第四章 指数函数与对数函数（6考点+10易错+易错训练）（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学第四章知识清单系统梳理了指数函数与对数函数内容，涵盖n次方根与指数幂、指数函数性质、对数概念与运算、对数函数性质、零点与二分法、函数模型应用六大知识范畴，搭建从基础概念到性质分析再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点表格化对比”和“易错点分类突破”呈现知识体系，如指数与对数函数性质表直观对比定义域、单调性等，10个易错点（如根式化简忽略范围）配对点训练题，培养数学思维（推理意识、运算能力）和数学语言（模型观念）。学生可自主查漏补缺，教师能据此设计分层教学，提升复习针对性与效率。

第四章 指数函数与对数函数 知识点一 n 次方根与指数幂 1.n 次方根 一般地，如果（且），那么叫做的_____________。 ①为奇数：任意实数都有唯一次方根，记； ②为偶数：，有两个互为相反数的次方根；没有偶次方根； 的任何次方根都是。 2. 根式的概念与性质根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做________，叫做_____________. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 3. 4. 3.分数指数幂（） ① 正分数指数幂： ② 负分数指数幂： ③ 的正分数指数幂等于；的负分数指数幂无意义。 4.实数指数幂运算性质（） ① ；② ；③ 。 5.指数幂的运算中常用的乘法公式 （1）完全平方公式：；； （2）平方差公式：； （3）立方差公式：； （4）立方和公式：； （5）完全立方公式：；． 知识点二 指数函数及其性质 1.指数函数定义 函数（且）叫做指数函数，自变量是，定义域。 2.指数函数图象与性质底数 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 _____________ 值域 过定点 图象过定点_____________，即当x=0时，y=1 单调性 在上是______ 在上是______ 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 3.补充结论 与图象关于______对称； 指数增长模型：；指数衰减模型：。 知识点三 对数的概念与对数运算 1.对数定义 若，则数叫做以为底的______，记作；其中叫做对数的______，叫做______。 指数式与对数互化：。 2.两类特殊对数 名称 定义 记法 常用对数 以______为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 ______ 3. 对数基本性质（） ① ______与没有对数； ② ； ③ ； ④ 对数恒等式：。 4.对数运算性质（） (1) (2) (3) 5.换底公式 常用推论： ；。 知识点四 对数函数及其性质 1.对数函数定义 函数叫对数函数；自变量，定义域。 2.对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 单调性 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是 定点 图象过定点，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于对称 3.反函数 与互为反函数；图象关于直线对称，定义域、值域互换。 知识点五 函数的零点与二分法 1.函数零点 对于，使的实数叫做函数零点。 2.函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3.零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 4.函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 5.二分法 适用条件：函数在连续不断，且； 二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 注意：初始区间的确定要包含函数的变号零点． 6.关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某函数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 知识点六 函数模型的应用 1. 增长速度对比（） 函数性质 在上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 爆炸式增长，增长越来越快 增长越来越慢 增长相对平稳 图象的变化 随的增大，逐渐表现为与轴平行 随的增大，逐渐表现为与轴平行 随值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 2.几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 变化特征 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 匀速增减 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 0先增后减； 先减后增。 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 爆炸增长； 指数衰减。 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 增长速度持续放缓 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 3.建模流程：审题分析实际背景→选择函数模型→求解模型→检验结果是否符合实际。 易错点1 根式化简忽略被开方数隐含范围 易错提醒 1. ，为偶数结果等于，不能直接等于，必须讨论正负； 2.题目有根式，先写出被开方数的隐含条件，再化简； 3.不要直接去掉绝对值，忽略负号，造成化简结果符号错误。 4. 混淆元素顺序，误以为位置不同无需验证，造成答案出错。 【对点训练1】 （25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 易错点2 指数函数、指数型函数忽略值域恒大于0 易错提醒 1.函数值恒大于 0，无论取何实数，； 2.复合指数函数求值域，先求内层函数范围，再结合指数函数单调性； 3.做恒成立、不等式问题，不能忘记指数函数值域下界。 【对点训练2】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 易错点3 根混淆指数函数与幂函数单调性 易错提醒 1. 指数函数：底数固定，自变量在指数位置； 2.幂函数：底数为自变量，指数固定； 3.比较多个数大小时，分清是指数函数还是幂函数，选用对应单调性； 4.中间量常取，做分段比较。 【对点训练3】（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 易错点4 对数式忽略真数、底数的限制条件 易错提醒 1.只要出现，必须同时满足：； 2.解对数方程、对数不等式第一步先写定义域约束； 3.底数含参数，要分、两类讨论单调性。 【对点训练4】（多选）（25-26高三·全国·二轮复习）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 易错点5 对数复合函数忽略定义域，直接套用“同增异减” 易错提醒 1.复合对数函数求单调区间，优先求定义域，再用同增异减； 2.只看内外函数单调性，漏掉真数大于 0，会出现增区间包含无定义部分； 3.最终单调区间必须是定义域子集。 【对点训练5】 （25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 易错点6 函数图象平移、翻折变换规则理解出错 易错提醒 1.“左加右减” 是只针对自变量，不是对整个解析式； ：把图像 x 轴下方翻折到上方； 是偶函数，保留图像，再对称到左侧； 4.区分上下平移、左右平移，平移量作用对象不能混淆。 【对点训练6】（2026•白云区校级期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（　　） A．向左平移1个单位长度的，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度的，再向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度的，再向下平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度的，再向下平移1个单位长度 易错点7 零点存在定理理解片面 易错提醒 1. ⇒连续函数在至少一个零点；不能推出仅有一个零点，需要附加单调性； 2.反过来：函数在有零点，推不出（可以是触碰 x 轴不变号零点）； 3.定理前提条件：图象连续不断，不连续函数不适用零点存在定理。 【对点训练7】（多选）（2026•海安市期末）已知函数的图象在区间，上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（　　） A．若（1），则在内至少有一个零点 B．若（1），则在内没有零点 C．则在内 没有零点，则必有（1） D．若在内有唯一零点，（1），则在上是单调函数 易错点8 嵌套函数（复合方程）零点问题不会换元转化 易错提醒 1.这类嵌套方程，换元令，先解，再回代解； 2.每一个，结合函数图像数解的个数，全部相加才是总零点数； 3.要结合函数值域，判断是否在值域内，避免算出不存在的根。 【对点训练8】（2026•马鞍山期末）已知函数，则方程的解的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 易错点9 指对函数恒成立与有解问题混淆 易错提醒 1.恒成立； 有解； 3.换元之后，注意新元取值范围，不要漏掉换元得到的定义域； 4.区分 “恒成立” 与 “存在有解”，不要把最大最小值搞反。 【对点训练9】（2026•浙江期中）已知函数． （1）当，求函数的定义域； （2）对于，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 易错点10 反函数、指对函数对称关系混淆 易错提醒 1.与关于直线对称，不是 x 轴、y 轴； 2.与关于 y 轴对称；与关于 x 轴对称； 3.求反函数步骤：①解出；②互换；③标注反函数定义域（原函数值域）。 【对点训练10】（25-26•重庆校级同步）的反函数是（　　） A． B． C． D． 1、 单选题 1．（25-26•深圳校级期末）已知a＝0.991.01，b＝1.010.99，c＝log1.010.99，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 2.（25-26•马鞍山期末）已知函数f（x）＝x3+x﹣5，则该函数的零点所在区间为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 3.（25-26•集美区校级期末）已知函数f（x）的图象在R上连续不断，则“f（2）f（4）＜0”是“f（x）在区间（2，4）上有零点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4.（2026•泗水县期末）为了得到函数y＝2x﹣3﹣2的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点（　　） A．向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 5.（2026春•福州期末）已知函数f（x）＝|log3（x﹣1）|，则（　　） A．函数f（x）在区间（1，2）上单调递减 B．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称 C．若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1•x2＝1 D．函数f（x）有且仅有两个零点 6.（25-26•安宁市期末）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a＝0有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（0，3） D．[3，4） 7.（25-26•西安校级月考）已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8.（2026春•雨城区校级期中）已知函数f（x）＝lnx，若关于x的方程f（x）＝kx恰有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．（0，） B．（0，] C．（，） D．（，] 9.（25-26•菏泽期中）已知函数若方程f2（x）﹣2af（x）+4＝0有4个不相等的实数根，则实数a取值范围是（　　） A． B． C．[﹣1，2） D． 2、 多选题 10.（多选）（25-26•同步）下列说法中正确的有（　　） A．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在b2﹣4ac＜0时没有零点 B．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 C．若函数y＝f（x） 在区间（a，b） 上有零点（函数图象连续不断），则f（a）f（b）＜0 D．若函数y＝f（x） 在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0 11.（多选）（25-26•张家口月考）已知函数，则下面几个结论正确的有（　　） A．函数y＝g（x）为偶函数 B．函数y＝g（x）为奇函数 C．函数y＝g（x）在其定义域内单调递减 D．函数y＝g（x）的值域为（﹣1，1） 12.（多选）（25-26•深圳校级月考）关于函数f（x）＝|ln|2﹣x||，下列描述正确的有（　　） A．函数f（x）在区间（1，2）上单调递增 B．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝2 D．函数f（x）有且仅有两个零点 13.（多选）已知函数f（x）＝a•（）|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（　　） A．a＝﹣2，b＝2 B．f（x）的值域为（﹣∞，2） C．若x＜y＜0，则f（x）＜f（y） D．若f（x）＝f（y）且x≠y，则x+y＝0 14.（多选）（25-26•临高县校级期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域R B．值域为（0，2] C．在[﹣2，+∞）上单调递增 D．在[﹣2，+∞）上单调递减 3、 填空题 15.（25-26•丽江校级期末）若命题“存在实数，，使得”是假命题，则实数的取值范围为　　． 16.（25-26•宿豫区校级月考）若关于的方程有两个不等根，则实数的取值范围为 　　． 四、解答题 17.（2026春•驻马店期末）已知，命题：函数的定义域为；命题；关于的不等式在上有解． （Ⅰ）若命题是真命题，求实数的取值范围； （Ⅱ）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围． 18．（2026春•邢台期末）已知函数，． （1）若（a）（a），求的值； （2）若对恒成立，求的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 知识点一 n 次方根与指数幂 1.n 次方根 一般地，如果（且），那么叫做的次方根。 ①为奇数：任意实数都有唯一次方根，记； ②为偶数：，有两个互为相反数的次方根；没有偶次方根；的任何次方根都是。 2. 根式的概念与性质根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 3.分数指数幂（） ① 正分数指数幂： ② 负分数指数幂： ③ 的正分数指数幂等于；的负分数指数幂无意义。 4.实数指数幂运算性质（） ① ；② ；③ 。 5.指数幂的运算中常用的乘法公式 （1）完全平方公式：；； （2）平方差公式：； （3）立方差公式：； （4）立方和公式：； （5）完全立方公式：；． 知识点二 指数函数及其性质 1.指数函数定义 函数（且）叫做指数函数，自变量是，定义域。 2.指数函数图象与性质 底数 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 3.补充结论 与图象关于y 轴对称； 指数增长模型：；指数衰减模型：。 知识点三 对数的概念与对数运算 1.对数定义 若，则数叫做以为底的对数，记作；其中叫做对数的底数，叫做真数。 指数式与对数互化：。 2.两类特殊对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 n 3. 对数基本性质（） ① 负数与没有对数； ② ； ③ ； ④ 对数恒等式：。 4.对数运算性质（） (1) (2) (3) 5.换底公式 常用推论： ；。 知识点四 对数函数及其性质 1.对数函数定义 函数叫对数函数；自变量，定义域。 2.对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 定点 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 3.反函数 与互为反函数；图象关于直线对称，定义域、值域互换。 知识点五 函数的零点与二分法 1.函数零点 对于，使的实数叫做函数零点。 2.函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3.零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 4.函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 5.二分法 适用条件：函数在区间上连续不断，且； 二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 注意：初始区间的确定要包含函数的变号零点． 6.关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某函数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 知识点六 函数模型的应用 1. 增长速度对比（） 函数性质 在上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 爆炸式增长，增长越来越快 增长越来越慢 增长相对平稳 图象的变化 随的增大，逐渐表现为与轴平行 随的增大，逐渐表现为与轴平行 随值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 2.几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 变化特征 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 匀速增减 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 0先增后减； 先减后增。 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 爆炸增长； 指数衰减。 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 增长速度持续放缓 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 3.建模流程：审题分析实际背景→选择函数模型→求解模型→检验结果是否符合实际。 易错点1 根式化简忽略被开方数隐含范围 易错提醒 1. ，为偶数结果等于，不能直接等于，必须讨论正负； 2.题目有根式，先写出被开方数的隐含条件，再化简； 3.不要直接去掉绝对值，忽略负号，造成化简结果符号错误。 4. 混淆元素顺序，误以为位置不同无需验证，造成答案出错。 【对点训练1】 （25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， . 故选：B. 易错点2 指数函数、指数型函数忽略值域恒大于0 易错提醒 1.函数值恒大于 0，无论取何实数，； 2.复合指数函数求值域，先求内层函数范围，再结合指数函数单调性； 3.做恒成立、不等式问题，不能忘记指数函数值域下界。 【对点训练2】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 易错点3 根混淆指数函数与幂函数单调性 易错提醒 1. 指数函数：底数固定，自变量在指数位置； 2.幂函数：底数为自变量，指数固定； 3.比较多个数大小时，分清是指数函数还是幂函数，选用对应单调性； 4.中间量常取，做分段比较。 【对点训练3】（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 易错点4 对数式忽略真数、底数的限制条件 易错提醒 1.只要出现，必须同时满足：； 2.解对数方程、对数不等式第一步先写定义域约束； 3.底数含参数，要分、两类讨论单调性。 【对点训练4】（多选）（25-26高三·全国·二轮复习）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】要使有意义，则解得或． 易错点5 对数复合函数忽略定义域，直接套用“同增异减” 易错提醒 1.复合对数函数求单调区间，优先求定义域，再用同增异减； 2.只看内外函数单调性，漏掉真数大于 0，会出现增区间包含无定义部分； 3.最终单调区间必须是定义域子集。 【对点训练5】 （25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 易错点6 函数图象平移、翻折变换规则理解出错 易错提醒 1.“左加右减” 是只针对自变量，不是对整个解析式； ：把图像 x 轴下方翻折到上方； 是偶函数，保留图像，再对称到左侧； 4.区分上下平移、左右平移，平移量作用对象不能混淆。 【对点训练6】（2026•白云区校级期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（　　） A．向左平移1个单位长度的，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度的，再向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度的，再向下平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度的，再向下平移1个单位长度 【答案】 【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位可得 的图象 即， 解得， 即这个平移为向左平移1个单位长度的，再向下平移1个单位长度 故选：． 易错点7 零点存在定理理解片面 易错提醒 1. ⇒连续函数在至少一个零点；不能推出仅有一个零点，需要附加单调性； 2.反过来：函数在有零点，推不出（可以是触碰 x 轴不变号零点）； 3.定理前提条件：图象连续不断，不连续函数不适用零点存在定理。 【对点训练7】（多选）（2026•海安市期末）已知函数的图象在区间，上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（　　） A．若（1），则在内至少有一个零点 B．若（1），则在内没有零点 C．则在内 没有零点，则必有（1） D．若在内有唯一零点，（1），则在上是单调函数 【答案】 【详解】解：因为在，上连续， ．（1），由零点存在定理可知，在内至少有一个零点，故正确； ．当时，满足（1），但在内有一个零点，故错误； ．在内没有零点，则必有（1）等价于（1），则在内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确； ．在内有唯一零点，（1），则在上不一定是单调函数，故不正确． 故选：． 易错点8 嵌套函数（复合方程）零点问题不会换元转化 易错提醒 1.这类嵌套方程，换元令，先解，再回代解； 2.每一个，结合函数图像数解的个数，全部相加才是总零点数； 3.要结合函数值域，判断是否在值域内，避免算出不存在的根。 【对点训练8】（2026•马鞍山期末）已知函数，则方程的解的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【详解】解：函数， 由，当，即，解得，当时，则有，解得， 即，或， 由，可得，此方程只有一个根， 又时，，故仅在时有一个根，在时有两个根，在时有一个根， 综上，方程有五个根， 故选：． 易错点9 指对函数恒成立与有解问题混淆 易错提醒 1.恒成立； 有解； 3.换元之后，注意新元取值范围，不要漏掉换元得到的定义域； 4.区分 “恒成立” 与 “存在有解”，不要把最大最小值搞反。 【对点训练9】（2026•浙江期中）已知函数． （1）当，求函数的定义域； （2）对于，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为，．（2）a的取值范围是（，] 【详解】解：（1）当时，由函数， 可得， 故函数的定义域为，． （2）对于，，不等式恒成立， 即≤0≤0， 即，而， 故， ，， ． 所以实数a的取值范围是（，] 易错点10 反函数、指对函数对称关系混淆 易错提醒 1.与关于直线对称，不是 x 轴、y 轴； 2.与关于 y 轴对称；与关于 x 轴对称； 3.求反函数步骤：①解出；②互换；③标注反函数定义域（原函数值域）。 【对点训练10】（25-26•重庆校级同步）的反函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【详解】解：根据指数函数与对数函数的关系，可得函数的反函数为． 故选：． 1、 单选题 1．（25-26•深圳校级期末）已知a＝0.991.01，b＝1.010.99，c＝log1.010.99，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【答案】D 【详解】解：0＜a＝0.991.01＜0.990＝1， b＝1.010.99＞1.010＝1， c＝log1.010.99＜log1.01＝0， 故b＞a＞c． 故选：D． 2.（25-26•马鞍山期末）已知函数f（x）＝x3+x﹣5，则该函数的零点所在区间为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 【答案】C 【详解】解：函数y＝x3，y＝x﹣5在R上都单调递增，则函数f（x）在R上单调递增， 而f（1）＝﹣3＜0，f（2）＝5＞0，因此f（x）零点所在区间为（1，2）． 故选：C． 3.（25-26•集美区校级期末）已知函数f（x）的图象在R上连续不断，则“f（2）f（4）＜0”是“f（x）在区间（2，4）上有零点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】解：根据题意，因为函数f（x）的图象在R上连续不断，若f（2）f（4）＜0，则f（x）在区间（2，4）上有零点， 反之，举出反例，f（x）＝（x﹣3）2，在区间（2，4）上有零点2，但是f（2）f（4）＞0， 故“f（2）f（4）＜0”是“f（x）在区间（2，4）上有零点”的充分不必要条件． 故选：A． 4.（2026•泗水县期末）为了得到函数y＝2x﹣3﹣2的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点（　　） A．向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】C 【详解】解：把函数y＝2x的图象上所有的点向右平移3个单位，可得函数y＝2x﹣3的图象， 然后再向下平移2个单位长度，可得函数y＝2x﹣3﹣2的图象． 故选：C． 5.（2026春•福州期末）已知函数f（x）＝|log3（x﹣1）|，则（　　） A．函数f（x）在区间（1，2）上单调递减 B．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称 C．若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1•x2＝1 D．函数f（x）有且仅有两个零点 【答案】A 【详解】解：， 画出f（x）＝|log3（x﹣1）|的图象如下， A选项，函数f（x）在区间（1，2）上单调递减，A正确； B选项，函数f（x）的图象不关于直线x＝1对称，B错误； C选项，若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），不妨设x1＜2＜x2， 则log3（x2﹣1）＝﹣log3（x1﹣1），即， 由于y＝log3x在（0，+∞）上单调递增， 故，即（x1﹣1）•（x2﹣1）＝1，C错误； D选项，由图象可知，函数f（x）有且仅有一个零点，D错误． 故选：A． 6.（25-26•安宁市期末）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a＝0有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（0，3） D．[3，4） 【答案】B 【详解】解：因为， 所以作出f（x）的图象如下： 因为[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a＝0， 所以[f（x）﹣2][f（x）+a]＝0， 所以f（x）＝2或f（x）＝﹣a， 因为f（x）的图象与直线y＝2有三个交点， 所以f（x）＝2有三个不同的实数根， 所以f（x）＝﹣a必须有一个实数根，即函数f（x）的图象与直线y＝﹣a有一个交点， 由图可知﹣a＜0，即a＞0，所以实数a的取值范围为（0，+∞）． 故选：B． 7.（25-26•西安校级月考）已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0，可得[f（x）﹣1][f（x）﹣（m﹣1）]＝0， 所以f（x）＝1或f（x）＝m﹣1， 去绝对值，得， 当x＞0时，，令f′（x）＞0⇒x＜1， 当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0， f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减， ，且当x趋于+∞，f（x）趋于0， 所以x轴正半轴为f（x）水平渐近线； 当x≤0时，，f（x）在（﹣∞，0]单调递减， 作出函数y＝f（x）的图象，如图所示： 当f（x）＝1时，可解得一个实数根， 因此f（x）＝m﹣1应解得三个不相等的实数根， 则，解得． 故选：C． 8.（2026春•雨城区校级期中）已知函数f（x）＝lnx，若关于x的方程f（x）＝kx恰有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．（0，） B．（0，] C．（，） D．（，] 【答案】A 【详解】解：设g（x）， 又g′（x）， 当0＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜0， 则函数g（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数， 又x→0+时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0+，g（e）， 即直线y＝k与函数g（x）的图象有两个交点时k的取值范围为（0，）， 故选：A． 9.（25-26•菏泽期中）已知函数若方程f2（x）﹣2af（x）+4＝0有4个不相等的实数根，则实数a取值范围是（　　） A． B． C．[﹣1，2） D． 【答案】B 【详解】解：由题意作出f（x）的函数图像： 令t＝f（x），所以t2﹣2at+4＝0， 当﹣2＜a＜2时，方程t2﹣2at+4＝0没有解， 当a＝2时，方程t2﹣2at+4＝0的解集为{2}， 当a＝﹣2时，方程t2﹣2at+4＝0的解集为 {﹣2}， 当a＞2时，方程t2﹣2at+4＝0有两个不相等的实数根， 设两根为t1，t2，则t3+t4＝2a，t1t2＝4， 故t1＜0，t2＜0， 方程f2（x）﹣2af（x）+4＝0有4个不相等的实数根等价于方程t2﹣2at+4＝0在（1，+∞）有两个不等的实根， 令g（t）＝t2﹣2at+4， 所以，解得，所以实数a取值范围是． 故选：B． 2、 多选题 10.（多选）（25-26•同步）下列说法中正确的有（　　） A．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在b2﹣4ac＜0时没有零点 B．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 C．若函数y＝f（x） 在区间（a，b） 上有零点（函数图象连续不断），则f（a）f（b）＜0 D．若函数y＝f（x） 在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0 【答案】AD 【详解】解：对于A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在Δ＝b2﹣4ac＜0时函数图象与x轴没有交点，函数没有零点，选项A正确； 对于B，函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以选项B错误； 对于C，函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点（函数图象连续不断），f（a）f（b）＜0不一定成立， 如二次函数有2个零点时f（a）f（b）＞0，选项C错误； 对于D，函数y＝f（x） 在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线， 若f（a）f（b）＞0，可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0，选项D正确． 故选：AD． 11.（多选）（25-26•张家口月考）已知函数，则下面几个结论正确的有（　　） A．函数y＝g（x）为偶函数 B．函数y＝g（x）为奇函数 C．函数y＝g（x）在其定义域内单调递减 D．函数y＝g（x）的值域为（﹣1，1） 【答案】BCD 【详解】解：函数，定义域为， 所以函数为奇函数，故A错误，B正确； ，显然在R上递减，则在R上递减，故C正确； 函数，因为1+ex＞1，所以，则，所以，即g（x）的值域为（﹣1，1），故D正确． 故选：BCD． 12.（多选）（25-26•深圳校级月考）关于函数f（x）＝|ln|2﹣x||，下列描述正确的有（　　） A．函数f（x）在区间（1，2）上单调递增 B．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝2 D．函数f（x）有且仅有两个零点 【答案】ABD 【详解】解：由函数y＝lnx，x轴下方图象翻折到上方可得函数y＝|lnx|的图象， 将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y＝|ln|x||＝|ln|﹣x||的图象， 将函数图象向右平移2个单位，可得函数y＝|ln|﹣（x﹣2）||＝|ln|2﹣x||的图象， 则函数f（x）＝|ln|2﹣x||的图象如图所示． 由图可得函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，A正确； 函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，B正确； 若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），若x1，x2关于直线x＝2对称，则x1+x2＝4，C错误； 函数f（x）有且仅有两个零点，D正确． 故选：ABD． 13.（多选）已知函数f（x）＝a•（）|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（　　） A．a＝﹣2，b＝2 B．f（x）的值域为（﹣∞，2） C．若x＜y＜0，则f（x）＜f（y） D．若f（x）＝f（y）且x≠y，则x+y＝0 【答案】AD 【详解】解：∵f（x）过原点，∴f（0）＝0，∴a+b＝0①， 又：x→+∞时，， ∴x→+∞时，， 由题知，图象无限接近直线y＝2，则b＝2②， 由①②知a＝﹣2，b＝2，故A正确； ，，B错误； f（x）的图象如下： 由图知，f（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减， x＜y＜0，则f（x）＞f（y），故C错误； ∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）为偶函数， 又∵f（y）＝f（x），且x≠y，f（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减， f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴﹣x＝y，∴x+y＝0，故D正确． 故选：AD． 14.（多选）（25-26•临高县校级期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域R B．值域为（0，2] C．在[﹣2，+∞）上单调递增 D．在[﹣2，+∞）上单调递减 【答案】ABD 【详解】解：函数的定义域为R，故选项A正确； ∵x2+4x+3＝（x+2）2﹣1≥﹣1， ∴02， 故函数的值域为（0，2]，故选项B正确； ∵y在R上是减函数， u＝x2+4x+3在（﹣∞，﹣2]上是减函数，在[﹣2，+∞）上是增函数， ∴函数在[﹣2，+∞）上是减函数，故选项C错误，选项D正确； 故选：ABD． 3、 填空题 15.（25-26•丽江校级期末）若命题“存在实数，，使得”是假命题，则实数的取值范围为　　． 【答案】， 【详解】解：命题“存在实数，，使得”是假命题， 即命题“任意实数，，使得”是真命题， 即， 设， 则函数在，上为增函数， 则的最小值为（1）， 故， 故答案为：，． 16.（25-26•宿豫区校级月考）若关于的方程有两个不等根，则实数的取值范围为 　　． 【答案】． 【详解】解：由题意知，与有两个不同的交点， 又，如图所示， 所以． 故答案为：． 四、解答题 17.（2026春•驻马店期末）已知，命题：函数的定义域为；命题；关于的不等式在上有解． （Ⅰ）若命题是真命题，求实数的取值范围； （Ⅱ）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2），，． 【详解】解：（1）命题：函数的定义域为； 当为真时，在上恒成立， ①当，不等式化为，符合题意． ②当时，有，且△故， 即当真时有． （2）命题；关于的不等式在上有解． 由题意知当为真时，在上有解． 令，则在上递减，在，上递增， 所以（1） 所以当假时，， 由（1）知当假时或， 又因为为真，为假， 所以或， 即的取值范围是，，． 18．（2026春•邢台期末）已知函数，． （1）若（a）（a），求的值； （2）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】 的取值范围是，． 【详解】解：（1）由题意知，若（a）（a）， 则， 即， 即， 即， 得或（舍． 则． （2）若对恒成立， 则对恒成立， 设，则当时， 为增函数， （1）（2）， 即， 则． 即实数的取值范围是，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $