第五单元 运算律（易错专项讲义）数学北师大版四年级上册（新教材）

第五单元 运算律易错专项讲义  易错题型01 混合运算及运算律简便计算 易错题型02 四则混合运算的认识及应用 易错题型03 24点计算 易错题型04 加法交换律及加法结合律 易错题型05 乘法交换律及乘法结合律 易错题型06 乘法分配律 易错题型01 混合运算及运算律简便计算 1、同时满足「明确混合运算的运算顺序、对应运算律的适用边界完全匹配」规则得到的结果，才是本单元认可的混合运算及运算律简便计算问题的合规解题结果，随意乱序计算、错套运算律的不符合四则运算规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理无括号的混合运算类问题时，要严格遵循“先算乘除、后算加减”的顺序计算，不能从左往右随意硬算，得到运算顺序完全错位的错误结果。 3、处理带小括号的混合运算类问题时，要先计算小括号内部的算式，再计算括号外部的部分，不能直接跳过括号先算外部的乘除，得到运算优先级完全错误的结果。 4、处理带中括号的混合运算类问题时，要严格按照“小括号→中括号→括号外”的顺序逐层计算，不能先算中括号内部再算小括号，得到括号运算顺序完全颠倒的错误结果。 5、标注混合运算及运算律简便计算问题的最终结果时，要核对每一步的运算顺序完全合规、简便计算的变形过程符合对应运算律的定义，避免出现跳步计算、运算律错用的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理加法简便计算类问题时，要灵活运用加法交换律和结合律，把能凑成整十、整百的数优先结合相加，不能随意乱加括号改变原本的和，得到计算结果完全错误的结果。 7、同一道混合运算及运算律简便计算的运算过程中，四则运算的优先级标准、各运算律的适用规则必须完全统一，不能中途随意更改运算顺序、混淆不同运算律的使用边界，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理乘法分配律简便计算类问题时，要把括号外的数分别乘括号内的两个数再相加/相减，不能只乘括号内的其中一个数就直接相加，得到分配律应用不完整的错误结果。 9、处理连减、连除简便计算类问题时，要严格遵循连减性质“a-b-c=a-(b+c)”、连除性质“a÷b÷c=a÷(b×c)”，不能随意把减号/除号后面加括号后不变号，得到计算结果偏差极大的错误结果。 【题型精讲1】脱式计算。 23×12×5    70×28÷5     360÷8×20    222÷（2×3） 【答案】1380；392； 900；37 【分析】（1）算式中只有乘法，从左往右依次计算即可； （2）（3）算式中有乘法和除法，从左往右依次计算即可； （4）算式中有小括号，先算小括号里面的乘法，再算小括号外面的除法即可。 【解答】23×12×5 ＝276×5 ＝1380 70×28÷5 ＝1960÷5 ＝392 360÷8×20 ＝45×20 ＝900 222÷（2×3） ＝222÷6 ＝37 【易错巩固1】脱式计算。 420÷6×25      （328－118）÷5 35×12＋180      720－20×32 【答案】1750；42； 600；80 【分析】第一道：算式里只有除法和乘法，属于同级运算，从左往右依次计算。 第二道：有小括号，先算括号里的减法，再算括号外面的除法。 第三道：既有乘法又有加法，先算乘法，后算加法。 第四道：既有减法又有乘法，先算乘法，后算减法。 【解答】420÷6×25 ＝70×25 ＝1750 （328－118）÷5 ＝210÷5 ＝42 35×12＋180 ＝420＋180 ＝600 720－20×32 ＝720－640 ＝80 【易错巩固2】递等式计算（能巧算的要巧算） 136＋2421－36－421          78＋12×6 895－（286＋295）        11×4＋4＋4×13 【答案】2100；150； 314；100 【分析】（1）利用带符号搬家，把相减得整百、整千的两个数先相减，然后差相加。 （2）先算乘法，再算加法，依次计算。 （3）利用加法交换律和减法的性质进行简算。 （4）先把4写成4×1，再利用乘法分配律逆应用进行简算。 【解答】136＋2421－36－421 ＝136－36＋2421－421                ＝（136－36）＋（2421－421）     ＝100＋2000                     ＝2100 78＋12×6 ＝78＋72 ＝150 895－（286＋295） ＝895－（295＋286）                ＝895－295－286                    ＝600－286                        ＝314                            11×4＋4＋4×13 ＝11×4＋4×1＋4×13 ＝4×（11＋1＋13） ＝4×25 ＝100 【易错巩固3】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 125×32        1750＋（374＋1250）        75×18＋25×18        225÷（30－9×3） 【答案】 4000；3374；1800；75 【分析】把32拆分为8乘4，利用乘法结合律简算； 去掉括号，利用加法交换律和结合律，先算1750加1250； 利用乘法分配律简算； 按照四则运算顺序计算，先算括号里的乘法，再算减法，最后算除法。 【解答】 【易错巩固4】用简便方法计算下面各题。 577－34－43                     36×25                    48×99＋48 【答案】500；900；4800 【分析】观察到34与43的和是，可以凑整，所以运用减法的性质进行简算； 将36拆成，然后运用乘法结合律的特点进行简算； 将后面的48看作，然后运用乘法分配律的特点进行简算。 【解答】 ＝48×99＋48×1 【易错巩固5】能简便运算的要简便运算。 138－24－38－46        99×101－99            57×69＋69×43        125×32×25 【答案】30；9900；6900；100000 【分析】根据带符号搬家与结合律简便计算即可。 先将算式变形为99×101－99×1，再根据乘法分配律简便计算即可。 根据乘法分配律简便计算即可。 先将算式变形为125×（4×8）×25，再根据交换律与结合律简便计算即可。 【解答】138－24－38－46 ＝138－38－24－46 ＝（138－38）－（24＋46） ＝100－70 ＝30 99×101－99 ＝99×101－99×1 ＝99×（101－1） ＝99×100 ＝9900 57×69＋69×43 ＝69×（57＋43） ＝69×100 ＝6900 125×32×25 ＝125×（4×8）×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 易错题型02 四则混合运算的认识及应用 1、同时满足「明确四则混合运算的优先级规则、算式变形完全符合运算逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的四则混合运算的认识及应用问题的合规解题结果，随意乱序计算、错改运算逻辑的不符合四则运算规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理无括号的同级运算类问题时，要严格按照从左到右的顺序依次计算，不能随意跳步改变运算顺序，得到同级运算结果完全错误的结果。 3、处理无括号的两级混合运算类问题时，要严格遵循“先算乘除、后算加减”的优先级规则，不能先算加减再算乘除，得到运算顺序完全错位的错误结果。 4、处理带小括号的四则混合运算类问题时，要先完整计算小括号内部的所有算式，再计算括号外部的部分，不能直接跳过括号先算外部的乘除，得到运算优先级完全错误的结果。 5、标注四则混合运算的认识及应用问题的最终结果时，要明确标注应用题对应的实际场景单位，核对每一步脱式计算的运算顺序完全合规，避免出现单位漏写、跳步计算出错的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理归一归总类四则混合运算实际问题时，要先算出单一量的对应数值，再根据题目要求算出最终结果，不能直接硬套数值乱列综合算式，得到实际问题的列式逻辑完全错误的结果。 7、同一道四则混合运算的认识及应用的运算过程中，运算优先级的判定标准、括号的运算规则必须完全统一，不能中途随意更改运算顺序、混淆同级和两级运算的边界，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理“多步求和求差”类实际应用问题时，要先理清题目中的数量关系，再分步列出对应运算步骤，不能直接把所有数值随意乱加乱减，得到数量关系完全错配的错误结果。 9、处理带中括号的复杂四则混合运算类问题时，要严格按照“小括号→中括号→括号外”的顺序逐层计算，不能先算中括号内部再算小括号，得到括号运算顺序完全颠倒的错误结果。 10、用四则混合运算的认识及应用规则解决实际问题时，要先锚定「先理清题目数量关系、列出合规的综合算式、按优先级逐步计算验证结果」的核心规则，不能直接硬套从左往右盲目计算的逻辑，忽略四则混合运算专属的优先级属性。 【题型精讲2】把64÷4＝16，36＋16＝52，52×12＝624合并成综合算式为（    ）。 A．（36＋64÷4）×12 B．64÷4＋36×12 C．（64÷4＋16）×12 D．（64＋36）÷4×12 【答案】A 【分析】观察算式后可知：先算除法64÷4＝16，再用36加上除法的商，最后用加法的和乘12，四则运算规则：先乘除后加减，要先算加法，必须加小括号。据此列综合算式即可。 【解答】根据分析综合算式为（36＋64÷4）×12 A．正确； B．先算除法和乘法，最后相加，结果不对； C．括号里加法算式是36加除法的商16，不是再加一个16，错误； D．先算括号里 64＋36，运算顺序错误。 【易错巩固1】元旦期间，明明和红红到果园摘桔子，明明摘了12筐，红红摘了16筐。把这些桔子每4筐装在一个箱子里，可以装几箱？下面列式错误的是（    ）。 A．（12＋16）÷4 B．12÷4＋16÷4 C．16÷4＋12÷4 D．12＋16÷4 【答案】D 【分析】先计算桔子总筐数，除以每箱筐数得到总箱数，也可以分别计算明明、红红摘的桔子能装的箱数再相加，据此判断各选项是否正确。 【解答】总筐数：（筐） 总箱数：（箱） 也可以分别计算后求和： 明明的箱数：（箱） 红红的箱数：（箱） 总箱数：（箱） A．先计算桔子总筐数，除以每箱筐数得到总箱数， （箱） 列式正确。 B．分别计算明明、红红摘的桔子能装的箱数再相加得到总箱数， （箱） 列式正确。 C．分别计算明明、红红摘的桔子能装的箱数再相加得到总箱数， （箱）列式正确。 D．未给总筐数加括号，运算顺序错误，结果不符合实际，列式错误。 【易错巩固2】小明从淮安市少儿图书馆借了一本《太空探险记》，共有84页。看了5天后还剩44页，平均每天看（ ）页。如果只能借阅9天，从第6天起，小明平均每天看（ ）页正好看完这本书。 【答案】8 11 【分析】用这本书的总页数减去剩下的页数，求出5天看的页数，再除以5，即求出平均每天看的页数。用最多能借的天数减去已经看了的天数，先算出剩下天数，再用看了5天后剩下的页数除以剩下的天数，即可求出从第6天起，小明平均每天看多少页正好看完这本书。 【解答】看了5天平均每天看的页数： （84－44）÷5 ＝40÷5 ＝8（页） 所以看了5天后还剩44页，平均每天看8页。 只能借阅9天，从第6天起，小明平均每天看的页数： 44÷（9－5） ＝44÷4 ＝11（页） 所以如果只能借阅9天，从第6天起，小明平均每天看11页正好看完这本书。 【易错巩固3】为纪念抗日战争胜利80周年，学校制作抗战主题纪念章，甲盒有纪念章320枚，乙盒有纪念章200枚。从两盒取出相等数量的纪念章后，甲盒剩下的是乙盒的4倍。甲盒剩下（ ）枚纪念章。 【答案】160 【分析】根据题意可知，从两盒取出相等数量的纪念章后，甲盒剩下的数量与乙盒剩下的数量之差与原来甲乙两盒的数量之差相等，所以先用减法求出甲乙两盒剩下的数量之差，此时甲盒剩下的是乙盒的4倍，将乙盒剩下的看作1份，则甲盒剩下的就是这样的4份，甲盒剩下的比乙盒多这样的3份，求1份即乙盒剩下的数量是原来甲乙两盒的数量之差÷（4－1），再根据甲盒剩下的是乙盒的4倍用乙盒剩下的数量×4即可。 【解答】320－200＝120（枚） 乙盒剩下的： 120÷（4－1） ＝120÷3 ＝40（枚） 甲盒剩下的：40×4＝160（枚） 所以甲盒剩下160枚纪念章。 【易错巩固4】银川路小学三、四年级一起参加植树活动。三年级有235人，四年级有421人。每8人一组，一共可以分成多少组？ 【答案】82组 【分析】先用加法求出三四年级参加植树活动的总人数，再用总人数除以每组的人数，就能得到一共可以分成的组数。 【解答】 （组） 答：一共可以分成82组。 【易错巩固5】捶草印花是河南省级非物质文化遗产，被称为“中国印染活化石”。传承人朱秀云制作一幅捶草印花作品，需要经过：采草——选叶——摆型——夹布——捶打——清理——固色——染布——晾晒等工序。已知： ·制作1幅作品需要准备46块素布； ·每块布需要铺上16株野生花草； ·每株花草经过捶打能印出8片叶子的纹路； ·每片叶子纹路需要染色剂成本5角。 制作5幅这样的作品，染色剂成本需要多少元？（列综合算式解答） 【答案】14720元 【分析】解题思路是根据题意理清数量关系，先求出制作1幅作品需要的染色剂成本（单位：角），再求出5幅作品的总成本（单位：角），最后将单位换算成元。用16×46求出制作1幅作品需要多少株野生花草，再用8乘上一步计算出的结果，求出制作1幅作品需要多少片叶子的纹路，再用5乘上一步计算出的结果，求制作出1幅作品需要多少角钱，最后再乘5，就是求制作出5幅作品需要多少角钱，再根据1元＝10角，换算成用元作单位。 【解答】5×[8×（16×46）]×5 ＝5×[8×736]×5 ＝5×5888×5 ＝29440×5 ＝147200（角） 147200角＝14720元 答：染色剂成本需要14720元。 易错题型03 24点计算 1、同时满足「明确24点计算的基础规则、四则运算使用完全合规」规则得到的结果，才是本单元认可的24点计算问题的合规解题结果，随意重复使用数字、漏用数字、运算结果不等于24的不符合游戏规则的算式不能作为有效解题依据。 2、处理整数凑整类24点问题时，要优先用乘法凑出3×8、4×6、2×12这类乘积为24的整数组合，再用给定数字凑出对应因数，不能盲目乱凑运算符号，得到计算过程冗余且结果错误的结果。 3、处理含除法的24点问题时，可以通过除法构造分母为给定数字的分数，再乘以对应数字消去分母得到24，不能因为出现分数就判定题目无解，得到错误的无解结论。 4、处理含减法的24点问题时，可以先凑出比24大的整数，再减去多余的数值得到24，比如凑出27减3、30减6这类组合，不能只局限于加法和乘法凑数，得到思路受限的错误判断。 5、标注24点计算问题的最终结果时，要核对四个给定数字都恰好使用一次，运算结果严格等于24，避免出现数字重复使用、漏用数字、结果不等于24的问题，导致算式的实际指代完全失真。 6、处理含加法的24点问题时，可以通过加法凑出和为24的组合，比如14+10、18+6这类组合，再用给定数字凑出对应加数，不能只局限于乘法凑数，缩小解题思路范围。 7、同一道24点计算的运算过程中，数字使用规则、四则运算的优先级规则必须完全统一，不能中途随意重复使用数字、不按运算顺序计算括号内的部分，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理四个数字全相同的24点问题时，要灵活组合四则运算和括号，比如3×3×3-3=24这类经典组合，不能因为数字相同就直接判定无法算出24，得到错误的结论。 9、处理多解类24点问题时，只要算式符合规则、结果正确即为有效答案，不能只局限于某一种固定解法，否定其他合规的正确算式。 10、用24点计算规则解决问题时，要先锚定「先确认四个数字全部恰好使用一次、选择适配的凑数思路、按四则运算规则验证结果等于24」的核心规则，不能直接硬套单一凑数思路硬算，忽略24点计算专属的思维灵活性属性。 【题型精讲3】用卡片3、3、6、10上的数凑24点，下列算式正确的是（    ）。 A．3×6＋10－3 B．10×3－6÷3 C．（10－6÷3）×3 D．3×（10－6）÷3 【答案】C 【分析】根据四则混合运算的运算顺序，分别计算每个选项的结果，选出结果为24的选项即可。 【解答】A．3×6＋10－3＝18＋10－3＝25，不符合题意； B．10×3－6÷3＝30－2＝28，不符合题意； C．（10－6÷3）×3＝（10－2）×3＝8×3＝24，符合题意； D．3×（10－6）÷3＝3×4÷3＝4，不符合题意。 【易错巩固1】24点游戏：请用数字3、4、5、7，通过添加运算符号或括号进行运算，使结果等于24，每个数字必须使用且只能使用一次。我的算式是（ ）。 【答案】3×（5－4＋7）＝24（答案不唯一） 【分析】根据3×8＝24可知，已经有3，只需要将4、5、7通过计算得到8即可；5－4＋7＝8，可列出算式3×（5－4＋7）＝24。 【解答】3×（5－4＋7） ＝3×8 ＝24 【易错巩固2】用9、6、4、2这四个数算24点，请用综合算式表示出两种方法：（ ）、（ ）。 【答案】（9－6）×4×2＝24 9×4－6×2＝24 【分析】算24点需使用9、6、4、2四个数字各1次，通过添加四则运算符号和括号得到结果24，常见思路为凑出乘积为24的两个因数，或者凑出和、差为24的两个数。 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。 【解答】第一种方法推导：先计算9减6的差，9－6＝3，再计算4乘2的积，4×2＝8，将所得的差与积相乘，3×8＝24，组合得到综合算式（9－6）×4×2＝24。 第二种方法推导：先计算9乘4的积，9×4＝36，再计算6乘2的积，6×2＝12，将两个积相减，36－12＝24，组合得到综合算式9×4－6×2＝24。 即：用9、6、4、2这四个数算24点，请用综合算式表示出两种方法：（9－6）×4×2＝24、9×4－6×2＝24。（答案不唯一。） 【易错巩固3】“24点游戏”就是将四个数通过加、减、乘、除等运算使最后结果为24，每个数必须用一次且只能用一次。请用4，7，8，9这四个数凑成24点，并用算式表示出计算过程：（ ）。 【答案】 【分析】24点游戏，4个数每个只能用1次。利用括号改变运算顺序，再依据2×12＝24，凑出2和12两个数相乘得到24。 【解答】9－7＝2 4＋8＝12 2×12＝24 综合算式：（答案不唯一） 【易错巩固4】下面是4张扑克牌上的点数，经过怎样的运算才能得到24？（每张扑克牌必须用一次且只能用一次，K表示13）。 算式：________________________。 【答案】（答案不唯一） 【分析】24的常见拆分组合，比如3×8、4×6、12×2、24×1，或者16＋8、32－8、18＋6等，再尝试用给出的四个数组合出拆分后的部分。再调整运算顺序和括号的使用，尝试不同的数的组合运算。 【解答】根据图中给出数字为3，5，7，13，四个数计算24，先用513＝65，65＋7＝72，再用723＝24；综合算式为（513＋7）3（答案不唯一）。 【易错巩固5】小华从一副扑克牌中摸出四张。 怎样用这四张牌上的数字进行计算，使最后的得数等于24？ 【答案】（9－3－2）×6＝24 【分析】2×12＝24，3×8＝24，4×6＝24，把扑克牌中的4个数字想办法凑成2和12，3和8，4和6。可通过加、减、乘、除四种基本运算，可搭配括号改变运算顺序，最终使计算结果等于24。 【解答】（9－3－2）×6 ＝（6－2）×6 ＝4×6 ＝24 （6－2）×（9－3） ＝4×6 ＝24 （答案不唯一） 易错题型04 加法交换律及加法结合律 1、同时满足「明确加法交换律、结合律的定义边界、变形前后算式结果完全相等」规则得到的结果，才是本单元认可的加法交换律及加法结合律问题的合规解题结果，随意错套运算律、变形后改变原式结果的不符合运算律规则的算式不能作为有效解题依据。 2、处理加法交换律基础认知类问题时，要明确两个数相加时，交换两个加数的位置，和保持不变，对应字母公式为a+b=b+a，不能随意把交换律套用到减法、除法运算中，得到运算律适用范围完全错误的结果。 3、处理加法结合律基础认知类问题时，要明确三个数相加时，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和保持不变，对应字母公式为(a+b)+c=a+(b+c)，不能随意改变加数的数值，得到变形后和发生变化的错误结果。 4、处理加法运算律简便计算类问题时，要优先观察加数特征，把能凑成整十、整百、整千的加数通过交换律调整位置，再用结合律加括号优先计算，不能盲目加括号改变运算顺序，得到简便计算结果错误的结果。 5、标注加法交换律及加法结合律问题的最终结果时，要核对变形前后的加数完全一致、和的数值完全相等，避免出现漏写加数、错改运算符号的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理多个数连加的简便计算类问题时，可以同时运用加法交换律和结合律，分组凑整后再把各组的和相加，不能只局限于使用单一运算律，导致计算过程繁琐且容易出错。 7、同一道加法交换律及加法结合律的运算过程中，运算律的适用范围、凑整的计算规则必须完全统一，不能中途随意把加法运算律套用到减法运算中、随意调换减数的位置，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理加法运算律的实际应用类问题时，要先观察题目中加数的凑整特征，灵活运用运算律简化计算，不能硬套从左到右依次相加的普通计算逻辑，得到计算过程冗余且容易算错的结果。 9、处理加法运算律的判断类问题时，要区分交换律和结合律的特征：仅交换加数位置的是交换律，仅改变运算顺序加括号的是结合律，同时出现两种操作的是两个运算律综合运用，不能混淆两个运算律的判定边界，得到概念判定错误的结果。 10、用加法交换律及加法结合律解决问题时，要先锚定「先观察加数的凑整特征、匹配对应加法运算律调整位置和运算顺序、验证变形前后和完全相等」的核心规则，不能直接硬套普通连加从左到右的计算逻辑，忽略加法运算律专属的凑整简化属性。 【题型精讲4】在计算365＋251＋49＋235＝（365＋235）＋（251＋49）时，运用了（    ）。 A．加法结合律 B．加法交换律 C．加法交换律和加法结合律 【答案】C 【分析】加法交换律：指两个数相加，交换加数的位置，和不变。原式365＋251＋49＋235变成365＋235＋251＋49，交换了235和251、49的位置，用到了加法交换律。 加法结合律：指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。接着把（365＋235）、（251＋49）分别结合相加，用到了加法结合律。 【解答】根据分析可知，这道题同时运用了加法交换律和加法结合律。 故答案为：C 【易错巩固1】下面的3个算式，与200－64－36的结果相等的是（    ）。 A．200－64＋36 B．200－（64＋36） C．200－（64－36） 【答案】B 【分析】一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，据此判断即可。 【解答】 ＝ 所以与200－64－36的结果相等的是200－（64＋36）。 【易错巩固2】湖州丝绸小镇文创店原有库存蚕丝团扇268把。上午售出74把，下午售出26把，还剩下几把扇子？这个问题可以用算式______解决，也可以用算式______解决。 【答案】 【分析】已知原有库存总数以及上午、下午分别售出的数量，求剩余数量。根据数量关系“剩余数量＝原有总数－售出数量”，售出数量可以分两次减去，也可以先求出售出总数再一次性减去。这两种方法分别对应连减算式和减去两个数和的算式，体现了减法的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。 【解答】268－74－26 ＝194－26 ＝168（把） 268－（74＋26） ＝268－100 ＝168（把） 湖州丝绸小镇文创店原有库存蚕丝团扇268把。上午售出74把，下午售出26把，还剩下几把扇子？这个问题可以用算式268－74－26解决，也可以用算式268－（74＋26）解决。 【易错巩固3】来福超市运来了3种蔬菜，其中土豆有157千克，南瓜有206千克，胡萝卜有143千克，来福超市一共运来了（ ）千克蔬菜。 【答案】506 【分析】把来福超市运来的3种蔬菜重量相加，即可求出来福超市一共运来了多少千克蔬菜。计算时根据加法交换律进行简算；据此解答。 【解答】157＋206＋143 ＝157＋143＋206 ＝300＋206 ＝506（千克） 即来福超市运来了3种蔬菜，其中土豆有157千克，南瓜有206千克，胡萝卜有143千克，来福超市一共运来了506千克蔬菜。 【易错巩固4】实验小学四年级“中华百草园”实践劳动基地有A、B、C、D四块种植区域。A区域有257平方米，B区域有279平方米，C区域有243平方米，D区域有221平方米。四块种植区域一共有多少平方米？ 【答案】1000平方米 【分析】根据题意，把四块种植区域的面积相加，即可求出四年级“中华百草园”实践劳动基地的总面积，计算时，利用加法交换律和结合律可以简算。 【解答】257＋279＋243＋221 ＝（257＋243）＋（279＋221） ＝500＋500 ＝1000（平方米） 答：四块种植区域一共有1000平方米。 【易错巩固5】垃圾分类的核心是按“可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾”四类划分。某小区上周的各类垃圾质量如下表。该小区上周的总垃圾质量是多少千克？（用简便方法计算） 可回收垃圾 厨余垃圾 有害垃圾 其他垃圾 296千克 347千克 104千克 153千克 【答案】900千克 【分析】求总垃圾质量需将四类垃圾的质量相加，观察四个加数的特点，可利用加法交换律和结合律，把能凑成整百的数先相加，让计算更简便。 【解答】296＋347＋104＋153 ＝（296＋104）＋（347＋153） ＝400＋500 ＝900（千克） 答：该小区上周的总垃圾质量是900千克。 易错题型05 乘法交换律及乘法结合律 1、同时满足「明确乘法交换律、结合律的定义边界、变形前后算式乘积完全相等」规则得到的结果，才是本单元认可的乘法交换律及乘法结合律问题的合规解题结果，随意错套运算律、变形后改变原式乘积的不符合运算规则的算式不能作为有效解题依据。 2、处理乘法交换律基础认知类问题时，要明确两个数相乘，交换两个乘数的位置，积保持不变，对应字母公式为a×b=b×a，不能随意把交换律套用到减法、除法运算中，得到运算律适用范围完全错误的结果。 3、处理乘法结合律基础认知类问题时，要明确三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积保持不变，对应字母公式为(a×b)×c=a×(b×c)，不能随意改变乘数的数值，得到变形后乘积发生变化的错误结果。 4、处理含25、125的连乘简便计算类问题时，要优先利用25×4=100、125×8=1000的固定凑整组合，通过交换律调整乘数位置，再用结合律加括号优先计算凑整部分，不能盲目硬算，得到计算过程繁琐且结果出错的结果。 5、标注乘法交换律及乘法结合律问题的最终结果时，要核对变形前后的乘数完全一致、乘积的数值完全相等，避免出现漏写乘数、错改运算符号的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理多个数连乘的简便计算类问题时，可以同时运用乘法交换律和结合律，分组凑整后再把各组的积相乘，不能只局限于使用单一运算律，导致计算过程冗余且容易出错。 7、同一道乘法交换律及乘法结合律的运算过程中，运算律的适用范围、凑整的计算规则必须完全统一，不能中途随意把乘法运算律套用到加减法运算中、随意调换加减数的位置，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理乘法运算律的实际应用类问题时，要先观察题目中乘数的凑整特征，灵活运用运算律简化计算，不能硬套从左到右依次相乘的普通计算逻辑，得到计算过程繁琐且容易算错的结果。 9、处理乘法运算律的判断类问题时，要区分交换律和结合律的特征：仅交换乘数位置的是交换律，仅改变运算顺序加括号的是结合律，同时出现两种操作的是两个运算律综合运用，不能混淆两个运算律的判定边界，得到概念判定错误的结果。 10、用乘法交换律及乘法结合律解决问题时，要先锚定「先观察乘数的凑整特征、匹配对应乘法运算律调整位置和运算顺序、验证变形前后乘积完全相等」的核心规则，不能直接硬套普通连乘从左到右的计算逻辑，忽略乘法运算律专属的凑整简化属性。 【题型精讲5】下面各选项中，没有运用乘法交换律的是（    ）。 A． B．数学＝学数 C． D．○☆＝☆○ 【答案】C 【分析】乘法交换律的特点是两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变；依此即可选择。 【解答】A．，运用了乘法交换律。 B．数×学＝学×数，运用了乘法交换律。 C．，没有运用乘法交换律，运用的是加法交换律。 D．○×☆＝☆×○，运用了乘法交换律。 没有运用乘法交换律的是37＋18＝18＋37。 故答案为：C 【易错巩固1】宁宁在用计算器计算985×36时，发现计算器上的“6”键坏了，可以用（    ）在计算器上算出结果。 A．985×30＋985×6 B．985×9×4 C．985×6×6 D．985×40－4 【答案】B 【分析】计算时不能用到数字6，且算式结果需与相等，据此判断即可。 【解答】A．算式里有数字6，不符合题意。 B．，因此，算式中没有数字6，符合题意。 C．算式里有数字6，不符合题意。 D．，，两个结果不相等，不符合题意。 【易错巩固2】聪聪用计算器计算时，发现数字键“6”坏了。请你设计另一种方案，使他还能用计算器计算：（ ）。（写算式） 【答案】 【分析】计算器数字键“6”损坏，不能直接输入26，需要把26改写成不含数字6的算式。可以拆分：26＝2×13，或者26＝25＋1，或者26＝52÷2。 【解答】由分析可得使他还能用计算器计算：。（答案不唯一） 【易错巩固3】绿水青山就是金山银山，绿林小队计划每天在山上植树25棵，每周工作5天，四个这样的小队一周可以植树（ ）棵。 【答案】500 【分析】用每个小队每天植树的棵数乘每周工作天数，计算出每个小队一周的植树总棵数，再乘小队数量即可。计算时可以利用乘法交换律，先计算25×4，进行简便计算。 【解答】25×5×4 ＝25×4×5 ＝100×5 ＝500（棵） 【易错巩固4】小明去游泳馆游泳。泳池长25米，他每次可连续游4个来回再休息。小明每次可连续游多少米？ 【答案】200米 【分析】1个来回是2个泳池的长度，先求出4个来回的单程总数，再乘泳池长度就能得到总游程，运用乘法交换律运算。 【解答】 （米） 答：小明每次可连续游200米。 【易错巩固5】“粮安天下，致敬耕耘”，每年的10月16日是世界粮食日。2025年世界粮食日这天，阳光社区举办了一场“爱粮惜粮”公益义卖活动。附近的幸福超市捐赠了48袋面粉来支持义卖，每袋面粉重25千克。义卖时，每千克面粉定价4元。如果这批面粉全部卖完，一共可以筹集多少元公益款？ 【答案】4800元 【分析】先用面粉的袋数乘每袋面粉的质量求出面粉的总质量，再用总质量乘每千克定价得到总筹款；计算时可利用乘法结合律凑整，简化计算。 【解答】 （元） 答：一共可以筹集4800元公益款。 易错题型06 乘法分配律 1、同时满足「明确乘法分配律的定义边界、变形前后算式结果完全相等」规则得到的结果，才是本单元认可的乘法分配律问题的合规解题结果，随意漏乘、错套运算律的不符合分配律规则的算式不能作为有效解题依据。 2、处理乘法分配律基础认知类问题时，要明确两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，对应字母公式为(a+b)×c=a×c+b×c，不能只把括号外的数乘括号内的其中一个数，得到分配律应用不完整的错误结果。 3、处理乘法分配律减法拓展类问题时，要明确两个数的差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相减，对应字母公式为(a−b)×c=a×c−b×c，不能把减号错改成加号，得到计算结果完全错误的结果。 4、处理接近整十整百的数乘另一个数的简便计算类问题时，要先把接近整十整百的数拆成整十整百数加/减一个数的形式，再用乘法分配律展开计算，不能直接硬套乘法结合律拆分乘数，得到简便计算逻辑完全错误的结果。 5、标注乘法分配律问题的最终结果时，要核对展开前后的算式数值完全相等、每一项都完成了分配相乘，避免出现漏乘其中一个项、错改运算符号的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、同一道乘法分配律的运算过程中，分配律的适用规则、“分别相乘再加减”的核心要求必须完全统一，不能中途随意把分配律套用到连乘运算中、混淆乘法分配律和结合律的边界，打乱运算逻辑的严谨性。 7、处理乘法分配律的图形建模类问题时，要通过两个长方形的面积之和直观理解分配律的含义，不能把两个长方形的长直接相加后再乘宽的逻辑判定为错误，得到概念理解完全错位的结果。 8、处理乘法分配律的实际应用类问题，比如计算两套不同单价的物品总费用时，可以用“单价和×数量”的分配律形式简化计算，不能分别算出总价再相加的繁琐硬算逻辑当成唯一解法，得到计算过程冗余的结果。 9、用乘法分配律解决问题时，要先锚定「先观察算式特征匹配分配律正向/逆向使用场景、确保括号外的数分别乘括号内的每一项、验证变形前后算式结果完全相等」的核心规则，不能直接硬套普通四则运算从左到右的计算逻辑，忽略乘法分配律专属的凑整简化属性。 【题型精讲6】下面与256×48的结果不相等的是（    ）。 A．256×40＋8 B．256×50－256×2 C．256×12×4 【答案】A 【分析】A、将48看作（40＋8），再根据乘法分配律将算式改写为256×40＋256×8，再与选项比对判断即可； B、将48看作（50－2），再根据乘法分配律将算式改写为256×50－256×2，再与选项比对判断即可； C、将48看作（12×4），再根据乘法结合律将算式改写为256×12×4，再与选项比对判断即可。 【解答】A．256×48 ＝256×（40＋8） ＝256×40＋256×8 256×40＋256×8≠256×40＋8，所以256×40＋8与256×48的结果不相等。 B．256×48 ＝256×（50－2） ＝256×50－256×2 所以256×50－256×2与256×48的结果相等。     C．256×48 ＝256×（12×4） ＝256×12×4 所以256×12×4与256×48的结果相等。 【易错巩固1】在用计算器计算36×27时，按键“7”坏了，若继续使用这个计算器，下面的算法正确的是（    ）。 A．36×3×9 B．36×30－3 C．27×40－4 D．36×20＋36×7 【答案】A 【分析】乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c），乘法分配律：（a－b）×c＝a×c－b×c。按键“7”损坏，计算过程中不能出现数字“7”，可通过拆分27为不含数字7的算式，结合乘法运算律判断。 【解答】A．36×3×9＝36×（3×9）＝36×27，结果相等，符合要求； B．，不是，结果不相等，不符合要求； C．27×40－4中出现7，都需要用到按键“7”，不符合要求； D．36×20＋36×7中出现7，都需要用到按键“7”，不符合要求。 所以用计算器计算36×27时，按键“7”坏了，若继续使用这个计算器，下面的算法正确的是36×3×9。 【易错巩固2】如果○＋△＝100，且○×☆＋△×☆＝2000，那么☆＝（ ）；如果□×★＝70，那么（□×3）×（★×3）＝（ ）。 【答案】20 630 【分析】根据乘法分配律的逆运用，○×☆＋△×☆＝（○＋△）×☆，因为结果等于2000，○＋△＝100，所以用2000除以100即得到☆；利用乘法交换律和结合律，（□×3）×（★×3）＝（□×★）×（3×3），因为☐×★＝70，代入计算出结果即可。 【解答】2000÷100＝20 70×3×3 ＝210×3 ＝630 所以，如果○＋△＝100，且○×☆＋△×☆＝2000，那么☆＝20；如果☐×★＝70，那么（□×3）×（★×3）＝630。 【易错巩固3】钦州是“中国坭兴陶之都”，某陶艺工坊生产了108箱坭兴陶茶杯，每箱25个，一共生产了（ ）个。计算时运用（ ）律使计算简便。 【答案】2700 乘法分配 【分析】根据总数量＝每箱个数×箱数，列式108×25；把108拆成100＋8，可运用乘法分配律简便计算，（a＋b）×c＝ a×c＋b×c。 【解答】108×25 ＝（100＋8）×25 ＝100×25＋8×25 ＝2500＋200 ＝2700（个） 所以一共生产了2700个。计算时运用乘法分配律使计算简便。 【易错巩固4】风筝起源于中国，是中国传统工艺之一，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的。某批发市场蝴蝶风筝14元/只，凤凰风筝26元/只，红星商店购进蝴蝶，凤凰两种风筝各25只。 根据以上信息提出一个两步或两步以上计算的数学问题，并列式解答。 【答案】 购进两种风筝一共需要花多少元； 1000元 【分析】选择求总花费的两步计算问题，先分别计算买蝴蝶风筝的总费用和买凤凰风筝的总费用，再将两个费用相加，也可以先计算一只蝴蝶风筝和一只凤凰风筝的单价之和，再乘购买的数量。 【解答】问题：购进两种风筝一共需要花多少元； ＝40×25 ＝1000（元） 答：一共需要1000元。 【易错巩固5】下表是一列火车的载客信息，算一算，这列火车能载多少人？ 双层车 每节车厢载客（人） 车厢数（节） 上层 106 12 下层 94 12 【答案】2400人 【分析】上层和下层的车厢节数相同，先算出1节双层车厢的载客总人数，再乘车厢节数，计算更简便。 【解答】（106＋94）×12 ＝200×12 ＝2400（人） 答：这列火车能载2400人。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 运算律易错专项讲义  易错题型01 混合运算及运算律简便计算 易错题型02 四则混合运算的认识及应用 易错题型03 24点计算 易错题型04 加法交换律及加法结合律 易错题型05 乘法交换律及乘法结合律 易错题型06 乘法分配律 易错题型01 混合运算及运算律简便计算 1、同时满足「明确混合运算的运算顺序、对应运算律的适用边界完全匹配」规则得到的结果，才是本单元认可的混合运算及运算律简便计算问题的合规解题结果，随意乱序计算、错套运算律的不符合四则运算规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理无括号的混合运算类问题时，要严格遵循“先算乘除、后算加减”的顺序计算，不能从左往右随意硬算，得到运算顺序完全错位的错误结果。 3、处理带小括号的混合运算类问题时，要先计算小括号内部的算式，再计算括号外部的部分，不能直接跳过括号先算外部的乘除，得到运算优先级完全错误的结果。 4、处理带中括号的混合运算类问题时，要严格按照“小括号→中括号→括号外”的顺序逐层计算，不能先算中括号内部再算小括号，得到括号运算顺序完全颠倒的错误结果。 5、标注混合运算及运算律简便计算问题的最终结果时，要核对每一步的运算顺序完全合规、简便计算的变形过程符合对应运算律的定义，避免出现跳步计算、运算律错用的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理加法简便计算类问题时，要灵活运用加法交换律和结合律，把能凑成整十、整百的数优先结合相加，不能随意乱加括号改变原本的和，得到计算结果完全错误的结果。 7、同一道混合运算及运算律简便计算的运算过程中，四则运算的优先级标准、各运算律的适用规则必须完全统一，不能中途随意更改运算顺序、混淆不同运算律的使用边界，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理乘法分配律简便计算类问题时，要把括号外的数分别乘括号内的两个数再相加/相减，不能只乘括号内的其中一个数就直接相加，得到分配律应用不完整的错误结果。 9、处理连减、连除简便计算类问题时，要严格遵循连减性质“a-b-c=a-(b+c)”、连除性质“a÷b÷c=a÷(b×c)”，不能随意把减号/除号后面加括号后不变号，得到计算结果偏差极大的错误结果。 【题型精讲1】脱式计算。 23×12×5    70×28÷5     360÷8×20    222÷（2×3） 【易错巩固1】脱式计算。 420÷6×25      （328－118）÷5 35×12＋180      720－20×32 【易错巩固2】递等式计算（能巧算的要巧算） 136＋2421－36－421          78＋12×6 895－（286＋295）        11×4＋4＋4×13 【易错巩固3】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 125×32        1750＋（374＋1250）        75×18＋25×18        225÷（30－9×3） 【易错巩固4】用简便方法计算下面各题。 577－34－43                     36×25                    48×99＋48 【易错巩固5】能简便运算的要简便运算。 138－24－38－46        99×101－99            57×69＋69×43        125×32×25 易错题型02 四则混合运算的认识及应用 1、同时满足「明确四则混合运算的优先级规则、算式变形完全符合运算逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的四则混合运算的认识及应用问题的合规解题结果，随意乱序计算、错改运算逻辑的不符合四则运算规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理无括号的同级运算类问题时，要严格按照从左到右的顺序依次计算，不能随意跳步改变运算顺序，得到同级运算结果完全错误的结果。 3、处理无括号的两级混合运算类问题时，要严格遵循“先算乘除、后算加减”的优先级规则，不能先算加减再算乘除，得到运算顺序完全错位的错误结果。 4、处理带小括号的四则混合运算类问题时，要先完整计算小括号内部的所有算式，再计算括号外部的部分，不能直接跳过括号先算外部的乘除，得到运算优先级完全错误的结果。 5、标注四则混合运算的认识及应用问题的最终结果时，要明确标注应用题对应的实际场景单位，核对每一步脱式计算的运算顺序完全合规，避免出现单位漏写、跳步计算出错的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理归一归总类四则混合运算实际问题时，要先算出单一量的对应数值，再根据题目要求算出最终结果，不能直接硬套数值乱列综合算式，得到实际问题的列式逻辑完全错误的结果。 7、同一道四则混合运算的认识及应用的运算过程中，运算优先级的判定标准、括号的运算规则必须完全统一，不能中途随意更改运算顺序、混淆同级和两级运算的边界，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理“多步求和求差”类实际应用问题时，要先理清题目中的数量关系，再分步列出对应运算步骤，不能直接把所有数值随意乱加乱减，得到数量关系完全错配的错误结果。 9、处理带中括号的复杂四则混合运算类问题时，要严格按照“小括号→中括号→括号外”的顺序逐层计算，不能先算中括号内部再算小括号，得到括号运算顺序完全颠倒的错误结果。 10、用四则混合运算的认识及应用规则解决实际问题时，要先锚定「先理清题目数量关系、列出合规的综合算式、按优先级逐步计算验证结果」的核心规则，不能直接硬套从左往右盲目计算的逻辑，忽略四则混合运算专属的优先级属性。 【题型精讲2】把64÷4＝16，36＋16＝52，52×12＝624合并成综合算式为（    ）。 A．（36＋64÷4）×12 B．64÷4＋36×12 C．（64÷4＋16）×12 D．（64＋36）÷4×12 【易错巩固1】元旦期间，明明和红红到果园摘桔子，明明摘了12筐，红红摘了16筐。把这些桔子每4筐装在一个箱子里，可以装几箱？下面列式错误的是（    ）。 A．（12＋16）÷4 B．12÷4＋16÷4 C．16÷4＋12÷4 D．12＋16÷4 【易错巩固2】小明从淮安市少儿图书馆借了一本《太空探险记》，共有84页。看了5天后还剩44页，平均每天看（ ）页。如果只能借阅9天，从第6天起，小明平均每天看（ ）页正好看完这本书。 【易错巩固3】为纪念抗日战争胜利80周年，学校制作抗战主题纪念章，甲盒有纪念章320枚，乙盒有纪念章200枚。从两盒取出相等数量的纪念章后，甲盒剩下的是乙盒的4倍。甲盒剩下（ ）枚纪念章。 【易错巩固4】银川路小学三、四年级一起参加植树活动。三年级有235人，四年级有421人。每8人一组，一共可以分成多少组？ 【易错巩固5】捶草印花是河南省级非物质文化遗产，被称为“中国印染活化石”。传承人朱秀云制作一幅捶草印花作品，需要经过：采草——选叶——摆型——夹布——捶打——清理——固色——染布——晾晒等工序。已知： ·制作1幅作品需要准备46块素布； ·每块布需要铺上16株野生花草； ·每株花草经过捶打能印出8片叶子的纹路； ·每片叶子纹路需要染色剂成本5角。 制作5幅这样的作品，染色剂成本需要多少元？（列综合算式解答） 易错题型03 24点计算 1、同时满足「明确24点计算的基础规则、四则运算使用完全合规」规则得到的结果，才是本单元认可的24点计算问题的合规解题结果，随意重复使用数字、漏用数字、运算结果不等于24的不符合游戏规则的算式不能作为有效解题依据。 2、处理整数凑整类24点问题时，要优先用乘法凑出3×8、4×6、2×12这类乘积为24的整数组合，再用给定数字凑出对应因数，不能盲目乱凑运算符号，得到计算过程冗余且结果错误的结果。 3、处理含除法的24点问题时，可以通过除法构造分母为给定数字的分数，再乘以对应数字消去分母得到24，不能因为出现分数就判定题目无解，得到错误的无解结论。 4、处理含减法的24点问题时，可以先凑出比24大的整数，再减去多余的数值得到24，比如凑出27减3、30减6这类组合，不能只局限于加法和乘法凑数，得到思路受限的错误判断。 5、标注24点计算问题的最终结果时，要核对四个给定数字都恰好使用一次，运算结果严格等于24，避免出现数字重复使用、漏用数字、结果不等于24的问题，导致算式的实际指代完全失真。 6、处理含加法的24点问题时，可以通过加法凑出和为24的组合，比如14+10、18+6这类组合，再用给定数字凑出对应加数，不能只局限于乘法凑数，缩小解题思路范围。 7、同一道24点计算的运算过程中，数字使用规则、四则运算的优先级规则必须完全统一，不能中途随意重复使用数字、不按运算顺序计算括号内的部分，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理四个数字全相同的24点问题时，要灵活组合四则运算和括号，比如3×3×3-3=24这类经典组合，不能因为数字相同就直接判定无法算出24，得到错误的结论。 9、处理多解类24点问题时，只要算式符合规则、结果正确即为有效答案，不能只局限于某一种固定解法，否定其他合规的正确算式。 10、用24点计算规则解决问题时，要先锚定「先确认四个数字全部恰好使用一次、选择适配的凑数思路、按四则运算规则验证结果等于24」的核心规则，不能直接硬套单一凑数思路硬算，忽略24点计算专属的思维灵活性属性。 【题型精讲3】用卡片3、3、6、10上的数凑24点，下列算式正确的是（    ）。 A．3×6＋10－3 B．10×3－6÷3 C．（10－6÷3）×3 D．3×（10－6）÷3 【易错巩固1】24点游戏：请用数字3、4、5、7，通过添加运算符号或括号进行运算，使结果等于24，每个数字必须使用且只能使用一次。我的算式是（ ）。 【易错巩固2】用9、6、4、2这四个数算24点，请用综合算式表示出两种方法：（ ）、（ ）。 【易错巩固3】“24点游戏”就是将四个数通过加、减、乘、除等运算使最后结果为24，每个数必须用一次且只能用一次。请用4，7，8，9这四个数凑成24点，并用算式表示出计算过程：（ ）。 【易错巩固4】下面是4张扑克牌上的点数，经过怎样的运算才能得到24？（每张扑克牌必须用一次且只能用一次，K表示13）。 算式：________________________。 【易错巩固5】小华从一副扑克牌中摸出四张。 怎样用这四张牌上的数字进行计算，使最后的得数等于24？ 易错题型04 加法交换律及加法结合律 1、同时满足「明确加法交换律、结合律的定义边界、变形前后算式结果完全相等」规则得到的结果，才是本单元认可的加法交换律及加法结合律问题的合规解题结果，随意错套运算律、变形后改变原式结果的不符合运算律规则的算式不能作为有效解题依据。 2、处理加法交换律基础认知类问题时，要明确两个数相加时，交换两个加数的位置，和保持不变，对应字母公式为a+b=b+a，不能随意把交换律套用到减法、除法运算中，得到运算律适用范围完全错误的结果。 3、处理加法结合律基础认知类问题时，要明确三个数相加时，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和保持不变，对应字母公式为(a+b)+c=a+(b+c)，不能随意改变加数的数值，得到变形后和发生变化的错误结果。 4、处理加法运算律简便计算类问题时，要优先观察加数特征，把能凑成整十、整百、整千的加数通过交换律调整位置，再用结合律加括号优先计算，不能盲目加括号改变运算顺序，得到简便计算结果错误的结果。 5、标注加法交换律及加法结合律问题的最终结果时，要核对变形前后的加数完全一致、和的数值完全相等，避免出现漏写加数、错改运算符号的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理多个数连加的简便计算类问题时，可以同时运用加法交换律和结合律，分组凑整后再把各组的和相加，不能只局限于使用单一运算律，导致计算过程繁琐且容易出错。 7、同一道加法交换律及加法结合律的运算过程中，运算律的适用范围、凑整的计算规则必须完全统一，不能中途随意把加法运算律套用到减法运算中、随意调换减数的位置，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理加法运算律的实际应用类问题时，要先观察题目中加数的凑整特征，灵活运用运算律简化计算，不能硬套从左到右依次相加的普通计算逻辑，得到计算过程冗余且容易算错的结果。 9、处理加法运算律的判断类问题时，要区分交换律和结合律的特征：仅交换加数位置的是交换律，仅改变运算顺序加括号的是结合律，同时出现两种操作的是两个运算律综合运用，不能混淆两个运算律的判定边界，得到概念判定错误的结果。 10、用加法交换律及加法结合律解决问题时，要先锚定「先观察加数的凑整特征、匹配对应加法运算律调整位置和运算顺序、验证变形前后和完全相等」的核心规则，不能直接硬套普通连加从左到右的计算逻辑，忽略加法运算律专属的凑整简化属性。 【题型精讲4】在计算365＋251＋49＋235＝（365＋235）＋（251＋49）时，运用了（    ）。 A．加法结合律 B．加法交换律 C．加法交换律和加法结合律 【易错巩固1】下面的3个算式，与200－64－36的结果相等的是（    ）。 A．200－64＋36 B．200－（64＋36） C．200－（64－36） 【易错巩固2】湖州丝绸小镇文创店原有库存蚕丝团扇268把。上午售出74把，下午售出26把，还剩下几把扇子？这个问题可以用算式______解决，也可以用算式______解决。 【易错巩固3】来福超市运来了3种蔬菜，其中土豆有157千克，南瓜有206千克，胡萝卜有143千克，来福超市一共运来了（ ）千克蔬菜。 【易错巩固4】实验小学四年级“中华百草园”实践劳动基地有A、B、C、D四块种植区域。A区域有257平方米，B区域有279平方米，C区域有243平方米，D区域有221平方米。四块种植区域一共有多少平方米？ 【易错巩固5】垃圾分类的核心是按“可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾”四类划分。某小区上周的各类垃圾质量如下表。该小区上周的总垃圾质量是多少千克？（用简便方法计算） 可回收垃圾 厨余垃圾 有害垃圾 其他垃圾 296千克 347千克 104千克 153千克 易错题型05 乘法交换律及乘法结合律 1、同时满足「明确乘法交换律、结合律的定义边界、变形前后算式乘积完全相等」规则得到的结果，才是本单元认可的乘法交换律及乘法结合律问题的合规解题结果，随意错套运算律、变形后改变原式乘积的不符合运算规则的算式不能作为有效解题依据。 2、处理乘法交换律基础认知类问题时，要明确两个数相乘，交换两个乘数的位置，积保持不变，对应字母公式为a×b=b×a，不能随意把交换律套用到减法、除法运算中，得到运算律适用范围完全错误的结果。 3、处理乘法结合律基础认知类问题时，要明确三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积保持不变，对应字母公式为(a×b)×c=a×(b×c)，不能随意改变乘数的数值，得到变形后乘积发生变化的错误结果。 4、处理含25、125的连乘简便计算类问题时，要优先利用25×4=100、125×8=1000的固定凑整组合，通过交换律调整乘数位置，再用结合律加括号优先计算凑整部分，不能盲目硬算，得到计算过程繁琐且结果出错的结果。 5、标注乘法交换律及乘法结合律问题的最终结果时，要核对变形前后的乘数完全一致、乘积的数值完全相等，避免出现漏写乘数、错改运算符号的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理多个数连乘的简便计算类问题时，可以同时运用乘法交换律和结合律，分组凑整后再把各组的积相乘，不能只局限于使用单一运算律，导致计算过程冗余且容易出错。 7、同一道乘法交换律及乘法结合律的运算过程中，运算律的适用范围、凑整的计算规则必须完全统一，不能中途随意把乘法运算律套用到加减法运算中、随意调换加减数的位置，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理乘法运算律的实际应用类问题时，要先观察题目中乘数的凑整特征，灵活运用运算律简化计算，不能硬套从左到右依次相乘的普通计算逻辑，得到计算过程繁琐且容易算错的结果。 9、处理乘法运算律的判断类问题时，要区分交换律和结合律的特征：仅交换乘数位置的是交换律，仅改变运算顺序加括号的是结合律，同时出现两种操作的是两个运算律综合运用，不能混淆两个运算律的判定边界，得到概念判定错误的结果。 10、用乘法交换律及乘法结合律解决问题时，要先锚定「先观察乘数的凑整特征、匹配对应乘法运算律调整位置和运算顺序、验证变形前后乘积完全相等」的核心规则，不能直接硬套普通连乘从左到右的计算逻辑，忽略乘法运算律专属的凑整简化属性。 【题型精讲5】下面各选项中，没有运用乘法交换律的是（    ）。 A． B．数学＝学数 C． D．○☆＝☆○ 【易错巩固1】宁宁在用计算器计算985×36时，发现计算器上的“6”键坏了，可以用（    ）在计算器上算出结果。 A．985×30＋985×6 B．985×9×4 C．985×6×6 D．985×40－4 【易错巩固2】聪聪用计算器计算时，发现数字键“6”坏了。请你设计另一种方案，使他还能用计算器计算：（ ）。（写算式） 【易错巩固3】绿水青山就是金山银山，绿林小队计划每天在山上植树25棵，每周工作5天，四个这样的小队一周可以植树（ ）棵。 【易错巩固4】小明去游泳馆游泳。泳池长25米，他每次可连续游4个来回再休息。小明每次可连续游多少米？ 【易错巩固5】“粮安天下，致敬耕耘”，每年的10月16日是世界粮食日。2025年世界粮食日这天，阳光社区举办了一场“爱粮惜粮”公益义卖活动。附近的幸福超市捐赠了48袋面粉来支持义卖，每袋面粉重25千克。义卖时，每千克面粉定价4元。如果这批面粉全部卖完，一共可以筹集多少元公益款？ 易错题型06 乘法分配律 1、同时满足「明确乘法分配律的定义边界、变形前后算式结果完全相等」规则得到的结果，才是本单元认可的乘法分配律问题的合规解题结果，随意漏乘、错套运算律的不符合分配律规则的算式不能作为有效解题依据。 2、处理乘法分配律基础认知类问题时，要明确两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，对应字母公式为(a+b)×c=a×c+b×c，不能只把括号外的数乘括号内的其中一个数，得到分配律应用不完整的错误结果。 3、处理乘法分配律减法拓展类问题时，要明确两个数的差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相减，对应字母公式为(a−b)×c=a×c−b×c，不能把减号错改成加号，得到计算结果完全错误的结果。 4、处理接近整十整百的数乘另一个数的简便计算类问题时，要先把接近整十整百的数拆成整十整百数加/减一个数的形式，再用乘法分配律展开计算，不能直接硬套乘法结合律拆分乘数，得到简便计算逻辑完全错误的结果。 5、标注乘法分配律问题的最终结果时，要核对展开前后的算式数值完全相等、每一项都完成了分配相乘，避免出现漏乘其中一个项、错改运算符号的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、同一道乘法分配律的运算过程中，分配律的适用规则、“分别相乘再加减”的核心要求必须完全统一，不能中途随意把分配律套用到连乘运算中、混淆乘法分配律和结合律的边界，打乱运算逻辑的严谨性。 7、处理乘法分配律的图形建模类问题时，要通过两个长方形的面积之和直观理解分配律的含义，不能把两个长方形的长直接相加后再乘宽的逻辑判定为错误，得到概念理解完全错位的结果。 8、处理乘法分配律的实际应用类问题，比如计算两套不同单价的物品总费用时，可以用“单价和×数量”的分配律形式简化计算，不能分别算出总价再相加的繁琐硬算逻辑当成唯一解法，得到计算过程冗余的结果。 9、用乘法分配律解决问题时，要先锚定「先观察算式特征匹配分配律正向/逆向使用场景、确保括号外的数分别乘括号内的每一项、验证变形前后算式结果完全相等」的核心规则，不能直接硬套普通四则运算从左到右的计算逻辑，忽略乘法分配律专属的凑整简化属性。 【题型精讲6】下面与256×48的结果不相等的是（    ）。 A．256×40＋8 B．256×50－256×2 C．256×12×4 【易错巩固1】在用计算器计算36×27时，按键“7”坏了，若继续使用这个计算器，下面的算法正确的是（    ）。 A．36×3×9 B．36×30－3 C．27×40－4 D．36×20＋36×7 【易错巩固2】如果○＋△＝100，且○×☆＋△×☆＝2000，那么☆＝（ ）；如果□×★＝70，那么（□×3）×（★×3）＝（ ）。 【易错巩固3】钦州是“中国坭兴陶之都”，某陶艺工坊生产了108箱坭兴陶茶杯，每箱25个，一共生产了（ ）个。计算时运用（ ）律使计算简便。 【易错巩固4】风筝起源于中国，是中国传统工艺之一，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的。某批发市场蝴蝶风筝14元/只，凤凰风筝26元/只，红星商店购进蝴蝶，凤凰两种风筝各25只。 根据以上信息提出一个两步或两步以上计算的数学问题，并列式解答。 【易错巩固5】下表是一列火车的载客信息，算一算，这列火车能载多少人？ 双层车 每节车厢载客（人） 车厢数（节） 上层 106 12 下层 94 12 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $