河北省沧州市沧县中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

9月高二数学（一）检测 考试说明： 1．本试卷共150分。考试时间120分钟。 2．请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为 A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知空间向量，，若Ａ，B，C三点共线，则 A． B．4 C． D． 3．在空间直角坐标系中，直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线l与平面平行，则 A． B．1 C．2 D．3 4．如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为 A． B． C． D． 5．的三个顶点在半径为5的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离是 A．2 B．3 C．0 D．5 6．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则过E，F，G三点的截面的面积为 A． B． C． D． 7．在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点M为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 8．某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为6，上底面的直径为10，已知为上底面的直径，圆台的高，点P是上底面圆周上一点，且，是该圆台的一条母线，则点P到平面的距离为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知空间向量，，，若，则 A． B． C． D． 10．已知直线，则 A．直线l的斜率为 B．点到直线l的距离为 C．直线l与直线平行 D．经过直线l与直线的交点，且与直线垂直的直线方程为 11．在棱长为4的正方体中，E为棱上靠近D的四等分点，F为正方形内一动点（包括边界），则下列说法正确的是 A．A，E，B，F可能四点共面 B．若点F为正方形的中心，则平面 C．三棱锥的体积为定值 D．线段长度的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，，，若直线与直线垂直，则m的值为_______. 13．圆柱内有一个球O，球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若圆柱与球的体积之差为，则球O的表面积为_______. 14．在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则_______，异面直线与所成角的余弦值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 如图，正方体的棱长为2，点E为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（本小题满分15分） 如图，在长方体中，，，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点B到直线的距离． 17．（本小题满分15分） 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的点斜式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的一般式方程． 18．（本小题满分17分） 如图，在直三棱柱中，，且．点D为棱的中点，点E在线段上，且（）. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且．点M在线段上，设（）． （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成角为60°，求的值； （3）在（2）的条件下，求点C到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $9月高二数学检测（一） 参考答案 1.【答案】C 【解析】因为直线V5x+y+2=0的斜率为-√3，所以直线√3x+y+2=0的倾斜 角为120°.故选C. 2.【答案】A 【解析】因为A,B,C三点共线，所以向量AB,4C共线，所以6-8，解得a=-4. -3a 故选A, 3.【答案】B 【解析】因为直线1与平面α平行，直线1的方向向量为s=(1,1,-b),平面的法 向量为n=(1,2,3),所以s·n=1+2-3b=0,解得b=1.故选B 4.【答案】B BM 【解析】如图，连接AB,.因为B,M:MC1=1:2,所以BM= 5BC=}BC=4c-A,所以4AM=AR+BM= 从+AB+ac-到-+c+-+-e放选B A 3 5.【答案】c 【解析】因为Rt△ABC的两直角边的长为6和8，所以斜边的长为I0,所以外 接圆的半径为5.由Rt△ABC的三个顶点在半径为5的球面上，可知球心在平面 ABC上，所以球心到平面ABC的距离为0.故选C. 6.【答案】D D G 【解析】如图，取AB的中点N,CC,的中点P,AD的中点M, 连接EN,NF,FP,PG,GM,ME,易知过E,F,G三点的截面为正六 边形G,其可积为5个小6-35故运D 7.【答案】B 高二数学（一）第1页共7页 【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系，则A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),D(0,0,2W2),M1,2,2V2), AM=（-1,2,22),DB=(2,2,0),DD,=(0,0,25).设平面BDD,的法向量为 A-化，-小.则nD=0即220可取1-L-10),设直线4M与平面 n:DD=0,2W2z=0, AMn BDD所成角为g,故si8=os(M,n 33√26 13×√226 故选B 8.【答案】B 【解析】如图，以O,为坐标原点，O,B,O,P,O,O所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(-5,0,0),B(5,0,0), C(0,3,-6),P(0,5,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则 (nAB=0,即} am10x=0, 可取n=(0,2,1),故点P到平面 n·AC=0,5x+3y-6z=0, ABC的距离为d= AP.刊_10 25故选B, 9.【答案】ABC 【解析】对于A,因为4=(1,2，-m),b=(-4,3,2),且a⊥b, 所以1×(-4)+2×3-2m=0,解得m=1,故A正确： 对于B,a=(1,2,-1),c=(4,0,-3),所以ac=1×4+2×0+(-1)×(-3)=7, 故B正确： 对于C,a=(1,2,-1),则3a=(3,6,-3),又b=(-4,3,2),所以3a-b=(7,3,-5), 故C正确； 对于D,a=(1,2-1),则a+22+(-1旷=V6,又b+c=(0,3-1),则 a(b+c)=1×0+2×3+(-1)x(-1)=7,b+c=V32+(-1)2=10,所以 高二数学（一）第2页共7页 (b+c).a 7 cos(b+c,a)= 715 1b+claV10x√6 =30,D错误故选ABC 10.【答案】AB 【解析】对于A,直线1的斜率为- ,故A正确： 3 对于B,点1,2W3)到直线1的距离为 +25x5-A_3, 故B正确； V+(3 对于C,直线的斜率为上，直线x-=0的剂第为③ ,斜车不相等，所 以这两条直线不平行，故C错误： 对于D,由 〔x+5y-4=0,得交点为，5)，设直线方程为x+y+c=0,将1) 3x-y=0 代入得，1+√5+c=0,解得c=-1-V5,所以直线方程为x+y-1-√5=0，故 D错误.故选AB. 11.【答案】AC 【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系， 则A(4,0,0)A(4,0,4),B(4,4,4),C1(0,4,4),D1(0,0,4),E(0,0,1), 设F(a,4,b),0≤≤4,0≤b≤4，则AF=(a-4,4,b). 对于A,过点E作直线与AB平行，该直线与棱CC,交于点E,点E即为棱CC 上靠近点C的四等分点F,此时A,E,B,F四点共面，故A正确： 对于B,因为点F为平面BB,CC的中心，所以F(2,4,2),则AF=(-2,4,2),设 平面B2C的法向最为m=(ky,则mC=0即=0。 m:BE=0,-4x-4y-3z=0, 可取 m=(（0,3,-4),所以AF.m=4≠0，故B错误； 高二数学（一）第3页共7页 对于C,点F到平面A4D,D的距离恒为4，则4-Dr=-Aa3×乞X =xx14x4=8 为定值，故C正确： 对于D,因为E(0,0,1),F(a,4,b),所以EF=Va2+42+(b-1'=Va2+(b-1)+16, 又0≤a≤4,0≤b≤4，所以当a=4,b=4,即点F在点B处时，线段EF的长度最 大为√41，故D错误.故选AC 12.【答案】18 3-2m-3 【解析】因为直线AB1直线BC,所以k80=-1,所以2-3(-2 -1, 解得m=18 13【答案】36π 【解析】设球O的半径为，因为球与圆柱的上、下底面和母线均相切，则圆柱 的底面圆半径为，圆柱的高为2，故？27-4=18元，解得，=3，故球0 的表面积为4元r2=4π×32=36π. 4【答】3号（第一空3分，第-空2分） 【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),M(2,2,1)bN(0,0,1),所以AM.CN= AM.CN -3,所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为 3-3 AMCN 5xv5 5 15.(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.········2分 因为A4⊥平面ABCD,BDc平面ABCD,所以AA⊥BD.········4分 因为AC∩AA=A,AC,AA,C平面ACCA, 所以BD⊥平面ACCA.···························6分 (2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系，则B(2,2,0),D(0,0,0),E(0,2,1)2BE=（-2,0,1)·····8分 由(1)得，BD⊥平面ACCA, 高二数学（一）第4页共7页 所以平面ACCA,的一个法向量为DB=(2,2,0),············10分 设直线BE与平面ACCA所成角为0， BE·DB 所以sin=cos(BE,DB}》 410 V5×2W25, ········12分 BE DE 所以直线BE与平面ACC4所成角的正弦值为C 。········13分 16.解：(1)以A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),A(0,0,2), 4C=(1,2,-2),BD=（-1,2,0),·····················4分 则异面直线A,C与BD所成角的余弦值为cos(4C,D) AC·BD 35 AC BD 3x55 。·····7分 (2)因为AC=(1,2,-2),·········· ·······9分 所以AC 4d= 5小2-2)是直线4C的一个单位向量.·····1分 又AB=(1,0,-2),· ····13分 所以点B到直线A,C的距离为 2W5 ······15分 解（D因为40)4-15.所以的中点为0号…2分 因为直线CD的斜率为 -1-3 所以边AB上的中线所在直线的点斜式方程为y-3=-8x+)。 ····5分 2 (2)因为直线BC的斜率为，-1-5-3 3-（1)2' 高二数学（一）第5页共7页 2 所以边BC上的高所在直线的斜率为二，·················8分 2 所以边BC上的高所在直线的斜截式方程为y=二x+1.·········10分 3 (3)因为A(0,1),C(3,-1), 所以直线C价斜率为。号4C价中点为( 号0，····13分 所以边AC的垂直平分线的方程为y- 0 即6x-4y-9=0, 。··········14分 所以边AC的垂直平分线的一般式方程为6x-4y-9=0.········15分 18.（1)证明：直三棱柱ABC-AB,C中，AA1⊥平面ABC,又AB⊥AC,所以 AA1,AB,AC相互垂直. 以A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角 坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2), 所以AD=(1,1,-2),BC=（-2,2,0), 所以AD.BC=0,所以AD⊥BC.···· ···········7分 (2)解：因为CE=CC1=22,所以E(0,2,2元).··········9分 设平面AB,E的法向量为n=（x,y,z), mAB=0,即 2x+2z=0, 则 可取n=(1,2,-1)······ 。·····12分 n.AE=0, 2y+2z=0, 设直线AC,与平面AB,E所成角为0， 故sin6=cos(AC,n） AC..n 2z-2_√2 ACm22xV22+241 ·········15分 高二数学（一）第6页共7页 解得元=4-0或=4而 3 (舍去)···…··········17分 19.(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.······1分 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD······2分 因为AD∩PA=A,AD,PAC平面PAD,所以CD⊥平面PAD.·····4分 (2)解：因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD 因为PA⊥平面ABCD,所以AB,AD,AP相互垂直.············6分 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角 坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).······8分 设M0,因为0-1，所以m-D,即(0，-2引=A02-2列， 所以M(0,2,2-22).······ ····9分 设平面ABM的法向量为m=(x,y,z), 则m4B0即 「2x=0, nAM=0,2y+(2-22)2=0,可取m=(0,-1a).…1分 设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),， m-Bc=0即2b=0, 则 n:BP=0,-2a+2c=0, 可取=(1,0,1).··············13分 因为平面ABM与平面PBC所成角为60°， kaa产云，西 2 解得2 ···15分 (3)解：由(2)得平面ABM的法向量为m 0. BC.m 所以点C到平面ABM的距离为d 2.···········17分 高二数学（一）第7页共7页