3.2 确定圆的条件（题型专练，3基础2提升题型+培优）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 初中数学“确定圆的条件”同步练，分层梯度清晰，从概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固与技能训练，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|确定圆的条件（单一点、半径、三点关系）|以选择、判断题为主，辨析核心概念，如“唯一确定圆的条件”| |技能应用|尺规作图（确定圆心、外接圆）、外心坐标计算|作图与坐标结合，如“作三角形外接圆并求半径”，强化空间观念| |综合拓展|实际问题（破损管道半径）、综合证明（损矩形外接圆）|结合生活情境与逻辑推理，如“用垂径定理求管道半径”，发展应用意识|

3.2 确定圆的条件 题型一 确定圆的条件 1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 2．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 【答案】C 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 3．当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 【答案】 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴若点在直线上， 则有， ∴当点，，三点可以确定一个圆时，则n需要满足的条件为， 所以n取值范围是． 4．随意画出四个点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画出一个圆经过这四点？请举例说明． 【答案】不一定，说明如下： 【详解】 如图，三点在圆上，点不在圆上， 故不一定可以画出一个圆经过这四点. 题型二 确定圆心（尺规作图） 1．作正方形的外接圆． 【答案】见解析 【详解】解：如图，为所作． 2．如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 3．如图，在中，求作，使经过A，C两点，且圆心落在边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】所作图形如图所示： 【分析】作的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，长度为半径作圆即可． 【详解】略 4．如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)圆心，垂直平分线的交点，勾股 【详解】（1）解：如图，为所求的圆． （2）解：连接， 设半径为，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为． （3）解：思考1：求残片所在的圆，关键是找出圆心，即两条弦的垂直平分线的交点． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． 题型三 求三角形外心的坐标 1．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 2．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 4．如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 题型一 求能确定圆的个数 1．已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 2．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆： ∴最多可画出圆的个数为6个． 故选：． 3．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 4．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个；(2)两个；(3)不能 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 题型二 求特殊三角形外接圆的半径 1．边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设等边边长为，为其外接圆圆心，连接，过作于点， ∵是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上， ∴，. 设外接圆半径，在中，. ∵， ∴， 由勾股定理得 ， 代入得 ， 整理得 ， ， ∵， ∴. 2．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 3．如图，在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 【答案】 【详解】解：设圆的圆心为点，能够将完全覆盖的最小圆是的外接圆，作于点，连接，，如下图所示： ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形的角平分线和中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 得方程， 解得或（舍去）， ∴圆的面积为． 4．已知，． (1)求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若为，为，求的半径． 【答案】(1)见解析；(2)的半径为5． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）∵，，，， ∴， ∵令的半径为， ∴． 1．如图，等边三角形ABC的边长是定值，点O是它的内心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B'DE，若B'D，B'E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（　　） A．△ADF≌△CGE B．△B'FG的周长是一个定值 C．四边形FOEC的面积是一个定值 D．四边形OGB'F的面积是一个定值 【答案】D 【解答】解：A、连接OA、OC， ∵点O是等边三角形ABC的外心， ∴AO平分∠BAC， ∴点O到AB、AC的距离相等， 由折叠得：DO平分∠BDB'， ∴点O到AB、DB'的距离相等， ∴点O到DB′、AC的距离相等， ∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG， 由折叠得：∠BDE＝∠ODF， ∴∠OFD+∠ODF∠AFD）＝120°， ∴∠DOF＝60°， 同理可得∠EOG＝60°， ∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG， ∴△DOF≌△GOF≌△GOE（ASA）， ∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB， ∴△OAD≌△OCG（SAS），△OAF≌△OCE（SAS）， ∴AD＝CG，AF＝CE， ∴△ADF≌△CGE（SAS）， 故选项A正确； B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE， ∴DF＝GF＝GE， ∴△ADF≌△B′GF≌△CGE（AAS）， ∴B'G＝AD， ∴△B'FG 的周长＝FG+B′F+B′G＝FG+AF+CG（定值）， 故选项B正确； C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF ， 故选项C正确； D、S四边形BGO'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC﹣S△OFG， 过O作OH⊥AC于H， ∴，由于OH是定值，FG变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB′F的面积也变化， 故选项D不一定正确； 故选：D． 2．已知，如图，△ABC和△DBE中，BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE，点D是△ABC的外心，试判断四边形BDCE的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：四边形BDCE是菱形， ∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE， ∴AD＝CE， ∵点D是△ABC的外心， ∴DA＝DB＝DC， 又∵BD＝BE， ∴DB＝BE＝EC＝CD， ∴四边形BDCE是菱形． 3．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请找出截面的圆心；（不写画法，保留作图痕迹．） （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径． 【答案】（1）见试题解答内容；（2）10cm 【解答】解：（1）如图所示； （2）如图，OE⊥AB交AB于点D， 则DE＝4cm，AB＝16cm，AD＝8cm， 设半径为Rcm，则 OD＝OE﹣DE＝R﹣4， 由勾股定理得，OA2＝AD2+OD2， 即R2＝82+（R﹣4）2， 解得R＝10． 故这个圆形截面的半径是10cm． 4．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图①，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段 AC ． （2）在图①中的线段AC上确定一点P，使损矩形ABCD的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． 【答案】（1）AC；（2）图见解析； 【解答】解：（1）根据损矩形直径的定义，可得线段AC是损矩形ABCD的直径， 故答案为：AC； （2）如图，作线段AC的垂直平分线，交AC于P，以P为圆心，AP为半径作圆即可， ∵点P为AC中点， ∴PA＝PCAC． ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴BP＝DPAC， ∴PA＝PB＝PC＝PD， ∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 确定圆的条件 题型一 确定圆的条件 1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 2．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 3．当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 4．随意画出四个点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画出一个圆经过这四点？请举例说明． 题型二 确定圆心（尺规作图） 1．作正方形的外接圆． 2．如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 3．如图，在中，求作，使经过A，C两点，且圆心落在边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 4．如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 题型三 求三角形外心的坐标 1．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 2．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    4．如图，外接圆的圆心坐标为______． 题型一 求能确定圆的个数 1．已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 题型二 求特殊三角形外接圆的半径 1．边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 3．如图，在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 4．已知，． (1)求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若为，为，求的半径． 1．如图，等边三角形ABC的边长是定值，点O是它的内心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B'DE，若B'D，B'E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（　　） A．△ADF≌△CGE B．△B'FG的周长是一个定值 C．四边形FOEC的面积是一个定值 D．四边形OGB'F的面积是一个定值 2．已知，如图，△ABC和△DBE中，BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE，点D是△ABC的外心，试判断四边形BDCE的形状，并说明理由． 3．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请找出截面的圆心；（不写画法，保留作图痕迹．） （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径． 4．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图①，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段 AC ． （2）在图①中的线段AC上确定一点P，使损矩形ABCD的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.2确定圆的条件 题型一确定圆的条件 题型二确定圆心（尺规作图） 基础达标题 题型三求三角形外心的坐标 确定圆的条件 题型一求能确定圆的个数 能力提升题 题型二求特殊三角形外接圆的半径 拓展培优题 A 基础达标题 题型一确定圆的条件 1.C 2.c 3.n≠-8 4.不一定，说明如下： 题型二确定圆心（尺规作图) 1.见解析 2.见解析 3.所作图形如图所示： 4.(1)见解析（2)13cm;(3)圆心，垂直平分线的交点，勾股 题型三求三角形外心的坐标 1.C 2.D 3.-1,-1 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.5,0 B 能力提升题 题型一求能确定圆的个数 1.C 2.D 3.B 4.(1)一个：(2)两个；(3)不能 题型二求特殊三角形外接圆的半径 1.D 2. 25 6 3.25πcm 4.(1)见解析；(2)⊙O的半径为5： 拓展培优题 1.D 2.见试题解答内容 3.(1)见试题解答内容：(2)10cm 4.(1)AC;(2)图见解析： 2/2