精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

高二数学月考 命题人 王建洪 审题人 刘媛 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，求的值. 【详解】直线的斜率为，所以， 解得. 故选：C. 2. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案. 【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号； 令，得；令，得； 所以直线不经过第三象限. 故选：C 3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则运算求解． 【详解】解：在平行四边形ABCD中， ， 在中， ， ， ， ， 在中， ． 故选：B． 4. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出，，，，即可求出，再由面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以，， 则，，，所以， 又因为，所以， 则以，为邻边的平行四边形的面积. 故选：D 6. 在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，得到，，结合向量的数量积的运算公式化，即可求解. 【详解】如图所示，在正三棱锥中，， 可得， 因为点分别是棱的中点， 可得，， 所以 ． 故选：D． 7. 已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（2，﹣1，﹣3）关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为（　　） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称关系，写出点B的坐标，利用空间中点与点的距离公式进行计算即可. 【详解】因为，故点关于平面的对称点为为， 故， 故选：C. 8. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可. 【详解】 如图，以为原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下所示： 易知，，; 取， ， 则， 所以点到直线的距离为． 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面的距离等于 D. 二面角的正切值等于2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由长方体的体对角线求出直径，由球的表面积公式求解即可判断选项A；把矩形和放置在同一平面内，当点，，三点共线时，最小，求解即可判断选项B；以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到面的距离，判断C；作，交于点，则为二面角的平面角，求解即可判D. 【详解】对于A，长方体外接球的直径， 故外接球表面积为，故选项A正确； 对于D，把矩形和放置在同一平面内，如图所示， 其中，，，则， 连接交于点， 当点，，三点共线时，最小， 则，故，所以， 由余弦定理可得， ， 所以，即的最小值为，故B正确； 以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 所以 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以点到平面的距离为，故C错误； 作，交于点，由于， 平面，平面， 所以，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 在中，，D正确. 故选：ABD 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角为，则斜率； B. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为； C. 直线与轴的交点到原点的距离为； D. 斜截式方程不能表示平面内的所有直线． 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用反例法和相关知识进行分析、判断. 【详解】A选项，当倾斜角为90°，它的斜率不存在，故本选项说法不正确； B选项当或时，显然该结论错误，故本选项说法不正确； C、截距可为负值，并不是距离，故本选项说法不正确； D、直线的斜率不存在时，直线没有斜截式，故本选项说法正确. 故选：ABC． 11. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（      ） A. 直线与所成角的取值范围是 B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围可判断A；利用等体积法可判断B；由数量积的定义可判断C；将旋转到平面内，如图所述，旋转到，由余弦定理可判断D. 【详解】对于A，由，异面直线与所成角即为与所成角， 又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值， 当与线段的中点重合时，与所成角取最大值， 故与所成角的范围，故A正确. 对于B，因为，平面，平面， 所以平面，所以直线上任意一点到平面的距离相等， 所以点到平面的距离等于点到平面， 所以，故B错误； 对于C，， 设， 所以， 当时，有最小值为；当或时，有最大值为； 故，所以，所以， 则，故C正确； 对于D，将旋转到平面内，如图所述，旋转到， 且最小值：，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，所以直线方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为时， 设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线的方程为， 又因为直线过点，所以， 解得：， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或， 故答案为：或． 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 14. 如图，在三棱锥中，平面，，，，以AB为直径的圆弧在平面PAB内，点D是三角形PAB内圆弧上（不含边界）的动点，则三棱锥的体积最大值是______，异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得平面平面，求得点D到的距离的最大值可求最大体积；建立空间直角坐标系，利用向量法可得，进而求得范围. 【详解】因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面平面， 又因为，，所以，所以， 所以圆弧所对的圆心角为，又点D是三角形PAB内圆弧上， 所以点D到的距离的最大值为圆的半径1， 所以三棱锥的体积最大值是； 如图，在平面内过作， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图的示的空间直角坐标系， 则， 因为，， 因为，所以，所以，， 设异面直线CD与AB所成的角为， 所以， 令，，则， 又函数在上为减函数，所以， 所以异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是. 故答案为：①；②. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正方体棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面的法向量，易得，即可得出证明； （2）求出，利用（1）中的法向量，即可求得直线与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则可得，即； 又，即， 又平面， 所以平面； 【小问2详解】 易知，则， 由（1）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点； （4）在轴、轴上截距分别为. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由点斜式方程进行求解即可； （2）由斜截式方程求解即可； （3）由两点式方程求解即可； （4）由截距式方程求解即可. 【小问1详解】 由点斜式，得直线方程为， 即. 【小问2详解】 由斜截式，得直线方程为， 即. 【小问3详解】 由两点式，得直线方程为， 即. 【小问4详解】 由截距式，得直线方程为， 即. 17. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，借助全等三角形的判定定理可得，从而可得，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，设，再借助体积公式计算出的值，从而可计算出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得. 【小问1详解】 如图，连接交于点， 因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 又因为平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，所以， 又平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则，即点， 则三棱锥的体积，解得， 所以，则， 设平面的法向量， 由，令，则， 即可得平面的一个法向量， 由轴平面，故为平面的一个法向量， 所以， 由图可知二面角是锐二面角， 故二面角的余弦值是． 【点睛】 18. 图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）. （1）证明:平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别证明、，由此即可证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证. （2）建立适当的空间直角坐标系，设，分别求出求平面与平面的法向量（含有参数），由公式即可表示出（它可以看成是关于的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解. 【小问1详解】 因为是等边三角形，点是棱的中点， 所以， 又平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 在平面中，过点作, 由（1）可知，， 所以，， 又平面，平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示： 因为是等边三角形，， 所以，，， 因为 ，所以 设所以， 所以 设平面的法向量为， 又 所以，即 ， 令，得所以平面的一个法向量为 设平面的法向量为 ， 又 所以 ，即 ， 令，得 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以， 设，因为， 所以，所以， 所以， 设，则由复合函数单调性可知 在时单调递增， 所以当 时，即时，取到最小值. 【点睛】关键点点睛：本题第一问比较常规，其关键是转换为线面垂直，且要通过分析找出那条直线与另外一个平面垂直，而第二问的关键首先要想到有动点就有参数，设法将两平面夹角的余弦值转换为关于参数的函数，从而求函数最小值即可. 19. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，且与平面所成角的正切值为， ①当时，求三棱锥的体积； ②求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质证明，从而证明平面； （2）①找出与平面所成的角，通过其正切值求出线段长度，进而用体积公式求解；②建立空间直角坐标系，通过条件求出与的关系，进而通过基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 因为，分别是线段，的中点，所以线段是的中位线，故. 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 ①当时，即. 由上题可知，线段是的中位线，所以. 因为平面，且平面，所以，. 在直角中，，，故，又因为是中点，所以. 在直角中，，，所以. 在直角中，，，所以，又因为是中点，所以. 在中，，，故，所以为直角三角形，其中. 故，而， 平面， 故平面， 所以线段为线段在平面上的投影，则与平面所成的角为. 因此，，解得. 故的面积为，三棱锥的体积为. ②过点做平面，垂足为. 以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 故，，直线的方向向量. 设平面的法向量.故，即，所以. 取. 设直线与平面的夹角为，故，易得. 而. 两边同时平方得，，交叉相乘得. 移项合并得.化简得，进而有. 由基本不等式得，，当且仅当时，即时等号成立. 所以. 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学月考 命题人 王建洪 审题人 刘媛 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 0 2. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（2，﹣1，﹣3）关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为（　　） A B. 4 C. 6 D. 8. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A B. 1 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面距离等于 D. 二面角的正切值等于2 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线倾斜角为，则斜率； B. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为； C. 直线与轴的交点到原点的距离为； D. 斜截式方程不能表示平面内的所有直线． 11. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（      ） A. 直线与所成角的取值范围是 B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 14. 如图，在三棱锥中，平面，，，，以AB为直径的圆弧在平面PAB内，点D是三角形PAB内圆弧上（不含边界）的动点，则三棱锥的体积最大值是______，异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点； （4）在轴、轴上截距分别为. 17. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）. （1）证明:平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值的最小值. 19. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，且与平面所成角的正切值为， ①当时，求三棱锥的体积； ②求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $