专题3.6 正多边形与圆 重难点题型专训 -2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.6 正多边形与圆重难点题型专训 （3个知识点+4大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 求正多边形的中心角】 4 【基础题型二 尺规作图——正多边形】 4 【基础题型三 已知正多边形的中心角求边数】 6 【基础题型四 正多边形和圆的综合】 9 第二部分·练提高题型 【提高题型一 正多边形与圆在生活中的应用】 12 第三部分・自我检测 知识点01 正多边形及有关概念 1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆． 3. 与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，是的内接正三角形，是的内接正四边形的一边，连接，则是的内接正___________边形的一边． 知识点02 正多边形的有关计算 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 以正六边形为例： 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 2．（2026九年级上·江苏泰州·单元测试）高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π） 知识点03 正多边形的画法 画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法： 1. 用量角器等分 特点：（1）可以画出任意正多边形； （2）边数很大时，容易产生较大误差． 步骤：（1）用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的； （2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点； （3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形． 2. 用尺规等分 特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确． 画正六边形的步骤：（1）作直径AD； （2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF． 【即时训练】 1．（2023九年级上·江苏南京·单元测试）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 2．（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【基础题型一 求正多边形的中心角】 【例1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）正十边形的中心角度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．      1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为2，运用“割圆术”在圆的内部画正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若在圆的内部画正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A．3 B．3.14 C． D． 2．（2025九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 【基础题型二 尺规作图——正多边形】 【例1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 1．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 2．（2026九年级上 甘肃武威·阶段测试）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 4．（2025九年级上·江苏南京·阶段测试）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【基础题型三 已知正多边形的中心角求边数】 【例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【例2】（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 2．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为______． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为_________． 【基础题型四 正多边形和圆的综合】 【例1】（25-26九年级上·浙江·单元复习）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【例2】（2025九年级上·江苏南京·单元测试）如图，在正十八边形中，_____． 1．（2026九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026九年级上·江苏徐州·阶段测试）如图，倒马井位于徐州市泉山区夹河街西侧，其井壁外壁为正八边形，内壁为圆形，且圆与四边形各边均相切．若雨滴落在井口区域各点的机会相等，则雨滴落在圆形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【提高题型一 正多边形与圆在生活中的应用】 【例1】（2026九年级上·江苏·阶段测试）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【例2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，将半径为的圆进行等分分割，拼接成如图所示图形．连接，交于点，则的面积为______． 1．（2026九年级上 江苏常州）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 2．（2026九年级上 江苏扬州·阶段测试）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为____． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 1．（2025九年级上 江苏连云港·阶段测试）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上 江苏·单元测试）如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·云南·阶段检测）如图，多边形是正六边形，边长为4，则该正六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024九年级上 江苏盐城·单元测试）如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 5．（2026九年级上·江苏·单元测试）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 6．（2026九年级上·江苏连云港·单元测试）如图，在圆内接正六边形中，点P在对角线上，记图中的面积分别为，，，，，，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（   ）． A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，M为的中点，O为的外心．将绕点O顺时针旋转，点的对应点分别为．交于点D，交于点E．在旋转过程中，给出下面三个结论：①对于任意的，点O到距离相等；②存在唯一的，使得；③有最大值．上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正六边形中，，在对角线上取一点P，使得，以P为圆心，长为半径画弧，分别交边于点M、N，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 11．（2024九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，有一张正八边形纸片缺了一个角A，连接，点O在上．若以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D，则下列结论：①点O也在上；②点O也在上；③连接，则；④，其中正确的是____________（填写序号）．    12．（2025九年级上·江苏南京·单元测试）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 13．（2026九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________． 14．（2026九年级上·江苏南京·阶段测试）已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______． 15．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在正八边形中，与交于点，则的值为__________． 16．（25-26九年级上·江西·期末）如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 18．（2025九年级上江苏南通·阶段测试）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 19．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)仅用无刻度直尺作图， ①如图1，直角三角板的直角顶点恰好在圆上，作出一条圆的直径； ②如图2，在的正方形网格中，四边都与圆相切，、、、是切点，在圆上作出一个的圆周角（标出角度）； (2)用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点在圆上，作一个圆的内接正方形 20．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点． (1)求的度数． (2)求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 正多边形与圆重难点题型专训 （3个知识点+4大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 求正多边形的中心角】 7 【基础题型二 尺规作图——正多边形】 8 【基础题型三 已知正多边形的中心角求边数】 14 【基础题型四 正多边形和圆的综合】 20 第二部分·练提高题型 【提高题型一 正多边形与圆在生活中的应用】 30 第三部分・自我检测 知识点01 正多边形及有关概念 1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆． 3. 与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，是的内接正三角形，是的内接正四边形的一边，连接，则是的内接正___________边形的一边． 【答案】十二/12 【分析】连接、、，求出，，从而求出，根据，得出答案即可． 【详解】解：连接、、，如图所示： ∵是的内接正三角形， ∴， ∵是的内接正四边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴是的内接正十二边形的一边． 故答案为：十二． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握正多边形和圆的特点，求出． 知识点02 正多边形的有关计算 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 以正六边形为例： 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，掌握正多边形的性质是解题关键． 根据题意可得正六边形的外接圆半径等于其边长，可直接计算周长． 【详解】解：如图，六边形是正六边形，是正六边形的外接圆， ，， 是等边三角形， ， 该正六边形的周长为， 故选：D． 2．（2026九年级上·江苏泰州·单元测试）高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据正方形内切圆的性质，可得内切圆的直径等于正方形的边长，先求出内切圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可得到结果 【详解】解：∵ 正方形的边长为2，正方形的内切圆直径等于正方形的边长， ∴ 该内切圆的直径为2，半径 ， ∴ 知识点03 正多边形的画法 画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法： 1. 用量角器等分 特点：（1）可以画出任意正多边形； （2）边数很大时，容易产生较大误差． 步骤：（1）用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的； （2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点； （3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形． 2. 用尺规等分 特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确． 画正六边形的步骤：（1）作直径AD； （2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF． 【即时训练】 1．（2023九年级上·江苏南京·单元测试）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 2．（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型一 求正多边形的中心角】 【例1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）正十边形的中心角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角度数，正n边形的中心角度数等于，据此求解即可． 【详解】解：正十边形的中心角度数是， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．      【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的关系，根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为2，运用“割圆术”在圆的内部画正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若在圆的内部画正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A．3 B．3.14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键．根据正八边形的性质求出，根据直角三角形的边角关系求出边上的高，由三角形的面积的计算方法可求出的面积，进而得到正八边形的面积即可． 【详解】解：如图，正八边形内接于，连接，，过点A作于点M， ∵八边形是正八边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴正八边形的面积为． 圆的面积为， 即可估计的近似值为． 故选：C． 2．（2025九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 【详解】解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，中心角等知识点，熟练掌握圆与正多边形相关性质是解题的关键． 连接，交于点，先求出，，设，则为等腰直角三角形，由勾股定理可求，由求出的面积，再乘以8即为圆的内接正八边形的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得，， ∵， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得， 解得：（舍负）， ∴， ∴圆的内接正八边形的面积为， 故答案为：． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】利用正八边形的性质可得，塔基的面积为，，如图，连接，过点A作于点P，则，即，利用勾股定理列方程可求得，易得的面积，进而确定塔基的面积． 【详解】解：∵塔基的形状是半径为的正八边形， ∴，塔基的面积为，， 如图，连接，过点A作于点P，则， ∴， 设， ∵， ∴，解得：（已舍去负值）， ∴， ∴， ∴塔基的面积为． 【基础题型二 尺规作图——正多边形】 【例1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】先过点作，再分别在上截取，即可得出，即可证明四边形是平行四边形，根据得出四边形是矩形，根据可得四边形是正方形． 【详解】略 1．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】解：如图，六边形即为所作． 【分析】任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形． 【详解】略 2．（2026九年级上 甘肃武威·阶段测试）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】解：略 3．（2025九年级上·全国·专题练习）在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 【答案】 （1）如图所示，（画法不唯一）正三角形为所求． （2）如图所示，正方形为所求． （3）如图所示，正六边形为所求． （4）如图所示，正八边形为所求． 【分析】本题要求使用圆规和无刻度的直尺画出圆的内接正多边形，包括正三角形、正方形、正六边形和正八边 形．作图的思路是：把圆分成等份，顺次连接各顶点，就得到正边形． 【详解】（1）解：选择圆上任意一点作为正三角形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 两点，这两点即为正三角形的另外两个顶点，连接这三个点即可得到正三角形． （2）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，这两条直径将圆周分成四等份，连接这四个点 即可得到正方形． （3）解：选择圆上任意一点作为正六边形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 一点，重复这个过程，直到找到六个顶点，连接这 六个点即可得到正六边形． （4）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，以圆心为圆心，以圆的半径为半径画圆，与这两条直径交于四点，以这四点为圆心，以圆的半径 为半径画弧，与圆交于另外四点，连接这八个点即可得到正八边形． 【点睛】本题考查了作圆内接正多边形，解题的关键在于理解正多边形顶点在圆周上均匀分布的特性，并利用圆规和直尺进行作图． 4．（2025九年级上·江苏南京·阶段测试）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】(1) 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (2) 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型三 已知正多边形的中心角求边数】 【例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 【例2】（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO， ∴， ∴这个正多边形的边数为=10． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆综合，设该正多边形的中心为点O，为该正多边形的一条边，根据该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，得到，利用勾股定理可推出，则可证明是等腰直角三角形，得到，进而可求出的度数，再求出该正多边形的边数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设该正多边形的中心为点O，为该正多边形的一条边， 过点O作于C，连接， ∴， ∵该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为， ∴正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴该正多边形的边数为，即该正多边形为正方形， ∴该正多边形的内角和为360度， 故选：B． 3．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为______． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为_________． 【答案】 120° 12 【分析】（1）连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°； （2）连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得． 【详解】（1）连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正多边形与圆相关知识点，理解并熟练运用基本性质和结论是解题关键． 【基础题型四 正多边形和圆的综合】 【例1】（25-26九年级上·浙江·单元复习）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【答案】D 【分析】本题考查了命题，正多边形的定义和性质．正多边形必须各边相等且各角相等；中心对称性取决于边数；圆内接多边形各角相等不一定为正多边形；正多边形的半径即其外接圆半径，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意； B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意； D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意； 故选：D 【例2】（2025九年级上·江苏南京·单元测试）如图，在正十八边形中，_____． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了正多边形与圆的综合，圆周角定理等知识，先求出正十八边形的圆心角，再得出正十八边形的外接圆与相对的圆心角，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：正十八边形的圆心角为：， 则正十八边形的外接圆与相对的圆心角为： ∴， 故答案为： 1．（2026九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 2．（2026九年级上·江苏徐州·阶段测试）如图，倒马井位于徐州市泉山区夹河街西侧，其井壁外壁为正八边形，内壁为圆形，且圆与四边形各边均相切．若雨滴落在井口区域各点的机会相等，则雨滴落在圆形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，进一步可得，如图，令正八边形的中心为点O，连接，，交于点P，设，再进一步求解即可． 【详解】解：∵多边形为正八边形， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形， 如图，令正八边形的中心为点O，连接，，交于点P，设， ，， ， ， ∴P（雨滴落在圆形区域内）． 3．（2026九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，，，，，，，首先得出当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度，然后得到，是等边三角形，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，，，， ∵点A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴，是直径，点B和点F关于对称， ∴， ∴的周长， ∴当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度， ∵的直径为4， ∴， ，， 是等边三角形， ，， ∵点G为弦的中点， ∴， ∴， 在中，， 是直径， ， ， 在中，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理，解题的关键是理解三个正方形摆放． （1）（Ⅰ）连接正方形的对角线，利用勾股定理求出的长即可； （Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可； （Ⅲ）找出过三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可； （2）连接，延长交于点P，则，P为中点，设，则，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：（Ⅰ）如下图，连接， ， （）， 图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为； （Ⅱ）如下图， 三个正方形的边长均为4， 三点在以O为圆心，以为半径的圆上， （）， 图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （Ⅲ）如下图所示， ， 是过三点的圆的直径， ， 为圆心， 的半径为， （）， 图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （2）如下图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接，延长交于点P，则，P为中点，       设，则， 则有：， 解得：， 则， 圆形硬纸板的直径是． 【提高题型一 正多边形与圆在生活中的应用】 【例1】（2026九年级上·江苏·阶段测试）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 【例2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，将半径为的圆进行等分分割，拼接成如图所示图形．连接，交于点，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，平行四边形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设其中一个等分分割的三角形为，过点作于点，根据题意可得，，，，推出四边形是平行四边形，利用含角的直角三角形的性质计算出，从而得到，最后利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设其中一个等分分割的三角形为，过点作于点， 由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 故答案为：． 1．（2026九年级上 江苏常州）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积，然后求出中心角即圆心角，再由扇形面积公式求解． 【详解】解：由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积， 而， ∴扇形的面积， ∴这部分阴影区域的面积为． 2．（2026九年级上 江苏扬州·阶段测试）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的内切圆半径求出正方形边长，再根据勾股定理以及外接圆半径和正方形对角线的关联，求出外接圆半径，最后根据求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的内切圆半径是3， ∴正方形边长为6， 根据勾股定理，正方形对角线长度为： ， ∴正方形的外接圆半径为：， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了正方形内切圆与外接圆的性质、勾股定理、圆环面积的计算方法，理清正方形边长与其内切圆半径、外接圆半径之间的数量关系是解题的关键． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为____． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、，由正多边形的性质得，求出等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：连接、，作交于， 六边形是正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， ， 该亭子地基的面积为， 故答案为． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 【答案】(1) 如图，六边形即为所求； (2)． 【分析】本题考查作图复杂作图正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上任意取一点，以为圆心，为半径把六等分可得正六边形； （2）连接，，过点作于点证明是等边三角形，进而求出，根据勾股定理即可求出，问题得解． 【详解】（1）解：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）解：连接，，过点作于点． ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． 1．（2025九年级上 江苏连云港·阶段测试）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为，则旋转角至少为，从而求解． 【详解】解：由题意得，正八边形的中心角为， ∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为， 故选：． 2．（2024九年级上 江苏·单元测试）如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则： ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．（23-24九年级上·云南·阶段检测）如图，多边形是正六边形，边长为4，则该正六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的性质，设正六边形对角线交于点O，作于点H，先证是等边三角形，正六边形的面积为面积的6倍，由此可解． 【详解】解：如图，设正六边形对角线交于点O，作于点H， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 正六边形的面积， 故选B． 4．（2024九年级上 江苏盐城·单元测试）如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选:． 5．（2026九年级上·江苏·单元测试）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 6．（2026九年级上·江苏连云港·单元测试）如图，在圆内接正六边形中，点P在对角线上，记图中的面积分别为，，，，，，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、、，交于M．得到，，从而，，，，设，则，分别求得，，，，，计算即可． 【详解】解：连接、、、，交于M． 由题可知，，， ，， ， 在圆内接正六边形中， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，，，， 故的值带有x，不能确定． 7．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及确定圆的条件、正多边形的对称性、正六边形的性质以及三角形的外心性质，根据相关性质判断命题的真假即可． 【详解】解：∵ ①三点共线时不能确定一个圆，故假命题； ∵ ②正多边形不一定是中心对称图形（如正三角形），故假命题； ∵ ③正六边形的半径（外接圆半径）与边长相等，故真命题； ∵ ④三角形的外心是外接圆圆心，到各顶点距离相等，故真命题； ∴ 真命题有2个， 故选：C． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，M为的中点，O为的外心．将绕点O顺时针旋转，点的对应点分别为．交于点D，交于点E．在旋转过程中，给出下面三个结论：①对于任意的，点O到距离相等；②存在唯一的，使得；③有最大值．上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，作的外接圆，设半径为r，根据题意可得分别是圆内接正六边形的一条边，根据正六边形的性质即可判断①，进而证明当时，则，即可判断②，根据题意可得当有最大值时，点在的延长线上，进而得到此时旋转角为，即可判断③，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的外接圆，设半径为r， ∵，， ∴分别是圆内接正六边形的一条边， 当将绕点O顺时针旋转，是圆内接正六边形的一条边， ∴点O到，距离相等，故①正确； 如图，连接，， ∵是分别是圆内接正六边形的一条边， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 同理四边形是菱形， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴存在唯一的，使得，故②正确； 如图， ∵点M是的中点，四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴点M在以点O为圆心，为半径的圆上运动，且与其相切， ∴， 当有最大值时，点在的延长线上，此时，， ∴， ∴， ∴， ∴点与点C重合，此时旋转角为， ∴当旋转角为时，没有最大值，故③错误． 故选：A. 9．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，三角形内角和定理，连接，根据切线的性质得，再利用圆内接正五边形的性质可得，再利用三角形的内角和等于即可求解．熟练掌握正多边形的性质与切线的性质是解题关键． 【详解】解：如图，连接，   与相切， ， 正五边形内接于， ， ， ， 故选B． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正六边形中，，在对角线上取一点P，使得，以P为圆心，长为半径画弧，分别交边于点M、N，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，连接，交于，则，则，，，，由勾股定理得，，，则，，，由勾股定理得，，由，可得，则，如图，作于，于，则，由勾股定理得，则，由勾股定理得，，则，，由勾股定理得，由对称性可知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，连接，交于，则， ∵正六边形中，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 如图，作于，于， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由对称性可知，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和，含的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，扇形面积．熟练掌握正多边形的内角和，含的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键． 11．（2024九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，有一张正八边形纸片缺了一个角A，连接，点O在上．若以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D，则下列结论：①点O也在上；②点O也在上；③连接，则；④，其中正确的是____________（填写序号）．    【答案】①③/③① 【分析】补全缺失的A角，连接、、、，根据正八边形可得，，先得出点O在线段的垂直平分线上，结合对称可得垂直平分线段，可得①正确；故有②错误；先根据对称性得出与在同一条直线上，由四边形、四边形是等腰梯形，可得，进而有，则判断③正确，根据等腰直角三角形可得，再证明，即有，进而可判断故④错误，问题得解． 【详解】如图，补全缺失的A角，连接、、、，    ∵多边形是正八边形， ∴正八边形是称轴图形，且，， ∴四边形、四边形是等腰梯形， ∵以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵在正八边形中，所在直线是正八边形的对称轴， ∴垂直平分线段， ∴点O在上，故①正确； ∴点O不在上，故②错误； ∴点O为与的交点， ∵正八边形是关于对称的轴对称图形， ∴点A、点O、点D三点共线， ∴与在同一条直线上， ∵四边形、四边形是等腰梯形，， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形，且，故③正确， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④错误， 综上正确的有①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，充分利用正八边形是轴对称图形，是解答本题的关键． 12．（2025九年级上·江苏南京·单元测试）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n边形的每个中心角都等于是解题的关键．连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正n边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 13．（2026九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③ 【分析】连接交于G，连接，根据正六边形的性质得出，，正六边形关于直线对称，根据轴对称的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，，则当点M，A重合时，，结合，求出，即可判断结论①；连接交于H，同理可求，，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为，结合，求出的最小值为，的最大值为，即可判断结论②；由②知点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动，故当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值，即可判断结论③． 【详解】解：连接交于G，连接， ∵正六边形的边长为1， ∴，，正六边形关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴当点M，A重合时，， 又， ∴，故结论①错误； 连接交于H， 同理可求，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵M是正六边形边上的一个动点， ∴当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为， 又， ∴的最小值为，的最大值为， ∴，故结论②正确； ∴点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动， ∴当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值， ∴的最小值为，故结论③正确， 综上，正确结论的序号是②③． 14．（2026九年级上·江苏南京·阶段测试）已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______． 【答案】36 【分析】先求出正五边形边长所对弧的度数，再根据圆周角定理计算即可求解． 【详解】解：是正五边形的外接圆， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， 根据圆周角定理可得． 15．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在正八边形中，与交于点，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、等腰直角三角形的性质，设正八边形的边长为，根据正八边形的性质证明四边形是菱形，是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【详解】解：设正八边形的边长为， ∵是正八边形， ∴，，， 又∵， ∴ ∴， ∴， 连接， ∵ ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 同理可得 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江西·期末）如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 【答案】(1) 解：如图，即为所求． (2) 解：如图，即为所求． 【分析】（1）连接， 交于点，连接并延长交于，结合正六边形的性质可得，关于直线对称，可得为中点． （2）连接交于，连接，由正六边形的性质可得，，可得，，可得，可得，，可得即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练的作图是解本题的关键． 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 【答案】等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 【分析】设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，再解直角三角形即可. 【详解】解：如图， 设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，则 ，，． ． ． 设 ，则 ． 在 中，， 即 ． 解得 （负值已舍去）． ，． 等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 ． 【点睛】本题考查的是正多边形的中心角、半径和边心距，锐角三角函数的应用，熟记概念是解本题的关键. 18．（2025九年级上江苏南通·阶段测试）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 正方形如图所示： 【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】略 19．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)仅用无刻度直尺作图， ①如图1，直角三角板的直角顶点恰好在圆上，作出一条圆的直径； ②如图2，在的正方形网格中，四边都与圆相切，、、、是切点，在圆上作出一个的圆周角（标出角度）； (2)用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点在圆上，作一个圆的内接正方形 【答案】(1) ①如图1中，线段即为所求； ②如图2中，即为所求； (2) 如图3中，四边形即为所求． 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径作出图形； （2）连接交弧于点，连接，，即为所求； （3）作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求． 【详解】（1）解：①如图1中，∵的圆周角所对的弦是直径， ∴线段即为所求； ②如图2中，连接交弧于点，连接，，即为所求； ∵由题意为正方形的内切圆， ∴过圆心， 由正方形性质知， ∴； （2）解：如图3中，作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求． 由作法知，互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵相等， ∴为矩形； ∵， ∴矩形为正方形． 【点睛】本题考查作图，正方形的判定和性质，正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）可知，， ． 根据圆周角定理可知，， ， ． 【分析】（1）运用圆周角定理，可求出和的度数，再运用三角形内角和即可求得的度数； （2）根据度数分别证明，，即可得证． 【详解】（1）解：是正五边形的外接圆， 根据圆周角定理可知，， ． （2）略 【点睛】本题考查了正多边形和圆的关系，解题关键是灵活运用圆周角定理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $