专题2.3 二次根式（6大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题2.3 二次根式 知识点1：二次根式的概念与有意义条件 　　1.定义：形如（）的式子叫做二次根式，“”叫二次根号，a 叫被开方数。 　　2.两个条件：①含二次根号；②被开方数必须是非负数（被开方数可以是数，也可以是含字母的式子）。 　　3.有意义条件： 有意义的条件是；含分式、字母的取值范围要综合考虑。 知识点2：二次根式的性质 　　1.双重非负性： 且。 　　2.性质一：（），即非负数的算术平方根的平方等于它本身。 　　3.性质二：（a 为任意实数），即任意实数平方的算术平方根等于它的绝对值。 比较项 运算结果 a |a| a 的取值 任意实数 作用 去根号化简；把非负实数写成平方形式 去根号化简；把根号外非负因式平方后移入根号内 知识点3：二次根式的乘法 　　1.乘法法则：（，），两个算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根。 　　2.推广：可推广到多个二次根式相乘。 　　3.系数处理：根号前有系数时，类比单项式乘法，系数相乘、被开方数相乘。 　　4.积的算术平方根：，用于把能开得尽方的因式开到根号外。 知识点4：二次根式的除法 　　1.除法法则：（，），两个算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根。 　　2.商的算术平方根：，用于化简。 　　3.系数处理：根号前有系数时，系数相除、被开方数相除。 知识点5：最简二次根式与分母有理化 　　1.最简二次根式条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；③分母中不含根号。 　　2.化简步骤：把被开方数因式分解，把能开尽的因式开到根号外，化去根号内分母，分母有理化。 　　3.分母有理化：用分母的有理化因式同乘分子分母，化去分母中的根号，如。 知识点6：二次根式的加减与混合运算 　　1.加减法则：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式）。 　　2.混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面。 　　3.运算律：实数运算中的运算律与公式（平方差、完全平方等）同样适用；结果写成最简二次根式或整式。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式的定义辨析 1.核心知识点 　　二次根式的形式（）；两个必备条件。 2.解题方法技巧 　　①先看是否含二次根号； 　　②再看被开方数是否为非负数（化简后再判断）； ③被开方数为负的式子不是二次根式。 【例题1】.（26-27八年级上·全国·单元测试）下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【变式题1-2】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2022八年级下·海南省直辖县级单位·竞赛）下列各式不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【题型2】二次根式有意义的条件 1.核心知识点 　　被开方数非负；含分式、复合条件的取值范围。 2.解题方法技巧 　　①令被开方数，解不等式； 　　②分子分母中含根号时，分母不为 0 且被开方数非负； ③多个条件取交集。 【例题2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·上海·开学考试）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·河北唐山·期末）若是二次根式，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026·山东临沂·二模）若式子在实数范围内有意义，写出一个符合题意的整数________． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 1.核心知识点 　　最简二次根式条件；同类二次根式（被开方数相同）。 2.解题方法技巧 　　①把二次根式都化为最简形式； 　　②被开方数相同的即为同类二次根式； ③由最简二次根式求参数，令被开方数满足条件。 【例题3】.（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）下列二次根式属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列二次根式中能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若最简二次根式与可以合并，则______________． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【题型4】二次根式的化简 1.核心知识点 　　积、商的算术平方根；把能开尽的因式开到根号外。 2.解题方法技巧 　　①被开方数因式分解，找出完全平方因数； 　　②利用 开方； ③结果化为最简二次根式。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）将下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（26-27八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【题型5】二次根式的乘除运算 1.核心知识点 　　乘法法则、除法法则；系数与被开方数分别相乘（除）。 2.解题方法技巧 　　①根号前系数相乘（除）、被开方数相乘（除）； 　　②计算结果必须化为最简二次根式； ③注意除法中被开方数须为正。 【例题5】.（26-27九年级上·陕西延安·开学考试）计算的值为（     ） A． B． C．5 D． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 【变式题5-2】.（25-26八年级下·湖南湘西·期中）计算：的结果是（     ） A． B． C．1 D．9 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【培优高频题型】 【题型6】利用双重非负性求值 1.核心知识点 　　 且；几个非负数和为 0 则各项为 0。 2.解题方法技巧 　　①由非负性列出方程（组）求字母值； 　　②代入求二次根式的值或表达式的值； ③被开方数非负是隐含条件，需先确认。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）要使，实数x的取值范围是______． 【变式题6-1】.（25-26九年级下·山东烟台·期末）化简的值为________． 【变式题6-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）______． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）若，则代数式______． 【题型7】二次根式的性质应用 1.核心知识点 　　；含绝对值化简；结合数轴。 2.解题方法技巧 　　①，先判断 a 的正负再去绝对值； 　　②由数轴上点的位置判断字母符号； ③多个根式、绝对值合并化简，注意符号。 【例题7】.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）某班将在学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图①样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积是2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是_________； (2)求图①长方形邀请函的周长； (3)小李建议将图①正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含义，如图②所示，求修改后的阴影部分的面积． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）高空抛物现象被称为悬在城市上空的痛，是我们必须杜绝的行为．据研究，物体从高度为（单位：）的高空抛出，其下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)物体从高空抛出到落地所需时间是多少？ (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【变式题7-2】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【变式题7-3】.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，一处台阶的高，为了行走方便，准备在台阶处修建一个水泥坡道．如果所修坡道的坡度为，那么所修坡道的长度为多少（结果保留小数点后两位）？ 【题型8】二次根式的混合运算 1.核心知识点 　　混合运算顺序；乘法公式（平方差、完全平方）的运用。 2.解题方法技巧 　　①按先乘方开方、再乘除、后加减的顺序； 　　②用平方差公式 简化含根式的乘法； ③结果化为最简二次根式。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题8-2】.（26-27八年级上·山东·期中）计算： (1) (2) 【变式题8-3】.（26-27八年级上·湖南·期中）计算： (1)； (2)． 【压轴素养题型】 【题型9】分母有理化 1.核心知识点 　　有理化因式； 与 型的化简。 2.解题方法技巧 　　①分母含单项根式，乘它的算术平方根； 　　②分母含二项式，乘其有理化因式（利用平方差）； ③分子分母同乘，保持等式成立。 【例题9】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简________；________． (2)计算：； (3)已知，，求的值． 【变式题9-1】.（26-27八年级上·山东·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第个等式： ， 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算： ______________； (2)计算： ______________； (3)计算． 【变式题9-2】.（26-27八年级上·山西·期中）在数学的广袤王国里“和”与“差”宛如一对形影不离的挚友，或是一组平仄相倚的诗行．当无理的分母如迷雾般笼罩，正是它们——这对共轭的“平方差公式”，携手登场．如同光明驱散阴影，它们默契配合，化混沌为有序，将复杂的分母变得清晰简明．这不仅是理性的运算，更是一曲关于依存与转化的和谐乐章，诉说着数学中深邃的智慧与美感． 如乘法， ，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 除法， ． 像以上通过分子分母同乘同一个式子使分母中不含根号的运算叫做分母有理化． (1)的有理化因式______；的有理化因式______． (2)分母有理化得______；分母有理化得______． (3)求的值． 【变式题9-3】.（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ，． ． ．请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)计算； (2)化简． 【题型10】二次根式的规律探索 1.核心知识点 　　观察运算规律；归纳一般式；迁移应用。 2.解题方法技巧 　　①观察前几项的数值、结构变化； 　　②用字母表示一般规律并验证； 　　③代入具体项（如第 n 项、第 10 项）计算。 ③结合现实取近似值，注意单位。 【例题10】.（26-27九年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ， (1)设n为大于1的整数，用含n的等式表示上述规律； (2)证明你得到的结论． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 【变式题10-2】.（22-23七年级下·山东日照·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)猜想：第n个等式为 （n为正整数） (3)根据你的猜想，计算： 【变式题10-3】.（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 易错点 1、忽略被开方数非负的条件，把（a>0）当二次根式。 2、误用，忘记绝对值，a 为负时出错。 3、化简未化为最简二次根式，根号内残留能开尽的因数。 4、加减时混淆同类二次根式，把被开方数不同的根式直接合并。 5、分母有理化乘错有理化因式，分子分母不同乘导致等式不成立。 6、混合运算顺序混乱，或结果未化成最简形式。 重点 1、理解二次根式的概念与有意义的条件。 2、掌握二次根式的双重非负性及 性质。 3、掌握乘除、加减法则，会化简最简二次根式。 4、会进行二次根式的混合运算。 难点 1、双重非负性与含绝对值式子的化简。 2、分母有理化与同类二次根式的识别。 3、化简求值与整体代入，含根式的代数运算。 4、规律探索、跨学科应用中的二次根式运算。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．___________． 5．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 6．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 三、解答题 7．已知，，求代数式的值． 8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 9．小悦和小西利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小西从40米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度（单位：m）和下落时间（单位：s）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值； (2)实验后，小西对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”请通过计算说明小西的说法是否正确． 10．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，∴ (1)直接写出答案： ； ． (2)化简：． (3)若，则a与m，n的关系是什么？b与m，n的关系又是什么？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次根式 知识点1：二次根式的概念与有意义条件 　　1.定义：形如（）的式子叫做二次根式，“”叫二次根号，a 叫被开方数。 　　2.两个条件：①含二次根号；②被开方数必须是非负数（被开方数可以是数，也可以是含字母的式子）。 　　3.有意义条件： 有意义的条件是；含分式、字母的取值范围要综合考虑。 知识点2：二次根式的性质 　　1.双重非负性： 且。 　　2.性质一：（），即非负数的算术平方根的平方等于它本身。 　　3.性质二：（a 为任意实数），即任意实数平方的算术平方根等于它的绝对值。 比较项 运算结果 a |a| a 的取值 任意实数 作用 去根号化简；把非负实数写成平方形式 去根号化简；把根号外非负因式平方后移入根号内 知识点3：二次根式的乘法 　　1.乘法法则：（，），两个算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根。 　　2.推广：可推广到多个二次根式相乘。 　　3.系数处理：根号前有系数时，类比单项式乘法，系数相乘、被开方数相乘。 　　4.积的算术平方根：，用于把能开得尽方的因式开到根号外。 知识点4：二次根式的除法 　　1.除法法则：（，），两个算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根。 　　2.商的算术平方根：，用于化简。 　　3.系数处理：根号前有系数时，系数相除、被开方数相除。 知识点5：最简二次根式与分母有理化 　　1.最简二次根式条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；③分母中不含根号。 　　2.化简步骤：把被开方数因式分解，把能开尽的因式开到根号外，化去根号内分母，分母有理化。 　　3.分母有理化：用分母的有理化因式同乘分子分母，化去分母中的根号，如。 知识点6：二次根式的加减与混合运算 　　1.加减法则：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式）。 　　2.混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面。 　　3.运算律：实数运算中的运算律与公式（平方差、完全平方等）同样适用；结果写成最简二次根式或整式。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式的定义辨析 1.核心知识点 　　二次根式的形式（）；两个必备条件。 2.解题方法技巧 　　①先看是否含二次根号； 　　②再看被开方数是否为非负数（化简后再判断）； ③被开方数为负的式子不是二次根式。 【例题1】.（26-27八年级上·全国·单元测试）下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式要求被开方数是非负数，逐项判断即可． 【详解】解：A：，不是二次根式，不符合题意； B：当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意； C：当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意； D：，是二次根式，符合题意． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的根指数为3，不是二次根式，故C选项不符合题意； 与的被开方数取值不确定，可能为负数，不一定是二次根式，故A、D选项不符合题意； 的根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式的定义，故B选项符合题意； 【变式题1-3】.（2022八年级下·海南省直辖县级单位·竞赛）下列各式不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，二次根式根指数为2，通常省略不写.判断各选项是否符合定义要求，即可得出答案. 【详解】解：A.是二次根号下的式子，形式符合二次根式定义，是二次根式； B.，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C.的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的定义，不是二次根式； D.，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式. 【题型2】二次根式有意义的条件 1.核心知识点 　　被开方数非负；含分式、复合条件的取值范围。 2.解题方法技巧 　　①令被开方数，解不等式； 　　②分子分母中含根号时，分母不为 0 且被开方数非负； ③多个条件取交集。 【例题2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再求出答案即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·上海·开学考试）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·河北唐山·期末）若是二次根式，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 各选项中只有满足． 【变式题2-3】.（2026·山东临沂·二模）若式子在实数范围内有意义，写出一个符合题意的整数________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件，确定的取值范围，在取值范围内选取一个整数即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，需同时满足分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数， 因此不等式， 解得， 取范围内的一个整数，得， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 1.核心知识点 　　最简二次根式条件；同类二次根式（被开方数相同）。 2.解题方法技巧 　　①把二次根式都化为最简形式； 　　②被开方数相同的即为同类二次根式； ③由最简二次根式求参数，令被开方数满足条件。 【例题3】.（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）下列二次根式属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：是最简二次根式，符合题意． 选项C：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：，不是最简二次根式，不符合题意． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列二次根式中能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：化简各选项二次根式：，，此时被开方数与相同，是最简二次根式，， ∴只有可与合并． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若最简二次根式与可以合并，则______________． 【答案】1 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解． 【详解】解：先化简， 得． ∵最简二次根式与可以合并， ∴二者为同类二次根式，最简形式下被开方数相等． 即． 解得． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【答案】5 【分析】先化简，根据同类二次根式可以合并的性质，得到最简二次根式的被开方数与化简后的被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴与是同类二次根式，被开方数相等， ∴， ． 【题型4】二次根式的化简 1.核心知识点 　　积、商的算术平方根；把能开尽的因式开到根号外。 2.解题方法技巧 　　①被开方数因式分解，找出完全平方因数； 　　②利用 开方； ③结果化为最简二次根式。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母． 【答案】 【分析】使分母不含二次根式，被开方数不含分母，对原式进行分母有理化，给分子分母同乘即可化简． 【详解】解：由题意得，． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）将下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再化简得到最简二次根式； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再化简得到最简二次根式． 【详解】（1）解：根据题意可知，，则， ． （2）解：根据题意可知，，则，， ． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算出根号内算式的结果，再把被开方数拆成平方数乘另一个数进行开方化简． 【详解】解：． 【变式题4-3】.（26-27八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型5】二次根式的乘除运算 1.核心知识点 　　乘法法则、除法法则；系数与被开方数分别相乘（除）。 2.解题方法技巧 　　①根号前系数相乘（除）、被开方数相乘（除）； 　　②计算结果必须化为最简二次根式； ③注意除法中被开方数须为正。 【例题5】.（26-27九年级上·陕西延安·开学考试）计算的值为（     ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可得出结果． 【详解】解：． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 【答案】D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·湖南湘西·期中）计算：的结果是（     ） A． B． C．1 D．9 【答案】B 【详解】解：． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【培优高频题型】 【题型6】利用双重非负性求值 1.核心知识点 　　 且；几个非负数和为 0 则各项为 0。 2.解题方法技巧 　　①由非负性列出方程（组）求字母值； 　　②代入求二次根式的值或表达式的值； ③被开方数非负是隐含条件，需先确认。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）要使，实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】分别判断等式两边二次根式成立的条件，右边要求被开方数非负，验证该条件下等式成立，即可得到的取值范围． 【详解】解：等式左边，对任意实数都有意义． 要使原等式成立，需先使等式右边有意义． ∵ 二次根式的被开方数必须为非负数， ∴ ， 解得． 当时，左边，右边， 左边等于右边，原等式成立． 因此的取值范围是． 【变式题6-1】.（25-26九年级下·山东烟台·期末）化简的值为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围，再利用二次根式的性质，化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】 解：要使有意义，可得 解得 由，可得 化简原式： ． 【变式题6-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）______． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用绝对值的性质和二次根式的性质化简原式，合并同类项得到结果． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数需满足，即， 当时，， ，， 原式 ． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）若，则代数式______． 【答案】 【分析】几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出，，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵ 算术平方根、平方数、绝对值都是非负数，且 ∴ 每个非负数都等于，可得： ，解得 ，解得 ，解得 将，，代入得： 【题型7】二次根式的性质应用 1.核心知识点 　　；含绝对值化简；结合数轴。 2.解题方法技巧 　　①，先判断 a 的正负再去绝对值； 　　②由数轴上点的位置判断字母符号； ③多个根式、绝对值合并化简，注意符号。 【例题7】.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）某班将在学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图①样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积是2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是_________； (2)求图①长方形邀请函的周长； (3)小李建议将图①正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含义，如图②所示，求修改后的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是，则长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解即可； （3）利用大长方形面积减去A和B的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是； （2）解：∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴长方形邀请函的周长为； （3）解： ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）高空抛物现象被称为悬在城市上空的痛，是我们必须杜绝的行为．据研究，物体从高度为（单位：）的高空抛出，其下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)物体从高空抛出到落地所需时间是多少？ (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)． (2)能量为；启示：高空抛物危害极大，需坚决杜绝． 【分析】（1）将代入公式计算落地时间． （2）先由下落时间求出下落高度，再代入能量公式计算能量，结合杀伤人体所需能量得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， 将代入，得 ． 答：物体从高空抛出到落地所需时间为． （2）解：下落时间，且， ， 解得． 将物体质量，高度代入能量公式，得 ， 高空抛物具有很大危险性，必须杜绝． 答：这串钥匙下落过程中所带能量为，启示为高空抛物危害大，需坚决杜绝． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长为： ， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为； （2）解： ， 答：刷涂料的面积为． 【变式题7-3】.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，一处台阶的高，为了行走方便，准备在台阶处修建一个水泥坡道．如果所修坡道的坡度为，那么所修坡道的长度为多少（结果保留小数点后两位）？ 【答案】所修坡道的长度约为 【分析】由题中坡度及已知台阶高度列式求出，再由勾股定理求出所修坡道的长度即可． 【详解】解：由题意可知，台阶的高，所修坡道的坡度为，则， 解得， 由勾股定理可得， 答：所修坡道的长度约为． 【题型8】二次根式的混合运算 1.核心知识点 　　混合运算顺序；乘法公式（平方差、完全平方）的运用。 2.解题方法技巧 　　①按先乘方开方、再乘除、后加减的顺序； 　　②用平方差公式 简化含根式的乘法； ③结果化为最简二次根式。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题8-2】.（26-27八年级上·山东·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）先计算二次根式的乘方、化简绝对值、负整数指数幂、算术平方根，再计算乘法与加减法即可； （2）先化简二次根式和绝对值、计算二次根式的除法、零指数幂，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式题8-3】.（26-27八年级上·湖南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用二次根式的性质化简，再运用二次根式的除法运算法则，然后合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式、二次根式的乘法运算进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【压轴素养题型】 【题型9】分母有理化 1.核心知识点 　　有理化因式； 与 型的化简。 2.解题方法技巧 　　①分母含单项根式，乘它的算术平方根； 　　②分母含二项式，乘其有理化因式（利用平方差）； ③分子分母同乘，保持等式成立。 【例题9】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简________；________． (2)计算：； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式，分子分母同乘分母的有理化因式，将分母化为有理数，化简即可． （2）观察式子发现每一项都可以通过分母有理化化简为两个二次根式的差，从而产生相互抵消的项，最后化简计算即可． （3）先对和进行分母有理化，求出和的值，再将所求代数式变形为含有和的形式代入计算． 【详解】（1）解：；． （2）解：由材料可得，； ； ；； ； 原式 ． （3）解： ，， ，， ， 原式 ． 【变式题9-1】.（26-27八年级上·山东·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第个等式： ， 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算： ______________； (2)计算： ______________； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化． （1）根据题目例子进行分母有理化即可； （2）根据题目例子进行分母有理化即可； （3）利用（2）中的规律将原式变形为，进而裂项相消，再简化计算后运用平方差公式进一步计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【变式题9-2】.（26-27八年级上·山西·期中）在数学的广袤王国里“和”与“差”宛如一对形影不离的挚友，或是一组平仄相倚的诗行．当无理的分母如迷雾般笼罩，正是它们——这对共轭的“平方差公式”，携手登场．如同光明驱散阴影，它们默契配合，化混沌为有序，将复杂的分母变得清晰简明．这不仅是理性的运算，更是一曲关于依存与转化的和谐乐章，诉说着数学中深邃的智慧与美感． 如乘法， ，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 除法， ． 像以上通过分子分母同乘同一个式子使分母中不含根号的运算叫做分母有理化． (1)的有理化因式______；的有理化因式______． (2)分母有理化得______；分母有理化得______． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据分母有理化的定义求解； （2）根据分母有理化的定义求解； （3）先对二次根式进行分母有理化，然后再进行二次根式的运算法则进行计算． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ， 的有理化因式是； （2）解：， 分母有理化得； 分母有理化得； （3）解： ． 【变式题9-3】.（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ，． ． ．请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)计算； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据小明的做题思路运用平方差公式将式子进行分母有理化即可； (2)根据小明的做题思路运用平方差公式将式子中每个部分进行分母有理化，再化简计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型10】二次根式的规律探索 1.核心知识点 　　观察运算规律；归纳一般式；迁移应用。 2.解题方法技巧 　　①观察前几项的数值、结构变化； 　　②用字母表示一般规律并验证； 　　③代入具体项（如第 n 项、第 10 项）计算。 ③结合现实取近似值，注意单位。 【例题10】.（26-27九年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ， (1)设n为大于1的整数，用含n的等式表示上述规律； (2)证明你得到的结论． 【答案】(1)（为大于的整数）． (2)证明： ∵ 为大于的整数 ∴ 左边 右边 ∴ 左边右边，等式成立． 【分析】（1）观察等号左边整数、根号内分子相同，分母是整数平方减 1；右边是带分数，整数、分子和左边一致，分母不变． （2）利用公式，把根号外的放进根号里，化简后和右边带分数化成假分数的结果对比． 【详解】（1）观察： ，分母， ，分母， ，分母， 所以当，为整数， （2）证明过程：略 【变式题10-1】.（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据已知等式的规律写出第8个等式即可； （2）根据已知等式的规律写出第n个等式即可； （3）根据（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； 第4个等式：，即； 第5个等式：，即； …… 第8个等式：，即． （2）解：第n个等式为． （3）解： ． 【变式题10-2】.（22-23七年级下·山东日照·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)猜想：第n个等式为 （n为正整数） (3)根据你的猜想，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出第四个式子即可； （2）找到题中规律即可写出第n个等式； （3）根据规律变形，再计算即可． 【详解】（1）解：第4个等式为，即； （2）解：根据题意可得第n个等式为； （3）解：， ， ． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 易错点 1、忽略被开方数非负的条件，把（a>0）当二次根式。 2、误用，忘记绝对值，a 为负时出错。 3、化简未化为最简二次根式，根号内残留能开尽的因数。 4、加减时混淆同类二次根式，把被开方数不同的根式直接合并。 5、分母有理化乘错有理化因式，分子分母不同乘导致等式不成立。 6、混合运算顺序混乱，或结果未化成最简形式。 重点 1、理解二次根式的概念与有意义的条件。 2、掌握二次根式的双重非负性及 性质。 3、掌握乘除、加减法则，会化简最简二次根式。 4、会进行二次根式的混合运算。 难点 1、双重非负性与含绝对值式子的化简。 2、分母有理化与同类二次根式的识别。 3、化简求值与整体代入，含根式的代数运算。 4、规律探索、跨学科应用中的二次根式运算。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：被开方数为负，根指数为3，均不是二次根式． 当时，的被开方数小于0，不是二次根式． ∵， ∴ ∴一定是二次根式． 2．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误； B选项，，计算错误； C选项，，计算正确； D选项，，计算错误． 3．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 二、填空题 4．___________． 【答案】 【详解】解：． 5．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】根据数轴上、的位置判断它们的正负性及大小关系，进而判断出根号内代数式的正负性，最后化简计算即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 6．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【答案】 【分析】（1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可． 【详解】解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． 三、解答题 7．已知，，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：，， ， ∴． 8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】由二次根式的性质进行化简，再根据数轴分别判断，，的正负，去掉绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ， ． 9．小悦和小西利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小西从40米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度（单位：m）和下落时间（单位：s）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值； (2)实验后，小西对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”请通过计算说明小西的说法是否正确． 【答案】(1) (2) 解：小西的说法不正确， 计算说明如下： 将代入，得， ，， ，即小西的说法不正确． 【分析】（1）将代入给定公式计算； （2）先计算的值，再与比较，判断说法是否正确． 【详解】（1）解：由题意得； （2）略 10．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，∴ (1)直接写出答案： ； ． (2)化简：． (3)若，则a与m，n的关系是什么？b与m，n的关系又是什么？ 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】（1）将3拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解；将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解； （2）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解； （3）将已知等式两边分别平方，根据对应相等，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $