专题2.3 用一元二次方程解决问题重难点题型专训（3个知识点+8大题型+1大提高题型+自我检测）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦用一元二次方程解决问题，核心知识点涵盖数字、循环、传播问题，平均增长率及利润问题，面积问题，形成从基础应用到实际情境的学习支架，系统梳理问题解决脉络。 资料以8大基础题型与1大提高题型为框架，结合实例（如传播、增长率、面积问题）培养数学眼光、思维和语言，即时训练与自我检测助力课中教学和课后查漏补缺，提升问题解决能力。

专题2.3 用一元二次方程解决问题重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 传播问题(一元二次方程的应用)】 5 【基础题型二 增长率问题(一元二次方程的应用)】 6 【基础题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 8 【基础题型四 数字问题(一元二次方程的应用)】 11 【基础题型五 营销问题(一元二次方程的应用)】 15 【基础题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 19 【基础题型七 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用)】 23 【基础题型八 其他问题(一元二次方程的应用)】 30 第二部分·练提高题型 【提高题型一 用一元二次方程解决问题】 35 第三部分・自我检测 知识点01 数字、循环、传播问题 1. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 2. 循环问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 3. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了___________人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设平均一个人传染了个人，根据题意得， 解得，，（舍去） 所以，平均一个人传染了10个人， 故答案为：10． 知识点02 平均增长率及利润问题 1. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段测试）某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，根据月均增长率依次推导7月和8月的产值，即可列出正确方程. 【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元， ∴7月份产值为 万元， ∴8月份产值为 万元， ∵预计8月份产值为万元， ∴列方程得 2．（24-25九年级上·江苏淮安·课后作业）某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 【答案】 【详解】解：∵今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数， ∴明年产量为件， ∴第三年年产量为件， ∵第三年的产量达到800件， ∴． 知识点03 面积问题 面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． 【即时训练】 1．（2026九年级上 云南昆明·月考）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据宽与长的数量关系表示出矩形的长，再利用矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解：设矩形的阔为步，则矩形的长为步， 由题意得，． 【基础题型一 传播问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 1．（24-25九年级上·浙江台州·阶段测试）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 第一轮传染后患流感的人数是：， 第二轮传染后患流感的人数是：， 而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程， ．即 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程． 2．（2026九年级上 重庆·周测）某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】这道题考的是传播问题，将每一次的传播情况分析清楚，将初始人数和后两次的传播人数加起来就是最终的总人数． 【详解】解：初始会做这道题的人数为1人， ∵第一节课，原来会的1人教会 名同学，第一节课后会做的人数为人， ∵第二节课，所有会做的 人每人教会x名同学，第二节课新增会做的人数为， ∴全班会做的总人数为初始人数加上两节课新增的人数，列方程得: ． 3．（26-27九年级上·全国·周测）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出____________根支根． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 4．（2026九年级上 山西忻州·周测）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 【基础题型二 增长率问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每次降价的百分率为，根据题意建立方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为． 【例2】（24-25九年级上 福建福州·月考）某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 2．（24-25九年级上 湖南衡阳·月考）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，年末我国贫困人口还有万人，此后逐年下降，截至到年末我国贫困人口仅有万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】年末我国贫困人口还有万人，年平均下降率为．年末贫困人口为万人．年末贫困人口为万人．年末贫困人口为万人，据此列出方程即可， 【详解】解：由题意可得，． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【答案】约为 【详解】解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题是“平均增长率”应用题，可利用“复利增长模型”建立方程再求解．已知初始值是10月销售量3万辆，经过2个月后的终值为12月份的销售量4.32万辆，设月平均增长率为x，则列出一元二次方程，再通过解方程即可求出一元二次方程的两个根，最后应注意增长率为正数，应舍去负根． 【详解】解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【基础题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段测试）图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【分析】根据图①和图②的面积相等建立等式，得出 与 的数量关系，结合一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：由图①可知，矩形的面积为 ， 由图②可知，该图形的面积为 ， ∵剪拼前后面积不变， ∴， ∵ 为矩形的边长， ∴， ∴， ∵， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根， ∴，， 将 代入，得 ， 整理得 ， 解得 ，（舍去） 当 时，， ∴ ， ∴ ，即 ． 1．（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）用20米长的篱笆借助一面墙（墙足够长）围成一个矩形栅栏，使它的面积为40平方米．若设垂直于墙的一边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是根据篱笆用法正确表示平行于墙的边长． 设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，由题意，得：； 故选B． 2．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题一元二次方程的应用，设为米，则平行于墙的一边长为米，依题意即可列出方程，正确用含的式子表示出平行于墙的一边长是解题的关键． 【详解】解：设为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得，， 故选：D． 3．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为，则列方程为：________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得，， 故答案为：． 4．（2026九年级上 江苏南京·课后作业）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）根据矩形的面积公式求出种菜区的面积，用总面积减去种菜区的面积求出休闲区的面积，再乘以休闲区每平米的储水量，求出接水量； （2）根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，种菜区的面积为； 休闲区能接的雨水量为； （2）解：由题意，， 解得，（不合题意，舍去）； 故的值为3. 【基础题型四 数字问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（2025九年级上 浙江丽水·周测）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个数为，列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：． 【例2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段测试）已知个连续整数的和为，它们的平方和是，且．则____． 【答案】15或18 【分析】设这3个连续整数为x，x+1，x+2，则由题意可得，，然后由可求解． 【详解】解：设这3个连续整数为x，x+1，x+2，由题意得： ，， ∴，， ∵， ∴，化简得：， 解得：， 故答案为15或18． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案． 【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：， 设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 3．（23-24九年级上·湖南岳阳·课后作业）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 4．（2026九年级上 江苏无锡·周测）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】(1)123 (2)小亮说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可； （2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）解：小亮的说法是正确的． 理由：设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程 ， 即 ，     解得（负数舍去），， 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确． 【基础题型五 营销问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（    ） A．（x﹣100）[300＋4（200﹣x）]＝30000 B．（x﹣200）[300＋2（100﹣x）]＝30000 C．（x﹣100）[300＋2（200﹣x）]＝30000 D．（x﹣200）[300＋4（100﹣x）]＝30000 【答案】C 【分析】根据每天利润=每天销售的件数×每个电子产品的利润，先分别求出每个电子产品的利润为（x-100）元，根据每降2元多售4件，就是每降1元多售两件求出降价的钱数（200-x）可求增加的数量为2（200-x）,可得每天销售的件数，根据公式列出方程即可． 【详解】解：设这种电子产品降价后的销售单价为x元， 每个电子产品的固定成本为100元，每个电子产品获利为（x-100）元， 每个电子产品降价为(200-x)元，增加件数为， 每天可售出这种电子产品的件数为， 根据题意得． 故答案为：C． 【点睛】本题考查销售利润的应用题，掌握列方程解应用题的方法与步骤，解题关键是每天利润=每天销售的件数×每个电子产品的利润，每个电子产品的利润=售价-固定成本，每天销售的件数=原来每天销售件数+增加销售部分． 【例2】（25-26九年级上·浙江衢州·阶段测试）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 【答案】 【分析】表示出降价后一件商品的利润和数量，然后相乘等于1400列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 1．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 【答案】A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，根据每天销售利润每件盈利销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，； ∵每件盈利不少于25元， ∴，即， ∴． 2．（25-26九年级上·山东威海·阶段测试）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段测试）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 【基础题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 【例2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 1．（2025九年级上 天津河东·周测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 2．（2026九年级上 河南洛阳·课后作业）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 【答案】C 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 3．（23-24九年级上·山东济宁·阶段测试）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s． 【答案】2． 【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16， 整理，得：x2﹣12x+20＝0， 解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 【基础题型七 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·山东东营·阶段测试）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 【例2】（2026九年级上 广东东莞·周测）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 1．（25-26九年级上·云南昆明·阶段测试）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 2．（2026九年级上 湖北）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段测试）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为_________． 【答案】3 【分析】题目主要考查循环赛问题，理解题意，列出代数式求解是解题关键． 设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场，根据题意，代入计算求解即可． 【详解】解：设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场， ∵比赛结束统计共赛25场， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 此时，选手未参加的比赛场数为场； 当时，，，不符合题意； 故答案为：3． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 【基础题型八 其他问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 【例2】（25-26九年级上 ·全国）若两数的和是，两数的平方和是，则这两数为________． 【答案】和 【分析】设两数中一个数为，则另一个数为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设两数中一个数为，则另一个数为， 根据题意得， 解得，， 当时，另一个数为； 当时，另一个数为； 所以这两个数为和． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据总利润=每台利润×销售量，分别表示出每台利润和销售量即可列出方程． 【详解】解：设每台冰箱定价元， ∵每台进货价为2500元， ∴每台利润为元． ∵原销售价为2900元， ∴销售价降低了元， 又∵每降低50元，平均每天多售出4台， ∴多售出的台数为， ∴平均每天总销售量为台． ∵总利润平均每天为5000元， ∴可得方程． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 4．（2023九年级上·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 【提高题型一 用一元二次方程解决问题】 【例1】（2026九年级上 河南周口·月考）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 【答案】B 【分析】利用“总利润=每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可． 【详解】解：∵每斤利润为元，月销售量， ∴， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得， ∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价， ∴销售单价为25元． 【例2】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段测试）甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出原来的采摘个数，根据甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是列出，再根据乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是列出，最后根据提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍列出方程求解即可． 【详解】设甲、乙原来每分钟采摘苹果的个数为，其中， 根据题意列方程：， ，两边约去得：， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得，（舍）， 答：的值为． 2．（25-26九年级上·江苏无锡）小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，可通过设未知数，根据题目描述的运算关系列出一元二次方程，再利用因式分解法求解方程得到答案． 【详解】解：设这个数为 ∵根据题意，该数的平方减去该数加1的结果等于这个数， ∴列方程得：， 移项整理得：， 因式分解得：， 解得：， ∴符合条件的数是1， 故选：A． 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 【答案】2或4或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，当时，，，令，计算求出满足要求的解即可；当时，，，令，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解： 由题意知，，， 当时，，， 令， 解得或； 当时，，， 令， 解得或（舍去）； 综上所述，经过2或4或秒，的面积为8平方厘米． 故答案为：2或4或． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段测试）如图（1），在正方形中，为边上一点，平分交于点，连接． (1)若为的中点，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图（2），连接，分别交，于点，，若四边形为平行四边形，求的值． 【答案】(1)证明：过点F作于点K，如图， 在正方形中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，即， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴； (2) (3) 【分析】（1）过点F作于点K，先证明，再证明，问题得解； （2）设，即有，利用勾股定理有、、、，据此即可得关于x的一元二次方程，解方程即可得解； （3）先证明，再证明平行四边形是菱形，接着证明，即可得，根据的特点即可求出、之间的数量关系，问题随之得解． 【详解】（1）略 （2）设， ∵，为的中点， ∴，， 在中，， ∴， 同理：，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）， ∴； （3）在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段测试）2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可． 【详解】设这段线路有x个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票， 根据题意，列方程得． 故选择：B． 【点睛】本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键． 2．（25-26九年级上 全国）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为平均增长率实际问题，解题思路是先求出每月的营业额，再根据第一季度总营业额等于三个月营业额之和列方程． 【详解】解：平均每月增长率为，则二月份营业额为万元，三月份营业额为万元， 根据题意，得， 即． 3．（25-26九年级上·浙江台州·阶段测试）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 4．（25-26九年级上·安徽六安·阶段测试）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． 5．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质可得，，，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，由此即可判断①正确；根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，由此即可判断②错误；根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；利用勾股定理可得，由此即可判断④正确；先求出的周长为，从而可得，再在中，利用勾股定理求解即可判断⑤正确． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，则结论①正确； ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时在中，，， ∴的最小值为， ∴面积的最小值是，则结论②错误； ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 即四边形的面积始终不变，结论③正确； 在中，， 由上已得：的最小值为1， ∴长度的最小值是，结论④正确； ∵， ∴的周长为， 又∵的周长为， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或，均符合题意， ∴当或时，使得的周长是，结论⑤正确； 综上，所有正确结论的序号是①③④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、一元二次方程的应用、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 6．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）林老师计划在毕业典礼上，他赠送给每位同学一张签名卡，每位同学间也互赠一张签名卡．林老师发现在不失误的情况下，为了使签名卡恰好用完，他需购买2704张签名卡，设班级有x名学生，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握利用等量关系建立一元二次方程，林老师赠送每位同学一张签名卡，共x张；每位同学间互赠签名卡，即每个同学赠送其他个同学各一张卡，共张。总签名卡数为2704，再列出方程即可． 【详解】解：∵ 林老师赠送签名卡数量为x， 同学间互赠签名卡数量共张， 总签名卡数为2704， ∴． 故选：A． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为210、100、78、45时的值，判断即可得解．熟练掌握一元二次方方程的应用是关键． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和， A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意； B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意； C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意； D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意； 故选：B． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的倍．已知一个钉子受击次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．设铁钉的长度为，那么符合这一事实的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据每次钉入木板的长度关系，求出三次钉入的长度，利用三次长度和等于铁钉总长度列方程即可． 【详解】解：∵第一次受击后进入木板的长度为，且每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的倍， ∴第二次钉入木板的长度为，第三次钉入木板的长度为， 又∵钉子受击次后恰好全部进入木板，总钉长为，即三次钉入长度和为， ∴列方程得． 9．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在中，是上一点，过点作交于点．若，则的长为（） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． 设，，则，，过点C作于点F，根据求得，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴． 过点C作于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：C 10．（2025九年级上 浙江·月考）如图，分别是等边三角形的边上的点，与相交于点，连结．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，正确找出两个全等三角形和相似三角形是解题关键．设，则，，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据三角形的外角性质可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：设，则， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 11．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）某种电脑病毒的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后将有81台电脑被感染，那么每轮感染中平均每台电脑会感染______台电脑，则3轮后，被感染的电脑 ____超过700台，(填“会”或“不会”) 【答案】 8 会 【分析】设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有(1+x)台被感染，第二轮后共有(1+x)+x(1+x)即台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断． 【详解】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+(1+x)x＝81， 整理得＝81， 则x+1＝9或x+1＝﹣9， 解得＝8，＝﹣10(不符合题意，舍去)， ∴＝＝729＞700. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台. 故答案为：8，会. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 12．（25-26九年级上·山东东营·阶段测试）黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 13．（25-26九年级上·山西大同·阶段测试）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． 【答案】45 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据题意得，可以得出人数大于人；设这次旅游可以安排人参加，可得人均旅游费为：，根据题意建立方程求解即可，根据人均旅游费用不得低于500元取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 所以该旅行社的人数大于人， 设这次旅游可以安排人参加，则人均旅游费为元， 由题意得：， 解得： 当时，人均费用＜，不符合要求；当时，人均费用，符合要求． 故这次旅游可以安排人参加． 故答案为：． 15．（2026九年级上 广东深圳·月考）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为，，则中柱（为底边的中点）的长为______m． 【答案】/ 【分析】由等腰三角形的性质求得的长，由含30度的直角三角形的性质得到，再根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ，即 解得． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 【答案】(1) (2)①米；②米；③， 【分析】（1）设平均每年降低的百分率为，根据“游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万”列方程求解即可； （2）①由题意可知垂直于墙的边总长为，上有两个宽1米的门，根据总篱笆长列方程求解即可； ②根据花圃面积列方程求出x的值，根据墙的最大可用长度取合适的值即可； ③先求出x的取值范围，根据花圃面积求出花圃面积，根据平方的非负性作答即可． 【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为， 根据题意可知， 整理得， 即， 解得：（负值舍去）； （2）解：①垂直于墙的边共3段，总长为米，上有两个宽1米的门，门不用篱笆， ∵总篱笆长为34米， ∴， 解得：米； ②由①知米，米， ∵所围成花圃面积为105平方米， ∴， 解得，． 根据墙的最大可用长度可知：， 解得， 即； ③由题意可知， 解得：， 花圃面积平方米， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值108平方米． 17．（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 18．（25-26九年级上·浙江温州）如图，在矩形中，，点是线段上一点，作点关于的对称点，连结，过点作交射线于点． (1)当点在点左侧时． ①求证：． ②若，求的周长． (2)取的中点，连结，当与的某一边平行时，求的长度． 【答案】(1)①证明：如图1，延长交于点． 四边形为矩形， ． 由轴对称可知， ， ，， ． ， ． ② (2)或 【分析】（1）①延长交于点，根据平行的性质即可证明； ②由①的结论先证明，设，根据表示出，在中，由勾股定理可解得，进而求解； （2）分和两种情况画出图形，分别计算即可． 【详解】（1）解：①略； ②如图1， 四边形为矩形， ，， 根据对称可知， ， 在和中， ， ，     设，则， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 在中，由勾股定理可得， 即，解得 ， 的周长为． （2）解：分两种情况： ①如图2，当时， ，， 四边形是平行四边形， ， 为的中点， ， ， ， 为的中点． ， 设，则， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ， ． ②如图3，当时， ， ， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ． ， ， ， 是中点， ． 设， ， ， ． 在中，由勾股定理可得， 即，解得（舍去） ， ． ． 19．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)当时， 的面积为 (3)存在，或 【分析】（1）根据题意得出时，，当时，，当时，，当时，，即可求解； （2）分两种情况分析：当P在线段 上时，当P在延长线上时，作出相应图形，然后利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况分析：当平分时，当平分的外角时，利用角平分线的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：∵， 动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是， ∴， ∴时，， 当时，， ∴ ∵P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， ∴当时，， 当时，， ∴； （2）根据题意得：点 P在线段上时，;当点P在延长线上时，， 的面积 ， ①当P在线段 上时： ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根； ②当P在延长线上时： ， 整理得：， 解得： ∵此时P在延长线上， ∴,即 舍去，符合题意； 答：当时， 的面积为； （3）存在， 当平分时，过点P作 于点D，如图所示： ∵平分 ， 在 中，， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 当平分的外角时，过点P作 于点D，如图所示： 同理得， ，， ， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：或． 20．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段测试）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 用一元二次方程解决问题重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 传播问题(一元二次方程的应用)】 3 【基础题型二 增长率问题(一元二次方程的应用)】 4 【基础题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 5 【基础题型四 数字问题(一元二次方程的应用)】 6 【基础题型五 营销问题(一元二次方程的应用)】 8 【基础题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 10 【基础题型七 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用)】 11 【基础题型八 其他问题(一元二次方程的应用)】 14 第二部分·练提高题型 【提高题型一 用一元二次方程解决问题】 16 第三部分・自我检测 知识点01 数字、循环、传播问题 1. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 2. 循环问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 3. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了___________人． 知识点02 平均增长率及利润问题 1. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段测试）某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·课后作业）某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 知识点03 面积问题 面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． 【即时训练】 1．（2026九年级上 云南昆明·月考）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【基础题型一 传播问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 1．（24-25九年级上·浙江台州·阶段测试）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026九年级上 重庆·周测）某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·周测）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出____________根支根． 4．（2026九年级上 山西忻州·周测）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【基础题型二 增长率问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上 福建福州·月考）某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上 湖南衡阳·月考）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，年末我国贫困人口还有万人，此后逐年下降，截至到年末我国贫困人口仅有万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【基础题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段测试）图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 1．（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）用20米长的篱笆借助一面墙（墙足够长）围成一个矩形栅栏，使它的面积为40平方米．若设垂直于墙的一边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程(    )    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为，则列方程为：________． 4．（2026九年级上 江苏南京·课后作业）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【基础题型四 数字问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（2025九年级上 浙江丽水·周测）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 【例2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段测试）已知个连续整数的和为，它们的平方和是，且．则____． 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南岳阳·课后作业）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 4．（2026九年级上 江苏无锡·周测）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【基础题型五 营销问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（    ） A．（x﹣100）[300＋4（200﹣x）]＝30000 B．（x﹣200）[300＋2（100﹣x）]＝30000 C．（x﹣100）[300＋2（200﹣x）]＝30000 D．（x﹣200）[300＋4（100﹣x）]＝30000 【例2】（25-26九年级上·浙江衢州·阶段测试）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 1．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 2．（25-26九年级上·山东威海·阶段测试）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段测试）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【基础题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 1．（2025九年级上 天津河东·周测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2026九年级上 河南洛阳·课后作业）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 3．（23-24九年级上·山东济宁·阶段测试）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【基础题型七 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26九年级上·山东东营·阶段测试）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026九年级上 广东东莞·周测）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 1．（25-26九年级上·云南昆明·阶段测试）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 2．（2026九年级上 湖北）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段测试）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为_________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【基础题型八 其他问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上 ·全国）若两数的和是，两数的平方和是，则这两数为________． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 4．（2023九年级上·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【提高题型一 用一元二次方程解决问题】 【例1】（2026九年级上 河南周口·月考）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 【例2】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段测试）甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡）小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A．1 B． C． D．1或 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段测试）如图（1），在正方形中，为边上一点，平分交于点，连接． (1)若为的中点，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图（2），连接，分别交，于点，，若四边形为平行四边形，求的值． 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段测试）2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上 全国）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江台州·阶段测试）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽六安·阶段测试）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 5．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 6．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）林老师计划在毕业典礼上，他赠送给每位同学一张签名卡，每位同学间也互赠一张签名卡．林老师发现在不失误的情况下，为了使签名卡恰好用完，他需购买2704张签名卡，设班级有x名学生，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的倍．已知一个钉子受击次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．设铁钉的长度为，那么符合这一事实的方程是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在中，是上一点，过点作交于点．若，则的长为（） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（2025九年级上 浙江·月考）如图，分别是等边三角形的边上的点，与相交于点，连结．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）某种电脑病毒的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后将有81台电脑被感染，那么每轮感染中平均每台电脑会感染______台电脑，则3轮后，被感染的电脑 ____超过700台，(填“会”或“不会”) 12．（25-26九年级上·山东东营·阶段测试）黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 13．（25-26九年级上·山西大同·阶段测试）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． 15．（2026九年级上 广东深圳·月考）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为，，则中柱（为底边的中点）的长为______m． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 17．（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 18．（25-26九年级上·浙江温州）如图，在矩形中，，点是线段上一点，作点关于的对称点，连结，过点作交射线于点． (1)当点在点左侧时． ①求证：． ②若，求的周长． (2)取的中点，连结，当与的某一边平行时，求的长度． 19．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段测试）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $