第7章 证明 单元检测题（1） 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

2026-2027学年北师大版数学八年级上册证明单元检测题（1） 一．选择题（共10小题） 1．如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 2．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠ACD的度数为（　　） A．130° B．120° C．100° D．50° 3．一个三角形三个内角的度数之比是2：5：1，这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．如图，点E，F分别是线段AB，CD上的点，若∠D+∠DFE＝180°，以下判断正确的是（　　） A．AD∥EF B．AD∥BC C．AE∥DF D．BC∥EF 5．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 6．将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α+∠β等于（　　） A．90° B．105° C．100° D．95° 7．如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，BE、CF分别为边AC，AB边上的高，相交于点P，且∠BPC＝110°，则∠BOC的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 8．如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　） A．45° B．55° C．60° D．65° 9．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在△ABC中，BD，BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论正确的有（　　）个． ①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF+∠C； ③∠FEB＝∠ABE+∠C； ④2∠F＝∠BAC﹣∠C． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题） 11．如图，已知AB∥CD，且∠BED＝130°，则∠B+∠D＝________ 度． 12．如图，△ABC中∠ABC＝75°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，则∠C＝ _______ 度． 13．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 ________ ． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝16，BC＝8，点M在边AB上，AM＝6，连接CM，点N在BC的延长线上，连接DN．若DN＝DC，∠DCM＝∠BCM，则线段CN的长为________ ． 15．一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°．若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中点A的位置始终不变），当∠BAD＝_____________ 时，CD∥OB． 三．解答题（共5小题） 16．已知：如图，AC∥DF，直线AF分别与直线BD，CF相交于点G，H，∠1＝∠2．求证：∠C＝∠D． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠1＝∠DGH（①__________ ）， ∴∠2＝②_________ （等量代换）， ∴③_______ ∥④_______ （同位角相等，两直线平行）， ∴∠C＝⑤_________ （⑥________________ ）， 又∵AC∥DF（已知）， ∴∠D＝∠DBA（⑦________________ ）， ∴∠C＝∠D（⑧_________ ）． 17．已知，如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，且∠ADE＝68°，∠B＝105°． （1）求∠DAE的度数； （2）求∠C的度数． 18．如图，已知AB∥CD，点E是射线AB上一动点（与点A不重合），CM、CN分别平分∠ACE和∠DCE，且分别交射线AB于点M、N． （1）当∠A＝50°时，直接填空：∠ACD＝_________ ，∠MCN＝________ ； （2）点E运动过程中，∠AEC：∠ANC的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； （3）当∠A＝3∠ACM，∠CMN＝2∠CNM时，求∠A的度数． 19．如图1，直线MN与直线PQ互相平行，A、B分别是MN和PQ上的两个点，连接AB，在直线AB的右侧取一点C，满足∠ABC＝45°，∠BAC＝30°． （1）如图1，若∠NAC＝2∠CBQ，则∠MAB＝ _______ °； （2）如图2，在直线MN上方平面内取一点F，直线AF交PQ于E，满足∠FBC＝∠QBC，∠EAC＝∠NAC，求∠F． （3）如图3，作∠MAB、∠NAC的平分线AU、AV交PQ于S、T，作射线SW和TW交于W，且使得∠TSW∠TSU，∠STW∠STV，当四边形ASWT的一边与BC平行时，求∠MAB的度数． 20．某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图1所示：AB∥CD，PQ⊥AB，PQ⊥CD，∠MPQ＝∠NQD＝30°，灯P射线从PM开始绕P点逆时针旋转，与此同时，灯Q射线从QN开始绕Q点顺时针旋转．若灯P、灯Q转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足：|a+b﹣6|+（b﹣4）2＝0．设旋转时间为t秒． （1）填空：a＝_____ ，b＝_____ ． （2）在灯Q射线到达QC之前，灯P射线与线段PQ的夹角为____________ 度，灯Q射线与线段PQ的夹角为____________ 度．（均用含t的代数式表示） （3）在（2）的条件下，当两灯射出的光束互相平行时，求t的值． （4）如图2，若两灯同时转动，在灯Q射线到达QD之前，两灯射出的光束交于点E．点F在射线PB上，且∠PQE＝k•∠PEF，则在转动过程中，是否存在一点F，使得∠QEF为定值？若存在，请直接写出k的值和∠QEF的度数；若不存在，请说明理由． 2026-2027学年北师大版数学八年级上册证明单元检测题（1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：如图所示， ∵∠1＝50°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝130°． ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝130°． 故选：B． 2．【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝60°， ∴∠ACD＝∠A+∠B＝130°， 故选：A． 3．【解答】解：∵三角形的内角和为180°，三个内角度数之比为2：5：1， ∴这个三角形最大内角的度数为， ∵112.5°＞90°， ∴该三角形为钝角三角形， 故选：C． 4．【解答】解：由题知， 因为∠D和∠DFE是EF和AD被CD所截形成的同旁内角 则由∠D+∠DFE＝180°可得，AD∥EF， 所以A选项符合题意． 故选：A． 5．【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，原命题是假命题． 故选：C． 6．【解答】解：根据图三角板的度数可得，∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°， ∴∠α+∠β＝45°+60°＝105°， 则∠α+∠β等于105°， 故选：B． 7．【解答】解：∵∠BPC＝110°，CF⊥AB于点F， ∴∠BFP＝90°， ∴∠PBF＝∠BPC﹣∠BFP＝110°﹣90°＝20°，即∠ABE＝20°， 又∵BE⊥AC于点E， ∴∠AEB＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝180°﹣20°﹣90°＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵∠B，∠C的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°， 故选：C． 8．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°， ∴∠ACD＝∠1＝65°， ∵∠2＝∠ACD+∠3，∠2＝120°， ∴120°＝65°+∠3， ∴∠3＝120°﹣65°＝55°， 故选：B． 9．【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 10．【解答】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH， ∴∠DBE＝∠F，故①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确； ③∵∠FEB＝∠EBC+∠C， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠FEB＝∠ABE+∠C，故③正确； ④∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， ∴2∠F＝∠BAC﹣∠C，故④正确； 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：过E点作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D， ∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF＝∠BED＝130°， 故答案为：130． 12．【解答】解：∵折叠， ∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD， ∵∠A＝∠ABD， ∴∠A′＝∠ABD＝∠A′BD， ∵A′D∥BC， ∴∠A′＝∠A′BC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABD＝∠A′BD＝∠A′BC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠A′BD+∠A′BC＝75°， ∴， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣25°﹣75°＝80°， 则∠C的度数为80°， 故答案为：80． 13．【解答】解：由题意可知∠EAD＝90°﹣45°＝45°， ∴根据三角形外角性质，∠FBA＝∠EAD﹣∠F＝45°﹣30°＝15°， 所以∠FBA的度数为15°． 故答案为：15°． 14．【解答】解：过点D作DE⊥CN于点E，过点M作MF⊥CD于点F，连接MD， ∵AB＝16，AM＝6， ∴MB＝16﹣6＝10． ∵∠DCM＝∠BCM，∠B＝90°，MF⊥CD， ∴MF＝MB＝10． ∵DN＝DC，DE⊥CN， ∴CE＝EN， 令CE＝EN＝x， 则BE＝BC+CE＝x+8． ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝90°． 又∵DE⊥CN， ∴四边形ABED是矩形， ∴S矩形ABED＝16（x+8）＝16x+128． ∵，，， ∴S△CDM＝16x+128﹣（3x+24）﹣40﹣8x＝5x+64． 在Rt△CDE中， CD， ∴， ∴， 解得x＝3.6， ∴CN＝2x＝7.2． 故答案为：7.2． 15．【解答】解：如图1，当CD∥OB时，∠AED＝∠O＝90°， ∴∠EAD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝60°﹣45°＝15°； 如图2，当CD∥OB时，过点A作AM∥OB，AM∥CD， ∴∠OAM＝∠O＝90°，∠DAM＝∠D＝30°， ∴∠BAD＝90°+45°+30°＝165°； 故答案为：15°或165°． 三．解答题（共5小题） 16．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠1＝∠DGH （①对顶角相等）， ∴∠2＝②∠DGH （等量代换）， ∴③DB∥④EC．（同位角相等，两直线平行）， ∴∠C＝⑤∠DBA （⑥两直线平行，同位角相等）， 又∵AC∥DF（已知）， ∴∠D＝∠DBA（⑦两直线平行，内错角相等）， ∴∠C＝∠D（⑧等量代换）． 故答案为：①对顶角相等；②∠DGH；③DB；④EC；⑤∠DBA；⑥两直线平行，同位角相等；⑦两直线平行，内错角相等；⑧等量代换． 17．【解答】解：（1）∵DE是△ADC的高， ∴DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣90°﹣68°＝22°； （2）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠DAE＝2×22°＝44°， 在△ABC中，∠BAC＝44°，∠B＝105°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣105°﹣44°＝31°． 18．【解答】解：（1）已知AB∥CD，点E是射线AB上一动点（与点A不重合），CM、CN分别平分∠ACE和∠DCE， ∵∠A＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣∠A＝130°， ∴∠ACM＝∠MCE，∠ECN＝∠NCD， ∴， 故答案为：130°，65°； （2）∠AEC：∠ANC的值不发生变化． 理由如下： ∵CN平分∠DCE， ∴∠DCN＝∠ECN， ∵AB∥CD， ∴∠DCN＝∠ANC， ∴∠AEC＝∠DCE＝2∠ANC， ∴∠AEC：∠ANC＝2∠ANC：∠ANC＝2； （3）当∠A＝3∠ACM，∠CMN＝2∠CNM时，则： ， ∴， ∵AB∥CD，∠CMN＝2∠CNM， ∴， ∵， ∴∠A＝60°． 19．【解答】解：（1）设∠CBQ＝x， ∵∠NAC＝2∠CBQ， ∴∠MAC＝2x， ∴∠MAB＝180°﹣∠BAC﹣∠NAC＝150°﹣2x，∠PBA＝180°﹣∠ABC﹣∠CBQ＝135°﹣x， ∵MN∥PQ， ∴∠MAB+∠PBA＝180°，即150°﹣2x+135°﹣x＝180°， 解得：x＝35°， ∴∠MAB＝80°； （2）过点F作FH∥PQ， 设∠NAC＝α，∠ABQ＝β， ∵MN∥PQ，∠ABC＝45°，∠BAC＝30°， ∴∠NAB+∠ABQ＝180°，即∠NAC+∠BAC+∠ABC+∠CBQ＝180°， ∴∠NAC+∠CBQ＝105°，即α+β＝105°， ∵∠FBC＝∠QBC，∠EAC＝∠NAC， ∴∠EAN＝2α，∠FBQ＝2β， ∵FH∥PQ，MN∥PQ， ∴∠FEQ＝180°﹣∠EAN＝180°﹣2α，∠BFH＝180°﹣∠FBQ＝180°﹣2α∠EFH+∠FEQ＝180°， ∴∠BFH+∠EFB+∠FEQ＝180°， ∴180°﹣2α+180°﹣2β+∠EFB＝180°， ∴∠EFB＝2（α+β）﹣180°＝30°； ∴∠F＝30°； （3）设∠MAS＝m，∠CBQ＝n， ∵AS平分∠MAB， ∴∠MAB＝2m， ∵MN∥PQ， ∴∠AST＝∠MAS＝m， ∴∠TSU＝180°﹣∠AST＝180°﹣m； ∵MN∥PQ，∠ABC＝45°， ∴∠MAB＝∠ABQ＝∠ABC+∠CBQ，即2m＝45°+n， ∴n＝2m﹣45°； ∵AT平分∠NAC，∠BAC＝30°， ∴， ∵MN1PQ， ∴∠ATS＝∠NAT＝75°﹣m， ∴∠STV＝180°﹣∠ATS＝105°+m； 如图，当WTⅡBC时，则， m＝48°，即∠MAB＝96°， 如图，当AS∥BC时，则∠SAB＝∠ABC＝45°， ∴∠MAB＝2∠SAB＝90°； 如图，当SW∥BC时，则∠TSW＝∠TBC， ∵∠TBC＝∠ABC﹣∠ABT，∠ABT＝∠MAB＝2m，∠TSU＝∠ABC﹣∠ABT， 即，解得：m＝5， ∴∠MAB＝2m＝10°； 当AT∥BC时，则∠BAT+∠ABC＝∠BAC+∠CAT＝180°，即45°+30°+75°﹣m＝180°，解得：m＝﹣30°（不符合实际，舍去）； 综上，当四边形ASWT的一边与BC平行时，∠MAB的度数为10°或90°或96°． 20．【解答】解：（1）∵|a+b﹣6|+（b﹣4）2＝0， ∴|a+b﹣6|≥0，（b﹣4）2≥0， ∴， 解得． 故答案为：2，4； （2）如图1， ∵灯P、灯Q转动的速度分别是2度/秒、4度/秒，∠MPQ＝∠NQD＝30°， ∴∠QPM1＝30°+2°t，∠PQN1＝60°+4°t， ∴在灯Q射线到达QC之前， 灯P射线与线段PQ的夹角为（30+2t）度， 灯Q射线与线段PQ的夹角为（60+4t）度； 故答案为：（30+2t），（60+4t）； （3）在（2）的条件下，当两灯射出的光束互相平行时有以下三种情况， 情况一：当PM在PQ的右侧，QN在PQ的左侧时，如图： ∵a＝2，b＝4， ∴∠QPM＝30°+2°t，∠PQN＝360°﹣（60°+4°t）＝300°﹣4°t， ∵PM∥QN ∴∠QPM＝∠PQN ∴30°+2°t＝300°﹣4°t 解得t＝45； 情况二：当PM，QN都在PQ的右侧时，如图， ∵a＝2，b＝4， ∴∠QPM＝30°+2°t，∠PQN＝60°+4°t， ∵PM∥QN ∴∠QPM+∠PQN＝180° ∴30°+2°t+60°+4°t＝180°， 解得t＝15； 情况三：当PM，QN都在PQ的左侧时，如图， ∵a＝2，b＝4， ∴∠QPM＝360°﹣（30°+2°t）＝330°﹣2°t，∠PQN＝360°﹣（60°+4°t）＝300°﹣4°t， ∵PM∥QN ∴∠QPM+∠PQN＝180° ∴330°﹣2°t+300°﹣4°t＝180° 解得t＝75； 又∵在灯Q射线到达QC之前，则（秒）， 综上，当两灯射出的光束互相平行时，t的值为15或45． （4）如图2， 在转动过程中，存在一点F，使得∠QEF为定值．理由： 设灯P射线转动时间为t秒，则∠QPE＝30°+2°t，∠PQE＝60°+4°t ∴∠PEQ＝180°﹣∠QPE﹣∠PQE＝180°﹣（30°+2°t）﹣（60°+4°t）＝90°﹣6°t ∵∠PQE＝k•∠PEF， ∴，即 ∴ ∴当时，在转动过程中，存在一点F，使得∠QEF为定值， 此时，． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $