周练 错题巩固与压轴训练 3.6～3.7.1～3.7.2 正多边形与圆 弧长及扇形面积 圆锥的侧面积 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本卷聚焦圆的核心知识，通过扇面宣传展板、莱洛三角形等生活情境与荷叶疏水性文化素材，设计基础巩固到创新应用的梯度试题，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|正多边形性质、扇形面积、圆锥侧面展开|结合2024-2026年模拟题，如第2题扇面面积计算，考查空间观念| |填空题|6/30|正多边形边数、莱洛三角形周长、圆锥母线|第9题扫地机器人造型，体现科技前沿，培养抽象能力| |解答题|8/40|圆与几何综合、实际问题应用|第17题荷叶疏水性探究，融合文化与数学推理；第14题拖拉机爬台阶，强化应用意识|

初中数学同步周练　|　苏科版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第3章 圆（3.6～3.7.1～3.7.2） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2024秋•上城区校级期中）·【A】下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　） A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720° C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 2．（2026•铜仁市校级一模）·【A】如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A． B．3m2 C． D． 3．（2025•河南校级三模）·【A】综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm 4．（2025秋•浦东新区期末）·【B】如图，将△ABC绕点B逆时针旋转n°后得到△A1BC1，其中点A、C分别与点A1、C1对应，AC与A1B交于点O，那么下列说法中错误的是（　　） A．AB＝A1B B．∠ABA1＝∠CBC1 C．阴影部分的面积与△ABA1的面积相等 D．△AA1O与△BCO的面积相等 5．（2026•雁塔区校级模拟）·【B】如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为6π的扇形，则圆锥的高h为（　　） A．9 B． C． D． 6．【C】已知线段AB，⊙M经过A、B两点，若90°≤∠AMB≤120°，则称点M是线段AB的“好心”；⊙M上的点称作线段AB的“闪光点”．已知A（2，0），B（6，0）． ①点M（4，2）是线段AB的“好心”； ②若反比例函数y上存在线段AB的“好心”，则k≤8； ③线段AB的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④若直线y＝x+b上存在线段AB的“闪光点”，则﹣10≤b≤2． 上述说法中正确的有（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①② 二．填空题（共6小题） 7．（2024•喀什地区三模）·【A】一个正多边形的一个外角为45°，则该多边形的边数为 　 　 ． 8．（2026春•安远县月考）·【B】如图，正六边形中两个阴影部分面积分别是20和25，那么正六边形的面积是　 　 ． 9．（2026•利州区一模）·【B】如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30cm，则这个“莱洛三角形”的周长是 　 　 .（结果保留π） 10．（2026•惠州一模）·【B】如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝2，则的长是 　 　 ． 11．（2026•江阳区模拟）·【B】若圆锥的底面半径为4cm，侧面积为20πcm2，则圆锥的母线为 　 　 cm． 12．（2026•西湖区校级三模）·【B】如图，小东用半径36cm，圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 　 　 cm． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•浦东新区校级期中）·【B】如图，直线上有A、B、O三点，点A与点O的距离为8米，比点B与点O的距离多，若以O为圆心，以点B与点O的距离为半径作圆心角为90°的扇形，其面积记为S1（结果保留π）． （1）求S1的值． （2）若有一个动点P以每秒2米的速度从A出发向右匀速运动，则当点P运动多少秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为2：1． （3）在（2）的条件下，连接BC、CP，将三角形CPB的面积记为S2，求S1与S2不重合部分的面积． 14．（2026春•嘉定区期中）·【B】拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮．如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． （1）如果拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了 　 　 圈；（π取3.14） （2）如果拖拉机模型的一个前轮和一个后轮一共滚动了700圈，那么这辆拖拉机模型向前行驶了多少米？（π取3.14） （3）拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留π） 15．（2025春•普陀区期末）·【B】如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似地看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm． （1）求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； （2）当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为9cm，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留π） 16．（2024秋•海港区期末）·【B】如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为10cm． （1）这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是 　 　 ； （2）当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积．（结果保留π） 17．（2026•宾阳县模拟）·【C】材料的疏水性 “荷风拂八桂，藕香满壮乡”，南宁宾阳是广西荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部”，这说明荷叶具备优良的疏水特性，疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图2）． （1）请探索图2中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由； （2）已知AC＝4cm，OC＝3cm，求出接触角∠CAD的度数，结果保留整数；（参考数据：tan63.4°≈2） （3）在（2）条件下，求水珠弯曲弧边的弧长（结果保留π）； 【创新思考】 （4） 结合本题情境与数学知识，请写出一条能够增强荷叶疏水效果的合理设想． 18．（2026•双柏县二模）·【C】如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB，DC交于点E，连接BC，CF． （1）若BC＝5，AC＝12，求⊙O的半径； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）是否存在常数k，使得，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 19．（2026•平房区模拟）·【C】已知：AB是⊙O直径，C是⊙O外一点，连接BC交⊙O于点D，BD＝CD，连接AD、AC． （1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD； （2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点E，延长CF交⊙O于点G．过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K，求证AK＝2OF； （3）如图3，在（2）的条件下，EH交AD于点L，若OK＝1，AC＝CG，求线段AL的长． 20．（2025秋•新吴区期中）·【C】已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的⊙O交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝8）进行了如下的实验操作： （1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AB恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD＝　 ； （2）如图2，将三角板的顶点A在⊙O上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若BC边与⊙O相切于点M，求点B的坐标； （3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点B恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A A D C B 一．选择题（共6小题） 1．（2024秋•上城区校级期中）·【A】下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　） A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720° C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 【答案】C 根据多边形的内角和公式可判断选项B，多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）； 根据正多边形与圆的关系可判断选项C； 根据多边形的内角与外角可判断选项D． 【解答】解：A．正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．任意多边形的外角和为360°，故本选项不合题意； C．任何正多边形都有且只有一个外接圆，故本选项符合题意； D．正三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故本选项不合题意． 故选：C． 2．（2026•铜仁市校级一模）·【A】如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A． B．3m2 C． D． 【答案】A 【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOCπ×32π×1.52（m2）． 故选：A． 3．（2025•河南校级三模）·【A】综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm 【答案】A 【解答】解：2π×30÷2π＝10（cm）， ∴张亮裁出的圆的半径应该为10c． 故选：A． 4．（2025秋•浦东新区期末）·【B】如图，将△ABC绕点B逆时针旋转n°后得到△A1BC1，其中点A、C分别与点A1、C1对应，AC与A1B交于点O，那么下列说法中错误的是（　　） A．AB＝A1B B．∠ABA1＝∠CBC1 C．阴影部分的面积与△ABA1的面积相等 D．△AA1O与△BCO的面积相等 【答案】D C．设△A1BC1中阴影部分的面积为S1，由S△AOB+S△BOC＝S△BOC+S1，得S△AOB＝S1，从而得S阴影S1S△AOB； D.S△AOB，S△BCO+S△AOB＝S△ABC，由于S△ABC不一定成立，故S△BCO不一定成立． 【解答】解：根据旋转的性质，AB＝A1B，∠ABA1＝∠CBC1＝n°， ∴AB正确，不符合题意； 设△A1BC1中阴影部分的面积为S1， ∵S△AOB+S△BOC＝S△BOC+S1， ∴S△AOB＝S1， ∴S阴影S1S△AOB， ∴C正确，不符合题意； S△AOB，S△BCO+S△AOB＝S△ABC， ∵S△ABC不一定成立， ∴S△BCO不一定成立， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 5．（2026•雁塔区校级模拟）·【B】如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为6π的扇形，则圆锥的高h为（　　） A．9 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：圆锥的底面半径为6π÷2π＝3， 圆锥的母线为6π÷（2π）＝9， 利用勾股定理，得圆锥的高h6． 故选：C． 6．【C】已知线段AB，⊙M经过A、B两点，若90°≤∠AMB≤120°，则称点M是线段AB的“好心”；⊙M上的点称作线段AB的“闪光点”．已知A（2，0），B（6，0）． ①点M（4，2）是线段AB的“好心”； ②若反比例函数y上存在线段AB的“好心”，则k≤8； ③线段AB的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④若直线y＝x+b上存在线段AB的“闪光点”，则﹣10≤b≤2． 上述说法中正确的有（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①② 【答案】B ②在①中的“好心”的坐标，代入反比例函数解析式，可得出k的值是8，当∠AMB＝120°时，可得点M的坐标，分情况计算当M在x轴上方和下方两种情况，由此可得k的取值范围； ③作出图形可作判断； ④根据③中的图形作两个大圆的切线，计算切点的坐标，可得b的取值，从而作判断． 【解答】解：①如图1， ∵A（2，0），B（6，0），点M（4，2）， ∴AM＝BM，AC＝CM＝BC＝2，∠ACM＝90°， ∴圆M经过A、B两点，且∠AMB＝90°， ∴点M（4，2）是线段AB的“好心”， 故①正确； ②若反比例函数y上存在线段AB的“好心”， ∴90°≤∠AMB≤120°， i）点M在x轴上方时，当∠AMB＝90°时，如图1，此时点M（4，2），即M在反比例函数y图象上， ∴k＝2×4＝8； 当∠AMB＝120°时，如图2，过点M作MC⊥AB于点C， ∵AM＝MB， ∴∠BAM＝30°， ∵AC＝2， ∴CM， ∴M（4，）， ∵M在反比例函数y图象上， ∴k＝4， ∴k≤8； ii）点M在x轴的下方时，同理可得﹣8≤k， 故②不正确； ③线段AB的闪光点组成的图形如图3所示： 所以线段AB的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 故③正确； ④当直线y＝x+b与上述两个大圆相切时属于临界状态，在两条切线范围内存在“闪光点”，如图4， 设直线y＝kx+b与圆M相切于点P，则MP与之垂直，且线段BM是直径， ∵B（6，0），M（4，2）， ∴P（2，4）， 代入y＝x+b得，2+b＝4， ∴b＝2； 设直线y＝kx+b与圆M′相切于点H，则M′H与之垂直，且线段AH是直径， ∵A（2，0），M′（4，﹣2）， ∴P（6，﹣4）， 代入y＝x+b′得，6+b′＝﹣4， ∴b′＝﹣10； 综上可知，b的取值范围是﹣10≤b≤2， 故④正确； 所以上述说法中正确的有①③④． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 7．（2024•喀什地区三模）·【A】一个正多边形的一个外角为45°，则该多边形的边数为 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵多边形外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是360°÷45°＝8． 故答案为：8． 8．（2026春•安远县月考）·【B】如图，正六边形中两个阴影部分面积分别是20和25，那么正六边形的面积是　78　 ． 【答案】78． 【解答】解：如图所示， 在正六边形ABCDEF中，△ABO的面积+△EDO的面积正六边形的面积， △ABO的面积+△CDO的面积+△EFO的面积正六边形的面积， 两式相加可得：△ABO的面积×2+（△EDO的面积+△CDO的面积+△EFO的面积）正六边形的面积正六边形的面积正六边形的面积， 正六边形中两个阴影部分面积分别是20和25，即△ABO的面积＝20，△EDO的面积+△CDO的面积+△EFO的面积＝25， ∴正六边形的面积是：． 答：正六边形的面积是78． 故答案为：78． 9．（2026•利州区一模）·【B】如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30cm，则这个“莱洛三角形”的周长是 　30π cm .（结果保留π） 【答案】30π cm． 【解答】解：如图． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝30cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴2π×30＝10π（cm）， ∴这个“莱洛三角形”的周长是10π+10π+10π＝30π（cm）． 故答案为：30π cm． 10．（2026•惠州一模）·【B】如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝2，则的长是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接OC． ∵， ∴∠BOC90°， ∵OB＝OCAB＝1， ∴∠OBC45°， ∵BC， ∴2π． 故答案为：． 11．（2026•江阳区模拟）·【B】若圆锥的底面半径为4cm，侧面积为20πcm2，则圆锥的母线为 　5　 cm． 【答案】5． 【解答】解：20π÷（2π×4）＝5（cm）， ∴圆锥的母线为5cm． 故答案为：5． 12．（2026•西湖区校级三模）·【B】如图，小东用半径36cm，圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 　12　 cm． 【答案】12． 【解答】解：设这个圆锥形生日帽的底面半径是rcm． 根据题意，得2πr2π×36， 解得r＝12， ∴这个圆锥形生日帽的底面半径是12cm． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•浦东新区校级期中）·【B】如图，直线上有A、B、O三点，点A与点O的距离为8米，比点B与点O的距离多，若以O为圆心，以点B与点O的距离为半径作圆心角为90°的扇形，其面积记为S1（结果保留π）． （1）求S1的值． （2）若有一个动点P以每秒2米的速度从A出发向右匀速运动，则当点P运动多少秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为2：1． （3）在（2）的条件下，连接BC、CP，将三角形CPB的面积记为S2，求S1与S2不重合部分的面积． 【答案】（1）S1 的值为9π平方米． （2）点P运动3秒或7秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为2：1． （3）S1S2 不重合部分的面积是（9π﹣12）平方米或 9π平方米． （2）分类讨论，根据“BP：PO＝2：10”列方程求解； （3）由（2）的结论，根据三角形的面积公式求解． 【解答】解：（1）点B与点O的距离为： （米）； A、B两点的距离为：8﹣6＝2（米）； （平方米）， 答：S1的值为9π平方米． （2）由题意可知：BP：PO＝2：1， 当P点运动到O点左侧时（图①），BO＝6 米， 所以BP＝4米，AP＝2+4＝6（米），6÷2＝3（秒）， 当P点运动到O点右侧时（图②），BP：PO＝2：1， ∴BO＝OP＝6米，（2+6+6）÷2＝7（秒）， 答：点P运动3秒或7秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为2：1． （3）当P运动3秒时：S2＝4×6÷2＝12 （平方米）； 不重合面积为：S1﹣S2＝（9π﹣12）（平方米）； 当P运动7秒时不重合面积为：S1+S△COP＝S△COB：S△COP＝S△COB． ∴不重合面积为 S1＝9π （平方米）． 答：S1S2 不重合部分的面积是（9π﹣12）平方米或 9π平方米． 14．（2026春•嘉定区期中）·【B】拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮．如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． （1）如果拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了 　100　 圈；（π取3.14） （2）如果拖拉机模型的一个前轮和一个后轮一共滚动了700圈，那么这辆拖拉机模型向前行驶了多少米？（π取3.14） （3）拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留π） 【答案】（1）100； （2）这辆拖拉机向前行驶了376.8米； （3）这一过程中前轮扫过的面积是 （360+288π ）平方厘米． （2）依据题意，先计算前后轮滚动圈数比为5：2，得到前轮滚动500圈，据此计算即可求得答案； （3）依据题意，画出图形，利用圆的面积公式和长方形的面积公式求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得一个后轮滚动一圈向前行驶了3.14×60＝188.4（厘米）， ∴拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了100圈． 故答案为：100； （2）由题意，前后轮滚动圈数比， ∴前轮滚动500圈，后轮滚动200圈． ∴500×0.24π＝120π＝376.8（米）． 答：这辆拖拉机向前行驶了376.8米； （3）这一过程中前轮扫过的面积如图， ，，，， ∴这一过程中前轮扫过的面积是 （360+288π）平方厘米． 15．（2025春•普陀区期末）·【B】如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似地看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm． （1）求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； （2）当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为9cm，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留π） 【答案】（1）120°； （2）27πcm2． （2）根据扇形面积公式S扇形计算即可． 【解答】解：（1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为n°． 根据题意，得π×12212×8π， 解得n＝120． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为120°． （2）π×92＝27π（cm2）． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为27πcm2． 16．（2024秋•海港区期末）·【B】如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为10cm． （1）这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是 　扇形　 ； （2）当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积．（结果保留π） 【答案】（1）扇形； （2）πcm2． （2）根据弧长公式求出这个冰激凌外壳的侧面展开后所得扇形的圆心角的度数，再计算冰激凌被吃掉一部分后外壳的侧面积即可． 【解答】解：（1）这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是扇形． 故答案为：扇形． （2）设这个冰激凌外壳的侧面展开后所得扇形的圆心角是n°． 根据题意，得2π×12＝10π， 解得n＝150， ∴这个冰激凌外壳的侧面展开后所得扇形的圆心角是150°， π×92π（cm2）． 答：此时冰激凌外壳的侧面积是πcm2． 17．（2026•宾阳县模拟）·【C】材料的疏水性 “荷风拂八桂，藕香满壮乡”，南宁宾阳是广西荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部”，这说明荷叶具备优良的疏水特性，疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图2）． （1）请探索图2中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由； （2）已知AC＝4cm，OC＝3cm，求出接触角∠CAD的度数，结果保留整数；（参考数据：tan63.4°≈2） （3）在（2）条件下，求水珠弯曲弧边的弧长（结果保留π）； 【创新思考】 （4）结合本题情境与数学知识，请写出一条能够增强荷叶疏水效果的合理设想． 【答案】（1）∠CAD＝2∠BAC，理由如下： 连接OA，则OA＝OB， ∴∠ABC＝∠OAB， ∵AD为切线， ∴OA⊥AD， ∴∠OAB+∠BAD＝90°， ∵BC⊥AC， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC； （2）127°； （3）π（cm）； （4）答：①增大接触角∠CAD，可以增强疏水效果； ②减小水珠与荷叶的接触面积，疏水效果更好； ③叶片表面越平整光滑，疏水能力越强．（答案不唯一） （2）由勾股定理可得OA＝5cm，然后可得，则有∠BAC≈63.4°，进而问题可求解； （3）由（1）知，∠DAO＝∠OCA＝90°，然后可得∠AOB＝∠CAD＝137°，进而根据弧长公式可进行求解； （4）根据合理作答即可． 【解答】解：（1）∠CAD＝2∠BAC，理由如下： 连接OA，则OA＝OB， ∴∠ABC＝∠OAB， ∵AD为切线， ∴OA⊥AD， ∴∠OAB+∠BAD＝90°， ∵BC⊥AC， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC； （2）∵AC＝4cm，OC＝3cm，BC⊥AC， ∴在Rt△ACO 中，， ∵OA＝OB， ∴BC＝OC+OB＝3+5＝8（cm）， ∴1， ∵tan63.4°≈2， ∴∠BAC≈63.4°， 由（1）知∠CAD＝2∠BAC＝126.8°≈127°； （3）由（1）知，∠DAO＝∠OCA＝90°， ∴∠AOB＝∠OAC+∠OCA＝∠OAC+90°，∠CAD＝∠OAC+∠DAO＝∠OAC+90°， ∴∠AOB＝∠CAD＝127°， ∴的弧长为：； （4）答：①增大接触角∠CAD，可以增强疏水效果； ②减小水珠与荷叶的接触面积，疏水效果更好； ③叶片表面越平整光滑，疏水能力越强．（答案不唯一） 18．（2026•双柏县二模）·【C】如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB，DC交于点E，连接BC，CF． （1）若BC＝5，AC＝12，求⊙O的半径； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）是否存在常数k，使得，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在常数k，使得，k的值为2． （2）连接OC，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （3）过点C作CG⊥AE于点G，利用全等三角形的判定与性质得到AG＝AD，CG＝CD，利用角平分线的定义和圆周角定理得到BC＝CF，利用全等三角形的判定与性质得到BG＝FD，通过计算与化简即可得出结论． 【解答】（1）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝5，AC＝12， ∴， ∴， 故⊙O的半径长为； （2）证明：连接OC，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD⊥AF， ∴∠D＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠BAF， ∴∠OAC＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠OCA， ∴OC∥AD， ∴∠OCE＝∠D＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （3）解：存在常数k，使得，k的值为2．理由： 过点C作CG⊥AE于点G，如图， 则∠CGA＝90°， ∴∠CGA＝∠CDA＝90°． 在△ACGH和△ACD中， ， ∴△ACG≌△ACD（AAS）， ∴AG＝AD，CG＝CD， ∵AC平分∠BAF， ∴∠CAF＝∠CAB． ∴， ∴BC＝CF． 在Rt△BCG与Rt△FCD中， ， ∴Rt△BCG≌Rt△FCD（HL）， ∴BG＝FD， ∴． 即． ∴存在常数k，使得，k的值为2． 19．（2026•平房区模拟）·【C】已知：AB是⊙O直径，C是⊙O外一点，连接BC交⊙O于点D，BD＝CD，连接AD、AC． （1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD； （2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点E，延长CF交⊙O于点G．过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K，求证AK＝2OF； （3）如图3，在（2）的条件下，EH交AD于点L，若OK＝1，AC＝CG，求线段AL的长． 【答案】见试题解答内容 （2）连接BE，证明△KFE≌△BFE，进而运用等量代换解题即可． （3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG，过点K作KW⊥AD于点W，则KW∥BC，运用角的等量代换以及解直角三角形的相关知识解决问题即可． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即：AD⊥BC． ∵BD＝CD AD⊥BC， ∴AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD； （2）证明：连接BE． ∵， ∴∠GAB＝∠BEG． ∵CF⊥AB， ∴∠KFE＝90°． ∵EH⊥AG， ∴∠AHE＝∠KFE＝90°，∠AKH＝∠EKF， ∴∠HAK＝∠KEF＝∠BEF， ∵FE＝FE，∠KFE＝∠BFE＝90°， ∴△KFE≌△BFE∴BF＝KFBK． ∵OF＝OB﹣BF，AK＝AB﹣BK ∴AK＝2OF； （3）证明：连接CO并延长交AG于点M，连接BG． 设∠GAB＝α， ∵AC＝CG， ∴点C在AG的垂直平分线上， ∵OA＝OG ∴点O在AG的垂直平分线上， ∴CM垂直平分AG， ∴AM＝GM，∠AGC+∠GCM＝90°， ∵AF⊥CG ∴∠AGC+∠GAF＝90°， ∴∠GAF＝∠GCM＝α， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AGB＝90°， ∴∠AGB＝∠CMG＝90°， ∵AB＝AC＝CG， ∴△AGB≌△CMG， ∴BG＝GMAG， 在Rt△AGB中，tan∠GAB＝tanα， ∵∠AMC＝∠AGB＝90°， ∴BG∥CM∴∠BGC＝∠MCG＝α， 设BF＝KF＝a，tan∠BGF＝tanα， ∴GF＝2a，tan∠GAF＝tanα， ∴AF＝4a， ∵OK＝1， ∴OF＝a+1，AK＝2（a+1） ∴AF＝AK+KF＝a+2（a+1）＝3a+2 ∴3a+2＝4a， ∴a＝2 AK＝6， ∴AF＝4a＝8，AB＝AC＝CG＝10，GF＝2a＝4，FC＝CG﹣GF＝6， 在Rt△BFC中 tan∠BCF， ∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠FBC+∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠BAD， ∴tan∠BAD＝tan∠BCF， ∵AB＝10，可求BD，AD＝3， 过点K作KW⊥AD于点W，则KW∥BC， ∴， 可求，AW，KW， ∵CM⊥AG，EH⊥AG， ∴EH∥CM， ∴∠CMA＝∠EHA＝90°，即CM⊥AG， ∵CA＝CG， ∴∠ACM＝∠GCM＝α， 令∠BAD＝∠CAD＝β， 则有α+2β+α＝90°， 解得α+β＝45°，∠LAH＝45°， ∴∠WLH＝45°， ∴WL＝WK， ∴AL＝AW+WL． 20．（2025秋•新吴区期中）·【C】已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的⊙O交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝8）进行了如下的实验操作： （1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AB恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD＝　　 ； （2）如图2，将三角板的顶点A在⊙O上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若BC边与⊙O相切于点M，求点B的坐标； （3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点B恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长． 【答案】（1）； （2）点B的坐标为（，0）； （3）GH的长为23或3． （2）如图2，过点O作ON⊥AB于点N，连接OA、OM，可证得四边形BMON是矩形，得出BN＝OM＝5，ON＝BM，再运用勾股定理即可求得答案； （3）分两种情况：当点G在点P的上方时，如图3，过点O作OK⊥BC于点K，连接AH，利用勾股定理和三角形中位线定理即可求得答案；当点G在点P的下方时，如图4，过点O作OK⊥BH于点K，连接AH，可证得点G与点K重合，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图1，连接OD， ∵边AB恰好与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB，OD＝5， ∴∠ADO＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠ADO＝∠B， ∴OD∥BC， ∴∠AOD＝∠ACB＝30°， ∴OA＝2AD， 在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2， ∴AD2+52＝（2AD）2， ∴AD， 故答案为：； （2）如图2，过点O作ON⊥AB于点N，连接OA、OM， ∵BC边与⊙O相切于点M， ∴OM⊥BC，OM＝5， ∴∠BMO＝90°， ∵ON⊥AB， ∴∠BNO＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BMO＝∠ABC＝∠BNO＝90°， ∴四边形BMON是矩形， ∴BN＝OM＝5，ON＝BM，∠BNO＝90°， ∴AN＝AB﹣BN＝8﹣5＝3，∠ANO＝90°， 在Rt△ANO中，OA＝5，ON4， ∴BM＝4， 在Rt△OBM中，OB， ∴点B的坐标为（，0）； （3）当点G在点P的上方时，如图3，过点O作OK⊥BC于点K，连接AH， ∵∠B＝90°， ∴AH是⊙O的直径， ∴AH＝10， 在Rt△ABH中，BH6， ∵OK⊥BH， ∴BK＝HKBH＝3， ∵AO＝OH， ∴OK是△ABH的中位线， ∴OKAB＝4， 在Rt△OGK中，OG＝OP+PG＝5+1＝6， ∴GK2， ∴GH＝GK﹣HK＝23； 当点G在点P的下方时，如图4，过点O作OK⊥BH于点K，连接AH， ∵∠B＝90°， ∴AH是⊙O的直径， ∴AH＝10， 在Rt△ABH中，BH6， ∵OK⊥BH， ∴BK＝HKBH＝3， ∵AO＝OH， ∴OK是△ABH的中位线， ∴OKAB＝4， 在Rt△OGK中，OG＝OP﹣PG＝5﹣1＝4， 即点G与点K重合， ∴GH＝HK＝3； 综上所述，GH的长为23或3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $