专题3.2.1 双曲线及其标准方程（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线及其标准方程核心知识点，系统梳理双曲线定义（平面内与两定点距离差的绝对值为非零常数）、标准方程（焦点在x轴或y轴的形式及a,b,c关系），并衔接定义辨析、方程求解、轨迹方程、焦点三角形等8类题型，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“考点+题型+变式”设计，通过实例（如爆炸点轨迹方程、焦点三角形面积计算）培养数学思维（推理a,b,c关系）和数学眼光（发现实际问题中的双曲线模型），课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式训练查漏补缺，强化知识应用能力。

专题3.2.1 双曲线及其标准方程（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 双曲线的定义及辨析】 1 【题型2 曲线方程与双曲线】 3 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 5 【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】 8 【题型5 求双曲线的轨迹方程】 9 【题型6 利用双曲线定义求点到焦点的距离的最值】 11 【题型7 利用定义求双曲线中线段和、差的最值】 13 【题型8 双曲线中焦点三角形问题】 17 考点1 双曲线的定义 知识点1 双曲线的定义 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 【题型1 双曲线的定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【解答过程】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C. 【变式1.1】（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【解题思路】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【解答过程】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】B 【解题思路】首先求出、，再根据双曲线的定义计算可得. 【解答过程】双曲线，则，，所以， 又，，解得或， 又，所以. 故选：B. 【变式1.3】（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义可知，，再代入求解即可． 【解答过程】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 考点2 双曲线的标准方程 知识点2 双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 2．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【题型2 曲线方程与双曲线】 【例2】（25-26高二上·湖南郴州·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用双曲线方程的特征列式求解. 【解答过程】由方程表示双曲线，得，解得或， 所以的取值范围为. 故选：A. 【变式2.1】（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【解答过程】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得， 解得. 故选：C. 【变式2.2】（25-26高二上·全国·课后作业）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条件和结论的关系. 【解答过程】因为方程表示双曲线， 所以， 解得或， 因为由可推出或，，但是由或，不能推出， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2.3】（2026高二上·浙江温州·专题练习）若方程所表示的曲线为，则下列命题不正确的是（   ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为椭圆，则且 【答案】D 【解题思路】由圆、椭圆、双曲线方程的结构特点逐项判断即可. 【解答过程】由方程，得. 对于A选项，若曲线表示圆，所以，解得，即曲线可能是圆，A选项说法正确； 对于B选项，若曲线为双曲线，则，解得，B选项说法正确； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C选项说法正确； 对于D选项，若曲线为椭圆，则，解得且，D选项说法不正确. 故选：D. 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3】（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的标准方程和关系求解即可. 【解答过程】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：A. 【变式3.1】（25-26高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【解答过程】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式3.2】（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 【变式3.3】（25-26高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【解答过程】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】 【例4】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．24 B．25 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】由双曲线标准方程得，然后根据关系求得． 【解答过程】由题意，，， 故选：D． 【变式4.1】（25-26高三上·广东肇庆·阶段检测）已知双曲线的上焦点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的焦点位置可得标准方程，即可得解. 【解答过程】因为知双曲线的上焦点为， 所以可化为， 故. 故选：D. 【变式4.2】（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先化为标准方程，再结合关系求解即可. 【解答过程】将双曲线化为标准方程得： 所以双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以，即，解得 故选：C. 【变式4.3】（25-26高二上·河南驻马店·期中）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出椭圆的半焦距，利用双曲线与该椭圆半焦距相等，以及之间的关系，即可求出结果. 【解答过程】由题知，椭圆的半焦距为， 所以，解得. 故选：D. 【题型5 求双曲线的轨迹方程】 【例5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【解答过程】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B. 【变式5.1】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【解答过程】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C. 【变式5.2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线定义计算即可得. 【解答过程】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 【变式5.3】（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对点的位置进行分类讨论，推导出，可知点的轨迹为双曲线，求出、的值，即可得出点的轨迹方程. 【解答过程】如下图所示：    当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点在轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为. 故选：A. 【题型6 利用双曲线定义求点到焦点的距离的最值】 【例6】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【解答过程】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 【变式6.1】（2026·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用双曲线的定义表示，结合基本不等式求解最小值. 【解答过程】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 【变式6.2】（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为____________. 【答案】 【解题思路】设，且，通过可求得最小值. 【解答过程】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 故答案为：. 【变式6.3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知定点，且，动点满足，则的最小值是___________. 【答案】6 【解题思路】根据动点满足，得到点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，不妨设焦点在x轴上，写出双曲线方程，设，利用两点间距离公式求解. 【解答过程】因为动点满足， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， 则，即， 不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为， 左焦点为，右焦点为， 设，则， 所以， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 【题型7 利用定义求双曲线中线段和、差的最值】 【例7】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【解题思路】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【解答过程】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 【变式7.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【解答过程】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C. 【变式7.2】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【解答过程】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式7.3】（25-26高二·全国·课后作业）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【解题思路】根据双曲线方程及其定义，求得的范围，再求得最大值即可. 【解答过程】因为双曲线方程为，故，则其焦点为， 根据题意，作图如下： 则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； ，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； 则， 故可得， 故的最大值为：. 故选：B. 考点3 双曲线的焦点三角形 知识点3 双曲线的焦点三角形 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【题型8 双曲线中焦点三角形问题】 【例8】（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据双曲线的定义结合题干求出的长，再利用余弦定理求出，进而得到，最后通过面积公式即可求出. 【解答过程】点是双曲线左支上的点，， 又，设，，解得，， 又双曲线，，， ， ， . 故选：D. 【变式8.1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【解题思路】由双曲线的定义求解即可； 【解答过程】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A. 【变式8.2】（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则， 所以的面积. 【变式8.3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）代点的坐标入曲线方程，结合离心率和的关系建立方程组，求得的值，即可得到曲线方程； （2）由双曲线上的点到两焦点距离差为，两焦点间的距离，结合余弦定理即可求得，然后得到三角形面积. 【解答过程】（1）由题意知： ， 解得， 故双曲线的方程为：. （2）由题意得，， 在中，由余弦定理得： ， 即：，， ， 所以的面积为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2.1 双曲线及其标准方程（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 双曲线的定义及辨析】 1 【题型2 曲线方程与双曲线】 2 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 3 【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】 4 【题型5 求双曲线的轨迹方程】 4 【题型6 利用双曲线定义求点到焦点的距离的最值】 5 【题型7 利用定义求双曲线中线段和、差的最值】 5 【题型8 双曲线中焦点三角形问题】 7 考点1 双曲线的定义 知识点1 双曲线的定义 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 【题型1 双曲线的定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【变式1.1】（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【变式1-2】（25-26高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【变式1.3】（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 考点2 双曲线的标准方程 知识点2 双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 2．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【题型2 曲线方程与双曲线】 【例2】（25-26高二上·湖南郴州·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·全国·课后作业）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.3】（2026高二上·浙江温州·专题练习）若方程所表示的曲线为，则下列命题不正确的是（   ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为椭圆，则且 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3】（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式3.2】（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【变式3.3】（25-26高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】 【例4】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．24 B．25 C．7 D．8 【变式4.1】（25-26高三上·广东肇庆·阶段检测）已知双曲线的上焦点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4.3】（25-26高二上·河南驻马店·期中）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 求双曲线的轨迹方程】 【例5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【题型6 利用双曲线定义求点到焦点的距离的最值】 【例6】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2026·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为____________. 【变式6.3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知定点，且，动点满足，则的最小值是___________. 【题型7 利用定义求双曲线中线段和、差的最值】 【例7】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【变式7.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（25-26高二·全国·课后作业）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 考点3 双曲线的焦点三角形 知识点3 双曲线的焦点三角形 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【题型8 双曲线中焦点三角形问题】 【例8】（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【变式8.2】（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【变式8.3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $