精品解析：天津市红桥区2026-2027学年九年级上学期九月学情自测数学试题

九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化成一元二次方程的一般形式，则它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，，10 B. 3，，10 C. 3，2， D. 3，8， 3. 在解一元二次方程时，可以将其“降次”，转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是（    ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（ ） A. ，8 B. 3，8 C. ，10 D. 3，10 6. 已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为（ ） A. B. C. D. 7. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴有两个交点 D. 顶点坐标为 9. 红星村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若，，在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开．再把沿着方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，．当与重叠部分的面积为时，平移的距离等于（ ）． A. B. 或 C. D. 或 12. 如图，顶点为的抛物线（，，为常数，）与轴相交于点．给出下列四个结论：①；②；③对任意实数，有；④若点，在抛物线上，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线的顶点坐标为______． 14. 设，是方程的两个根，则的值为_____． 15. 若关于的一元二次方程（为常数）没有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 16. 若二次函数（为常数）的最小值为，则的值为_____． 17. 若，，是三个不为零的实数，且，则的最小值为_____． 18. 若二次函数的二次项系数为，则它可表示为（，为常数），我们称为该二次函数的特征数，如二次函数的特征数是． （1）若一个二次函数的特征数为，则它的顶点坐标为_____； （2）若一个二次函数的特征数为，将该二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的二次函数的特征数为______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知二次函数的图象的顶点为，与轴分别交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）填空：点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该一元二次方程的一个根，求的值； （2）判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； （3）若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长． 22. 已知某商品的进价每件是40元，现在的售价每件是60元，每周可卖出300件．市场调查反映，若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．设该商品每件涨价元． （1）根据题意填写下表： 售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元） 现在 60 20 300 涨价后 （2）若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？ 23. 已知二次函数（，为常数）的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点，其对称轴为直线． （1）填空：点的坐标为_______，点的坐标为_______； （2）当时，求该二次函数的函数值的取值范围； （3）为直线下方该二次函数图象上一点，过点作轴的垂线，与相交于点，求线段长度的最大值． 24. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为（单位：），的面积为S（单位：）．当时，点，的位置如图所示． （1）当时，求S关于的函数解析式； （2）求S的最大值； （3）当时，求的值． 25. 如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F． （1）求该抛物线的表达式； （2）若，求此时点P的坐标； （3）连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先排除非整式方程，再结合未知数个数、最高次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A选项化简得，是一元一次方程，不符合题意； B选项分母含未知数，是分式方程，不符合题意； C选项是整式方程，仅含一个未知数，且的最高次数为，符合题意； D选项含两个未知数，不符合题意． 2. 将方程化成一元二次方程的一般形式，则它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，，10 B. 3，，10 C. 3，2， D. 3，8， 【答案】B 【解析】 【分析】先把方程化成一般式，然后根据一般式即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3. 在解一元二次方程时，可以将其“降次”，转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过开平方根进行降次． 【详解】解：由题意得， ∴或． 4. 下列关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，准确的计算是解决本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，， ∴， ∴无实数根，不符合题意； B、在中，， ∴， ∴有两个相等实数根，不符合题意； C、在中，， ∴， ∴无实数根，不符合题意； D、在中，， ∴， ∴有两个不相等的实数根，符合题意； 故选D． 5. 用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（ ） A. ，8 B. 3，8 C. ，10 D. 3，10 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ． 6. 已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，代入对应选项中的方程，看方程左右两边是否相等即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴方程为， 故选：A． 7. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将的图象向左平移3个单位长度，得，再向上平移4个单位长度，得． 8. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴有两个交点 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合根的判别式逐一判断各选项． 【详解】解：． ∵， ∴抛物线开口向上，A错误． ∵抛物线顶点式为， ∴对称轴为直线，B错误． 顶点坐标为，D正确． 当时，， ∴抛物线与轴无交点，C错误． 9. 红星村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定年到年的增长次数为2，结合年平均增长率的计算规则列方程． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， 年平均每公顷产，年平均增长率为， 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产， 列方程得． 10. 若，，在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，利用图象的对称性求出对称点进行判断即可． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴右侧，随的增大而减小， 点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，， ． 11. 如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开．再把沿着方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，．当与重叠部分的面积为时，平移的距离等于（ ）． A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设平移距离，根据平移性质及正方形性质可知重叠部分为平行四边形，其底边长为，高为，利用平行四边形的面积公式列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设平移距离， ∵ 四边形是正方形，  ∴， ∵把沿着方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，，  ∴， ∴ 重叠部分为平行四边形． 如图：设交于点E，  ∵，  ∴， 在中，，  ∴， ∴ 重叠部分的高为．  ∵与重叠部分的面积为， ∴，整理得，解得． ∴ 平移的距离等于或． 12. 如图，顶点为的抛物线（，，为常数，）与轴相交于点．给出下列四个结论：①；②；③对任意实数，有；④若点，在抛物线上，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则．   顶点的坐标为，   对称轴为直线，即，  ，即，故①错误； 设抛物线的解析式为 ． 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为． 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，  ， 解得，故②正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故③正确； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等且两点重合，，故④错误． ∴B正确． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 14. 设，是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，得，， ∴ ． 15. 若关于的一元二次方程（为常数）没有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程没有实数根的条件，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，再取范围内任意一个值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， ∵在方程中，，， ∴ 解得， ∴可取该范围内任意一个数，如． 16. 若二次函数（为常数）的最小值为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数开口向上，最小值为顶点纵坐标，根据题意列方程求解参数． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴函数图象开口向上，最小值为顶点的纵坐标， 函数配方得：， ∴函数的最小值为， 根据题意，得：， 解得． 17. 若，，是三个不为零的实数，且，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件替换所求式中的，将所求式转化为关于的二次式，再用配方法求最小值． 【详解】解：，且都不为， ， ， 将代入得：， 设，，则原式化为：， ∵， ∴， 当时等号成立，即的最小值为． 18. 若二次函数的二次项系数为，则它可表示为（，为常数），我们称为该二次函数的特征数，如二次函数的特征数是． （1）若一个二次函数的特征数为，则它的顶点坐标为_____； （2）若一个二次函数的特征数为，将该二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的二次函数的特征数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据特征数定义写出函数解析式，第一问配方求顶点坐标，第二问利用函数平移规律得到平移后解析式，整理后得到对应特征数． 【详解】解：（1）已知特征数为，根据定义得函数解析式为， 配方得，因此顶点坐标为． （2）已知原函数特征数为，根据定义得原函数解析式为， 配方得．将图象先向右平移个单位，再向上平移个单位， 根据平移规律得平移后解析式为， 整理得，因此平移后函数的特征数为． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 已知二次函数的图象的顶点为，与轴分别交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）填空：点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象． 【答案】（1）；； （2）如图所示． 【解析】 【分析】先将抛物线的一般式转化为顶点式，再分别求解抛物线的顶点坐标、与坐标轴的交点坐标，再通过上述点的坐标画出抛物线的图像． 【小问1详解】 解：二次函数， 顶点的坐标为． 令，解得，， 点的坐标为，点的坐标为． 【小问2详解】 解：令，解得， 点的坐标为． 画出抛物线的图像如下： 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该一元二次方程的一个根，求的值； （2）判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； （3）若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长． 【答案】（1） （2）解：该一元二次方程总有两个实数根，理由如下： ∵关于的一元二次方程（为常数）， ∴，，， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根． （3）当时，是菱形，此时菱形的边长为 【解析】 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据一元二次方程根情况的判别式求解即可； （3）由菱形的性质得，可知该一元二次方程有两个相等实数根，即，进而可求出的值，再把的值代入方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵是该一元二次方程的一个根， ∴把代入方程得：， 解得：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：若是菱形，则， ∵，的长是该一元二次方程的两个实数根， ∴， 解得：， 把代入方程得：，即， 解得：， ∴此时菱形的边长为2． 22. 已知某商品的进价每件是40元，现在的售价每件是60元，每周可卖出300件．市场调查反映，若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．设该商品每件涨价元． （1）根据题意填写下表： 售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元） 现在 60 20 300 涨价后 （2）若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？ 【答案】（1） 由题意可得 售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元） 现在 60 20 300 涨价后 （2）该商品每件应涨价元或元【解析】 【分析】（1）根据题意，直接填表即可得到答案； （2）根据（1）中数据列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， 即，则，解得或， 答：若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价元或元． 【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题，熟练掌握销售问题的求解方法是解决问题 的关键． 23. 已知二次函数（，为常数）的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点，其对称轴为直线． （1）填空：点的坐标为_______，点的坐标为_______； （2）当时，求该二次函数的函数值的取值范围； （3）为直线下方该二次函数图象上一点，过点作轴的垂线，与相交于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式求出b的值，然后把A的坐标代入函数解析式可求出c的值，令，，求出对应的x、y的值，即可求出B、C的坐标； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据待定系数法求出直线解析式为，设，则，求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，有最小值为， 当时，， 当时，， ∴的取值范围为； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，最大值为． 24. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为（单位：），的面积为S（单位：）．当时，点，的位置如图所示． （1）当时，求S关于的函数解析式； （2）求S的最大值； （3）当时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式作答即可； （2）分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断； （3）同（2）分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【小问1详解】 解：当点在上，点在上，此时，如图1， ，； 【小问2详解】 解：①当点在上，点在上，此时，由（1）知， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为； 【小问3详解】 解：①当点在上，点在上，此时， 由（1）可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； ②当点在上，点在上，此时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； ③当点在上，点在上，此时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当时，或． 25. 如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F． （1）求该抛物线的表达式； （2）若，求此时点P的坐标； （3）连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，从而即可求出直线的表达式为， 设点，则，，表示出，．再根据，得出方程，求解即可； （3）设点，分两种情况：当时，；当时，过点C作于点H，则有，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得． ∴该抛物线的表达为； 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线的表达式为． 当时，，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 代入和，得． 解得． ∴直线的表达式为， 设点，则，． ∴，． ∵， ∴， 整理，得，解得，（舍去）． 当时，． ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴． ∴． ∵轴， ∴轴． ∴． 由（2）知直线的表达式为， 设点． 如答图1．当时，． ∴，即，解得，（舍去）． ∴此时； 如答图2，当时，过点C作于点H，则有， ∴，解得，（舍去）． ∴此时． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合——线段问题，二次函数综合——特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $