精品解析：安徽宿城第一初级中学2026-2027学年九年级第一学期综合素养一数学试卷

安徽省宿州市埇桥区宿城第一初级中学2026-2027学年 九年级第一学期综合素养（一）数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 矩形的四条边都相等 C. 菱形的四个内角都相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故A错误； B．矩形仅对边相等，四条边不一定都相等，故B错误； C．菱形仅对角相等，四个内角不一定都相等，故C错误； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，故D正确． 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 3. 如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是( ) A. 112.5度 B. 120度 C. 115度 D. 135度 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质求得，从而根据三角形外角的性质得到，根据等边对等角求出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 5. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明，根据全等的性质得到边的关系，从而求出点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 过点作轴于点， ， ∴， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6. 如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“菱形对角线互相垂直且互相平分”得点是的中点，根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”得，在中，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点，， ∴，，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ ． 7. 如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 8. 如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的性质得出，，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据的周长为，求出，利用勾股定理求出，进而求出，根据三角形中位线的性质即可求出的长． 【详解】解：∵正方形中，对角线与相交于点， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 9. 如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B. 当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D. 当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形和矩形的判定．连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到四边形为平行四边形，再根据菱形和矩形的判定定理，解答即可． 【详解】解：如图，连接， 若E，F，G，H分别是上的点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D选项错误，符合题意； 当时， ∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； 当时，， ∴四边形为矩形，故B选项正确，不符合题意； 若E，F，G，H不是各边中点， 当时，四边形为平行四边形，故C选项正确，不符合题意； 故选：D 10. 如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①，四边形是正方形，则有，，证明，则可以得到，那么． ②可以得到，因此． ③可以得到，正方形可知，，因此． ④已知，要证明始终是等腰直角三角形，则只需要得到． 【详解】①解：四边形是正方形，且正方形的边长为， ，，， ，，， ， ． ， ， ， ，，， ，故①正确． ②解：由①可知，， ， ，故②正确． ③解：， ， 又四边形是正方形， ，， ， ，故③正确． ④解：， ， 又， ， 因此始终是等腰直角三角形，故④正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③④． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程中二次项系数不能为0、未知数的最高次数为2，即可求解． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：3． 12. 如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是______．（填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定是解决问题的关键．先由平行四边形性质，结合题意得到，，进而判定四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是的平行四边形是矩形；分别考虑添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则，， ， ， 在四边形中，，，则四边形是平行四边形， ①当时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或者，均可使四边形是矩形； ②当或或或时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或或或，均可使四边形是矩形； 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，，垂足分别为、，连接，则的长最小为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质，结合，，可得四边形为矩形，根据矩形的对角线相等，结合垂线段最短，利用面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ∴的最小值就是的最小值， 点从点沿着往点移动， ∴当时，取最小值， ，，， ∴， ， ． 的长度最小为． 14. 如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F． （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 【答案】 ①. ##90度 ②. 【解析】 【分析】（1）由翻折可得，，则，根据，可得，即． （2）根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理列出方程，解得，进而可得出答案． 【详解】解：（1）由翻折可得，， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）四边形为菱形， ， ， 由翻折可得，，，， 点是的中点， ， ， 即点与点重合． ， 点，，三点在同一条直线上． 过点作，交的延长线于点． ，， ，， ，， 由翻折可得，， 设， 则，， 由勾股定理可得， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 三、本小题共2题，每小题8分，共16分 15. 用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴，． 16. 如图，在中，，点D、E分别为中点，连接并延长至点F，使得，连接．求证：四边形为矩形． 【答案】 证明：∵点D、E分别为中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】根据中点的意义及三角形中位线性质可得，再利用平行四边形的判定定理及矩形的判定定理证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了中点的意义及三角形中位线性质，平行四边形的判定定理及矩形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 四、本小题共2题，每小题8分，共16分 17. 已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形． 【答案】 证明：∵BE=2DE，EF=BE， ∴EF=2DE． ∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴BC=2DE且 ∴EF=BC． 又 ∴四边形BCFE是平行四边形． 又EF=BE， ∴四边形BCFE是菱形． 【解析】 【分析】由题意易得，EF与BC平行且相等，可得四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，从而可得四边形BCFE是菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查的是菱形的判定，三角形中位线的应用，掌握以上知识是解题的关键． 18. 如图，在一块长35m，宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m²，道路的宽应为多少？ 【答案】道路宽应为1m 【解析】 【详解】试题分析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 试题解析：设道路的宽应为x米，由题意有 （35-x）（26-x）=850， 整理，得x2-61x+60=0， 解得x1=1，x2=60（不合题意，舍去）． 答：道路的宽应为1米. 考点：一元二次方程的应用． 五、本小题共2题，每小题10分，共20分 19. 已知关于的方程． （1）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），方程的另一根为 （2） 证明：是一元二次方程， ， 无论取何实数，总有， ， 方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键； （1）把代入方程即可求得k，然后解这个方程即可； （2）根据进行判断； 【小问1详解】 解：把代入方程，得， 解得， 此时方程可化为， 解得，． 方程的另一根为； 【小问2详解】 略 20. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：四边形为正方形， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形，可证得，即可得证； （2）求得，再根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 菱形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，熟知对角线互相垂直平分的四边形是菱形是解题的关键． 六、本小题12分 21. 为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得， 当时，时，． 综上，原方程的解为． 这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）解方程：； （2）已知实数满足：，求的值； （3）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数． 【答案】（1） （2） （3）四个正整数解为：9，10，11，12 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的解一元二次方程的运算，解题的关键是掌握“换元法”． （1）利用“换元法”进行求解即可； （2）利用“换元法”进行求解即可； （3）假设这四个正整数中最小的为，根据题意列出方程，然后利用“换元法”进行求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， ∴原方程为， 解得，， 当时，，此时无解； 当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：令， ∴原方程为， 解得，， 当时，， ∴； 当时，，此时无解； ∴的值为； 【小问3详解】 解：假设这四个正整数中最小的为，根据题意得， ， 令， ∴原方程为 解得，， 当时，， ∵， ∴该方程无解； 当时，， 解得，， 当时，不符合题意，舍去； 当时，四个正整数解为：9，10，11，12． 七、本小题12分 22. 如图，在矩形中，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点的运动时间为．     （1）求当为何值时，四边形是正方形； （2）求当为何值时，； 【答案】（1）8 （2）6 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由菱形的性质得出，根据正方形的判定可得出答案； （2）由矩形的性质得，，进而证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定及勾股定理即可得解． 【小问1详解】 解：由已知可得， ∴， 若，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴时，四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵在矩形中，， ∴，， 由已知可得，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∵， ∴， ∴时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形， 即当时，． 八、本小题14分 23. 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作于G，延长BG至点F使． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG； （3）在Rt△ABG中，分别求出BG、AG即可解决问题； 【详解】（1）证明：因为ABCD是正方形 所以 在三角形BGA中， 因为 （2）过点C作， 因为ABCD是正方形， 所以AB=BC， 由（1） 所以 在三角形CHF中， ， 所以． （3）在三角形CHF中， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省宿州市埇桥区宿城第一初级中学2026-2027学年 九年级第一学期综合素养（一）数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 矩形的四条边都相等 C. 菱形的四个内角都相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是( ) A. 112.5度 B. 120度 C. 115度 D. 135度 4. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B. 当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D. 当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 10. 如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则_________． 12. 如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是______．（填一个条件即可） 13. 如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，，垂足分别为、，连接，则的长最小为______． 14. 如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F． （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 三、本小题共2题，每小题8分，共16分 15. 用配方法解下列方程： （1）； （2）． 16. 如图，在中，，点D、E分别为中点，连接并延长至点F，使得，连接．求证：四边形为矩形． 四、本小题共2题，每小题8分，共16分 17. 已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形． 18. 如图，在一块长35m，宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m²，道路的宽应为多少？ 五、本小题共2题，每小题10分，共20分 19. 已知关于的方程． （1）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 20. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的边长． 六、本小题12分 21. 为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得， 当时，时，． 综上，原方程的解为． 这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）解方程：； （2）已知实数满足：，求的值； （3）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数． 七、本小题12分 22. 如图，在矩形中，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点的运动时间为．     （1）求当为何值时，四边形是正方形； （2）求当为何值时，； 八、本小题14分 23. 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作于G，延长BG至点F使． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求AB的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $