第五单元 平行四边形和梯形（思维拓展培优）-四年级上册数学从课本到奥数系列讲义（人教版）

第五单元 平行四边形和梯形（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：平行和垂直的特征及性质 1. 同一平面内的位置关系 (1) 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 (2) 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。记作 ，读作“a平行于b”。 (3) 垂线：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。记作 ，读作“a垂直于b”。 2. 平行线与垂线的重要性质（培优拓展） (1) 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行的传递性）。 (2) 垂直的性质： 1　 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2　 如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。 (3) 平行线间的距离处处相等: 两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些垂直线段的长度都相等。 知识点二：点到直线的距离 1. 定义理解 (1) 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 (2) 关键区分：“垂直线段”是图形，“距离”是长度（数值）。 2. 性质应用（思维拓展） 1　 垂线段最短原理：在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。这一性质常用于解决“最短路径”类实际问题（如：修路、引水管道铺设等最优方案选择）。 2　 平行线间的距离：两条平行线之间的距离是指夹在两条平行线间的垂线段的长度。由于平行线间垂线段长度处处相等，因此平行线间的距离是恒定的。 知识点三：画平行线和垂线 1. 基本工具与方法 (1) 主要工具：三角尺、直尺、铅笔。 (2) 画垂线步骤： 1　 靠：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2　 移：沿已知直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点。 3　 画：沿另一条直角边画直线。 4　 标：画上垂直符号。 (3) 画平行线步骤： 1　 贴：用三角尺的一条直角边紧贴已知直线。 2　 靠：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边（固定直尺不动）。 3　 移：沿直尺平移三角尺，直到三角尺的原直角边经过已知点。 4　 画：沿三角尺的直角边画直线。 2. 长方形与正方形的画法（综合应用） (1) 利用画垂线和平行线的方法，可以规范地画出长方形和正方形。 (2) 长方形：先画长，再在两端画宽（垂线），最后连接另一端（平行线）。 (3) 正方形：方法同长方形，但需保证邻边长度相等。 知识点四：平行四边形和梯形的概念及特点 1. 平行四边形 (1) 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 (2) 特征： 1　 对边平行且相等。 2　 对角相等。 3　 不稳定性：平行四边形容易变形，具有不稳定性（应用于伸缩门、升降机等）。 (3) 高与底：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高。 2. 梯形 (1) 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 (2) 各部分名称： 1　 底：平行的一组对边分别叫做上底和下底（通常较短的叫上底，较长的叫下底）。 2　 腰：不平行的一组对边叫做腰。 3　 高：从上底一点向下底引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。梯形也有无数条高。 (3) 特殊梯形： 1　 等腰梯形：两腰相等的梯形。特点是两腰相等，同一底上的两个角相等，是轴对称图形。 2　 直角梯形：有一个角是直角的梯形。特点是有一条腰垂直于底，这条腰的长度就是梯形的高。 3. 四边形之间的关系（集合思想） (1) 正方形和长方形都是特殊的平行四边形。 (2) 平行四边形和梯形都是特殊的四边形。 (3) 平行四边形和梯形是并列关系，没有交集（因为平行四边形要求两组对边平行，梯形要求只有一组对边平行）。 知识点五：画平行四边形和梯形 1. 画平行四边形 (1) 方法一（利用平行线）：先画一组平行线，再在平行线间画另一组平行线，围成的图形即为平行四边形。 (2) 方法二（利用对边相等）：先画一条线段作为底，确定一个顶点，利用量角器或三角板确定角度，截取邻边长度，再利用平行性质完成图形。 (3) 指定底和高画图：先画底，再画指定长度的高（垂线段），通过高的顶点画底的平行线，最后确定另一条边的位置。 2. 画梯形 (1) 一般梯形：先画上下两条平行线（确定高），然后在平行线上截取不等长的线段作为上底和下底，连接端点。 (2) 直角梯形：先画一条垂线作为高（也是直角腰），再从垂足和顶点分别画两条互相平行的射线，截取上底和下底，连接另一端。 (3) 等腰梯形：先画下底，找到中点画高，在高两侧对称截取上底的一半，连接顶点与下底端点，确保两腰长度相等。 知识点六：数图形 1. 复杂图形中的平行四边形计数（有序枚举法） (1) 基本策略：分类计数，避免重复和遗漏。 (2) 单一图形：先数由1个基本小平行四边形组成的图形。 (3) 组合图形：再数由2个、3个……直至所有基本图形组合而成的大平行四边形。 (4) 公式法（网格状）：对于由横向 条平行线和纵向 条平行线交织成的网格，平行四边形的总数为： 。即横向线段组合数乘以纵向线段组合数。 2. 梯形的计数技巧 (1) 在复杂的组合图形中数梯形，关键在于抓住“只有一组对边平行”这一特征。 (2) 通常先确定平行的上下底方向，然后枚举可能的腰的组合。注意排除掉那些两组对边都平行（即平行四边形）的情况。 知识点七：莫比乌斯带的制作 1. 什么是莫比乌斯带 (1) 莫比乌斯带是一种只有一个面和一个边界的拓扑结构。它打破了常规曲面（如纸环有两个面：内侧和外侧）的认知。 2. 制作方法 (1) 准备一张长方形纸条。 (2) 将纸条的一端扭转180度。 (3) 将扭转后的端头与另一端粘合在一起。 3. 神奇特性（思维拓展实验） (1) 单面性验证：用笔在莫比乌斯带中间画线，不抬笔可以画遍整个纸带表面并回到起点，证明它只有一个面。 (2) 剪开实验： 1　 沿中线剪开：不会变成两个独立的圈，而是变成一个更大的、扭转了两圈的单一大圈。 2　 沿三分之一处剪开：会变成两个相互套连的圈，一个大圈（莫比乌斯带），一个小圈（普通纸环）。 重难点题型精讲 题型一、平行和垂直的特征及性质 【例题1】阳阳家住新房了，爸爸安装了一款升降的晾衣架后发现晾衣架的横杆有点斜，阳阳微笑着说他有办法，你猜阳阳的办法是( )，这是利用了平行线之间的( )的原理。 【跟踪训练1】下图中，直线AB和直线CD互相平行，线段( )和线段( )一样长（填序号），线段①和线段④的位置关系为( )。 题型二、点到直线的距离 【例题2】爸爸去建材市场采购，从停车场到建材市场四个入口的路线如图所示，每条路线的长度分别为99米、138米、187米、80米，其中路线②的长度是( )米。 【跟踪训练2】要从点A划船到河对岸，该怎样划路线最短？把最短的路线画出来。 题型三、画平行线和垂线 【例题3】过点P分别画出直线AB的平行线和直线CD的垂线。 【跟踪训练3】先过点A画已知直线的平行线，再在平行线间画一个最大的正方形。 题型四、平行四边形和梯形的概念及特点 【例题4】如图，一个等腰梯形被分成一个平行四边形和一个三角形，这个平行四边形的周长是( )。 【跟踪训练4】等腰梯形的一条腰长25cm，上底长17cm，下底长43cm，它的周长是( )cm。如果把其中的一条底边增长后变成平行四边形，该平行四边形的周长是( )cm。 题型五、画平行四边形和梯形 【例题5】请在下面的方格纸上按要求画图（每个方框边长都是1厘米）。 (1)画一个高4厘米、底3厘米的平行四边形。 (2)画一个等腰梯形，要求下底的长度是上底的2倍。 【跟踪训练5】山西博物院的外形近似一个等腰梯形，请你在方格图中绘制。 (1)底4cm、高3cm的平行四边形。 (2)上底4cm、下底6cm、高3cm的梯形。 (3)在梯形内画一条线段，将其分成一个三角形和一个平行四边形（画出一种即可）。 题型六、数图形 【例题6】下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 【跟踪训练6】数一数，下图中有( )个平行四边形，( )个梯形。 题型七、莫比乌斯带的制作 【例题7】以下应用中，利用了莫比乌斯带原理的是（    ）。              A．呼啦圈 B．儿童爬爬架 C．透明胶带圈 D．传送带 【跟踪训练7】一张长40厘米，宽10厘米的长方形纸条，把其中一边扭转180°两端粘上制成一个纸环，一只小蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是( )厘米。（接头处不计） 培优练习 1．将一张正方形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．互相重合 D．长度不一样 2．下图中有（    ）个平行四边形。 A．6 B．7 C．8 D．9 3．在同一平面内，过直线外的一点画已知直线的垂线，这样的垂线可以画（    ）条。 A．1条 B．2条 C．无数条 D．1条或2条 4．小亚家通往公园路共有4条路线（如图），这4条路的长度分别约是：950米、1150米、1千米530米和2千米。根据图示可以判断出B路线的长度是（    ）。 A．950米 B．1150米 C．1千米530米 D．2千米 5．在同一平面内，如果直线a与直线b平行，直线a与直线c垂直，那么直线b与直线c（    ）。 A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 6．如图，佳佳使用完毛笔后，将笔头朝下挂起晾干，两根毛笔互相( )，毛笔与笔梁互相( )。（填“平行”或“垂直”） 7． (1)如图，点A到直线FH的距离指的是线段( )的长度。 (2)如图，如果线段EF的长度是5cm，那么线段GH的长度是( )cm。 8．一个平行四边形其中两条边长为6厘米、12厘米，另外的两条边长分别为( )厘米、( )厘米。 9．等腰梯形的周长是25cm，上下底分别是5cm和6cm，它的一条腰长是( )cm。 10．如图，把一张长5厘米、宽3厘米的长方形纸和一张平行四边形纸交叉摆放。重叠部分形成的四边形是( )形，它标“底”字边上的高为( )厘米。 11．如图所示的两条纸带，图( )是“莫比乌斯带”。图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，它( )（填“能”或“不能”）吃到纸带内的面包屑。 12．某工厂的机器人要从点��处走到点��处搬起货物，再将货物放在置物架上，怎样走路线最短？画图表示。 13．按要求作图。 （1）经过点画出直线的垂线。 （2）经过点画出直线的平行线。 （3）量一量，所画出的两条直线形成的夹角分别是（    ）°和（    ）°。 14．作业做完后，欢欢开始画画，她准备画一张游泳池的画。 （1）现在已经画出了游泳池的两条边，请你帮她将这个长方形游泳池补充完整。 （2）欢欢在A点画了一个小朋友，如果这个小朋友想要尽快游到岸边，请你画出最短的路线。 15．按要求作图，并回答下面的问题。（每个小方格的边长为1厘米） (1)请画一个底是6厘米、对应的高是4厘米的平行四边形。 (2)画出平行四边形的高，沿这条高可以剪成（        ）形和（        ）形。 (3)这两个图形的周长之和与原来的平行四边形的周长相比，周长( )（填“增加”或“减少”）了( )厘米。 16．按要求在方格纸上画图。（每个小方格的边长表示1厘米） (1)画一个上底为3厘米、下底为5厘米、高为4厘米的等腰梯形。 (2)画一个底为6厘米、高为4厘米的平行四边形，并将这个平行四边形分割成一个三角形和一个梯形。 17．一个平行四边形相邻两条边的长度分别是6厘米和8厘米。用这样的4个平行四边形拼成一个新的平行四边形，拼成的图形的周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 18．一个等腰梯形，腰长10厘米，下底是上底的3倍，如果把下底缩短6厘米，这个等腰梯形就变成了平行四边形，这个等腰梯形的周长是多少厘米？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 平行四边形和梯形（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：平行和垂直的特征及性质 1. 同一平面内的位置关系 (1) 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 (2) 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。记作 ，读作“a平行于b”。 (3) 垂线：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。记作 ，读作“a垂直于b”。 2. 平行线与垂线的重要性质（培优拓展） (1) 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行的传递性）。 (2) 垂直的性质： 1　 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2　 如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。 (3) 平行线间的距离处处相等: 两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些垂直线段的长度都相等。 知识点二：点到直线的距离 1. 定义理解 (1) 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 (2) 关键区分：“垂直线段”是图形，“距离”是长度（数值）。 2. 性质应用（思维拓展） 1　 垂线段最短原理：在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。这一性质常用于解决“最短路径”类实际问题（如：修路、引水管道铺设等最优方案选择）。 2　 平行线间的距离：两条平行线之间的距离是指夹在两条平行线间的垂线段的长度。由于平行线间垂线段长度处处相等，因此平行线间的距离是恒定的。 知识点三：画平行线和垂线 1. 基本工具与方法 (1) 主要工具：三角尺、直尺、铅笔。 (2) 画垂线步骤： 1　 靠：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2　 移：沿已知直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点。 3　 画：沿另一条直角边画直线。 4　 标：画上垂直符号。 (3) 画平行线步骤： 1　 贴：用三角尺的一条直角边紧贴已知直线。 2　 靠：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边（固定直尺不动）。 3　 移：沿直尺平移三角尺，直到三角尺的原直角边经过已知点。 4　 画：沿三角尺的直角边画直线。 2. 长方形与正方形的画法（综合应用） (1) 利用画垂线和平行线的方法，可以规范地画出长方形和正方形。 (2) 长方形：先画长，再在两端画宽（垂线），最后连接另一端（平行线）。 (3) 正方形：方法同长方形，但需保证邻边长度相等。 知识点四：平行四边形和梯形的概念及特点 1. 平行四边形 (1) 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 (2) 特征： 1　 对边平行且相等。 2　 对角相等。 3　 不稳定性：平行四边形容易变形，具有不稳定性（应用于伸缩门、升降机等）。 (3) 高与底：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高。 2. 梯形 (1) 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 (2) 各部分名称： 1　 底：平行的一组对边分别叫做上底和下底（通常较短的叫上底，较长的叫下底）。 2　 腰：不平行的一组对边叫做腰。 3　 高：从上底一点向下底引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。梯形也有无数条高。 (3) 特殊梯形： 1　 等腰梯形：两腰相等的梯形。特点是两腰相等，同一底上的两个角相等，是轴对称图形。 2　 直角梯形：有一个角是直角的梯形。特点是有一条腰垂直于底，这条腰的长度就是梯形的高。 3. 四边形之间的关系（集合思想） (1) 正方形和长方形都是特殊的平行四边形。 (2) 平行四边形和梯形都是特殊的四边形。 (3) 平行四边形和梯形是并列关系，没有交集（因为平行四边形要求两组对边平行，梯形要求只有一组对边平行）。 知识点五：画平行四边形和梯形 1. 画平行四边形 (1) 方法一（利用平行线）：先画一组平行线，再在平行线间画另一组平行线，围成的图形即为平行四边形。 (2) 方法二（利用对边相等）：先画一条线段作为底，确定一个顶点，利用量角器或三角板确定角度，截取邻边长度，再利用平行性质完成图形。 (3) 指定底和高画图：先画底，再画指定长度的高（垂线段），通过高的顶点画底的平行线，最后确定另一条边的位置。 2. 画梯形 (1) 一般梯形：先画上下两条平行线（确定高），然后在平行线上截取不等长的线段作为上底和下底，连接端点。 (2) 直角梯形：先画一条垂线作为高（也是直角腰），再从垂足和顶点分别画两条互相平行的射线，截取上底和下底，连接另一端。 (3) 等腰梯形：先画下底，找到中点画高，在高两侧对称截取上底的一半，连接顶点与下底端点，确保两腰长度相等。 知识点六：数图形 1. 复杂图形中的平行四边形计数（有序枚举法） (1) 基本策略：分类计数，避免重复和遗漏。 (2) 单一图形：先数由1个基本小平行四边形组成的图形。 (3) 组合图形：再数由2个、3个……直至所有基本图形组合而成的大平行四边形。 (4) 公式法（网格状）：对于由横向 条平行线和纵向 条平行线交织成的网格，平行四边形的总数为： 。即横向线段组合数乘以纵向线段组合数。 2. 梯形的计数技巧 (1) 在复杂的组合图形中数梯形，关键在于抓住“只有一组对边平行”这一特征。 (2) 通常先确定平行的上下底方向，然后枚举可能的腰的组合。注意排除掉那些两组对边都平行（即平行四边形）的情况。 知识点七：莫比乌斯带的制作 1. 什么是莫比乌斯带 (1) 莫比乌斯带是一种只有一个面和一个边界的拓扑结构。它打破了常规曲面（如纸环有两个面：内侧和外侧）的认知。 2. 制作方法 (1) 准备一张长方形纸条。 (2) 将纸条的一端扭转180度。 (3) 将扭转后的端头与另一端粘合在一起。 3. 神奇特性（思维拓展实验） (1) 单面性验证：用笔在莫比乌斯带中间画线，不抬笔可以画遍整个纸带表面并回到起点，证明它只有一个面。 (2) 剪开实验： 1　 沿中线剪开：不会变成两个独立的圈，而是变成一个更大的、扭转了两圈的单一大圈。 2　 沿三分之一处剪开：会变成两个相互套连的圈，一个大圈（莫比乌斯带），一个小圈（普通纸环）。 重难点题型精讲 题型一、平行和垂直的特征及性质 【例题1】阳阳家住新房了，爸爸安装了一款升降的晾衣架后发现晾衣架的横杆有点斜，阳阳微笑着说他有办法，你猜阳阳的办法是( )，这是利用了平行线之间的( )的原理。 【答案】 升高晾衣架比较低的一边，使左右两边钢丝绳的长度相等 距离处处相等 【分析】根据两条互相平行的直线里，任意位置的垂直线段长度都相等，也就是平行线间距离处处相等；晾衣架的顶部横杆是和天花板固定平行的，只要用来挂晒衣横杆的两根吊绳长度相同，晒衣横杆就会和顶部的平行横杆距离处处相等，晒衣横杆自然就变水平不歪斜了，据此填空。 【详解】根据分析可得： 升高晾衣架比较低的一边，使左右两边钢丝绳的长度相等，这是利用了平行线之间距离处处相等的原理。 【跟踪训练1】下图中，直线AB和直线CD互相平行，线段( )和线段( )一样长（填序号），线段①和线段④的位置关系为( )。 【答案】 ① ④ 互相平行 【分析】因为直线AB和CD互相平行，线段①、④都是垂直于两条平行线的垂线段。两条平行线之间的所有垂线段长度都相等，所以①和④长度一样。线段①和线段④都同时垂直于互相平行的AB、CD两条直线，两条垂直于同一条直线的线段，位置关系是互相平行。 【详解】线段①和线段④一样长，线段①和线段④的位置关系为互相平行。 题型二、点到直线的距离 【例题2】爸爸去建材市场采购，从停车场到建材市场四个入口的路线如图所示，每条路线的长度分别为99米、138米、187米、80米，其中路线②的长度是( )米。 【答案】80 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。观察图形可知，路线②是从停车场到建材市场各路线中垂直于相关直线的线段，因此路线②是最短的。在给出的长度99米、138米、187米、80米中找出最短的线路即是线路②的长度。据此解答。 【详解】因为80米＜99米＜138米＜187米，所以线路②的长度是80米。 【跟踪训练2】要从点A划船到河对岸，该怎样划路线最短？把最短的路线画出来。 【答案】 【分析】因为点到直线的所有连线中，垂线段最短，所以需要过点A向对岸的河岸作垂线段。 按照过直线外一点作已知直线垂线的作图方法，画出该垂线段即可得到最短路线。 【详解】略 题型三、画平行线和垂线 【例题3】过点P分别画出直线AB的平行线和直线CD的垂线。 【答案】 【分析】用三角板的一条边与直线AB重合，再把直尺靠紧三角板的另一条边，固定住直尺不动，沿着直尺移动三角板，直到三角板原先贴AB的那条边刚好经过点P，沿着这条边画出直线，就是过P点的AB的平行线。 把三角板的直角边与直线CD重合，慢慢移动三角板，让三角板的另一条直角边刚好经过点P，沿着这条经过P的直角边画直线，并画上垂直符号即可。 【详解】略 【跟踪训练3】先过点A画已知直线的平行线，再在平行线间画一个最大的正方形。 【答案】 【分析】过点A画已知直线的平行线：用三角板的一条直角边对齐图里的已知直线，把直尺紧贴三角板的另一条直角边，固定直尺后平移三角板，让三角板原先对齐已知直线的直角边经过点A，沿着这条直角边画出的直线，就是已知直线的平行线。 画平行线间最大的正方形：①从点A向下方的已知直线画一条垂直线段，这条线段的长度就是两条平行线之间的距离；②以这条垂线段的长度作为正方形的边长，分别在点A所在的平行线上，从点A向左量出和垂线段长度相等的距离，得到一个点；再在下方的已知直线上，找到刚才垂线段和已知直线的垂足，从垂足向左也量出同样的边长得到一个点；③顺次连接这四个点，得到的就是两条平行线之间能画出的最大正方形。 【详解】画图略 题型四、平行四边形和梯形的概念及特点 【例题4】如图，一个等腰梯形被分成一个平行四边形和一个三角形，这个平行四边形的周长是( )。 【答案】14厘米/14cm 【分析】等腰梯形的两条腰相等，平行四边形的一条边等于梯形的腰，是5厘米，平行四边形另一条边的长度等于梯形的上底，是2厘米，平行四边形对边相等，可以用两条相邻边的和乘2算出平行四边形周长。 【详解】 （厘米） 【跟踪训练4】等腰梯形的一条腰长25cm，上底长17cm，下底长43cm，它的周长是( )cm。如果把其中的一条底边增长后变成平行四边形，该平行四边形的周长是( )cm。 【答案】 110 136 【分析】等腰梯形的周长等于上底加下底加两条腰长；平行四边形的对边相等，把上底增长，增长后上底的长度等于下底的长度43cm，此时平行四边形的相邻两边分别为43cm和25cm。平行四边形的周长等于相邻两边之和的2倍。先根据等腰梯形的周长公式求出其周长，再计算变化后的平行四边形周长。 【详解】等腰梯形的周长：17＋43＋25×2 ＝17＋43＋50 ＝60＋50 ＝110（cm） 平行四边形的周长：（43＋25）×2 ＝68×2 ＝136（cm） 题型五、画平行四边形和梯形 【例题5】请在下面的方格纸上按要求画图（每个方框边长都是1厘米）。 (1)画一个高4厘米、底3厘米的平行四边形。 (2)画一个等腰梯形，要求下底的长度是上底的2倍。 【答案】(1) (2)（画法不唯一） 【分析】（1）根据平行四边形的特征，先画线段AB＝3厘米，再过这一线段上的任一点E（不是端点），作线段AB垂直线段DE＝4厘米，过点D作AB的平行线段DC＝3厘米，再分别连结AD、BC，四边形ABCD就是所画的底为3厘米，高为4厘米的平行四边形。 （2）画一个等腰梯形，要求下底的长度是上底的2倍，根据等腰梯形的定义，画一个上底是2厘米，下底是2×2＝4厘米，高是3厘米的等腰梯形。（画法不唯一） 【详解】（1）略。 （2）略。 【跟踪训练5】山西博物院的外形近似一个等腰梯形，请你在方格图中绘制。 (1)底4cm、高3cm的平行四边形。 (2)上底4cm、下底6cm、高3cm的梯形。 (3)在梯形内画一条线段，将其分成一个三角形和一个平行四边形（画出一种即可）。 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） (3)（答案不唯一） 【分析】每个小方格边长代表1厘米。 （1）平行四边形（底4cm、高3cm）：底占4格，两条底边垂直距离是3格；对边平行且相等。 （2）梯形（上底4cm、下底6cm、高3cm）：上底占4格，下底占6格，两条底边垂直距离是3格；只有一组对边平行。 （3）分割方法：从梯形下底截取和上底一样长4cm的一段，向上底一个端点连线，就分出1个平行四边形和1个三角形。 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型六、数图形 【例题6】下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 【答案】 5 3 【分析】平行四边形：两组对边分别平行；梯形：只有一组对边平行；按顺序数：先数单个小图形，再数2个组合，再数多个组合，不重复、不漏数。 【详解】数平行四边形：右上角的平行四边形1个；右下角的平行四边形1个；中间平行四边形1个；右上角的平行四边形＋右下角的平行四边形组合的大平行四边形1个；右上角的平行四边形＋右下角的平行四边形＋中间平行四边形组合的大平行四边形1个；1＋1＋1＋1＋1＝5（个），故一共有5个平行四边形。 数梯形：左边的小梯形1个；左边的小梯形＋中间平行四边形组合的梯形1个；整个大图形是1个梯形；1＋1＋1＝3（个），故一共有3个梯形。 【跟踪训练6】数一数，下图中有( )个平行四边形，( )个梯形。 【答案】 6 5 【分析】数平行四边形：先找单个的小平行四边形，有4个；再看右侧上下叠放的2个小平行四边形可以拼成1个大平行四边形，右侧3个平行四边形可以拼成1个大平行四边形。 数梯形：由1个三角形加1个相邻平行四边形组成的梯形有2个，由三角形加2个相邻平行四边形组成的梯形有1个，最右侧由3个平行四边形和相邻图形组成的梯形有1个，整个图形是1个梯形。 【详解】平行四边形：4＋1＋1＝6（个） 梯形：2＋1＋1＋1＝5（个） 题型七、莫比乌斯带的制作 【例题7】以下应用中，利用了莫比乌斯带原理的是（    ）。              A．呼啦圈 B．儿童爬爬架 C．透明胶带圈 D．传送带 【答案】B 【分析】莫比乌斯带是一种只有一个面和一条边界的曲面，莫比乌斯带的特性：单侧曲面、单边界、沿中线剪开会形成特定结构，据此逐项分析。 【详解】A．用呼啦圈健身时，只有内侧接触身体，没有利用莫比乌斯带原理； B．儿童爬爬架可实现路径的连续性或特殊循环，利用了莫比乌斯带的单侧特性； C．胶带有两个面，没有利用莫比乌斯带原理； D．传送带有两个面，没有利用莫比乌斯带原理。 利用了莫比乌斯带原理的是儿童爬爬架。 【跟踪训练7】一张长40厘米，宽10厘米的长方形纸条，把其中一边扭转180°两端粘上制成一个纸环，一只小蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是( )厘米。（接头处不计） 【答案】80 【分析】根据图示可知，这张纸条做成的是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面。所以这只蚂蚁爬行的距离大约是两个长方形纸条的长。 【详解】40×2＝80（厘米） 它爬行的距离是80厘米。 培优练习 1．将一张正方形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．互相重合 D．长度不一样 【答案】A 【分析】将正方形纸上下对折，得到水平方向的折痕，再左右对折，得到竖直方向的折痕，两条折痕相交成直角 【详解】正方形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕互相垂直。 2．下图中有（    ）个平行四边形。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形。由图可知，单独的小平行四边形有5个，由2个小平行四边形组成的大平行四边形有3个，由3个小平行四边形组成的大平行四边形有1个，即一共有（5＋3＋1）个平行四边形。 【详解】5＋3＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 所以图中有9个平行四边形。 3．在同一平面内，过直线外的一点画已知直线的垂线，这样的垂线可以画（    ）条。 A．1条 B．2条 C．无数条 D．1条或2条 【答案】A 【分析】平面内垂线的基本性质：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以可依据该性质直接判断对应选项。 【详解】根据分析可知，在同一平面内，过直线外一点有且仅有1条直线与已知直线互相垂直，因此符合要求的垂线只能画1条。 4．小亚家通往公园路共有4条路线（如图），这4条路的长度分别约是：950米、1150米、1千米530米和2千米。根据图示可以判断出B路线的长度是（    ）。 A．950米 B．1150米 C．1千米530米 D．2千米 【答案】A 【分析】根据图示，线路B是小亚家到公园路的垂直线段，根据直线外一点到该直线的垂线段最短，可知线路B是小亚家通往公园路的最短路线。先统一单位，1千米＝1000米，再比较大小，找出最短路线，即为B路线对应的长度。据此解答。 【详解】1千米530米＝1000米＋530米＝1530米，2千米＝2000米，，所以950米是最短的路线，即对应B路线。 5．在同一平面内，如果直线a与直线b平行，直线a与直线c垂直，那么直线b与直线c（    ）。 A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据平行和垂直的性质，如果一条直线与另一条直线平行，而这条平行的直线又与第三条直线垂直，那么第一条直线也与第三条直线垂直；也可画图解答。 【详解】根据分析可知，直线a、b、c在同一平面内，a∥b，a⊥c，那么b与c互相垂直；如下图： 所以，在同一平面内，如果直线a与直线b平行，直线a与直线c垂直，那么直线b与直线c垂直。 6．如图，佳佳使用完毛笔后，将笔头朝下挂起晾干，两根毛笔互相( )，毛笔与笔梁互相( )。（填“平行”或“垂直”） 【答案】 平行 垂直 【分析】在同一平面内永不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角就互相垂直。 【详解】两根毛笔都是竖直向下，方向一致，互相平行； 笔梁是水平的，毛笔竖直，水平和竖直相交成直角，所以互相垂直。 7． (1)如图，点A到直线FH的距离指的是线段( )的长度。 (2)如图，如果线段EF的长度是5cm，那么线段GH的长度是( )cm。 【答案】(1)AD (2)5 【分析】（1）点到直线的距离根据定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离，判断点A到直线FH的距离。 （2）平行线之间的距离处处相等，即两条平行线之间的垂线段长度都相等，计算线段GH的长度。 【详解】（1）观察图形，点A在直线EG上，直线FH是水平直线，线段AD垂直于FH。因此，点A到直线FH的距离是线段AD的长度。 （2）直线EG和FH是互相平行的，线段EF和GH都是EG与FH之间的垂线段，因此EF＝GH，已知EF＝5cm，所以GH＝5cm。 8．一个平行四边形其中两条边长为6厘米、12厘米，另外的两条边长分别为( )厘米、( )厘米。 【答案】 6 12 【分析】平行四边形的基本特点，平行四边形的两组对边长度是相等的，已经给出的两条边长度不一样，刚好是一组不同的邻边，所以剩下的另外两条边，就分别和这两条已知边长度对应相等，也就是6厘米和12厘米。 【详解】一个平行四边形其中两条边长为6厘米、12厘米，另外的两条边长分别为6厘米、12厘米。 9．等腰梯形的周长是25cm，上下底分别是5cm和6cm，它的一条腰长是( )cm。 【答案】 7 【分析】等腰梯形是指两条腰长度相等的梯形。梯形的周长等于上底、下底和两条腰的长度之和。即：周长＝上底＋下底＋腰＋腰。已知周长、上底和下底，要求一条腰的长度。可以先用周长减去上底和下底，求出两条腰的长度和，再除以即可求出一条腰的长度。 【详解】（25－5－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（cm） 因此，它的一条腰长是7cm。 10．如图，把一张长5厘米、宽3厘米的长方形纸和一张平行四边形纸交叉摆放。重叠部分形成的四边形是( )形，它标“底”字边上的高为( )厘米。 【答案】 平行四边 3 【分析】两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高。 【详解】长方形的对边互相平行，平行四边形的对边互相平行，当它们交叉摆放时，重叠部分的四边形的两组对边分别平行，所以重叠部分形成的四边形是平行四边形。 长方形的宽是两条长边之间的垂直距离，正好就是重叠部分的四边形标“底”字的边对应的高，为3厘米。 11．如图所示的两条纸带，图( )是“莫比乌斯带”。图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，它( )（填“能”或“不能”）吃到纸带内的面包屑。 【答案】 ② 不能 【分析】根据莫比乌斯带的特点：莫比乌斯带是把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈；因此可以判断，图②是莫比乌斯带；根据图①的特点，蚂蚁不爬过纸带的边缘，无法进入纸带的内部，也就无法吃到面包屑，据此解答。 【详解】根据分析可得： 如图所示的两条纸带，图②是莫比乌斯带；图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，它不能吃到纸带内的面包屑。 12．某工厂的机器人要从点��处走到点��处搬起货物，再将货物放在置物架上，怎样走路线最短？画图表示。 【答案】 【分析】机器人要从A点出发先到P点搬货，再将货物放到置物架上，需走最短路线。根据两点之间线段最短，先连接AP，再根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，据此画图；画垂线时，三角板的一条直角边与直线重合，沿直线平移，使另一条直角边过那个点，沿另一条直角边作出一条线段就是它的垂线，并标上垂直标记。 【详解】画图略 13．按要求作图。 （1）经过点画出直线的垂线。 （2）经过点画出直线的平行线。 （3）量一量，所画出的两条直线形成的夹角分别是（    ）°和（    ）°。 【答案】（1） （2） （3）40；140 【分析】（1）过点O作直线a的垂线：用三角板的一条直角边与直线a重合，沿直线a平移三角板，使另一条直角边经过点O，沿该直角边画直线，即为直线a的垂线，标注垂直； （2）过点O作直线b的平行线：用三角板的一边与直线b重合，用直尺靠紧三角板的另一边，沿直尺平移三角板，使与直线b重合的边经过点O，沿该边画直线，即为直线b的平行线。 （3）测量两条新作直线的夹角：用量角器的中心对准两直线交点，刻度线与其中一条直线重合，读取另一条直线对应的刻度是，再根据平角为，得到另一个夹角的度数。 【详解】（1）图略。 （2）图略。 （3）量出一个角为，另一个是：。 14．作业做完后，欢欢开始画画，她准备画一张游泳池的画。 （1）现在已经画出了游泳池的两条边，请你帮她将这个长方形游泳池补充完整。 （2）欢欢在A点画了一个小朋友，如果这个小朋友想要尽快游到岸边，请你画出最短的路线。 【答案】（1）（2）如下图所示： 【分析】（1）将三角尺的一条直角边与长方形的长重合，移动三角尺，待三角尺的直角顶点与这条长的端点重合，沿着三角尺的另一条直角边，从这个端点画与宽长度一样的线，即可画出长方形另一条宽，再连接两条宽的端点，即可补全长方形。 （2）点到直线的距离，垂线段最短。图中A点到长边的距离更近。如果这个小朋友要想尽快游到岸边，要沿着垂线段游；用三角尺的直角边与长方形的长重合，移动三角尺，待三角尺另一条直角边过A点，从A点沿着这条直角边画到长方形长边的垂线段即可。 【详解】略 15．按要求作图，并回答下面的问题。（每个小方格的边长为1厘米） (1)请画一个底是6厘米、对应的高是4厘米的平行四边形。 (2)画出平行四边形的高，沿这条高可以剪成（        ）形和（        ）形。 (3)这两个图形的周长之和与原来的平行四边形的周长相比，周长( )（填“增加”或“减少”）了( )厘米。 【答案】(1) (2)；三角；梯 (3) 增加 8 【分析】（1）每个小方格边长1厘米，在方格纸上横向画出一个长6格（6厘米）的线段作为底，从边向上垂直数4格（4厘米），确定一个点，画出一组对边，连接各点，就得到底6厘米，高4厘米的平行四边形。 （2）从平行四边形的一条边上的任意一点，向它对边（这条边叫底）作一条垂直的线段，这条垂直的线段，就叫做平行四边形这条底上的高，据此作图。沿这条高可以剪成三角形和梯形。 （3）剪开之后，多出了2条高，高是4厘米。即周长增加了（4×2）厘米。 【详解】（1）画图略 （2）画图略，沿这条高可以剪成三角形和梯形。 （3）4×2＝8（厘米） 这两个图形的周长之和与原来的平行四边形的周长相比，周长增加了8厘米。 16．按要求在方格纸上画图。（每个小方格的边长表示1厘米） (1)画一个上底为3厘米、下底为5厘米、高为4厘米的等腰梯形。 (2)画一个底为6厘米、高为4厘米的平行四边形，并将这个平行四边形分割成一个三角形和一个梯形。 【答案】(1) (2)（画法不唯一） 【分析】（1）绘制等腰梯形：先确定下底位置，数出5个连续方格边长作为下底；因为等腰梯形两腰相等，所以以上下底中点在同一竖直线为依据，向下或向上数4个方格边长确定上底所在水平线，再取3个连续方格边长作为上底，连接上下底端点即可。 （2）绘制平行四边形：先确定底的位置，数出6个连续方格边长作为底，因为平行四边形对边平行且相等，所以沿垂直方向数4个方格边长确定高，再画出与底平行且长度相等的对边，连接对应端点得到平行四边形。 分割平行四边形：从平行四边形的一个顶点出发，向对边上除顶点外的任意一点连线，即可分割出一个三角形和一个梯形。 【详解】（1）略 （2）略 17．一个平行四边形相邻两条边的长度分别是6厘米和8厘米。用这样的4个平行四边形拼成一个新的平行四边形，拼成的图形的周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【答案】 76厘米；56厘米 【分析】要使拼成的平行四边形周长最长，需让拼接时重合的边总长度最短，即将短边拼接，4个排成一排； 要使周长最短，需让重合的边总长度最长，即拼成2行2列，再结合平行四边形周长公式计算。 【详解】沿短边拼接成一排时周长最长： （厘米） 拼成2行2列时周长最短： （厘米） 答：拼成的图形的周长最长是76厘米，最短是56厘米。 18．一个等腰梯形，腰长10厘米，下底是上底的3倍，如果把下底缩短6厘米，这个等腰梯形就变成了平行四边形，这个等腰梯形的周长是多少厘米？ 【答案】32厘米 【分析】下底缩短6厘米变成平行四边形，平行四边形上下对边相等，说明原来下底比上底长6厘米；已知下底长度是上底的3倍，可以先求出上底、下底长度，再计算梯形周长，等腰梯形周长＝上底＋下底＋两条腰长。 【详解】下底是上底的3倍，下底比上底多：3－1＝2（份） 多出的2份对应长度6厘米。 上底：6÷2＝3（厘米） 下底：3×3＝9（厘米） 等腰梯形周长：3＋9＋10×2 ＝3＋9＋20 ＝12＋20 ＝32（厘米） 答：这个等腰梯形的周长是32厘米。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $