精品解析：山西阳泉市第十五中学校2026-2027学年九年级上学期第一次教学质量监测数学试题

阳泉市第十五中学校九年级第一学期第一次教学质量监测 数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值2 D. 顶点坐标是 4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 5. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 6. 抛物线可由抛物线如何平移得到的（　　） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D. 先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 7. 对于关于x的函数，下列说法错误的是( ) A. 当时，该函数为正比例函数 B. 当时，该函数为一次函数 C. 当该函数为二次函数时，或 D. 当该函数为二次函数时， 8. 在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为____________（用“＜”连接）． 12. 二次函数的图象总是在轴的上方，则的取值范围为______． 13. 二次函数y=，当x<0时，y随x的增大而增大，则m=___． 14. 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 15. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 19. 某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． （1）直接写出与x之间的函数关系式. （2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 20. 已知二次函数． （1）填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2） （3）根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； （4）根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 21. “运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 22. 请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． （2）关于的一元二次方程（）有一个实数根为，求方程的一个实数根． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳泉市第十五中学校九年级第一学期第一次教学质量监测 数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值2 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的 【详解】解：∵， ∴，开口向下，故选项A不符合题意； ∴对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时取得最大值2，故选项C不符合题意； 顶点坐标是，故选项D符合题意； 故选：D 4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 5. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键． 6. 抛物线可由抛物线如何平移得到的（　　） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D. 先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】先将抛物线化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可． 【详解】因为， 所以将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线， 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键. 7. 对于关于x的函数，下列说法错误的是( ) A. 当时，该函数为正比例函数 B. 当时，该函数为一次函数 C. 当该函数为二次函数时，或 D. 当该函数为二次函数时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意； 、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意； 、当时，该函数为正比例函数，故符合题意； 、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 8. 在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：A、直线中，，抛物线中，，故本选项符合题意； B、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意． 9. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 【答案】C 【解析】 【分析】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将种植地平移拼接为长方形，即可列出方程，进一步求出x的值即可． 【详解】解：假设修建的路宽应x米，则， ， 整理得： 解得：米，米(不合题意舍去)， 故选C． 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置判断、、的符号及关系，可判断①②正确；由抛物线与轴交点个数可得判别式符号，可判断③错误；由对称轴可得函数最小值为，得出，即可判断④正确，综上即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故②正确， ∵图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵图象与轴有两个交点， ∴，故③错误， ∵对称轴为直线， ∴当时，取最小值， ∴对于任意实数都有， ∴，故④正确， 综上所述：正确结论有①②④，共个． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为____________（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，比较各点到对称轴的距离，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小， ∵， ． 故答案为：． 12. 二次函数的图象总是在轴的上方，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象始终在x轴上方，需满足开口向上且判别式小于零，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象总是在轴的上方， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 13. 二次函数y=，当x<0时，y随x的增大而增大，则m=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义可列出方程，再根据当x<0时，y随x的增大而增大，可确定m的值． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵当x<0时，y随x的增大而增大， ∴， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，解题关键是根据二次函数的定义列出方程，利用二次函数的增减性确定m的值． 14. 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 【答案】36 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 15. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解； 【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得， ． 17. 一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【解析】 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， 解得． 19. 某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． （1）直接写出与x之间的函数关系式. （2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 【答案】（1） （2）的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据利润(售价-进价) 售量，代入数据化简即可得与x之间的函数关系式. （2）根据（1）的解析式，进一步配方后，结合二次函数性质即可得此抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据的取值范围即可得出时， 元，即可得答案. 【小问1详解】 解：根据题意得： ， ∴与x之间的函数关系式为. 【小问2详解】 解: 根据题意得：，解得：， 由（1）得：， 配方得：， ， ∴此抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时， ， ∴销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，的最大值为2160元. 20. 已知二次函数． （1）填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2） （3）根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； （4）根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 【答案】（1） 填表如下： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … （2）二次函数的图象如下图所示即为所求： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据所给表格代入相应的，求出y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据图象，找到最高点和最低点，即可看出y的取值范围． （4）根据图象，可得函数的对称轴以及开口方向，即可看出x的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得：当时，的取值范围是. 【小问4详解】 解：由图可得，二次函数的对称轴为，开口向下，那么当时，随的增大而增大． 21. “运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 （2）拱顶到水面的距离为 【解析】 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【小问1详解】 解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 22. 请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． （2）关于的一元二次方程（）有一个实数根为，求方程的一个实数根． 【答案】（1）所求一元二次方程为 （2）方程的一个实数根为 【解析】 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入得到； 化简得； 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ， 两边同除得， 移项得， 对比方程可知，当时，等式成立， 的一个实数根为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）． 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可； （2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标； （3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1）在抛物线中， 令，则， ∴点C的坐标为（0，）， ∴OC=2， ∵， ∴，， ∴点A为（，0），点B为（，0）， 则把点A、B代入解析式，得 ，解得：， ∴； （2）由题意，∵，点C为（0，）， ∴点P的纵坐标为， 令，则， 解得：，， ∴点P的坐标为（，）； （3）设直线AC的解析式为，则 把点A、C代入，得 ，解得：， ∴直线AC的解析式为； 过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图： 设点P 为（，），则点D为（，）， ∴， ∵OA=4， ∴， ∴， ∴当时，取最大值8； ∴， ∴点P的坐标为（，）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $