我们在梯形上剪一刀，分出一个平行四边形。 如果从梯形一个顶点，沿着平行于梯形腰的方向剪开，剩下的就是三角形；如果不从顶点开始剪，沿着平行于腰的直线剪开，剩下的就是梯形。 【解答】根据分析可知： 在梯形上剪了一刀，剪了一个平行四边形，另一个可能是三角形或梯形。 【易错巩固2】选择图中的四个点，依次连接起来，能围成一个梯形，这四个点可能是（    ）。 A．A—B—F—C—A B．B—F—E—C—B C．E—G—D—C—E D．B—F—G—E—B 【答案】D 【分析】只有一组对边互相平行的四边形，叫做梯形。我们逐个判断选项即可。 【解答】A．围成的图形，两组对边都不平行，不是梯形。 B．围成的四边形里，两组对边都不平行，不是梯形。 C．围成的图形，两组对边都不平行，不是梯形。 D．围成的图形，有一组对边互相平行，符合梯形的定义。 【易错巩固3】下面图形中，有（ ）个平行四边形，有（ ）个梯形。 【答案】2 3 【分析】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形，以此为判断依据逐个检查图形。 梯形的定义：只有一组对边平行的四边形，以此为判断依据逐个检查剩余图形。 【解答】①④是平行四边形，有2个平行四边形；②⑤⑥是梯形，有3个梯形。 【易错巩固4】图中，③④⑤⑥拼成的图形是一个（ ）形。用（ ）和（ ）可以拼成平行四边形。（填序号） 【答案】等腰梯/梯 ③（答案不唯一） ⑤（答案不唯一） 【分析】观察得出③是小三角形、④是正方形、⑤是小三角形、⑥是平行四边形，观察图中四块拼合后的形状，判断即可；七巧板里两个完全一样的三角形就可以拼成平行四边形，比如两个大三角形①和②，或是两个小三角形③和⑤，都能拼出平行四边形。 【解答】观察得出，图中，③④⑤⑥拼成的图形是一个等腰梯形或梯形。用①和②或③和⑤可以拼成平行四边形。 【易错巩固5】如图是由一张长方形纸折叠而成的等腰梯形（单位：厘米），这个梯形的高是（ ）厘米，下底是（ ）厘米。 【答案】9 19 【分析】因为这个等腰梯形是由长方形纸折叠而成的，所以梯形的高就是原来长方形的宽，也就是9厘米；梯形的下底就等于长方形的长。由图可知长方形的长是由三部分组成的，一部分是11厘米，另外还有两个4厘米的部分，将它们加总在一起即可。 【解答】11＋4＋4 ＝15＋4 ＝19（厘米） 这个梯形的高是9厘米，下底是19厘米。 易错题型04 数图形（平行四边形或梯形的个数） 1、同时满足「明确平行四边形/梯形的定义判定规则、有序枚举计数不重不漏」规则得到的结果，才是本单元认可的数图形（平行四边形或梯形的个数）问题的合规解题结果，随意把不符合定义的图形计入总数、重复计数或遗漏隐藏图形的不符合几何计数规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理基础单层排列的平行四边形计数问题时，要先数出最小的基础平行四边形数量，再按“1+2+3+…+n”的求和公式累加组合图形数量，不能直接只数单个基础图形，得到总数遗漏的错误结果。 3、处理基础单层排列的梯形计数问题时，要先确认所有待数图形都满足“只有一组对边平行”的梯形定义，再按从左到右的顺序有序枚举，不能把两组对边都平行的平行四边形误计入梯形总数，得到概念混淆的错误结果。 4、处理双层网格类平行四边形计数问题时，要分别算出长边方向的线段总数量、短边方向的线段总数量，两个数值相乘得到平行四边形总个数，不能直接按单层图形的求和公式硬套，得到总数偏小的错误结果。 5、标注数图形（平行四边形或梯形的个数）问题的最终结果时，要明确标注对应图形的名称和总个数，核对计数过程中标记的所有图形都符合定义，避免出现图形类型和数量错配、漏写图形名称的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理嵌套组合类梯形计数问题时，要先按“单个基础梯形、2个基础图形拼成的梯形、多个基础图形拼成的梯形”的层级分层计数，不能东一个西一个随手乱数，得到重复计数或遗漏的错误结果。 7、同一道数图形（平行四边形或梯形的个数）的运算过程中，平行四边形和梯形的定义判定标准、有序枚举的计数规则必须完全统一，不能中途随意更改图形的判定边界、打乱计数的固定顺序，打乱计数逻辑的严谨性。 8、处理带干扰线条的复杂图形计数问题时，要先把不符合平行/梯形对边要求的干扰图形排除，再按固定顺序标记计数，不能把局部看似符合特征的非完整封闭图形计入总数，得到虚高的错误结果。 9、处理计数完成后的验证环节时，要把所有数过的图形逐一核对定义，用总数量反向拆分回各层级的计数结果，不能数完直接结束，得到总数和各层级计数之和不匹配的错误结果。 10、用数图形（平行四边形或梯形的个数）规则解决实际问题时，要先锚定「先明确待数图形的定义、按固定分类标准有序枚举、标记验证确保不重不漏」的核心规则，不能直接硬套普通数零散物品的数数逻辑，忽略几何图形计数专属的有序分类属性。 【题型精讲4】下面的组合图形中，梯形有（    ）个。 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】只有一组对边平行的四边形叫梯形，平行的一组对边较短的是上底，较长的是下底，两底间的距离是梯形的高，据此数出有几个梯形即可。 【解答】左侧直角三角形和中间正方形组成的图形是梯形；中间的正方形和右侧直角三角形组成的图形是梯形；由左侧的两个直角三角形、中间的正方形和右侧的直角三角形共同组成的整体图形是梯形，共有： 1＋1＋1 ＝2＋1 ＝3（个） 组合图形中，梯形有3个。 【易错巩固1】图中一共有（    ）个平行四边形。 A．8 B．9 C．10 【答案】B 【分析】平两组对边分别平行的四边形是平行四边形，依此计算出平行四边形的个数即可。据此数出一共有多少个平行四边形。 【解答】由2个相邻小三角形拼成的平行四边形：一共能数出5个； 由4个相邻小三角形拼成的平行四边形：一共能数出3个； 由6个相邻小三角形拼成的平行四边形：一共能数出1个。 5＋3＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 所以一共有9个平行四边形。 【易错巩固2】下列图形中各有几个平行四边形？ （1）（ ）个 （2）（ ）个 【答案】（1）3 （2）9 【分析】根据平行四边形的定义，平行四边形是指一种四边形，其对边分别平行且相等。据此数出图中平行四边形，数的时候先从不是拼接的数起，然后数拼接而成的。 【解答】（1）有3个平行四边形； （2）单个平行四边形有4个； 两个拼在一起的平行四边形有4个； 四个拼在一起的平行四边形有1个； 4＋4＋1＝9（个） 【易错巩固3】数一数，下图中有（ ）个平行四边形，（ ）个梯形。 【答案】6 5 【分析】数平行四边形：先找单个的小平行四边形，有4个；再看右侧上下叠放的2个小平行四边形可以拼成1个大平行四边形，右侧3个平行四边形可以拼成1个大平行四边形。 数梯形：由1个三角形加1个相邻平行四边形组成的梯形有2个，由三角形加2个相邻平行四边形组成的梯形有1个，最右侧由3个平行四边形和相邻图形组成的梯形有1个，整个图形是1个梯形。 【解答】平行四边形：4＋1＋1＝6（个） 梯形：2＋1＋1＋1＝5（个） 【易错巩固4】数一数下图中有（ ）个平行四边形和（ ）个梯形。 【答案】6 12 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此数出它们的个数即可。 【解答】单独的平行四边形有3个，两个平行四边形组成的平行四边形有2个，三个平行四边形组成的平行四边形有1个，共3＋2＋1＝5＋1＝6个； 单独的梯形有6个，两个梯形组成的梯形有4个，三个梯形组成的梯形有2个，共6＋4＋2＝10＋2＝12个。 数一数下图中有（6）个平行四边形和（12）个梯形。 【易错巩固5】下图中各有多少个平行四边形？ 【答案】30个；60个 【分析】分单个的、二合一的、三合一的、四合一的、六合一的、八合一的、九合一的、十二合一的几类平行四边形，再加起来。 【解答】图一： 单个的有8个，二合一的有10个，三合一的有4个，四合一的有5个，六合一的有2个，八合一的有1个。 共有：8＋10＋4＋5＋2＋1＝30（个） 图二： 单个的有12个，二合一的有17个，三合一的有10个，四合一的有9个，六合一的有7个，八合一的有2个，九合一的有2个，十二合一的有1个。 共有：12＋17＋10＋9＋7＋2＋2＋1＝60（个） 易错题型05 平行四边形或梯形的周长类问题 1、同时满足「明确平行四边形/梯形的周长定义、对应边长特征匹配正确求和逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的平行四边形或梯形的周长类问题的合规解题结果，随意错配边长等量关系、漏算/多算边的不符合周长定义的数值不能作为有效解题依据。 2、处理基础平行四边形周长计算类问题时，要利用平行四边形两组对边分别相等的特征，用“（相邻两边长度之和）×2”算出总周长，不能直接把四条边的长度随意乱加，得到周长数值错误的结果。 3、处理基础等腰梯形周长计算类问题时，要明确等腰梯形两条腰的长度完全相等，用上底加下底再加两条相等腰的长度得到总周长，不能把两条腰的长度当成不同数值乱加，得到周长数值错位的错误结果。 4、处理“长方形框架拉成平行四边形”类周长问题时，四条边的长度全程没有发生变化，周长和原长方形的周长完全相等，不能错误判定边的长度发生改变，得到周长数值变化的错误结论。 5、标注平行四边形或梯形的周长类问题的最终结果时，要明确标注对应场景的长度单位，核对所有边的长度都被计入求和，避免出现漏写单位、漏算某条边的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理“已知平行四边形周长和其中一条边长，求邻边长度”类反向问题时，要用周长先除以2得到一组邻边的长度和，再减去已知边的长度得到邻边长度，不能直接用周长减已知边，得到邻边数值偏小的错误结果。 7、同一道平行四边形或梯形的周长类问题的运算过程中，边长的判定标准、周长的求和规则必须完全统一，不能中途随意更改平行四边形对边相等的特征、混淆等腰梯形两腰相等的定义，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理靠墙围梯形类周长问题时，要明确靠墙的那一侧边不需要计入围栏总长度，用其余三条边的长度相加得到围栏总长度，不能把靠墙的边也重复计入求和，得到围栏总长度虚高的错误结果。 9、处理“已知等腰梯形周长、上底、下底，求单条腰长”类反向问题时，要用周长先减去上底和下底的长度，再把剩余的长度除以2得到单条腰的长度，不能直接把剩余长度当成单条腰长，得到腰长数值偏大的错误结果。 10、用平行四边形或梯形的周长类问题规则解决实际问题时，要先锚定「先梳理图形的边长特征、把所有需要计入周长的边的长度求和、验证结果符合边长逻辑」的核心规则，不能直接硬套普通不规则四边形的周长计算逻辑，忽略平行四边形和梯形专属的边长等量属性。 【题型精讲5】把两个完全一样的等腰梯形拼成一个平行四边形（如下图），那么一个等腰梯形的周长是多少厘米？ 【答案】42厘米 【分析】两个完全一样的等腰梯形拼成一个平行四边形后，平行四边形的底长是18cm，等于等腰梯形的上底与下底之和，平行四边形的斜边长为12cm，等于等腰梯形的腰长，等腰梯形的周长为上底＋下底＋2×腰长，代入数值，即可求出一个等腰梯形的周长是多少厘米。 【解答】18＋2×12 ＝18＋24 ＝42（厘米） 答：一个等腰梯形的周长是42厘米。 【易错巩固1】聪聪做了四个完全一样的平行四边形，已知一个平行四边形相邻两条边分别长3厘米和4厘米。他想用这四个平行四边形拼成一个更大的平行四边形，那么拼成的大平行四边形的周长最长是多少？最短是多少？ 【答案】周长最长是38厘米；周长最短是28厘米 【分析】小平行四边形相邻边是3厘米、4厘米，要让大平行四边形周长最长，就要尽量把短的边拼在一起藏起来，减少被遮住的总边长：把4个小平行四边形顺着3厘米的短边依次拼接，拼成的大平行四边形相邻边分别是4厘米和4×4＝16厘米，计算出周长即可。 要让周长最短，就要尽量把长的边拼在一起藏起来，让大平行四边形的边长尽可能接近：把4个小平行四边形两两组合，分别把长边沿长、短边沿宽拼接，最终拼成相邻边为3×2＝6厘米和4×2＝8厘米的大平行四边形，计算周长即可。 【解答】按如下拼法拼成的周长最长： 4×4＝16（厘米） （16＋3）×2 ＝19×2 ＝38（厘米） 按如下拼法拼成的周长最短： 4×2＝8（厘米） 3×2＝6（厘米） （8＋6）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） 答：拼成的大平行四边形的周长最长是38厘米，最短是28厘米。 【易错巩固2】“绿色蔬菜”是绿色食品的一种，指蔬菜在生长过程中农药使用后残留在蔬菜里的农药残留物指标低于国家或国际规定的标准。王大爷准备一面靠墙围一个梯形菜地种植绿色蔬菜，菜地的上底是28米，下底是50米，两条腰都是24米，该梯形菜地至少要围多少米的篱笆？ 【答案】76米 【分析】要使篱笆长度最短，需让梯形最长的边靠墙（靠墙的边不需要围篱笆），只需计算其余三条边的长度和。 【解答】，梯形最长边是下底50米，将下底靠墙时篱笆最短。 ＝ 28 ＋ 48 （米） 答：该梯形菜地至少要围76米的篱笆。 【易错巩固3】一个等腰梯形，上底是8厘米，下底的长度是上底的2倍，腰长比上底多2厘米，把这个梯形剪成一个最大的平行四边形，这个平行四边形的周长是多少厘米？ 【答案】36厘米 【分析】在梯形中剪最大的平行四边形，平行四边形的一组对边长度等于梯形较短的底的长度，另一组对边长度等于梯形的腰长。先算出下底长度确定较短的底，再算出腰长，最后用平行四边形周长公式计算。 【解答】下底长度：（厘米） 腰长：（厘米） 最大平行四边形的底为上底8厘米，邻边为腰长10厘米周长： ＝18×2 ＝36（厘米） 答：这个平行四边形的周长是36厘米。 【易错巩固4】已知一个等腰梯形的上底是5厘米，下底比上底的2倍少3厘米，一条腰长6厘米。这个梯形的周长是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】根据“一个等腰梯形的上底是5厘米，下底比上底的2倍少3厘米”，下底是（5×2－3）厘米，梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰的长度之和，据此列式解答。 【解答】5＋（5×2－3）＋6＋6 ＝5＋（10－3）＋6＋6 ＝5＋7＋6＋6 ＝12＋6＋6 ＝18＋6 ＝24（厘米） 答：这个梯形的周长是24厘米。 【易错巩固5】用一根铁丝围成一个平行四边形，平行四边形相邻两条边的长度分别是9厘米和13厘米。现在用这根铁丝围成一个等腰梯形，梯形上底是7厘米，下底是19厘米，这个等腰梯形的腰长是多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】根据题意，用平行四边形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据求出平行四边形的周长，即梯形的周长，然后用梯形的周长减去梯形的上底和下底，再除以2，即可求出这个等腰梯形的腰长是多少厘米。 【解答】（9＋13）×2 ＝22×2 ＝44（厘米） （44－7－19）÷2 ＝（37－19）÷2 ＝18÷2 ＝9（厘米） 答：等腰梯形的腰长是9厘米。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $