第五单元 第06课时 正比例关系（分层作业）数学冀教版六年级上册（新教材）

第五单元 第6课时 正比例关系 1. 两种相关联的量，一种量扩大/缩小，另一种量也随之扩大/缩小相同倍数，且对应两数的比值一定，这两种量叫（ ），二者的关系为（ ）。 2.正比例字母表达式（ ） 3.正比例判断三要点 两种量相互关联，一个量随另一个量（ ）两个量的变化倍数（ ） 二者的比值（ ） 一、选择题 1．下面不成正比例的是（    ）。 A．等边三角形的边长和周长 B．底一定，三角形的面积和高 C．圆的面积和半径 2．下面说法正确的有（    ）句。 ①一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段是全长的，两段一样长。 ②单价一定时，购买商品的总价和数量成正比例关系。 ③非0自然数中，2的倍数一定是合数。 ④一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的9倍。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．关于平面图形，下列叙述正确的有（    ）句。 （1）等边三角形一定是锐角三角形； （2）梯形可能有一组对边相互平行； （3）圆的周长和直径一定成正比例； （4）长方形不可能有4条对称轴。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．用四根木条制作一个长方形框架，拉动两个对角，在变化的过程中，平行四边形的面积和高（      ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 5．下面的关系式，（    ）中的x与y不成正比例关系（x、y均不为0）。 A． B．4x＝5y C．6÷x＝y D． 6．下面选项中的两种量，成正比例关系的是（    ）。 A．某杂志的单价一定，订阅的费用与订阅的数量 B．一个人的身高和他的年龄 C．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数 D．路程一定，速度和时间 二、填空题 7．A和B都是非零自然数，并且，则A和B成( )比例关系，A和B的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 8．如果6a＝5b（a、b均不为0），则a∶b＝( )，a和b成( )比例。 9．用四根木条钉成一个长方形框架，将它的两个对角慢慢向两边拉动，在这个变化过程中，平行四边形的面积和高成_______关系。（填“正比例”或“反比例”） 10．”五一”期间，某男装专卖店所有服装都打同样的折扣销售。张叔叔买了一条裤子，原价200元，现价150元，他还想买一件上衣，原价360元，现价( )元。如果用表示原价，表示现价，与是( )关系（填正比例或反比例）。 11．a和b为非0自然数，若a＝b×20%，则a∶b＝( )∶( )，a和b的最小公倍数是( )，a和b成( )比例。 12．如果3a＝5b，那么a∶b＝( )∶( )，a与b成( )比例关系。 三、解答题 13．综合实践：乐乐想测量学校旗杆的高度，但无法直接测量，想到了利用影子来帮忙。 (1)乐乐在同一时间、同一地点测量木棒的高度与影长。它们之间存在什么关系？ 木棒的高/m 0.4 0.6 0.8 木棒的影长/m 0.6 0.9 1.2 (2)欢欢也在同一时间、同一地点测量了旗杆的影长为18米，利用上面的规律，你能计算出旗杆的高度吗？ (3)物体的高用y表示，影子的长度用x表示。此时此地，y＝( )。 14．小亮模仿“曹冲称象”来称重。小亮站到一只小船上，船下沉了0.4厘米，换成他爸爸站在船上时，船下沉了0.7厘米。已知小亮的体重是38千克，那么爸爸的体重是多少千克？ 15．甲、乙两车同时从A地开往B地，甲车到达B地后立即返回，在离B地45千米处与乙车再次相遇，甲、乙两车速度比3∶2，求再次相遇时乙车行多少千米？ 16．张林测得风力发电架在阳光下的影长是64米，同时在该地测得一根竹竿及影子的长度如图。风力发电架高多少米？（用比例解答） 17．成语“立竿见影”的解释：在阳光下竖起竹竿，即刻就看到影子，比喻收效迅速。 (1)同一时刻，竹竿的影子和竹竿长度成( )比例关系。 (2)某天下午5时，测量出旗杆的影子长度20米，同一时间和地点测得一棵树的高度和它的影子的长度（如图），那么旗杆的高度是多少米？（用比例解） 18．为了探索箭杆上的标记与所经历的时间之间的关系，育才小学六年级数学兴趣小组的同学根据古代“水钟”的计时原理，制作了如下图所示的简易漏刻装置，并记录箭杆上的数据如下表。 箭杆上的标记／厘米 5 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 … 所经历的时间／分 0 1 2 3 4 5 … (1)请你根据上表的数据，填写空格中箭杆的上升高度。 箭杆的上升高度／厘米 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 … 所经历的时间／分 1 2 3 4 5 6 … (2)根据上述表格中的数据，你认为，箭杆的上升高度和所经历的时间成( )关系（填“正比例”或“反比例”）。 (3)照这样推算，经过( )分钟，箭杆会上升3.6厘米。用t表示经历的时间，h表示箭杆上升的高度，那么表示h与t之间关系的等式是( )。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【知识加油站】 1. 成正比例的量；正比例关系 2. 3. 变化；完全相同；固定不变 【基础巩固】 1．C 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 【详解】A．等边三角形的周长＝边长×3，那么，周长÷边长＝3，周长与边长的比值一定，成正比例。 B．三角形的面积＝底×高÷2，那么三角形的面积÷高＝底÷2，底一定时，底÷2为定值，成正比例。 C．圆的面积S＝πr2，那么S÷r2＝π，面积与半径的平方成正比例，故圆的面积与半径不成正比例。 2．A 【分析】①把绳子全长看作单位“1”，第二段占全长的，第一段就占剩下的分率。比较两段分率是否相等。 ②判断两个量是否成正比例，看它们的比值是否一定。 ③2也是2的倍数，但2不是合数。 ④正方体体积＝棱长×棱长×棱长。棱长扩大到原来的3倍，体积扩大的倍数应该是棱长倍数的立方。 【详解】①第二段占全长的，第一段占全长的1－＝。两段不相等。错误； ②总价÷数量＝单价（一定），比值一定，成正比例。正确； ③2是2的倍数，但2不是合数，2是最小的质数。错误； ④3×3×3＝27，体积扩大到原来的27倍。错误。 正确的有1句。 3．B 【分析】（1）等边三角形三个角都是60°，锐角三角形要求三个角都小于90°。 （2）梯形定义为只有一组对边平行的四边形，是一定存在，不是可能。 （3）正比例是两个量的比值固定，圆的周长÷直径＝π，π是定值。 （4）对称轴是沿一条直线对折后两侧图形可以完全重合的直线。 【详解】（1）三个内角都是锐角，说法正确。 （2）用词“可能”表述错误，说法错误。 （3）比值一定，成正比例，说法正确。 （4）长方形包含特殊的长方形（正方形），正方形有4条对称轴。存在有4条对称轴的长方形，说法错误。 所以正确的有2句。 4．A 【分析】判断两个相关联的量成什么比例，要看这两个量对应的比值一定，还是对应的乘积一定。比值一定，两个相关联的量成正比例；乘积一定，两个相关联的量成反比例；二者都不一定，则不成比例。 【详解】长方形框架拉动成平行四边形时，底的长度保持不变，高逐渐变小。根据平行四边形面积公式，可得，底为定值，即面积和高的比值一定，即平行四边形的面积和高成正比例。 5．C 【分析】两种相关联的量，比值一定则成正比例关系，乘积一定则成反比例关系，据此判断即可。 【详解】正比例关系要求两个量的比值为定值： A．整理得，比值为定值，成正比例。 B．由得，比值为定值，成正比例。 C．由得，乘积为定值，成反比例，不成正比例。 D．由得，比值为定值，成正比例。 6．A 【分析】两种相关联的量，若相对应的两个数的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系，据此判断各选项。 【详解】A．订阅费用÷订阅数量＝杂志单价，单价为定值，即二者比值一定，成正比例关系。 B．人的身高和年龄的比值不是固定值，成年后身高不再随年龄增长，不成正比例关系。 C．未读页数＋已读页数＝总页数，总页数一定是和为定值，不是比值为定值，不成正比例关系。 D．速度×时间＝路程，路程一定是乘积为定值，二者成反比例关系，不成正比例关系。 【能力提升】 7． 正 【分析】由正、反比例的意义可知：如果两种相关联的量的乘积一定，那么这两种量就成反比例关系；如果两种相关联的量的商一定，那么这两种量就成正比例关系；将转化为，即可判断A和B的比例关系；求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数是较大的数；由此解答问题即可。 【详解】由，得到：，可得到A和B的比值一定，A和B成正比例关系； 由，得到2A＝B，A和B都是非零自然数，那么A和B的最小公倍数是B，最大公因数是A。 8． 5∶6 正 【分析】根据比例的性质：内项积等于外项积，可以将b和5看作内项，将6和a看作外项。判断两个相关的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果6a＝5b（a、b均不为0），则a∶b＝5∶6； a和b的比值一定，所以a和b成正比例。 9．正比例 【分析】两种相关联的量，若其比值（商）一定，两种量成正比例关系；若其乘积一定，两种量成反比例关系；若既不存在比值（商）一定也不存在乘积一定，两种量不成比例关系，据此解答。 【详解】用四根木条钉成一个长方形框架，将它的两个对角慢慢向两边拉动，长方形就变成了平行四边形，在这个变化过程中，平行四边形的高随着面积的变化而变化，但底不变，面积÷高＝底（一定），所以面积和高成正比例关系。 10． 270 正比例 【分析】先根据裤子的现价÷裤子的原价＝折扣，计算折扣。再根据原价×折扣＝现价，计算上衣的现价。因为所有商品折扣固定，也就是现价÷原价＝折扣（固定不变）。 【详解】折扣：150÷200×100%＝75%，也就是所有商品都按原价的七五折出售。 上衣现价： 360×75%＝270（元） 判断比例关系：两个相关联的量比值一定，所以y和x是正比例关系。 11． 1 5 b 正 【分析】先将百分数化成小数，再根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）推导出a与b的比；然后判断a与b的倍数关系，利用“当两个非0自然数成倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数”这一性质得出结果。 判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【详解】20%＝0.2 因为a＝b×20%，所以a＝0.2b，即1×a＝0.2×b，1和a看作比例的外项，0.2和b看作比例的内项，可得： a∶b ＝0.2∶1 ＝（0.2×10）∶（1×10） ＝2∶10 ＝（2÷2）∶（10÷2） ＝1∶5 由a∶b＝1∶5可知，b＝5a，说明b是a的5倍，即a和b成倍数关系，则较大的数是它们的最小公倍数。 因为b＞a，所以a和b的最小公倍数是b。 因为a＝b×20%，即a＝0.2b，所以a÷b＝0.2，即a与b的比值为固定值0.2，所以a和b成正比例。 12． 5 3 正 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。已知3a＝5b，若要写成a∶b的形式，则a是外项，b是内项，那么与a相乘的3就是另一个外项，与b相乘的5就是另一个内项。 判断a与b成什么比例，需要看a与b的比值一定还是乘积一定。若比值一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例。 【详解】如果3a＝5b，那么a∶b＝5∶3； a∶b＝5∶3＝5÷3＝，即a与b的比值一定，所以a与b成正比例关系。 【思维训练】 13．(1) 同一时间、同一地点，木棒的高度与影长的比值一定，二者成正比例关系 (2) 12米 (3) 【分析】先计算表格中每组木棒高度与影长的比值，根据比值是否一定判断比例关系； 利用得到的正比例规律，结合旗杆影长计算旗杆高度； 根据正比例的意义，用字母表示出高度和影长的关系式。 【详解】（1）每组木棒高度与影长的比值：、、，三组数据的比值相等，二者成正比例关系。 答：同一时间、同一地点，木棒的高度与影长的比值一定，二者成正比例关系。 （2）同一时间、同一地点物体高度与影长成正比例，比值为 （米） 答：旗杆高度为12米。 （3）物体高为，影长为，二者成正比例且比值为，即，变形得：。 14．66.5千克 【分析】根据题意可知，人的体重∶船下沉的厘米数＝船下沉1厘米时人的体重（一定），比值一定，则人的体重与船下沉的厘米数成正比例关系，据此先求出下沉1厘米对应的体重，再乘爸爸站在船上时的下沉深度，就能得到爸爸的体重。 【详解】 （千克） 答：爸爸的体重是66.5千克。 15． 180千米 【分析】两车同时出发，行驶时间相同，路程与速度成正比例，所以路程比等于速度比；相遇时甲车已过B地45千米，乙车距B地还有45千米，因此甲车比乙车多行驶了千米，先求出1份对应的路程，再乘乙车对应的2份即可得到结果。 【详解】甲车比乙车多行的路程：（千米） 每份对应的路程：（千米） 乙车行驶的路程：（千米） 答：再次相遇时乙车行180千米。 16．80米 【分析】同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是固定的，也就是物体高度和影长成正比例关系，以此解答即可。 【详解】从图中可知：竹竿高2米，对应影长1.6米。 解：设风力发电架高x米 x∶64＝2∶1.6 1.6x＝2×64 x＝128÷1.6 x＝80 答：风力发电架高80米。 17．(1)正 (2)15米 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （2）根据同一时间、同一地点物体的实际长度与它的影长的比值一定，那么物体的实际长度与影长成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】（1）同一时刻，竹竿的影子和竹竿长度成正比例关系。 （2）解：设旗杆的高度是x米。 x∶20＝3∶4 4x＝20×3 4x＝60 4x÷4＝60÷4 x＝15 答：旗杆的高度是15米。 18．(1) 箭杆的上升高度／厘米 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 … 所经历的时间／分 1 2 3 4 5 6 (2)正比例 (3) 9 h＝0.4t 【分析】（1）分析第一个表格中箭杆标记和时间的变化规律，因为时间每增加1分钟，箭杆标记减少固定数值，所以可推出单位时间内箭杆上升的高度，以此填写第二个表格的空格。 （2）计算箭杆上升高度和对应时间的比值，如果比值为定值，那么二者成正比例关系，可据此判断比例类型。 （3）由（1）已知每分钟上升0.4厘米，求上升3.6厘米对应的时间时，用3.6除以0.4求解即可； 推导h与t的关系式时，因为单位时间上升高度固定，所以根据上升高度＝单位时间上升高度×时间即可写出表达式。 【详解】（1）时间为0分时箭杆标记是5厘米，时间每过1分钟，箭杆标记就减少0.4厘米，说明每分钟箭杆上升0.4厘米。那么5分钟时的上升高度就是0.4×5＝2（厘米）。 （2）0.4÷1＝0.4，0.8÷2＝0.4，1.2÷3＝0.4 上升高度÷时间＝0.4（固定不变），所以箭杆的上升高度和所经历的时间成正比例关系。 （3）3.6÷0.4＝9（分钟） 因为每分钟上升0.4厘米，总上升高度就是时间乘每分钟上升的高度，所以关系式是h＝0.4t。 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $