3.6正多边形与圆（分层作业，15大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本练习以“正多边形与圆”为核心，通过A、B、C三级分层设计，构建从概念理解到创新应用的递进式知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|正多边形概念、中心角、作图、概念辨析|基础题型为主，如选择、作图题，强化核心概念理解，培养几何直观| |B组|角度计算、边心距、边长半径计算、周长面积、综合应用、证明|综合题型，如解答题、证明题，深化知识联系，发展推理能力| |C组|正多边形与圆创新性问题|开放探究题型，结合文化、实际情境，提升创新意识与应用能力|

分层作业 3.6 正多边形与圆 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 正多边形的相关概念 题型02 求正多边形的中心角 题型03 作正多边形 题型04 正多边形概念辨析 B组 能力进阶 题型01 正多边形与圆中的角度计算 题型02 求正多边形的边心距 题型03 正多边形与圆中边长与半径计算 题型04 正多边形与圆中周长计算 题型05 正多边形与圆中面积计算 题型06 求正多边形的边数 题型07 正多边形与圆综合 题型08 与正多边形有关的计算 题型09 正多边形的实际应用 题型10 与正多边形有关的证明 C组 思维拔高 题型 正多边形与圆·创新性问题 正多边形的相关概念题型01 1．如图，是正六边形、正八边形的公共边，C是正八边形的顶点，连接，交正六边形的边上一点D，若，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．延长和交于点，连接，作于点，中，，，求得，在线段上取点，使，求得，求得，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长和交于点，连接，作于点， ∵是正六边形、正八边形的公共边， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 在线段上取点，使， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 【答案】(1)点为所求． (2)即为所求． 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，圆周角定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，，交点即为圆心． （2）延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1，连接，，相交于点，则点即为所求． （2）解：如图2，延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 3．（2026·甘肃·一模）【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】在圆弧上任意取两条不平行的弦，分别用无刻度直尺和圆规作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该圆的圆心O，同时确定圆的半径R；以O为圆心、R为半径，用圆规补出完整的圆；在圆上任取一点A，以R为半径，用圆规在圆上依次截取，得到B、C、D、E、F六个等分点，顺次连接这六个点，就得到圆内接正六边形． 【详解】解：如图，正六边形纹样的复原设计图即为所求． 4．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是_____． 【答案】4﹣2． 【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于4-2小于等于4，由此即可判断． 【详解】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线， 观察图象可知点B，M间的距离大于等于4-2小于等于4， ∴B，M之间距离的最小值是4-2． 故答案为4-2． 【点睛】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度． 5．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．       (1)在图1中画一个的内接正方形； (2)在图2中画一个的内接正八边形． 【答案】(1) 解：如图所示为所求： (2) 解：如图所示为所求： 【分析】本题考查了圆的性质，正方形和正八边形的性质及网格的应用． （1）连接并延长，与相交于点C，此时为的一条直径，利用网格的特点，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为B，D，依次连接A、B、C、D，四边形即为的内接正方形； （2）圆的内接正八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，连接正方形的对角线交点O，两条对角线与有四个交点，分别为B，D，H，F，连接并延长至交点E，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为C，G，依次连接A、B、C、D、E、F、G、H，八边形即为的内接正八边形． 【详解】（1）略 （2）略 求正多边形的中心角题型02 1．（24-25九年级上·河南商丘·联考）正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正多边形的中心角．据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：，此题比较简单，注意准确掌握定义是关键． 【详解】解：正六边形的中心角是：． 故选：A． 2．正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形中心角的定义，注意准确掌握定义是关键． 根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：正六边形的中心角度数． 故选：B． 3．正十边形的中心角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角度数，正n边形的中心角度数等于，据此求解即可． 【详解】解：正十边形的中心角度数是， 故选：C． 4．圆内接正三角形的中心角的度数为______． 【答案】120°##120度 【分析】本题考查正多边形与圆．根据圆内接正边形的中心角的度数等于，求解即可． 【详解】解：圆内接正三角形的中心角的度数为； 故答案为：120°． 5．如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 【答案】，20次 【分析】由一个圆的圆心角为 ，可得相邻两齿间的圆心角α的度数，根据旋转角为α即可解答； 【详解】解：∵齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等， ∴此图形可以看成正二十边形， 相邻两齿与圆心连线的夹角． 如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有20次和原图形重合． 作正多边形题型03 1．（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题． 通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到． 【详解】解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ∴ ①②可行，③不可行， 故选：B． 2．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 3．如图所示，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，AF与x轴平行，则的长为______． 【答案】 【分析】过F作轴于点H，连接，根据六边形是正六边形，且边长为2，可得，，，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图，过F作轴于点H，连接． ∵六边形是正六边形，且边长为2， ∴，，， ∴，，． 在中， ． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键 4．如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】解：如图，六边形即为所作． 【分析】任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形． 【详解】略 5．如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】 如图，正方形为所作． 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 正多边形概念辨析题型04 1．下列命题正确的是（　　） A．在函数中，当时，y随x的增大而减小 B．若，则 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．各边相等的圆内接四边形是正方形 【答案】D 【分析】分别根据相关知识点对四个选项进行判断即可． 【详解】A、当时，反比例函数在时，函数值y随x的增大而增大，故此选项错误； B、当a<0时，-a>0，故-a>a，从而1-a>1+a，故此选项错误； C、过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故此选项错误； D、由于圆内接四边形的四边相等，故每边所对的圆心角相等且均为，由此可得四边形的对角线相互垂直且相等，因而此四边形是正方形，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题分别考查了反比例函数的性质，不等式的性质，切线的定义，圆与正多边形等知识，关键是要对这些知识熟练掌握． 2．（2026·河南三门峡·模拟）定义：如图，在平面直角坐标系中，原点是正方形的中心，且轴，正八边形的顶点均在正方形的边上，我们称该正八边形内嵌于正方形．已知点的坐标为，将点绕点顺时针旋转，每次转，则旋转2027次后，点的坐标为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点，首先，根据题意得出每旋转4次为一个循环，然后，得出旋转2027次后点的坐标与旋转3次后点的坐标相同，即为点F的坐标，再由点的坐标得的长，接着，证得四边形是正方形及，得，，即可得出点F的坐标及结论． 【详解】解：， 每旋转4次为一个循环． ， 旋转2027次后点的坐标与旋转3次后点的坐标相同，即为点F的坐标． 如图，连接，设与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点，    ∵点的坐标为， ∴， ∵原点是正方形的中心，且轴，正八边形的顶点均在正方形的边上， ∴，原点也是正八边形的中心， ∴四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为，即旋转2027次后，点的坐标为． 3．题目：“要在边长为10的正方形内放置一个与正方形有共同中心O的正多边形，若该正多边形能在正方形内(含边界) 自由旋转，求其边长的最大值d． 例如，当正多边形为正六边形时，如图1，该正六边形边长的最大值．” 甲：当正多边形为正方形时，如图2，该正方形边长的最大值； 乙：当正多边形为等边三角形EFG时，如图3，该等边三角形的边长的最大值．针对甲和乙的答案． 下列判断正确的是（    ） A．甲和乙都对 B．甲和乙都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对乙对 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，若正多边形能在正方形内自由旋转，需满足正多边形的半径等于正方形内切圆的半径5，依次求解即可；能理解正多边形能在正方形内自由旋转所需的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，若正多边形能在正方形内自由旋转，需满足正多边形的半径等于正方形内切圆的半径5， 对于甲：当正多边形为正方形时，若能自由旋转，且正方形边长最大时， 直径、需满足，此时边长 即 ； 对于乙：如图， 当正多边形为等边三角形时，若能自由旋转，且等边三角形边长最大时，其半径，此时等边三角形的边长 ，即d ． 甲和乙的答案均正确， 故选A． 4．如图，有一张正八边形纸片缺了一个角A，连接，点O在上．若以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D，则下列结论：①点O也在上；②点O也在上；③连接，则；④，其中正确的是____________（填写序号）．    【答案】①③##③① 【分析】补全缺失的A角，连接、、、，根据正八边形可得，，先得出点O在线段的垂直平分线上，结合对称可得垂直平分线段，可得①正确；故有②错误；先根据对称性得出与在同一条直线上，由四边形、四边形是等腰梯形，可得，进而有，则判断③正确，根据等腰直角三角形可得，再证明，即有，进而可判断故④错误，问题得解． 【详解】如图，补全缺失的A角，连接、、、，    ∵多边形是正八边形， ∴正八边形是称轴图形，且，， ∴四边形、四边形是等腰梯形， ∵以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵在正八边形中，所在直线是正八边形的对称轴， ∴垂直平分线段， ∴点O在上，故①正确； ∴点O不在上，故②错误； ∴点O为与的交点， ∵正八边形是关于对称的轴对称图形， ∴点A、点O、点D三点共线， ∴与在同一条直线上， ∵四边形、四边形是等腰梯形，， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形，且，故③正确， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④错误， 综上正确的有①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，充分利用正八边形是轴对称图形，是解答本题的关键． 5．如图，已知． 求作：的内接等边． 小丽同学的作法及证明过程如下： 作法：①作直径； ②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点； ③连接，． 所以即为的内接等边三角形． ∵在中，垂直平分 ∴， ∵ ∴（①） ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴（②） ∴为的内接等边三角形． （1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ． （2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】（1）垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等；（2）见解析 【分析】（1）根据前面的证明条件以及结论可以求得所用的推理依据； （2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以此点为圆心，继续画圆弧，以此类推，将圆周六等分，连接不相邻的两个交点即可． 【详解】解：（1），，∴为的垂直平分线，因此，理论依据为：垂直平分线的性质； 和都是弦所对的圆周角，因此，理论依据为：同弧所对的圆周角相等； （2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以点为圆心，保持半径不变，继续画圆弧，交圆于点，以此类推，依次得到点，则即为所求，如下图： 【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握并应用圆的有关性质是解题的关键． 正多边形与圆中的角度计算题型01 1．如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形内接于圆的知识．根据周角等于，正五边形内接于，因此，是该圆的五等分角，即可求得该角度数． 【详解】解：∵该五边形是正五边形 ∴． 故答案为：A． 2．（25-26九年级下·江苏泰州·学情自测）已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于____________． 【答案】##度 【分析】先根据已知外角度数求出正多边形的边数，再代入中心角公式计算即可． 【详解】解：任意正多边形的外角和为，该正多边形的一个外角等于， 该正多边形的边数为 ． 又正边形的中心角为， 该正多边形的中心角为． 3．如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度． 【答案】12 【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答． 【详解】连接AO，如图， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=360°÷6=60°， ∵多边形AHIJK是正五边形， ∴∠AOH=360°÷5=72°， ∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键． 4．（25-26九年级上·期末）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为______度． 【答案】72 【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据正多边形的中心角解题即可． 【详解】解：由题意知，． 故答案为：72 ． 5．如图，点是正五边形的中心，连接，于点，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的位置关系，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线以及记熟正多边形的有关性质是解题关键，根据题意，可得，根据正多边形的性质，求出，根据三角形的内角和，求出，再根据三角形的内角和，即可． 【详解】解：连接， ∴， ∴， ∵点是正五边形的中心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 求正多边形的边心距题型02 1．已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出． 此题主要考查了正多边形和圆、利用勾股定理解三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键． 【详解】解：如图，连接，，作，    ∵圆内接正六边形边长为2， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中， ∴正六边形的边心距是． 故选：C． 2．（24-25九年级下·上海·月考）边心距为2的正六边形面积是______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据题意，求出正六边形的边长，根据正六边形的面积为6个全等的等边三角形的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，作，由题意可知：，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形面积为：； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接正多边形的相关性质；先求出中心角，再根据等腰三角形的性质求出，再根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，为的内接正三角形， 过O作，连接，则， 为圆内接正三角形， ， ， ， ，即， 边心距与半径的比是， 故答案为：． 4．已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为__________． 【答案】6cm 【分析】先在图上作出边心距对应的线段，连接，在直角中，，求出的长即可． 【详解】解：过作于，连接，则长为边心距； 在直角中，，cm 【点睛】本题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，掌握基本概念是解题的关键． 5．（2026·甘肃定西·学情自测）根据背景素材，探索解决问题． 画一个已知边长的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 线段 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． C________D 问题解决 (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） (2)在正六边形中，_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可； （2）根据正多边形内角和公式求内角即可． 【详解】（1）解：如图，正六边形即为所作； （2）解：正六边形的内角． 正多边形与圆中边长与半径计算题型03 1．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】B 【分析】正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为2的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解． 【详解】 由题意得，∠AOB==60°， ∴∠AOC=30°， ∴OC=2⋅cos30°=2×=， 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，解答这类题往往通过连接半径和作边心距把问题转化为解直角三角形的问题． 2．若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（      ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】画出图形（见解析），先求出正六边形的中心角的度数，再根据等边三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：如图，正六边形的中心角，边长， ， 是等边三角形， ， 即这个正六边形的外接圆的半径为4， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，正确求出正六边形的中心角的度数是解题关键． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，等边三角形的判定与性质． 正六边形外接圆的半径等于其边长，故正六边形可划分为六个等边三角形，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵正六边形外接圆的半径为2， ∴正六边形的中心角为， ∵外接圆半径相等， ∴每个分成的三角形均为等边三角形， ∴边长等于外接圆半径， ∵外接圆半径为2， ∴边长为2， 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为________． 【答案】6 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，正六边形的外接圆半径等于其边长． 【详解】解：正六边形的中心与各顶点相连，将正六边形分成六个全等的等边三角形，每个等边三角形的边长均为6，因此外接圆的半径为6． 故答案为：6． 5．若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数． 【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下： ∵半径与边长相等， ∴这个三角形是等边三角形， ∴正多边形的边数：360°÷60°＝6， ∴这个正多边形是正六边形 故答案为：六． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键． 正多边形与圆中周长计算题型04 1．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案． 【详解】解：连接OB，OC， ∵⊙O的周长等于6π， ∴⊙O的半径为：3， ∵∠BOC360°＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝3， ∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3， 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．（2026·湖北襄阳·二模）圆内接正六边形的半径为，则这个正六边形的周长为__________． 【答案】 【分析】利用圆内接正六边形的性质可知，正六边形的边长等于其外接圆的半径，先求出边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：圆内接正六边形的中心角为， 正六边形的中心与各顶点的连线相等， 因此可将正六边形分为6个全等的等边三角形． 因此正六边形的边长等于外接圆的半径，即边长为． 因此正六边形的周长为． 3．（24-25九年级上·福建厦门·质检）正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是________． 【答案】6 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，掌握圆心角的计算，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意作图可得，，则有，是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】解：正六边形内接于半径为1的圆， 如图所示，，， ∴正六边形每条边所对的圆心角的度数为， ∴是等边三角形， ∴， ∴该正六边形的周长是， 故答案为：6 ． 4．（24-25九年级上·天津·期末）正六边形的周长为6，则正六边形的半径为_______． 【答案】1 【分析】此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解． 【详解】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形， 而三角形的边长就是正六边形的半径， 又∵正六边形的周长为6， ∴正六边形边长为， ∴正六边形的半径等于1． 故答案为：1． 5．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 正多边形与圆中面积计算题型05 1．（2026·山东聊城·模拟）半径为的圆内接正六边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆内接正六边形可以分割为6个全等的等边三角形，且等边三角形的边长等于圆的半径，先计算单个等边三角形面积，再乘以6即可得到正六边形的面积． 【详解】解：∵圆内接正六边形的边长等于其外接圆的半径，已知外接圆半径为， ∴正六边形的边长为，正六边形可被中心与各顶点的连线分为6个全等的边长为的等边三角形． 对单个等边三角形，由勾股定理得高， ∴单个等边三角形的面积， ∴正六边形的面积． 2．（2025·河北·模拟）在边长为2的正八边形内作一个最大的正方形，其面积等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了正八边形的性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握正八边形的性质是解题的关键．根据正八边形的性质可知，当在正八边形内作的正方形对角线最长时，此时的正方形最大，再根据正方形的性质和勾股定理即可解答． 【详解】解：当在正八边形内作的正方形对角线最长时，此时的正方形最大， 如图中正方形，为正八边形的中心，过点作于点T，连接，， ∵，，，， ∴，，， 在上取一点K，使， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵正方形的面积， ∴边长为2的正八边形的最大内接正方形的面积为． 故答案为：． 3．半径为4的正八边形的面积为______________． 【答案】 【分析】连接、，过A作于M，根据正八边形得到，根据正八边形的半径为4，得到，推出，正八边形的面积有这样的八个全等的等腰三角形面积组成，乘以8即可． 本题考查了正多边形的面积，熟练掌握中心角计算，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积计算公式，多边形的面积为三角形面积的倍数计算，是解决问题的关键． 【详解】设正八边形为，中心为O， 连接、，过A作于M，如图所示，则， ∵正八边形的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正八边形的面积为，． 故答案为：． 4．（25-26九年级·期末）半径为2的正十二边形中心角的度数是______，每一个内角的度数是______，面积是______． 【答案】 12 【分析】本题考查了正多边形的中心角，内角，以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握计算公式． 根据正多边形的中心角外角求解中心角以及外角，即可求解内角，过点作于点，根据直角三角形的性质求出，即可求解的面积，即可求解正十二边形的面积． 【详解】解：正十二边形中心角的度数外角的度数， ∴每个内角的度数为 过点作于点， 则由题意得，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积， 故答案为：，，． 5．一块直角三角形的木板余料，要在上面裁出一块正方形木板，要求：正方形的一个顶点在点，有两条边在木板的直角边上，且面积最大． 【答案】 【分析】C为正方形的一个顶点那么∠C就是正方形的一个内角,正方形的对角线平分一组对角,那么作出的平分线交AB于一点M,其余两个顶点E、F分别在BC、AC边上，根据正方形对角线互相垂直平分和平行线性质、等腰三角形的判定,过M作AC、BC的垂线,就可确定另外两个顶点E、F的位置，即可得正方形. 【详解】如下图 （1）作的角平分线，交于点； （2）过作于，作于； （3）四边形即为所求的正方形． 【点睛】本题主要考查了作图应用、正方形对角线互相垂直平分和平行线性质、等腰三角形的判定，关键是掌握正方形的对角线每一条对角线平分一组对角. 求正多边形的边数题型06 1．（24-25九年级上·福建·月考）正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 2．（2026·河南周口·一模）若正边形的半径等于它的边长，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接、，证明是等边三角形，得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵正边形的半径等于它的边长， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即该正边形的中心角为， 又∵正边形所有中心角的和为， ∴． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 由题意可得：， 解得， 故选：C． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）中心角为的正多边形边数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形中心角，根据正边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：． 5．如果正n边形的中心角等于，求这个正多边形的边数． 【答案】 【分析】根据正多边形的中心角求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意，得， 解得， 这个正多边形的边数是15． 正多边形与圆综合题型07 1．如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为_____． 【答案】##30度 【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵连接，图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 3．如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是_______________． 【答案】1： 【分析】根据题意画出图形，设圆的半径为R，分别用R表示出圆的内接正方形和外切正方形的边长，再求出其比值即可． 【详解】解：如图， ∵圆的半径为R， ∴CD＝ODR， ∴内接正方形的边长为R， AB＝OB＝R， ∴外切正方形的边长为2R， ∴圆的内接正方形和外切正方形的边长比为：1：， 故答案为：1：． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆的关系，掌握正多边形的性质、正多边形的中心角的计算方法是解题的关键． 4．如图，正六边形内接于，连接，则_____． 【答案】##度 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案． 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即． 故答案为： 5．正n边形共有多少条对称轴？ 【答案】条 【详解】解：根据正多边形的轴对称性，可知正多边形的对称轴的条数与边数相同， 故正边形共有条对称轴． 与正多边形有关的计算题型08 1．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形MF的长，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可． 【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ， 由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1， 由正六边形的性质可得ON＝2， ∴ODOF， ∴MF1， 由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形， ∴FHMF， 故选：D．    【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键． 2．如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质和线段和最小值问题，正多边形性质等，解题关键是取的中点构造两条中位线． 连接，取的中点，连接、，，根据中位线可得、，而根据三角形两边之和大于第三边可得，当、M、Q三点共线时成立，等号成立，由此即可得出答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，，如图1， ∵若P，Q分别是，的中点， ∴，，，， ∵，当、、三点共线时成立，等号成立， ∴当旋转过程中的最大值时，，， 过点作，垂足为H，如图1， ∵在正六边形中，，， ∴，， ∴，，， ∴的最大值为， 当旋转过程中的最大值时，，如图2， 由正六边形性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：将正六边形 绕点A逆时针旋转时，，的最大值为， 故选B． 3．（24-25九年级上·江苏南京·月考）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 【答案】(1) 与长度相等的弦如图所示： (2) 直径如图所示： 【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得； （2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，，则，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，从而得为直径． 本题主要考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆，熟练掌握无刻度直尺作图，垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和，图形的变化规律，圆周角定理，等边三角形性质，三角形外角性质，利用解答中反映长的规律解答是解题的关键． （1）利用等弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可； （2）利用（1）中解答过程反映出的规律解答即可． 【详解】（1）解：图①中， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴， 同理图②中，， ， 图③中，， ， 故答案为：；；； （2）由（1）知：的度数等于圆内接正多边形的一个内角， ∵正n边形的每一个内角等于， ． 5．如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题． (1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； (2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用） 【答案】(1)； (2)这个托盘适用于此八角花盆． 【分析】（1）求出正八边形的外角，可得结论； （）求出正八边形的边心距，可得结论． 【详解】（1）解：正八边形的外角， ∴正八边形的内角； （2）解：如图中，连接，，过点作于点． ∵，， ∴，，由题意得， ∴（， ∵， ∴这个托盘适用于此八角花盆． 【点睛】本题考查垂径定理，正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 正多边形的实际应用题型09 1．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的中心角，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的中心角的定义求解即可． 【详解】解：该正十二边形的中心角为． 故选A． 2．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，从蜂巢的入口看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的中心角为__________度． 【答案】60 【分析】本题主要考查了正多边形中心角．熟练掌握正多边形中心角的概念和计算方法，是解题的关键． 用除以正六边形的边数即得． 【详解】解：如图，正六边形的中心角为：． 故答案为：60． 4．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为_______．（结果保留和根号） 【答案】 【分析】根据中心角公式得到，过作于，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由题意得，， 过作于，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)解：． 理由如下：连接，，如图， ∵六边形是等边半正六边形． ，． 在与中， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴； (3)作法一：如图，六边形即为所求， 作法二：如图，六边形即为所求， 【分析】（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和； （ 2）连接，，通过已知条件可证，得到，进一步证明出进而得到； （ 3）作法一：分别连接并延长，，，以点为圆心，以适当长为半径画圆（不要画在三角形内或圆上），交，，的延长线于点，，，连接，即可得到半正六边形； 作法二：分别作、、垂直平分线，注意作三条边的垂直平分线时画弧的半径要相等，且弧的交点不能取圆上或三角形内，交点分别为点，，，连接，即可得到半正六边形． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴， ∴，即 ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为； （2）略 （3）解：作法一：∵是正三角形，是它的外接圆， ∴、、分别为、、的垂直平分线，，，， ∴，，， ∴，，， 由作图可知， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴六边形即为等边半正六边形． 作法二同理可证． 与正多边形有关的证明题型10 1．各边相等的圆内接四边形是正方形吗？各角相等的圆内接四边形呢？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 【答案】是，理由见解析；不一定，如可以是长方形 【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理得出各边相等的圆内接四边形的各角一定相等，得出各边相等的圆内接四边形是正多边形；各角相等的圆内接四边形，例如矩形不是正四边形． 【详解】解：各边相等的圆内接四边形是正方形；理由如下： 各边相等的圆内接四边形的各角是圆周角，一定相等， 各边相等的圆内接四边形是正方形； 各角相等的圆内接四边形不一定是正多边形， 例如：长方形的四个角相等， 但长方形不是正四边形． 【点睛】本题考查了正多边形的定义，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，矩形的性质；解题的关键是正确理解正多边形的概念． 2．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1) (2) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 3．作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 4．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 【答案】[探究发现]（1）；（2）或（3）； [应用结论]能， 护栏网围成圆时，面积能达到； 根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大， ∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∴尽量围成圆时，简易羊圈场地面积能达到． 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用； 【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解; （3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解； 【应用结论】根据【探究发现】可得圆面积最大，进而计算周长为的圆的面积，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． （2）解：作于点， 是等边三角形，周长为，则， ， 在中，由勾股定理得：， ；    （3）∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∵正六边形的周长为，则边长为， ∴正六边形的面积为；    ∵、、、， ∴， 【应用结论】略 5．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）我们可以用构图的方法研究一些几何问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知正方形，E是延长线上一点，连接，作，交于点F．求证∶． 【方法迁移】 （2）如图②，已知，点P在的内部，求作正方形，使点Q，N分别在上，点M在的内部且点M在点P的右侧．（含边）． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，若， ，点P到的距离为1，直接写出所作正方形的边长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）如图，正方形即为所求； （3）． 【分析】（1）先根据正方形的性质证明可得，再根据等量代换即可证明结论； （2）根据正方形的性质、垂直平分线的性质进行尺规作图即可完成作答； （3）如图：过P作，交于点L，交于点F，过Q作于点K，过Q作于点E，再利用等腰直角三角形和三垂直全等得到线段长，再利用勾股求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：作法： 正多边形与圆·创新性问题题型 1．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】解：略 2．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则． 【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． 【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积． 【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6 【分析】类比探究：通过证明可得，则． 拓展应用：通过证明可得，则． 【详解】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角， ∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴∠BOM=∠CON， ∴△BOM≌△CON， ∴． 拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角， ∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴∠BOM=∠CON， ∴△BOM≌△CON， ∴． ∵四边形面积为， ∴正六边形的面积为6． 【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键． 3．已知：射线 求作：，使得点在射线上，，． 作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵ 为⊙的直径， ∴__________． ∵， ∴等边三角形． ∴． ∵点，都在⊙上， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴． 即为所求的三角形． 【答案】 （1）补全的图形如图所示：                     （2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 【分析】（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可； （2）证明：连接．由为⊙的直径，得到90．证明等边三角形，得到，由此得到即为所求的三角形． 【详解】解：（1）略 （2）证明：连接． ∵ 为⊙的直径， ∴90． ∵， ∴等边三角形． ∴． ∵点，都在⊙上， ∴．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据） ∴． 即为所求的三角形． 故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ． 【点睛】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键． 4．（2025·山东威海·一模）综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： (1)贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） (2)杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． (3)作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． (4)如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 【答案】(1)484 (2)否；100；200 (3) 解：设，则， ∴， 由作图知，， ∴， ∴， ∴点就是线段的黄金分割点； (4)如图： 【分析】（1）根据，计算得出的值，进一步计算即可求解； （2）由，可判断该杠杆是否符合黄金分割省力设计；根据公式，代入数据计算可求解；设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长，据此计算即可求解； （3）设，则，求得，求得，，计算的值，即可求解； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ， 则该版本的总时长为484秒； 故答案为：484； （2）解：∵， ∴该杠杆不符合黄金分割省力设计； ∵，，，， ∴； 设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长， 由题意得， 解得， ∴新的动力臂长， 故答案为：否；100；200； （3）略 （4）解：作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 理由：设正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查黄金分割，尺规作图，矩形的判定和性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 5．（2025·山西运城·模拟）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形 任务； (1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法)， (2)将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 【答案】(1) 如图，正六边形即为所求； (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换，正多边形与圆，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据题目要求作出图形即可； （2）由作图可知，可知，利用勾股定理可求，根据正六边形的性质可知是等边三角形，并且，所以可得点坐标为． 【详解】（1）略 （2）将正六边形绕点顺时针旋转，如下图所示，连接， 由作图可知， 则， ， 点的坐标为， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形，， ， 正六边形绕点顺时针旋转，此时点坐标为． 6．根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 【答案】任务一： 如图，正六边形即为所作； 任务二： 【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 任务一：根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可； 任务二：由旋转的性质可知，即得出，即此时点所在位置的坐标为． 【详解】解：任务一：略 任务二：如图， 由旋转可知， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2026·江苏宿迁·二模）综合与实践 黄金分割给人以美感，其魅力在于它横跨了数学与算法、工程建筑、艺术设计、绘画摄影、生态自然、股市分析有着极其重要的作用与应用．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则． 一、感知计算 (1)如图1，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则______．（填“”、“”或“”） 二、应用生活 (2)贝多芬《第五交响曲》全曲演奏时长约为33分钟，在整个乐曲达到高潮时，位置恰好落在全曲时长的黄金分割点处，则乐曲到达高潮的时间是______分钟（保留整数）． 三、动手操作 已知矩形纸片的宽，按如下步骤进行折叠操作： ①如图2，沿折痕对折，使点落在点处，展开后得到正方形； ②如图3，将与重合对折，折痕为，再展开； ③如图4，连接，过点对折，使得点落在点处，折痕为，再展开； ④如图5，过点对折纸片，折痕为，得到矩形； (3)四边形是______形． (4)证明：矩形是黄金矩形；（宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形） (5)我国国旗五星红旗上的五角星，其轮廓由正五边形绘制而成．请你用无刻度的直尺和圆规：以已知线段为正五边形的一条对角线，作正五边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)菱形 (4)证明：由折叠可知，正方形的边长为，即， ∵将与重合对折，折痕为， ∴是的中点， ∴， 在中，， 由折叠可知，， ∴， 在矩形中，宽为长为， ∴， ∵宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形， ∴矩形是黄金矩形； (5)    【小问5】+ 【分析】（1）根据黄金分割点的定义得到，分别求出和即可得到答案； （2）用总时长乘以即可得到答案； （3）证明，根据菱形的判定即可得到结论； （4）求出，，则，根据定义即可得到结论； （5）作出线段的两个黄金分割点，再分别以为圆心，为半径画弧，相交于点B，再分别在射线上截取，顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴ ∴ （2）解：， 即乐曲到达高潮的时间是分钟； （3）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （4）略 （5）略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.6 正多边形与圆 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 正多边形的相关概念 题型02 求正多边形的中心角 题型03 作正多边形 题型04 正多边形概念辨析 B组 能力进阶 题型01 正多边形与圆中的角度计算 题型02 求正多边形的边心距 题型03 正多边形与圆中边长与半径计算 题型04 正多边形与圆中周长计算 题型05 正多边形与圆中面积计算 题型06 求正多边形的边数 题型07 正多边形与圆综合 题型08 与正多边形有关的计算 题型09 正多边形的实际应用 题型10 与正多边形有关的证明 C组 思维拔高 题型 正多边形与圆·创新性问题 正多边形的相关概念题型01 1．如图，是正六边形、正八边形的公共边，C是正八边形的顶点，连接，交正六边形的边上一点D，若，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 2．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 3．（2026·甘肃·一模）【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 4．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是_____． 5．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．       (1)在图1中画一个的内接正方形； (2)在图2中画一个的内接正八边形． 求正多边形的中心角题型02 1．（24-25九年级上·河南商丘·联考）正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 2．正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．正十边形的中心角度数是（   ） A． B． C． D． 4．圆内接正三角形的中心角的度数为______． 5．如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 作正多边形题型03 1．（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 2．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 3．如图所示，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，AF与x轴平行，则的长为______． 4．如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 5．如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 正多边形概念辨析题型04 1．下列命题正确的是（　　） A．在函数中，当时，y随x的增大而减小 B．若，则 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．各边相等的圆内接四边形是正方形 2．（2026·河南三门峡·模拟）定义：如图，在平面直角坐标系中，原点是正方形的中心，且轴，正八边形的顶点均在正方形的边上，我们称该正八边形内嵌于正方形．已知点的坐标为，将点绕点顺时针旋转，每次转，则旋转2027次后，点的坐标为（     ）    A． B． C． D． 3．题目：“要在边长为10的正方形内放置一个与正方形有共同中心O的正多边形，若该正多边形能在正方形内(含边界) 自由旋转，求其边长的最大值d． 例如，当正多边形为正六边形时，如图1，该正六边形边长的最大值．” 甲：当正多边形为正方形时，如图2，该正方形边长的最大值； 乙：当正多边形为等边三角形EFG时，如图3，该等边三角形的边长的最大值．针对甲和乙的答案． 下列判断正确的是（    ） A．甲和乙都对 B．甲和乙都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对乙对 4．如图，有一张正八边形纸片缺了一个角A，连接，点O在上．若以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D，则下列结论：①点O也在上；②点O也在上；③连接，则；④，其中正确的是____________（填写序号）．    5．如图，已知． 求作：的内接等边． 小丽同学的作法及证明过程如下： 作法：①作直径； ②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点； ③连接，． 所以即为的内接等边三角形． ∵在中，垂直平分 ∴， ∵ ∴（①） ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴（②） ∴为的内接等边三角形． （1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ． （2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹） 正多边形与圆中的角度计算题型01 1．如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江苏泰州·学情自测）已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于____________． 3．如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度． 4．（25-26九年级上·期末）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为______度． 5．如图，点是正五边形的中心，连接，于点，则的度数为______． 求正多边形的边心距题型02 1．已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（24-25九年级下·上海·月考）边心距为2的正六边形面积是______． 3．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是_______． 4．已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为__________． 5．（2026·甘肃定西·学情自测）根据背景素材，探索解决问题． 画一个已知边长的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 线段 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． C________D 问题解决 (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） (2)在正六边形中，_______． 正多边形与圆中边长与半径计算题型03 1．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ） A．1 B． C．2 D．2 2．若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（      ） A． B．4 C． D．2 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是（   ） A． B．3 C．2 D． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为________． 5．若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形． 正多边形与圆中周长计算题型04 1．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（    ） A． B． C．3 D． 2．（2026·湖北襄阳·二模）圆内接正六边形的半径为，则这个正六边形的周长为__________． 3．（24-25九年级上·福建厦门·质检）正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是________． 4．（24-25九年级上·天津·期末）正六边形的周长为6，则正六边形的半径为_______． 5．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 正多边形与圆中面积计算题型05 1．（2026·山东聊城·模拟）半径为的圆内接正六边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·模拟）在边长为2的正八边形内作一个最大的正方形，其面积等于_____． 3．半径为4的正八边形的面积为______________． 4．（25-26九年级·期末）半径为2的正十二边形中心角的度数是______，每一个内角的度数是______，面积是______． 5．一块直角三角形的木板余料，要在上面裁出一块正方形木板，要求：正方形的一个顶点在点，有两条边在木板的直角边上，且面积最大． 求正多边形的边数题型06 1．（24-25九年级上·福建·月考）正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 2．（2026·河南周口·一模）若正边形的半径等于它的边长，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）中心角为的正多边形边数为______． 5．如果正n边形的中心角等于，求这个正多边形的边数． 正多边形与圆综合题型07 1．如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为_____． 3．如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是_______________． 4．如图，正六边形内接于，连接，则_____． 5．正n边形共有多少条对称轴？ 与正多边形有关的计算题型08 1．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·月考）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 4．如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 5．如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题． (1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； (2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用） 正多边形的实际应用题型09 1．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 2．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，从蜂巢的入口看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的中心角为__________度． 4．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为_______．（结果保留和根号） 5．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 与正多边形有关的证明题型10 1．各边相等的圆内接四边形是正方形吗？各角相等的圆内接四边形呢？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 2．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 3．作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 4．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）我们可以用构图的方法研究一些几何问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知正方形，E是延长线上一点，连接，作，交于点F．求证∶． 【方法迁移】 （2）如图②，已知，点P在的内部，求作正方形，使点Q，N分别在上，点M在的内部且点M在点P的右侧．（含边）． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，若， ，点P到的距离为1，直接写出所作正方形的边长． 正多边形与圆·创新性问题题型 1．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 2．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则． 【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． 【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积． 3．已知：射线 求作：，使得点在射线上，，． 作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵ 为⊙的直径， ∴__________． ∵， ∴等边三角形． ∴． ∵点，都在⊙上， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴． 即为所求的三角形． 4．（2025·山东威海·一模）综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： (1)贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） (2)杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． (3)作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． (4)如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 5．（2025·山西运城·模拟）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形 任务； (1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法)， (2)将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 6．根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 7．（2026·江苏宿迁·二模）综合与实践 黄金分割给人以美感，其魅力在于它横跨了数学与算法、工程建筑、艺术设计、绘画摄影、生态自然、股市分析有着极其重要的作用与应用．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则． 一、感知计算 (1)如图1，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则______．（填“”、“”或“”） 二、应用生活 (2)贝多芬《第五交响曲》全曲演奏时长约为33分钟，在整个乐曲达到高潮时，位置恰好落在全曲时长的黄金分割点处，则乐曲到达高潮的时间是______分钟（保留整数）． 三、动手操作 已知矩形纸片的宽，按如下步骤进行折叠操作： ①如图2，沿折痕对折，使点落在点处，展开后得到正方形； ②如图3，将与重合对折，折痕为，再展开； ③如图4，连接，过点对折，使得点落在点处，折痕为，再展开； ④如图5，过点对折纸片，折痕为，得到矩形； (3)四边形是______形． (4)证明：矩形是黄金矩形；（宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形） (5)我国国旗五星红旗上的五角星，其轮廓由正五边形绘制而成．请你用无刻度的直尺和圆规：以已知线段为正五边形的一条对角线，作正五边形．（不写作法，保留作图痕迹） 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $