26.3二次函数与一元二次方程（同步练习）-2026-2027学年人教版九年级上册数学

26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习 一、单项选择题（第 1~10 题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，抛物线 y = x² - 4x + 3 与 x 轴交于两点，则方程 x² - 4x + 3 = 0 的解是（　　） A．x = 1 或 x = 3　　B．x = -1 或 x = -3 C．x = 0 或 x = 3　　D．x = 1 或 x = -3 2．抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴的交点个数，可以由一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的（　　）判断 A．二次项系数　　B．两根之和 C．根的判别式　　D．两根之积 3．如图，抛物线 y = x² + 2x + 1 与 x 轴的公共点个数是（　　） A．0 个　　B．1 个　　C．2 个　　D．无法确定 4．一元二次方程 x² - 2x + 3 = 0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 5．如图，抛物线 y = x² - 1 与 x 轴交于 A、B 两点，则线段 AB 的长为（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 6．若二次函数 y = x² + bx + c 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 b² - 4c 的值为（　　） A．大于 0　　B．等于 0　　C．小于 0　　D．不确定 7．已知抛物线 y = x² - 2x - 3 与 x 轴交于点 A、B，则 △OAB（O 为原点）的面积是（　　） A．3　　B．4　　C．6　　D．8 8．如图，抛物线 y = -x² + 2x + 3 与 x 轴交于 (-1, 0) 和 (3, 0)，则不等式 -x² + 2x + 3 > 0 的解集是（　　） A．x < -1 或 x > 3　　B．-1 < x < 3 C．x > 3　　D．x < -1 9．抛物线 y = x² + 2x + m 与 x 轴有两个不同的公共点，则 m 的取值范围是（　　） A．m > 1　　B．m < 1　　C．m ≤ 1　　D．m ≥ 1 10．下列关于二次函数与一元二次方程关系的说法中，正确的是（　　） A．抛物线与 x 轴有两个交点，则对应方程有两个相等的实数根 B．抛物线与 x 轴没有交点，则对应方程没有实数根 C．抛物线与 x 轴有一个交点，则判别式大于 0 D．抛物线与 x 轴的交点个数与判别式无关 二、多项选择题（第 11~15 题，每小题 4 分，共 20 分） （说明：全部选对得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。） 11．关于二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与 x 轴的交点，下列说法正确的有（　　） A．当 b² - 4ac > 0 时，图象与 x 轴有两个交点 B．当 b² - 4ac = 0 时，图象与 x 轴有一个交点 C．当 b² - 4ac < 0 时，图象与 x 轴没有交点 D．交点个数与二次项系数 a 的正负无关 12．如图，抛物线 y = x² - 2x - 3 与 x 轴交于点 A、B，顶点为 P。下列结论正确的有（　　） A．方程 x² - 2x - 3 = 0 的解是 x = -1 或 x = 3 B．AB 的长为 4 C．顶点 P 的坐标为 (1, -4) D．不等式 x² - 2x - 3 < 0 的解集是 x < -1 13．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的有（　　） A．x² - 5x + 6 = 0 B．x² - 2x + 1 = 0 C．x² + x - 6 = 0 D．x² - 3x + 5 = 0 14．已知抛物线 y = x² - 4x + 3 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C。下列结论正确的有（　　） A．A、B 两点的坐标分别为 (1, 0)、(3, 0) B．点 C 的坐标为 (0, 3) C．△ABC 的面积为 3 D．抛物线的对称轴为直线 x = 2 15．如图，抛物线 y = -x² + 4x 与 x 轴交于原点 O 和点 A，顶点为 B，则下列结论正确的有（　　） A．点 A 的坐标为 (4, 0) B．顶点 B 的坐标为 (2, 4) C．当 0 < x < 4 时，y > 0 D．当 x > 2 时，y 随 x 的增大而增大 三、填空题（第 16~20 题，每小题 2 分，共 10 分） 16．一元二次方程 x² - 3x + 2 = 0 的两个根是 x₁ = ＿＿＿＿，x₂ = ＿＿＿＿。 17．抛物线 y = x² - 4x + 4 与 x 轴的公共点个数是 ＿＿＿＿ 个。 18．若抛物线 y = x² + 2x + k 与 x 轴没有公共点，则 k 的取值范围是 ＿＿＿＿。 19．如图，抛物线 y = x² - x - 6 与 x 轴交于 A、B 两点，则线段 AB 的长为 ＿＿＿＿。 20．如图，抛物线 y = x² - 2x - 3 与直线 y = 5 交于 A、B 两点，则线段 AB 的长为 ＿＿＿＿。 四、简答题（第 21~22 题，每小题 10 分，共 20 分） 21．如图，抛物线 y = x² + 2x - 3 与 x 轴交于点 A、B，顶点为 P。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求顶点 P 的坐标及 △PAB 的面积。 22．已知二次函数 y = x² - 4x + m（m 为常数）。 （1）若它的图象与 x 轴有两个不同的公共点，求 m 的取值范围； （2）若它的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值，并写出这个公共点的坐标。 五、材料分析题（第 23~24 题，每小题 10 分，共 20 分） 23．材料：二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与 x 轴的公共点个数，与一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根的判别式 Δ = b² - 4ac 有确定的对应关系：Δ > 0 时有两个公共点，Δ = 0 时有一个公共点，Δ < 0 时没有公共点。 如图，给出了三种情况对应的图象。 （1）分别写出三种情况下对应的一元二次方程根的情况； （2）已知抛物线 y = x² - 6x + 9 与 x 轴只有一个公共点，请通过计算 Δ 加以验证；再把这条抛物线向上平移 2 个单位，判断平移后的抛物线与 x 轴的公共点个数。 24．材料：利用二次函数的图象可以求一元二次不等式的解集——先把不等式化为 ax² + bx + c > 0（或 < 0）的形式，再观察抛物线在 x 轴上方（或下方）的部分所对应的 x 的取值范围。 如图，抛物线 y = -x² + 2x + 8 与 x 轴交于点 A(-2, 0)、B(4, 0)，顶点为 P(1, 9)。 （1）直接写出 -x² + 2x + 8 > 0 的解集； （2）直接写出 -x² + 2x + 8 < 0 的解集，并求 △PAB 的面积。 《26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习》参考答案与评分标准 （人教版·数学九年级上册　　满分 100 分　　时间 45 分钟） 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．A　【解析】抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应方程的根，由图得 x = 1 或 x = 3。 2．C　【解析】交点个数由判别式 Δ = b² - 4ac 的符号决定。 3．B　【解析】Δ = 4 - 4 = 0，图象与 x 轴只有一个公共点 (-1, 0)。 4．C　【解析】Δ = (-2)² - 4 × 1 × 3 = 4 - 12 = -8 < 0，方程没有实数根。 5．B　【解析】令 y = 0 得 x = ±1，A(-1, 0)、B(1, 0)，AB = 2。 6．B　【解析】与 x 轴只有一个公共点 ⇔ 判别式为零，即 b² - 4c = 0。 7．C　【解析】令 y = 0 得 (x - 3)(x + 1) = 0，A(-1, 0)、B(3, 0)，AB = 4；抛物线交 y 轴于 (0, -3)，S = ½ × 4 × 3 = 6。 8．B　【解析】抛物线开口向下，在 x 轴上方（y > 0）的部分对应的 x 在两根之间，即 -1 < x < 3。 9．B　【解析】Δ = 4 - 4m > 0，解得 m < 1。 10．B　【解析】两个交点 ⇔ 两个不相等的实数根；一个交点 ⇔ Δ = 0；D 显然错误。 二、多项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 11．ABCD　【解析】A、B、C 是判别式与交点个数的对应关系；D 中交点个数只取决于 Δ，与开口方向无关。 12．ABC　【解析】D 错：x² - 2x - 3 < 0 的解集是 -1 < x < 3。 13．AC　【解析】A 的 Δ = 25 - 24 = 1 > 0，C 的 Δ = 1 + 24 = 25 > 0；B 的 Δ = 0，D 的 Δ = 9 - 20 = -11 < 0。 14．ABCD　【解析】令 y = 0 得 (x - 1)(x - 3) = 0，A、B 正确；令 x = 0 得 C(0, 3)；S = ½ × 2 × 3 = 3；对称轴为直线 x = 2。 15．ABC　【解析】y = -x² + 4x = -(x - 2)² + 4，D 错：开口向下，当 x > 2 时 y 随 x 的增大而减小。 三、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 16．x₁ = 1，x₂ = 2　【解析】因式分解得 (x - 1)(x - 2) = 0。 17．1　【解析】Δ = 16 - 16 = 0，与 x 轴只有一个公共点 (2, 0)。 18．k > 1　【解析】没有公共点 ⇔ Δ = 4 - 4k < 0，解得 k > 1。 19．5　【解析】令 y = 0 得 (x - 3)(x + 2) = 0，A(-2, 0)、B(3, 0)，AB = 5。 20．6　【解析】令 x² - 2x - 3 = 5，得 x² - 2x - 8 = 0，因式分解得 (x - 4)(x + 2) = 0，∴ x = 4 或 x = -2，即 A(-2, 5)、B(4, 5)，AB = 4 - (-2) = 6。 四、简答题（每小题 10 分，共 20 分） 21．（1）令 y = 0，得 x² + 2x - 3 = 0，因式分解得 (x + 3)(x - 1) = 0， 　　　 ∴ x = -3 或 x = 1，即 A(-3, 0)、B(1, 0)。　　　　　　　（5 分） 　 （2）y = x² + 2x - 3 = (x + 1)² - 4，∴ 顶点 P(-1, -4)。 　　　 AB = 1 - (-3) = 4，点 P 到 x 轴的距离为 4， 　　　 ∴ S(△PAB) = ½ × 4 × 4 = 8。　　　　　　　　　　　　（5 分） 22．（1）Δ = (-4)² - 4m = 16 - 4m。 　　　 ∵ 图象与 x 轴有两个不同的公共点，∴ Δ > 0，即 16 - 4m > 0，解得 m < 4。　（5 分） 　 （2）∵ 图象与 x 轴只有一个公共点，∴ Δ = 0，即 16 - 4m = 0，解得 m = 4。 　　　 此时 y = x² - 4x + 4 = (x - 2)²，令 y = 0 得 x = 2， 　　　 ∴ 公共点的坐标为 (2, 0)。　　　　　　　　　　　　（5 分） 五、材料分析题（每小题 10 分，共 20 分） 23．（1）Δ > 0 时方程有两个不相等的实数根；Δ = 0 时方程有两个相等的实数根；Δ < 0 时方程没有实数根。　　　　　　　　　　　　　　　　　（4 分） 　 （2）在 y = x² - 6x + 9 中，a = 1，b = -6，c = 9， 　　　 ∴ Δ = (-6)² - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0， 　　　 说明方程 x² - 6x + 9 = 0 有两个相等的实数根，即抛物线与 x 轴只有一个公共点，与已知一致。 　　　 向上平移 2 个单位后解析式为 y = x² - 6x + 11， 　　　 Δ = (-6)² - 4 × 1 × 11 = 36 - 44 = -8 < 0， 　　　 ∴ 平移后的抛物线与 x 轴没有公共点。　　　　　　　　（6 分） 24．（1）抛物线在 x 轴上方（y > 0）的部分对应的 x 在两根之间， 　　　 ∴ -x² + 2x + 8 > 0 的解集是 -2 < x < 4。　　　　　　　　（4 分） 　 （2）由图象可知，当 x < -2 或 x > 4 时抛物线在 x 轴下方， 　　　 ∴ -x² + 2x + 8 < 0 的解集是 x < -2 或 x > 4。 　　　 AB = 4 - (-2) = 6，点 P 到 x 轴的距离为 9， 　　　 ∴ S(△PAB) = ½ × 6 × 9 = 27。　　　　　　　　　　　　（6 分） 评分标准速查 题型 题号 分值 说明 单项选择 1 ~ 10 30 分 每小题 3 分 多项选择 11 ~ 15 20 分 每小题 4 分；选对但不全得 2 分，错选得 0 分 填空题 16 ~ 20 10 分 每小题 2 分 简答题 21 ~ 22 20 分 每小题 10 分，按步骤给分 材料分析题 23 ~ 24 20 分 每小题 10 分，按步骤给分 合计 1 ~ 24 100 分 30 + 20 + 10 + 20 + 20 = 100 分 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $