第五单元 运算律 (解决问题讲义)数学北师大版四年级上册(新教材)
2026-07-21
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精品
摘要:
该小学数学第五单元运算律复习讲义通过知识框架系统梳理运算律知识体系,涵盖加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律及连减连除性质,以“凑整”简化计算为核心目的,用思维导图呈现“基础认知-简便思路-重点应用-性质拓展-易错提醒”的递进脉络,突出乘法分配律的重难点及各运算律内在联系。
讲义亮点在于分层练习设计与实用方法指导,A夯实基础(如演出服总价计算)、B培优拔高(如多步运算应用)、C思维拓展(如等量代换问题),结合“观察数字特征凑整”技巧,如校服定制问题通过乘法分配律两种方法简化计算,培养运算能力与应用意识。配套变式训练和易错点提醒,助力不同层次学生提升,为教师精准教学提供支持。
内容正文:
第五单元 运算律
1.运算律基础认知:
---- 小学阶段核心运算律包括:加法交换律()、加法结合律();乘法交换律()、乘法结合律()、乘法分配律()。运用运算律的核心目的是通过 “凑整” 简化计算,提升解题效率与准确率。
2.简便计算核心思路:
---- 解决实际问题时,优先观察数字特征,利用、等固定凑整组合,通过交换位置、结合分组、拆分数字等方式,将复杂计算转化为整十、整百数的口算,减少笔算步骤。
3.乘法分配律重点应用:
---- 乘法分配律是运算律应用的重难点,既可以 “合起来算”(先求一组的量,再乘组数),也可以 “分开算再相加”;还可拓展到差的形式。常见于总价、总工作量、总路程等多组数量求和的实际问题。
4.连减、连除性质拓展:
---- 连减性质:;连除性质:。在剩余量、平均分等问题中,利用这两个性质凑整,可大幅简化计算。
5.易错点提醒:
---- 运用乘法分配律时,括号外的数要分别乘括号内的每一个数,避免漏乘;运用结合律时注意正确添加括号,改变运算顺序;解决问题先理清数量关系,再选择合适的运算律简便计算,不要为了简便而强行凑数。
类型 1 加法运算律的实际应用
典型例题 1:小明去超市买文具,一支钢笔 58 元,一个笔记本 37 元,一个文具盒 63 元。小明买这三样文具一共需要花多少元?
【分析】求三样文具总价,将三个价格相加。观察发现 37 和 63 可以凑成整百,利用加法结合律先算后两个数的和,再加上第一个数,计算更简便。
【答案】158 元
【详解】
加法结合律
(元)
答:一共需要花 158 元。
【变式训练】四年级同学捐书,四(1)班捐了 124 本,四(2)班捐了 89 本,四(3)班捐了 111 本。三个班一共捐书多少本?
【答案】324 本
【详解】
(本)
答:三个班一共捐书 324 本。
类型 2 乘法交换律与结合律的实际应用
典型例题 2:学校采购练习本,每包有 25 本,每本练习本 4 元,采购 18 包一共需要多少元?
【分析】可以先算每包的价格再乘包数,也可以先算总本数再乘单价。观察数字,25 和 4 相乘得 100,利用乘法结合律先算凑整,计算更简便。
【答案】1800 元
【详解】
方法一:先算每包价格
(元)
方法二:先算总本数
乘法交换律
(元)
答:采购 18 包一共需要 1800 元。
【变式训练】一个泳池长 50 米,小明每次游 8 个来回,他每次游多少米?
【答案】800 米
【详解】
一个来回是 2 个 50 米,8 个来回就是个 50 米
(米)
答:他每次游 800 米。
类型 3 乘法分配律基础应用(求和型)
典型例题 3:学校定制校服,每件上衣 65 元,每条裤子 35 元。四年级一共 42 名学生,每人定制一套校服,一共需要多少元?
【分析】方法一:先算一套校服的价格(上衣 + 裤子),再乘套数;方法二:分别算上衣总价和裤子总价,再相加。两种方法对应乘法分配律的两种形式,第一种凑整计算更简便。
【答案】4200 元
【详解】
方法一:先算一套的价格
(元)
方法二:分别计算再相加
(元)
答:一共需要 4200 元。
【变式训练】水果店运来苹果和梨各 12 箱,苹果每箱 24 千克,梨每箱 26 千克。苹果和梨一共运来多少千克?
【答案】600 千克
【详解】
(千克)
答:苹果和梨一共运来 600 千克。
类型 4 乘法分配律拓展应用(求差型)
典型例题 4:超市运来大米和面粉各 15 袋,大米每袋 40 千克,面粉每袋 25 千克。运来的大米比面粉多多少千克?
【分析】可以先算每袋大米比面粉多的重量,再乘袋数;也可以分别算大米和面粉的总重量,再相减。利用乘法分配律的差的形式简化计算。
【答案】225 千克
【详解】
方法一:先算每袋差值
(千克)
方法二:分别计算再相减
(千克)
答:运来的大米比面粉多 225 千克。
【变式训练】李师傅和王师傅加工零件,李师傅每小时加工 64 个,王师傅每小时加工 56 个,两人各工作 8 小时。李师傅比王师傅多加工多少个零件?
【答案】64 个
【详解】
(个)
答:李师傅比王师傅多加工 64 个零件。
类型 5 连减、连除性质的实际应用
典型例题 5:一本故事书有 200 页,小华第一天看了 47 页,第二天看了 53 页。还剩多少页没有看?
【分析】求剩余页数,用总页数减去两天看的页数和。观察发现 47 和 53 可凑成整百,利用连减性质计算更简便。
【答案】100 页
【详解】
连减性质
(页)
答:还剩 100 页没有看。
【变式训练】学校买来 360 本课外书,分给 6 个年级,每个年级有 5 个班。平均每个班分到多少本?
【答案】12 本
【详解】
方法一:连除
(本)
方法二:利用连除性质
(本)
答:平均每个班分到 12 本。
A夯实基础
1.某学校举行毕业晚会,要给小演员买40套演出服,一件上衣要花23元,一条裤子要花22元。买40套演出服一共要花多少钱?
【答案】1800元
【分析】一套演出服包括一件上衣和一条裤子,一件上衣的价钱+一条裤子的价钱=一套演出服的价钱,先算出一套的价钱,再乘以40套即可。
【详解】
(元)
答:买40套演出服一共要花1800元。
2.地球绕太阳公转一圈大约需要365天,金星绕太阳公转一圈大约需要225天。照这样计算,地球公转5圈比金星公转5圈大约多几天?
【答案】700天
【分析】根据题意,地球公转一圈需要365天,金星公转一圈需要225天。要求地球公转5圈比金星公转5圈多几天,先计算出地球公转1圈比金星公转1圈多的天数,再乘5。
【详解】(365-225)×5
=140×5
(天)
答:地球公转5圈比金星公转5圈大约多700天。
3.现代农业中,植保无人机常用来给农田喷洒防虫药液,乡村植保站调配800升防虫药液,果树消杀先用掉320升,剩下的药液平均分装到8台无人机,每台无人机要装载多少升药液?
【答案】
升
【分析】先求剩余量,再求平均量。首先用总药液量减去果树消杀用掉的药液量,求出剩下的药液量;然后将剩下的药液量平均分成份,用除法计算每台无人机装载的量。列综合算式时,因需先算减法,故减法部分需加小括号。
【详解】
(升)
答:每台无人机要装载升药液。
4.修路队修两条公路,第一条长62千米,第二条长38千米,每千米修路成本45万元,第一条公路比第二条多花费多少万元?
【答案】1080万元
【分析】第一条公路长千米,第二条公路长千米,每千米修路成本万元。要求第一条公路比第二条多花费多少万元,先分别求出两条公路的总成本再相减,由于每千米成本相同,先求长度差再计算总差价的方法更为简便。
【详解】
(万元)
答:第一条公路比第二条多花费1080万元。
5.超市购进两种洗衣液,大瓶每瓶38元,小瓶每瓶12元,两种洗衣液各进货199瓶,采购洗衣液一共需要多少元?
【答案】9950元
【分析】可以用每瓶的钱数×瓶数分别求出两种洗衣液各自需要的总钱数,然后再加一起即可。由于进货数量相同,可以利用乘法分配律使计算简便。
【详解】38×199+12×199
=(38+12)×199
=50×199
=9950(元)
答:采购洗衣液一共需要9950元。
B培优拔高
6.工厂给工人采购工装,一件上衣57元,一条裤子43元,一共采购42套工装,需要多少钱?
【答案】4200元
【分析】根据题意,一套工装包含一件上衣和一条裤子,求采购42套工装的总钱数,可以先用一件上衣的钱数×42,一条裤子的钱数×42计算出上衣和裤子各需要多少元,然后再加一起,可以利用乘法分配律进行简算。
【详解】57×42+43×42
=(57+43)×42
=100×42
=4200(元)
答:需要4200元。
7.文具店购进钢笔与圆珠笔各35盒,钢笔每盒28元,圆珠笔每盒12元,采购这批笔一共花费多少钱?
【答案】1400元
【分析】已知钢笔和圆珠笔的盒数相同,均为盒。先分别求出钢笔和圆珠笔的总价钱,再求和计算时可以利用乘法分配律使计算简便。
【详解】
(元)
答:采购这批笔一共花费1400元。
8.学校举行“传统文化进校园”活动,要求同学们都选一本相关书籍阅读。小芳选读一本《弟子规》,她第一天读了74句,第二天读了126句,第三天读了95句,还剩65句没有读。《弟子规》一共有多少句?
【答案】360句
【分析】根据题意,将三天读的句数相加,求出已经读了多少句,再加上没读的句数,即可求出《弟子规》一共有多少句,可以利用加法结合律简便计算。
【详解】74+126+95+65
=(74+126)+(95+65)
=200+160
=360(句)
答:《弟子规》一共有360句。
9.《中华上下五千年》是一套故事化的历史读物,将中华民族上下五千年历史的辉煌灿烂和沧海桑田都展现在读者面前,全书共575页,乐乐第一周看了114页,第二周看了86页,第三周看了75页,还剩下多少页没看?
【答案】300页
【分析】用全书的页数依次减去每周看的页数,计算时用575先减去75,同时减去另外两个数的和,这样计算比较简便。
【详解】575-114-86-75
=575-75-(114+86)
=500-200
=300(页)
答:还剩下300页没看。
10.学校图书室一共有12个书架(如下图),书架每层可以放125本书。这些书架一共可以放多少本书?
【答案】7500本
【分析】从题图可得,每个书架共有5层,这是题干未直接给出的计算必要条件。确定每个书架的层数后,可利用乘法运算律进行简便计算。总放书量=每层放书量×每个书架层数×书架总数量。
【详解】125×5×12
=125×(5×12)
=125×60
=7500(本)
答:这些书架一共可以放7500本书。
11.《水浒传》是中国古典四大名著之一,是中国历史上最早用白话文写成的章回小说。淘淘在寒假期间读了一本《水浒传》,他第一周读了332页,第二周读了164页,第三周读了268页,第四周读了剩下的136页。这本《水浒传》一共有多少页?(每天都没有读重复页)
【答案】900
【分析】求这本《水浒传》的总页数,需要将四周读的页数相加。观察数据特征,332与268的和是整百数,164与136的和也是整百数。依据加法交换律和加法结合律,交换加数位置并分组计算,可使计算简便。
【详解】332+164+268+136
=(332+268)+(164+136)
=600+300
=900(页)
答:这本《水浒传》一共有900页。
12.小明用彩纸做手工,一共要用完48张彩纸。原本计划用15张红色彩纸和一些蓝色彩纸,后来发现红色彩纸需要增加6张,请问现在需要用多少张蓝色彩纸?
【答案】27张
【分析】(1)总彩纸数固定为48张,原本计划用15张红色彩纸,后来红色彩纸增加6张,因此现在红色彩纸数量为15+6=21张。
(2)现在需要的蓝色彩纸数量等于总彩纸数减去现在红色彩纸的数量,即48 - 21 = 27张。
【详解】
(张)
答:现在需要用27张蓝色彩纸。
C思维拓展
13.新华社区在春节期间开展了“喜迎新春”画展活动,居民们踊跃参加,一单元展出了58幅,二单元展出的比一单元多13幅,三单元展出的是二单元的3倍。三单元展出了多少幅画?
【答案】213幅
【分析】根据已知一个量,求比它多几的量,用加法计算,一单元展出了58幅,二单元展出的比一单元多13幅,用加法计算二单元数量,再根据已知一个量,求它的几倍是多少,用乘法计算,三单元展出的是二单元的3倍,用乘法计算三单元数量。
【详解】(58+13)×3
=71×3
=213(幅)
答:三单元展出了213幅画。
14.刘老师为学校体育室买了3个排球和2个篮球共用了420元。1个篮球的价钱相当于2个排球的价钱,每个排球和篮球各多少元?
【答案】60元;120元
【分析】根据题意,买了3个排球和2个篮球,1个篮球的价钱相当于2个排球的价钱,则2个篮球的价格相当于(2×2)个排球的价格,则买(2×2+3)个排球一共需要420元,用总钱数除以个数,即可求出每个排球的价格;乘2即可求出篮球的价格。
【详解】420÷(2×2+3)
=420÷(4+3)
=420÷7
=60(元)
60×2=120(元)
答:每个排球60元,每个篮球120元。
15.《西游记》中所描绘的精彩神话故事深受学生喜爱,学校对学生最喜欢的故事做了调查,投票结果如下(每人只能投一票),一共有多少人给这四个故事投票?
三打白骨精
真假美猴王
智取红孩儿
大闹天宫
372人
245人
228人
155人
【答案】1000人
【分析】故事《三打白骨精》的投票人数加上故事《真假美猴王》的投票人数,再加上故事《智取红孩儿》的投票人数,再加上故事《大闹天宫》的投票人数,即可算出一共有(372+245+228+155)人给这四个故事投票。再运用加法交换律和加法结合律简便计算即可。
【详解】372+245+228+155
=(372+228)+(245+155)
=600+400
=1000(人)
答:一共有1000人给这四个故事投票。
16.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,甲车的速度是95千米/小时,乙车的速度是115千米/小时,两车分别到B地、A地后立即返回,经过2小时后,两车第二次相遇。A、B两地相距多少千米?
【答案】140千米
【分析】两车相向而行,当两车第一次相遇时,行驶路程和就是A、B两地的距离,当两车到达对方出发地后立即返回,然后两车第二次相遇,此时行驶路程和是3个A、B两地的距离;先将两车速度相加,再乘行驶时间,求出行驶路程和,再除以3,即可求出A、B两地的距离。
【详解】(95+115)×2÷3
=210×2÷3
=420÷3
=140(千米)
答:A、B两地相距140千米
17.全球有许多著名的摩天大楼,其中北京中信大厦高528米,比上海中心大厦矮104米,迪拜的哈利法塔高出上海中心大厦196米。哈利法塔高多少米?
【答案】828米
【分析】已知北京中信大厦高528米,比上海中心大厦矮104米,那么上海中心大厦的高度就是北京中信大厦的高度加上104米;因为迪拜的哈利法塔高出上海中心大厦196米,所以哈利法塔的高度为上海中心大厦的高度加上196米。计算时利用加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)进行简算。
【详解】528+104+196
=528+(104+196)
=528+300
=828(米)
答:哈利法塔高828米。
18.为提高大家的防诈骗意识,希望小学邀请反诈骗专家为同学们进行反诈知识讲座,学校阶梯教室共有3个座位区,每个座位区都有25排,每排有12个座位,座无虚席,参加反诈知识讲座的同学有多少人?
【答案】900人
【分析】根据题意,每个座位区有25排,每排12个座位,用25乘12,计算每个座位区的座位数;再乘3,就是计算总座位数,也就是参加反诈知识讲座的同学人数;列式计算即可。
【详解】根据分析可知:
25×12×3
=300×3
=900(人)
答:参加反诈知识讲座的同学有900人。
19.海洋馆里海豚表演观看区有20排座位,每排有25个座。每天共有5场表演,这个观看区一天最多能容纳多少人观看海豚表演?
【答案】2500人
【分析】用每排的座位数乘排数,求出一场表演可容纳的人数,已知一天共有5场表演,再用一场表演可容纳的人数乘5,即可求出这个观看区一天最多能容纳多少人观看海豚表演。
【详解】25×20×5
=500×5
=2500(人)
答:这个观看区一天最多能容纳2500人观看海豚表演。
20.苏绣是四大名绣之一、某绣坊接到一笔制作苏绣平安福DIY小包的订单,每名绣工每天制作25个,7名绣工40天正好可以制作完。一共要制作多少个苏绣平安福DIY小包?
【答案】7000个
【分析】用每名绣工每天制作的数量乘人数,先求出7名绣工一天可以制作多少个;再乘天数40,据此列式计算可求出一共要制作多少个苏绣平安福DIY小包。计算时可以利用乘法交换律简便计算。
【详解】25×7×40
=25×40×7
=1000×7
=7000(个)
答:一共要制作7000个苏绣平安福DIY小包。
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第五单元 运算律
1.运算律基础认知:
---- 小学阶段核心运算律包括:加法交换律()、加法结合律();乘法交换律()、乘法结合律()、乘法分配律()。运用运算律的核心目的是通过 “凑整” 简化计算,提升解题效率与准确率。
2.简便计算核心思路:
---- 解决实际问题时,优先观察数字特征,利用、等固定凑整组合,通过交换位置、结合分组、拆分数字等方式,将复杂计算转化为整十、整百数的口算,减少笔算步骤。
3.乘法分配律重点应用:
---- 乘法分配律是运算律应用的重难点,既可以 “合起来算”(先求一组的量,再乘组数),也可以 “分开算再相加”;还可拓展到差的形式。常见于总价、总工作量、总路程等多组数量求和的实际问题。
4.连减、连除性质拓展:
---- 连减性质:;连除性质:。在剩余量、平均分等问题中,利用这两个性质凑整,可大幅简化计算。
5.易错点提醒:
---- 运用乘法分配律时,括号外的数要分别乘括号内的每一个数,避免漏乘;运用结合律时注意正确添加括号,改变运算顺序;解决问题先理清数量关系,再选择合适的运算律简便计算,不要为了简便而强行凑数。
类型 1 加法运算律的实际应用
典型例题 1:小明去超市买文具,一支钢笔 58 元,一个笔记本 37 元,一个文具盒 63 元。小明买这三样文具一共需要花多少元?
【分析】求三样文具总价,将三个价格相加。观察发现 37 和 63 可以凑成整百,利用加法结合律先算后两个数的和,再加上第一个数,计算更简便。
【变式训练】四年级同学捐书,四(1)班捐了 124 本,四(2)班捐了 89 本,四(3)班捐了 111 本。三个班一共捐书多少本?
类型 2 乘法交换律与结合律的实际应用
典型例题 2:学校采购练习本,每包有 25 本,每本练习本 4 元,采购 18 包一共需要多少元?
【分析】可以先算每包的价格再乘包数,也可以先算总本数再乘单价。观察数字,25 和 4 相乘得 100,利用乘法结合律先算凑整,计算更简便。
【变式训练】一个泳池长 50 米,小明每次游 8 个来回,他每次游多少米?
类型 3 乘法分配律基础应用(求和型)
典型例题 3:学校定制校服,每件上衣 65 元,每条裤子 35 元。四年级一共 42 名学生,每人定制一套校服,一共需要多少元?
【分析】方法一:先算一套校服的价格(上衣 + 裤子),再乘套数;方法二:分别算上衣总价和裤子总价,再相加。两种方法对应乘法分配律的两种形式,第一种凑整计算更简便。
【变式训练】水果店运来苹果和梨各 12 箱,苹果每箱 24 千克,梨每箱 26 千克。苹果和梨一共运来多少千克?
类型 4 乘法分配律拓展应用(求差型)
典型例题 4:超市运来大米和面粉各 15 袋,大米每袋 40 千克,面粉每袋 25 千克。运来的大米比面粉多多少千克?
【分析】可以先算每袋大米比面粉多的重量,再乘袋数;也可以分别算大米和面粉的总重量,再相减。利用乘法分配律的差的形式简化计算。
【变式训练】李师傅和王师傅加工零件,李师傅每小时加工 64 个,王师傅每小时加工 56 个,两人各工作 8 小时。李师傅比王师傅多加工多少个零件?
类型 5 连减、连除性质的实际应用
典型例题 5:一本故事书有 200 页,小华第一天看了 47 页,第二天看了 53 页。还剩多少页没有看?
【分析】求剩余页数,用总页数减去两天看的页数和。观察发现 47 和 53 可凑成整百,利用连减性质计算更简便。
【变式训练】学校买来 360 本课外书,分给 6 个年级,每个年级有 5 个班。平均每个班分到多少本?
A夯实基础
1.某学校举行毕业晚会,要给小演员买40套演出服,一件上衣要花23元,一条裤子要花22元。买40套演出服一共要花多少钱?
2.地球绕太阳公转一圈大约需要365天,金星绕太阳公转一圈大约需要225天。照这样计算,地球公转5圈比金星公转5圈大约多几天?
3.现代农业中,植保无人机常用来给农田喷洒防虫药液,乡村植保站调配800升防虫药液,果树消杀先用掉320升,剩下的药液平均分装到8台无人机,每台无人机要装载多少升药液?
4.修路队修两条公路,第一条长62千米,第二条长38千米,每千米修路成本45万元,第一条公路比第二条多花费多少万元?
5.超市购进两种洗衣液,大瓶每瓶38元,小瓶每瓶12元,两种洗衣液各进货199瓶,采购洗衣液一共需要多少元?
B培优拔高
6.工厂给工人采购工装,一件上衣57元,一条裤子43元,一共采购42套工装,需要多少钱?
7.文具店购进钢笔与圆珠笔各35盒,钢笔每盒28元,圆珠笔每盒12元,采购这批笔一共花费多少钱?
8.学校举行“传统文化进校园”活动,要求同学们都选一本相关书籍阅读。小芳选读一本《弟子规》,她第一天读了74句,第二天读了126句,第三天读了95句,还剩65句没有读。《弟子规》一共有多少句?
9.《中华上下五千年》是一套故事化的历史读物,将中华民族上下五千年历史的辉煌灿烂和沧海桑田都展现在读者面前,全书共575页,乐乐第一周看了114页,第二周看了86页,第三周看了75页,还剩下多少页没看?
10.学校图书室一共有12个书架(如下图),书架每层可以放125本书。这些书架一共可以放多少本书?
11.《水浒传》是中国古典四大名著之一,是中国历史上最早用白话文写成的章回小说。淘淘在寒假期间读了一本《水浒传》,他第一周读了332页,第二周读了164页,第三周读了268页,第四周读了剩下的136页。这本《水浒传》一共有多少页?(每天都没有读重复页)
12.小明用彩纸做手工,一共要用完48张彩纸。原本计划用15张红色彩纸和一些蓝色彩纸,后来发现红色彩纸需要增加6张,请问现在需要用多少张蓝色彩纸?
C思维拓展
13.新华社区在春节期间开展了“喜迎新春”画展活动,居民们踊跃参加,一单元展出了58幅,二单元展出的比一单元多13幅,三单元展出的是二单元的3倍。三单元展出了多少幅画?
14.刘老师为学校体育室买了3个排球和2个篮球共用了420元。1个篮球的价钱相当于2个排球的价钱,每个排球和篮球各多少元?
15.《西游记》中所描绘的精彩神话故事深受学生喜爱,学校对学生最喜欢的故事做了调查,投票结果如下(每人只能投一票),一共有多少人给这四个故事投票?
三打白骨精
真假美猴王
智取红孩儿
大闹天宫
372人
245人
228人
155人
16.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,甲车的速度是95千米/小时,乙车的速度是115千米/小时,两车分别到B地、A地后立即返回,经过2小时后,两车第二次相遇。A、B两地相距多少千米?
17.全球有许多著名的摩天大楼,其中北京中信大厦高528米,比上海中心大厦矮104米,迪拜的哈利法塔高出上海中心大厦196米。哈利法塔高多少米?
18.为提高大家的防诈骗意识,希望小学邀请反诈骗专家为同学们进行反诈知识讲座,学校阶梯教室共有3个座位区,每个座位区都有25排,每排有12个座位,座无虚席,参加反诈知识讲座的同学有多少人?
19.海洋馆里海豚表演观看区有20排座位,每排有25个座。每天共有5场表演,这个观看区一天最多能容纳多少人观看海豚表演?
20.苏绣是四大名绣之一、某绣坊接到一笔制作苏绣平安福DIY小包的订单,每名绣工每天制作25个,7名绣工40天正好可以制作完。一共要制作多少个苏绣平安福DIY小包?
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