第一次月考押题重难点检测卷 （考试范围：三角形+特殊三角形）-2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形+特殊三角形全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列垃圾分类的图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 7．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 9．（2025八年级上·浙江舟山·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 甲 乙 甲 表格记录了两人游戏的部分过程． 若第轮甲添加，则甲必胜；若第轮甲添加，则甲获胜；若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜；若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最少四轮必分胜负． 以上说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27八年级上·浙江金华·期中）若，，，则________． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点，点和点为对称点，若，则的度数为_____度． 14．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 15．（2026·浙江·模拟预测）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若，两地之间的距离为千米，甲行走的路线为千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为________千米．（写出一个合理的答案即可） 16．（25-26八年级上·浙江丽水·期中）如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第1次操作，折痕到的距离记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第2次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去…，经过第2022次操作后得到的折痕，到的距离记为；若，则的值为______． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（26-27八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，，．求证：． 18．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，已知与关于直线l对称．请在图中画出（点A，B，C的对称点分别为点，，）． 19．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 20．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，与相交于点．． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴（④）． ∴（⑤）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 21．（26-27八年级上·浙江绍兴·期中）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． (1)如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置， ①若，，求的度数； ②若平分，证明：； (2)如图②，若点落在四边形的边下方时，若的度数与图①中的度数相同，均为，则相对于图①，的度数增大了____________（用含的式子表达）． 22．（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．        B．        C．        D． (2)求得的取值范围是________． A．        B． C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 23．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 如图，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”），该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成．某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式，并将其命名为“弦图不等式”． (1)以下是他们的发现过程，请结合上图补全他们的思考： 设直角三角形的两条直角边分别为、， ①大正方形的面积可表示为________，四个直角三角形的面积和可表示为________（用含有和的字母表示）； ②如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ③如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ④综上所述，可得到“弦图不等式”． (2)若，时，请利用“弦图不等式”，求代数式（）的最小值，并求出此时的值； (3)为保障年深圳会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区．如图，停放区面积为（即长方形的面积），其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则、、三条边的和的最小值是多少？若一辆纪念款单车长度为，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内． 24．（25-26八年级上·浙江衢州·阶段练习）【问题探究】 (1)如图1，点P为线段垂直平分线l上的一点，连接、．若，则的度数是________． (2)如图2，在和中，点C在线段上，，，．那么与相等，为什么？ 【问题解决】 (3)如图3，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田（周围空地可利用），其中，、是其内部的两条灌溉水渠，点D、E分别是线段、上的定点．现计划对该花田进行改造，在上取点F，满足，以F为顶点，在下方作，且、连接，分别交线段、于点M、N，计划在和区域分别种植郁金香和紫罗兰．连接线段、修建栅栏，根据设计要求：．为合理预算，需确定线段、之间的数量关系．请你帮助管理人员确定、之间的数量关系，并说明理由．（水渠的宽度、栅栏的厚度均忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形+特殊三角形全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列垃圾分类的图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系，求解即可； 【详解】解：A．，能组成三角形； B．，不能组成三角形； C．，不能组成三角形； D．，不能组成三角形； 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换即可． 【详解】解：∵原命题为“如果，那么”， ∴逆命题为如果 ，那么 ， 故选：B 4．（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：∵题目要求作中边上的高， ∴该高线应过顶点，且垂直于边所在的直线， 、过点作交的延长线于点，符合定义，符合题意． 、作的是，不是三角形边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意． 5．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】该题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义得出，根据，得出，等量代换得到，则，根据，，结合的周长，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的周长， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 9．（2025八年级上·浙江舟山·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 甲 乙 甲 表格记录了两人游戏的部分过程． 若第轮甲添加，则甲必胜；若第轮甲添加，则甲获胜；若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜；若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最少四轮必分胜负． 以上说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法逐个判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 当前条件为，和 ， 若甲添加 ，此时两个三角形由两组边相等，一组角相等，下一轮无论添加边或者角都可以利用或或证明全等，所以甲必胜， ∴，符合题意； 若甲添加，满足角角边，能判定全等，甲输乙胜， ∴错误，不符合题意； 若乙第二轮添加 为，则第三轮甲无论添加何条件，均能判定全等，甲输乙胜， ∴正确，符合题意； 若第轮乙添加条件修改为，则第三轮和第轮只能添加 或其中之一，否则都会有边边边或边角边来判定全等， ∴游戏最多四轮必分胜负， ∵原选项中“此游戏最少四轮必分胜负” ∴错误，不符合题意； 综上，正确的是， 故选：． 10．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27八年级上·浙江金华·期中）若，，，则________． 【答案】 【详解】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 【答案】 【分析】借助网格作出与全等的三角形，一共可以作出三个三角形，所以符合条件的点最多有个． 【详解】解：如下图所示， 一共可以作出三个三角形与全等， 符合条件的点最多有个． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点，点和点为对称点，若，则的度数为_____度． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，关于直线对称的两个图形全等，对应角相等，由点A和点D为对称点可知与是对应角，从而得出，代入数值即可． 【详解】解：∵蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点， ∴与是对应角， ∴． 14．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 15．（2026·浙江·模拟预测）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若，两地之间的距离为千米，甲行走的路线为千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】延长、交于点，连接，证明得到，，推出千米，由三角形的三边关系得，，推出，由，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，连接， 由题意可得千米，千米， ，，， ， ，， 千米， ，， ， 即， ， ， ， ， 乙行走的路线可能为（答案不唯一）． 16．（25-26八年级上·浙江丽水·期中）如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第1次操作，折痕到的距离记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第2次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去…，经过第2022次操作后得到的折痕，到的距离记为；若，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据折叠性质和中点关系，求出三角形顶点到的总高度，再依次写出、、，归纳出距离的通项公式，最后代入求解． 【详解】解：连接， 是中点，由折叠可知：， ． 根据直角三角形判定，可得，即． 又根据折叠性质有， 所以，到距离， 设到的距离为，由中位线性质：， 顶点到的总距离：． 第1次操作：； 第2次操作，为中点，同理新折痕到的距离为， ； 第3次操作：； 归纳规律：第次操作后：， 代入：． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（26-27八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：因为，， 所以，即， 又因为， 所以， 所以． 【分析】首先得到，然后证明，即可得到． 【详解】略 18．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，已知与关于直线l对称．请在图中画出（点A，B，C的对称点分别为点，，）． 【答案】 解：如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查轴对称的定义，画出轴对称图形是解题的关键． 首先找到点A，B，C关于直线l的对称点，，，再依次连接点，，即可得到． 【详解】略 19．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)如图，直线即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【详解】（1）略 （2）略 20．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，与相交于点．． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴（④）． ∴（⑤）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 【答案】①；②；③1；④全等三角形的对应角相等（或全等三角形的性质）；⑤等角对等边；⑥ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 依据“”判定和全等得，再根据等角对等边得，然后根据即可得出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴1（④全等三角形的对应角相等（或全等三角形的性质））． ∴（⑤等角对等边）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）全等三角形的对应角相等；（5）等角对等边；（6）． 21．（26-27八年级上·浙江绍兴·期中）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． (1)如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置， ①若，，求的度数； ②若平分，证明：； (2)如图②，若点落在四边形的边下方时，若的度数与图①中的度数相同，均为，则相对于图①，的度数增大了____________（用含的式子表达）． 【答案】(1) ① ②平分 又根据折叠有，， (2) 【分析】（1）①根据折叠有：，，再利用三角形内角和为以及平角为，计算即可求解；②根据角的平分线可得，再根据①中所涉及的知识和方法即可证明； （2）针对图①，结合折叠的性质、三角形内角和为以及平角为，利用和x表示出，再针对图②，利用同样的方法表示出，二者相减，即可求解． 【详解】（1）解：①根据折叠有：，， ，，，， ，， ； ②详解见答案； （2）针对图①，根据折叠有：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 针对图②，根据折叠有：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 则相对于图①，的度数增大的度数为：． 22．（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．        B．        C．        D． (2)求得的取值范围是________． A．        B． C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【答案】(1)B (2)C (3)6 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到，然后利用证明； （2）由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长，交于点F，证明，得到，，然后利用垂直平分线性质求解． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴由已知和作图能得到的理由是； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，交于点F， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 23．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 如图，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”），该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成．某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式，并将其命名为“弦图不等式”． (1)以下是他们的发现过程，请结合上图补全他们的思考： 设直角三角形的两条直角边分别为、， ①大正方形的面积可表示为________，四个直角三角形的面积和可表示为________（用含有和的字母表示）； ②如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ③如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ④综上所述，可得到“弦图不等式”． (2)若，时，请利用“弦图不等式”，求代数式（）的最小值，并求出此时的值； (3)为保障年深圳会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区．如图，停放区面积为（即长方形的面积），其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则、、三条边的和的最小值是多少？若一辆纪念款单车长度为，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内． 【答案】(1)①，；②；③ (2)代数式的最小值为8，此时 (3)剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区 【分析】（1）根据勾股定理得到，即可表示出大正方形的面积．根据三角形的面积公式即可表示出四个直角三角形的面积和； （2）根据“弦图不等式”求解即可； （3）方法一：当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为，根据“弦图不等式”得到周长，此时，求解即可； 方法二：当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为，则周长，，由，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①由勾股定理可得， ∴． ∵， ∴四个直角三角形的面积和为． ②如图，当时，则大正方形的面积＞四个直角三角形面积和； ③如图，当时，则大正方形的面积＝四个直角三角形面积和； （2）解：当，时，则 即 ∴当时，取得最小值8， 解得， 经检验，是原分式方程的解． （3）解：方法一： 当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为． ∵， ∴， ∴由题意可得，、、三条边的长度和， 此时 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， ∴能将车辆放进停车区内， 答：剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区． 方法二： 当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为． 由题意可得，、、三条边的长度和， ， ， 此时， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区． 24．（25-26八年级上·浙江衢州·阶段练习）【问题探究】 (1)如图1，点P为线段垂直平分线l上的一点，连接、．若，则的度数是________． (2)如图2，在和中，点C在线段上，，，．那么与相等，为什么？ 【问题解决】 (3)如图3，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田（周围空地可利用），其中，、是其内部的两条灌溉水渠，点D、E分别是线段、上的定点．现计划对该花田进行改造，在上取点F，满足，以F为顶点，在下方作，且、连接，分别交线段、于点M、N，计划在和区域分别种植郁金香和紫罗兰．连接线段、修建栅栏，根据设计要求：．为合理预算，需确定线段、之间的数量关系．请你帮助管理人员确定、之间的数量关系，并说明理由．（水渠的宽度、栅栏的厚度均忽略不计） 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据垂直平分线得到，根据等边对等角得到，再根据三角形内角和求即可； （2）证明，即可得到； （3）先证明，得到，再证明，得到． 【详解】（1）解：∵点P为线段垂直平分线l上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $