精品解析：天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试卷

九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题纸”上．答题时，务必将答案涂写在“答题纸”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题纸”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形；根据中心对称图形的定义，把图形绕着某一点旋转以后能与原图形重合的图形，即为所求． 【详解】解：可以看作是中心对称图形的是：A． 故选：A． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式 的性质，掌握函数的顶点坐标为是解题的关键． 直接利用二次函数顶点式 的性质解答即可． 【详解】解：∵ 二次函数 为顶点形式， ∴ 顶点坐标为 ． 故选： D． 3. 方程的两个根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，关键是熟练应用因式分解的方法； 通过因式分解法求解二次方程，利用乘积为零的性质得出根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即 或 ． 故选：D． 4. 若半径为的与直线没有公共点，则圆心到直线的距离可以是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆无公共点时，两者相离，圆心到直线的距离大于半径是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵与直线l无公共点， ∴直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离半径， 选项中只有，即选项A符合题意． 故选：A． 5. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（ ）． A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，把代入，据此解答即可． 【详解】解：把代入，得： ， 解得，， 故选：C． 6. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，弄清题意、找到等量关系是解题的关键． 根据“打印区域的面积占纸张总面积的”列出方程即可． 【详解】解：设应设置的页边距为，则打印区域的长为，宽为， ∴打印区域的面积为， ∵打印区域的面积占纸张总面积的， ∴． 故选D． 7. 若一个圆的内接正六边形的边长为，则它的边心距的大小在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接正六边形的性质与边心距的计算，利用圆内接正六边形的性质，将边心距转化为直角三角形的边长计算是解题关键． 正六边形的边长等于外接圆半径，边心距可通过等边三角形的高公式计算，得到，再估算其值范围． 【详解】解：设圆内接正六边形的边长为，其外接圆半径为，边心距为， 则根据圆内接正六边形的性质，有， ∵ 边心距是中心到边的距离，即等边三角形的高， ∴ 根据等边三角形的高公式，， ∵ ，，且 ， ∴ ，即边心距在 2 和 3 之间． 故选：B． 8. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ∴，， ∴； 故选B． 9. 如图，为的直径，直线与相切于点E，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是问题求解的关键． 连接，直线与相切于点E，得到，进而求得，根据等腰三角形等边对等角得到，完成求解． 【详解】解：连接，如图， ∵直线与相切于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，交于点．当点落在边上时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，可知是等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等，可得：，根据三角形内角和定理可以求出，由旋转可知，根据全等三角形的性质可知，利用三角形内角和定理可以求出． 【详解】解：由旋转可知，， ， 在中，， ， 由旋转可知， ， 在中，． 故选：B． 11. 如图，是的直径，为上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；作射线，与相交于点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理及推论、勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题关键，连接，得出，求出，再证明，即可求出结论． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， 由作图知，平分， ， ， ， ， 故选：C． 12. 在中，，点在上，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边、边向终点匀速运动．以为边作正方形，设点运动的时间为，正方形的面积为．当点从点运动到点的过程中，正方形如图①所示；当点从点运动到点时，是关于的二次函数，其图象如图②所示．有下列结论： ①当时，； ②当点在线段上时，； ③． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可S关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③ 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 由题意得当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， 设S关于的函数解析式为， 把代入解析式，得：， 解得， ∴S关于的函数解析式为，故②错误； 在中，当时，即：， 解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； 综上所述，正确的有1个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 14. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得： ，； ∵ ，即 ，解得 ； ∴， 故答案为： 15. 如图，四边形内接于，连接，若，，则的大小为________（度）． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．根据得到，进而求出，根据圆内接四边形性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴． 故答案为：110 16. 若点，都在抛物线（，为常数）上，且，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，把点，代入函数解析式，根据，求出的范围即可． 【详解】解：∵点，都在抛物线（，为常数）上，， ∴， ∴， 故的值可以是4； 故答案为：4（答案不唯一）． 17. 如图，在正方形中，对角线，相交于点． （Ⅰ）的大小为________（度）； （Ⅱ）点在线段上，点在边上，若，，则线段的长为________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （Ⅰ）由正方形的性质可知是等腰直角三角形，即可由等腰直角三角形的性质求解； （Ⅱ）设与相交于G，先证明，得，从而求得，再证明，得，设，则，，进而得，，即可求得，然后由求解． 【详解】解：（Ⅰ）∵正方形中，对角线，相交于点， ∴，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45． （Ⅱ）设与相交于G，如图， ∵， ∴， ∴ 由（Ⅰ）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，对角线，相交于点， ∴，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则，， ∴，， ∴， 解得：， ∵正方形， ∴， ∴． 故答案为：2． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在网格线上． （1）线段的长为________； （2）直线与的外接圆相切于点．点在的延长线上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 ①. ②. 取格点D，连接；取圆与网格线的交点E和F，连接与相交于点O；取与网格线的交点G，连接并延长，与的延长线相交于点H；连接并延长，与的延长线相交于点M，则点M即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用勾股定理求解即可； （2）根据圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质作图即可． 【详解】解：（1）． （2）如图，取格点D，连接；取圆与网格线的交点E和F，连接与相交于点O；取与网格线的交点G，连接并延长，与的延长线相交于点H；连接并延长，与的延长线相交于点M，则点M即为所求． 证明：如图：连接，取格点D，连接；取圆与网格线的交点E和F，连接与相交于点O；则， ∵直线与的外接圆相切于点， ∴，即， ∵G是的中点， ∴， ∴，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴. 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________________； （2）解不等式②，得________________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________________． 【答案】（1） （2） （3） 在数轴上表示解集如图： （4） 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键： （1）移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （2）移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （3）定边界，定方向，在数轴上表示不等式的解集即可； （4）根据不等式组的解集的确定方法，求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得； 【小问2详解】 解不等式②，得； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 由数轴可知，原不等式组的解集为：． 20. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）把方程整理为一元二次方程的一般形式，再用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 原方程化为． 可得． ∴方程有两个不等的实数根．有． 即. 21. 已知为的直径，点，在上，． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，的半径为2，求弦的长． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据圆周角定理得到，即，根据垂径定理得到，，根据圆周角定理作答即可； （2）根据垂径定理得到，，根据得到，证明，得到，，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心、长为半径的与相切于点D，与相交于点E． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若E为的中点，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、三角形外角的性质及平行线分线段成比例定理， （1）连接，结合切线性质得出，证明，求出，即可求出结论； （2）先求出，根据平行得出，即可求出． 【小问1详解】 解：连接， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， ∵E为的中点，， ， 由（1）知，， ， ， ，即， 解得：． 23. 高速公路上正在行驶的甲车，发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的速度v（单位：）、路程s（单位：）与时间（单位：）的关系分别可以用一次函数和二次函数表示，其图象分别如图①和图②所示． （1）分别求减速后甲车行驶的速度v、路程s关于时间x的解析式； （2）当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 【答案】（1）， （2）当甲车减速至时，它行驶的路程是 （3）8秒时两车相距最近，最近距离是 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题时要熟练掌握并能理解题意，读懂函数图象，求出表达式是关键． （1）根据图象，利用待定系数法分别求出一次函数和二次函数解析式即可； （2）依据题意，把代入一次函数解析式求出t，再把t的值代入二次函数解析式求出s即可； （3）分析得出当时，两车之间距离最小，代入计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知：二次函数图象经过原点， 设二次函数表达式为，一次函数表达式为， ∵二次函数经过， ∴， ∴， ∴二次函数表达式为； ∵一次函数经过， ∴， ∴， ∴一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意，∵， ∴当时， ，解得， ∵， ∴当时，． ∴当甲车减速至时，它行驶的路程是 【小问3详解】 解：∵当时，甲车的速度为， ∴当时，两车之间的距离逐渐变大， 当时，两车之间的距离逐渐变小， ∴当时，两车之间距离最小， 将代入中，得， 将代入中，得， 此时两车之间的距离为：， ∴8秒时两车相距最近，最近距离是． 24. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，点． （1）若，． ①求该抛物线顶点的坐标； ②是抛物线上位于第四象限的一点，连接，相交于点，连接，若，求点的坐标； （2）若，点，（点在的左侧）在线段上，，当的周长的最小值为时，求的值． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，涉及了面积问题、最值问题，需要学生熟练掌握二次函数的性质； （1）由题意得：；将代入求得； ①配成顶点式即可求解； ②连接，作轴，根据，即；推出；求出直线的解析式为：，设，则，即可建立方程求解； （2）将点沿着方向平移个单位得到，作关于的对称点，连接，推出的周长，求得；，；根据．推出恰好落在轴上，且坐标为；求出，得到，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：； 将代入得：，解得：； ∴； ①， ∴顶点的坐标为； ②连接，作轴，交于点，如图所示： 令，解方程得；令，； ∴；； ∵， ∴，即； ∵， ∴； 设直线的解析式为：， 将代入可得： 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∴，解得：（舍）， ∴， ∴点的坐标为：； 【小问2详解】 解：将点沿着方向平移个单位得到，作关于的对称点，连接，如图所示： 则， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的周长， ∴的周长， ∵的周长的最小值为， ∴， ∴； ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴恰好落在轴上，且坐标为； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则，代入得：，解得：； ∴， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题纸”上．答题时，务必将答案涂写在“答题纸”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题纸”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的两个根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若半径为的与直线没有公共点，则圆心到直线的距离可以是（） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（ ）． A. 2 B. C. 2或 D. 6. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若一个圆的内接正六边形的边长为，则它的边心距的大小在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，直线与相切于点E，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，交于点．当点落在边上时，的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是的直径，为上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；作射线，与相交于点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 12. 在中，，点在上，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边、边向终点匀速运动．以为边作正方形，设点运动的时间为，正方形的面积为．当点从点运动到点的过程中，正方形如图①所示；当点从点运动到点时，是关于的二次函数，其图象如图②所示．有下列结论： ①当时，； ②当点在线段上时，； ③． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 14. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为________． 15. 如图，四边形内接于，连接，若，，则的大小为________（度）． 16. 若点，都在抛物线（，为常数）上，且，则的值可以是________（写出一个即可）． 17. 如图，在正方形中，对角线，相交于点． （Ⅰ）的大小为________（度）； （Ⅱ）点在线段上，点在边上，若，，则线段的长为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在网格线上． （1）线段的长为________； （2）直线与的外接圆相切于点．点在的延长线上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________________； （2）解不等式②，得________________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________________． 20. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 21. 已知为的直径，点，在上，． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，的半径为2，求弦的长． 22. 如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心、长为半径的与相切于点D，与相交于点E． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若E为的中点，，求线段的长． 23. 高速公路上正在行驶的甲车，发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的速度v（单位：）、路程s（单位：）与时间（单位：）的关系分别可以用一次函数和二次函数表示，其图象分别如图①和图②所示． （1）分别求减速后甲车行驶的速度v、路程s关于时间x的解析式； （2）当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 24. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，点． （1）若，． ①求该抛物线顶点的坐标； ②是抛物线上位于第四象限的一点，连接，相交于点，连接，若，求点的坐标； （2）若，点，（点在的左侧）在线段上，，当的周长的最小值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $