精品解析：安徽省淮北市第一中学2024—-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与相同的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 有最低点 D. 对称轴是x轴 4. 若关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 5. 若点，，都在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，点，，，在轴上，若满足以下条件：①函数图象与轴负半轴相交；②当，随的增大而减小，则坐标系的原点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，，则的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架的最大面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ） A. 或1 B. C. 1 D. 5 10. 如图，中，，，直线经过点B且直线，直线从点B出发以的速度沿向右匀速移动，直到直线过点C时停止移动．移动过程中，直线交于点M，交或于点N，设的面积为，直线运动时间为，则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_____． 12. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则______． 13. 反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 14. 已知二次函数 （1）若则函数的最大值为_______． （2）若当时，的最大值为5，则的值为_______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知函数是关于的二次函数，求的值． 16. 已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（1，0）和（4，﹣3）两点．求这个二次函数的表达式． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． （1）当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ （2）明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 18. 已知及的图象如图所示 （1）当______时，； （2）当______时，； （3）当______时，． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m取何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点； （2）取一个你喜欢的m的值，并求出此时函数图象与x轴的交点坐标． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，与 轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积． 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，喷出的水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，水流的路线是抛物线的一部分，落点距离喷水柱底端处米． （1）写出水流到达的最大高度，并求的值； （2）在保证水流形状不变的前提下，调整喷水柱的高度，使水流落在宽（）为米，内侧（点）距点为4米的环形区域内（含，），直接说出喷水柱的高度是变大还是变小，并求它变化的高度（米）的取值范围． 八、解答题（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数； （3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（是常数，），叫做二次函数． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上． 【详解】解：A、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意； B、，所以，点在函数图象上，故本选项符合题意； C、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意； D、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 抛物线与相同的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 有最低点 D. 对称轴是x轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质分析即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，有最低点； ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为y轴，有最高点． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 4. 若关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴， ∴四个选项中只有B选项中的数不满足， 故选B． 5. 若点，，都在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数图象是两支曲线，时，位于二四象限，在各自象限内，y随x的增大而增大．理解图象增减性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴图象在二四象限， ∵， ∴； 故选：D 6. 已知二次函数的图象如图所示，点，，，在轴上，若满足以下条件：①函数图象与轴负半轴相交；②当，随的增大而减小，则坐标系的原点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 由条件①可确定轴在抛物线与轴的两个交点之间，由条件②可确定轴在顶点左侧，进而求解． 【详解】解：函数图象与轴负半轴相交， 轴在抛物线与轴的两个交点之间， 点，可能是原点， 当时，随的增大而减小， 轴在抛物线顶点左侧， 点可能是原点． 故选：B． 7. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，，则的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，先求出反比例函数表达式，进而求出点B的坐标，再根据利用函数图像与不等式的关系解不等式即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图像交于点，， ， ∴当时，， ，， 的解集是指一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的自变量的范围，即或， 故选：C． 8. 如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值是解题的关键．用含的代数式表示横档的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积． 【详解】解：为米，则， ， 当时，取得最大值4； 长方形框架的面积最大为． 故选：A 9. 已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ） A. 或1 B. C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】，由对称轴在y轴左侧可得，即，由题意知，平移后的抛物线解析式为，将代入得，计算求出满足要求的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 由题意知，平移后的抛物线解析式为， 将代入得，整理得，， 解得或（舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10. 如图，中，，，直线经过点B且直线，直线从点B出发以的速度沿向右匀速移动，直到直线过点C时停止移动．移动过程中，直线交于点M，交或于点N，设的面积为，直线运动时间为，则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点D，由含30度直角三角形的性质及勾股定理可求得BD的长，由等腰三角形的性质可得BC的长；分及两种情况，即l在AD左边或与AD重合及在AD右边两种情况考虑，分别由含30度直角三角形的性质及勾股定理可求得MN的长，从而由三角形面积公式即可求得S关于t的函数关系式，最后可得答案． 【详解】过点A作于点D， ∵，， ∴，BC=2BD， ∴， ∴（cm）， ∴（cm）， 分两种情况： （1）当时，如图1，直线l在AD左边或与AD重合， ∵， ∴， 由题意得：cm， 根据勾股定理得， ∴cm， ∴()． ∴函数图象是抛物线位于y轴右侧的一部分，抛物线的开口向上． （2）当时，如图2， ∵， ∴． 由题意得：cm， ∴． 根据勾股定理得． ∴． ∴()． ∴函数图象是抛物线位于对称轴是右侧的一部分，抛物线的开口向下． 故选：C． 【点睛】本题是几何与函数的综合，考查了等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的图象等知识，掌握知识知识是关键，注意分类讨论． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_____． 【答案】（2，5）． 【解析】 【详解】试题分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解． 解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5， ∴顶点坐标为：（2，5）． 故答案为（2，5）． 考点：二次函数的性质． 12. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由函数图象与轴的交点坐标得出其对称轴．先根据和求出二次函数的对称轴，然后根据两点与对称轴的距离结合开口方向进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和 ∴对称轴为 ∵抛物线还经过点和， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线的距离离轴越远，函数值越小， ∴， 故答案为：． 13. 反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接，   ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ， 故答案为：． 14. 已知二次函数 （1）若则函数的最大值为_______． （2）若当时，的最大值为5，则的值为_______． 【答案】 ①. 4 ②. 1或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知函数是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得出一元二次方程和一元一次不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ， 由解得：， 由解得：， ． 16. 已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（1，0）和（4，﹣3）两点．求这个二次函数的表达式． 【答案】二次函数的表达式为y＝x2﹣6x+5． 【解析】 【分析】把两个点的坐标分别代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可． 【详解】解：把（1，0），（4，﹣3）代入y＝x2+bx+c中， 得： ， 解得：， 所以，二次函数的表达式为y＝x2﹣6x+5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． （1）当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ （2）明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 【答案】（1）0.5米 （2）25度 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式为，再把代入求解即可； （2）把代入，求得，再作差即可求解． 【小问1详解】 解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）反比例函数解析式为， 由图可得，当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 答：当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是0.5米． 【小问2详解】 解：当时，， ∴（度）， 答：明明的眼镜度数下降了25度． 18. 已知及的图象如图所示 （1）当______时，； （2）当______时，； （3）当______时，． 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据抛物线与x轴的交点的横坐标结合图象，利用数形结合即可求解； （3）根据抛物线与直线交点的横坐标结合图象，利用数形结合即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴的交点的横坐标分别为和3， ∴当和时，； 故答案为：和； 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴的交点的横坐标分别为和3， ∴当时，； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵抛物线与直线的交点的横坐标分别为0和3， ∴当时，； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m取何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点； （2）取一个你喜欢的m的值，并求出此时函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1） 证明：由，， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴无论取何值，该函数的图象与轴一定有两个交点． （2）答案不唯一 当时，当时，，即， ∴此时函数图象与轴的交点坐标为和． 【解析】 【分析】(1)利用方程根的判别式计算即可． (2)选择一个m的值，计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解方程，熟练掌握方程的根的判别式是解题的关键． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，与 轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法、一次函数和反比例函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）根据进行解题． 【小问1详解】 解：将，代入， 得 ， 解得 ：， ∴一次函数的表达式为：； 将代入， 得：， ∴反比例函数的表达式为 ：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 联立 ， 得 ：， ， ， ， ∴或， 当时，；当时，； ∴点 的坐标为， ∴． 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，喷出的水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，水流的路线是抛物线的一部分，落点距离喷水柱底端处米． （1）写出水流到达的最大高度，并求的值； （2）在保证水流形状不变的前提下，调整喷水柱的高度，使水流落在宽（）为米，内侧（点）距点为4米的环形区域内（含，），直接说出喷水柱的高度是变大还是变小，并求它变化的高度（米）的取值范围． 【答案】（1）米， （2）变大， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的基本性质． （1）利用函数表达式即可得到水流到达的最大高度，根据题意得出点的坐标，利用待定系数法即可求出值； （2）先根据题意求出点、的坐标，设抛物线向上移动米，则函数解析式为，分别将点点、的坐标代入，即可求解． 【小问1详解】 解：水流的路线是抛物线的一部分， 水流到达的最大高度为：米， 根据题意得：， 将代入， 得：， 解得：， 水流到达的最大高度为米，； 【小问2详解】 根据题意得：，，即， 设抛物线向上移动米，则函数解析式为， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， 喷水柱的高度变大，变化的高度（米）的取值范围：． 八、解答题（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数； （3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】（1）该函数的完美点为（-1，-1）和（-2，-2）；（2）y=-x2+4x；（3）2≤m≤4． 【解析】 【分析】（1）根据完美点的定义设该完美点的坐标为（m，m），代入y=x2+4x+2可得关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可得答案； （2）由二次函数的图像上有且只有一个完美点可得ax2+4x+c=x时，方程有两个相等的实数根，可得4ac=9，方程的根为=，可求出a值，进而可求出c值，即可得答案； （3）根据（2）中解析式可得出顶点坐标及对称轴，根据二次函数的增减性即可得m的取值范围． 【详解】（1）设该完美点的坐标为（m，m）， ∵a=1，c=2， ∴二次函数解析式为y=x2+4x+2， ∴m2+4m+2=m， 解得：m1=-1，m2=-2， ∴该函数的完美点为（-1，-1）和（-2，-2）． （2）∵二次函数的图像上有且只有一个完美点， ∴方程ax2+4x+c=x即ax2+3x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=9-4ac=0，即4ac=9， ∵完美点坐标为， ∴方程ax2+3x+c=0的根为=， 解得：a=-1， ∴c=， ∴该函数解析式为y=-x2+4x． （3）∵y=-x2+4x-=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）， ∵-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x的增大而增大， 当y=-3时，-x2+4x-3=-3， 解得：x1=0，x2=4， ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴m的取值范围为：2≤m≤4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及根的判别式，利用数形结合的数学思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $