精品解析：河南周口市沈丘县部分校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026—2027学年上学期学情调研作业（一） 九年级数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100 分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B选项，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； C选项，，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； D选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程需满足是整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2． 【详解】解：A、方程的分母含未知数，是分式方程，不符合要求； B、方程中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； C、方程含有，两个未知数，不符合要求； D、方程是整式方程，只含未知数，且的最高次数为2，符合要求． 3. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简二次根式得到的最简形式，再用“夹逼法”估算无理数的大小，即可确定的范围． 【详解】解：， 且，即， ． 4. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入，得，解得． 5. 一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 1，3 D. ，3 【答案】D 【解析】 【详解】解：一元二次方程中， 一次项为， 一次项系数为，常数项为． 6. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则、除法法则，以及二次根式的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，，两者不相等，错误，不符合题意． 7. 如图，数轴上点表示的数是，化简为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，则， ∴． 8. 如图，在中，分别为的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由中位线的性质可得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， 是的中位线， ∵， ∴， ，， ∴． 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式大于0两个条件求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 10. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（ ） A. 10元 B. 10元或20元 C. 15元 D. 15元或20元 【答案】A 【解析】 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，根据每天销售利润每件盈利销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，； ∵每件盈利不少于25元， ∴，即， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数是非负数，据此列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， 解得． 12. 代数式的最小值为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用二次根式的非负性，确定的最小值，进而得到原代数式的最小值． 【详解】解：二次根式的被开方数非负，且二次根式的运算结果非负， ， 当时，原代数式取得最小值， 将代入原代数式，得最小值为． 13. 用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 14. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 15. 如图，在矩形中，．点P从点B出发沿边向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿边向点D以的速度移动．点P，Q同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，连接．当的面积为矩形面积的时，运动时间为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】设运动时间为，根据题意得：，其中，则，根据的面积为矩形面积的，列出方程，即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意得：，其中，则， ∵在矩形中，， ∴， ∵的面积为矩形面积的， ∴， ∴， 解得：， 即运动时间为2秒． 三、解答题（本大题共8个小题，共75 分） 16. 计算、解方程 （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：． 17. 有下面三张卡片，每张卡片上书写不同的二次根式： （1）上面三张卡片上的二次根式能合并的是________和________； （2）计算：． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的乘除法，正确计算是解题的关键． （1）先化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可； （2）先根据完全平方公式计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【小问1详解】 解：，， 能合并的是①和②， 故答案为：①，②； 【小问2详解】 解：． 18. 清明上河园是位于河南开封的国家级景区，以北宋名画《清明上河图》为蓝本1：1复原，核心亮点是沉浸式宋文化体验和大型实景演出．如图，景区内有一个用于表演豫剧的矩形场地，其面积为长为， （1）求这个场地的宽； （2）为了增加场地效果，准备在场地的四周铺设宽度均为的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形场地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式解答即可； （2）求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：场地宽为； 【小问2详解】 解：∵装饰带宽为， ∴，， ∴矩形面积：． 19. 你知道怎样用几何方法求一元二次方程的正数解吗？以 为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为 即； 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽长2，且面积为3，如图1所示； 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示； 第四步：计算大正方形的面积； 第五步：根据大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和列方程； 第六步：两边开方可求得该方程的解． （1）大正方形的面积为 （用含x的代数式表示），小正方形的面积为 ； （2）请你根据第五、六步的信息求这个方程的正数解． 【答案】（1）；4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式解答即可； （2）根据题意，列出方程，即可． 【小问1详解】 解：大正方形边长为，则面积为 ； 小正方形边长为：，则面积为4； 【小问2详解】 解：由题意列方程：， 整理得：， 两边开方得：， 解得：， 即这个方程的正数解为． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为m，求m的值． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）把代入方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程得： 解得：． 21. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题： （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同，进行设该品牌头盔销售量的月增长率为x．再列式计算，即可作答． （2）根据一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设增加y条生产线， 由题意得：． 解得， ∵生产线越多，投入越大， ∴不符合题意，舍去， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，应该增加4条生产线． 22. 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 （2）已知：，则 ； （3）已知，求x的值． 【答案】（1）B （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据倒数的性质，互为倒数的两数相乘得1，即可判断； （2）将两式相乘，得到积的值，再利用已知式子的值，求解即可； （3）同（2），构造对偶式，再相乘求出积，从而得到的值，再相消求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴和互为倒数； 【小问2详解】 解：∵， 又， ∴； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴， 得，，即， 两边平方得，， 解得， 经检验，是原方程的解． 23. 某农场有一块空地，空地上有一面长为的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为的门，已知木栏总长为． （1）如图1，当 时，设长为． ①请用含x的代数式表示的长，并写出x的取值范围； ②若围成的菜地的面积为求的长； （2）如图2，当时，请通过计算说明围成的菜地的面积能否为． 【答案】（1）①；② （2）不能围成， 假设围成的菜地的面积能为， 设长为，则， 根据题意得：， 整理得：， 此时， ∴此方程没有实数根， ∴假设不成立，即当时，围成的菜地的面积不能为． 【解析】 【分析】①设长为，则，根据题意，列出不等式组，即可求解； ②根据题意，列出方程，结合①中x的取值范围解答即可； （2）假设围成的菜地的面积能为，设长为，则，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：①设长为，则， 根据题意得：， 解得：； ②根据题意得：， 解得：， 因为， ∴， 即的长为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期学情调研作业（一） 九年级数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100 分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 1，3 D. ，3 6. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上点表示的数是，化简为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，在中，分别为的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 7 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 10. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（ ） A. 10元 B. 10元或20元 C. 15元 D. 15元或20元 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 12. 代数式的最小值为_____________． 13. 用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 14. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 15. 如图，在矩形中，．点P从点B出发沿边向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿边向点D以的速度移动．点P，Q同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，连接．当的面积为矩形面积的时，运动时间为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75 分） 16. 计算、解方程 （1）计算： （2）解方程：． 17. 有下面三张卡片，每张卡片上书写不同的二次根式： （1）上面三张卡片上的二次根式能合并的是________和________； （2）计算：． 18. 清明上河园是位于河南开封的国家级景区，以北宋名画《清明上河图》为蓝本1：1复原，核心亮点是沉浸式宋文化体验和大型实景演出．如图，景区内有一个用于表演豫剧的矩形场地，其面积为长为， （1）求这个场地的宽； （2）为了增加场地效果，准备在场地的四周铺设宽度均为的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形场地的面积． 19. 你知道怎样用几何方法求一元二次方程的正数解吗？以 为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为 即； 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽长2，且面积为3，如图1所示； 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示； 第四步：计算大正方形的面积； 第五步：根据大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和列方程； 第六步：两边开方可求得该方程的解． （1）大正方形的面积为 （用含x的代数式表示），小正方形的面积为 ； （2）请你根据第五、六步的信息求这个方程的正数解． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为m，求m的值． 21. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题： （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 22. 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 （2）已知：，则 ； （3）已知，求x的值． 23. 某农场有一块空地，空地上有一面长为的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为的门，已知木栏总长为． （1）如图1，当 时，设长为． ①请用含x的代数式表示的长，并写出x的取值范围； ②若围成的菜地的面积为求的长； （2）如图2，当时，请通过计算说明围成的菜地的面积能否为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $