第二十七章反比例函数期中核心知识清单-数学新教材人教版九年级上册

第二十七章 反比例函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・重点） 1. 概念定义 1.1 反比例函数的定义 一般地，形如 （ 为常数，）的函数叫作反比例函数，其中 是自变量，其取值范围是不等于 的一切实数。 示例：京沪高铁全程 ，平均速度 （ 单位：， 单位：）；面积 的矩形草坪，一边长 ，都是反比例函数。 注意：反比例函数刻画的变化规律是： 随 变化的过程中，乘积 始终保持不变（，）。这也是判断一个问题能否用反比例函数来刻画的依据。 2. 核心性质 2.1 反比例函数的图象特征 反比例函数 的图象由两条曲线组成，它是双曲线。因为 ，所以函数图象由两支曲线组成。 示例： 与 的图象都是由两支曲线组成的双曲线， 时两支分别位于第一、第三象限。 图1：反比例函数 与 的图象 2.2 反比例函数 的性质 一般地，当 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内， 随 的增大而减小；当 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内， 随 的增大而增大。 图象所在象限 第一、第三象限 第二、第四象限 每一象限内的增减性 随 的增大而减小 随 的增大而增大 示例：反比例函数 的图象的一支位于第一象限，则另一支必位于第三象限，且由 得 ；在这个函数图象的任意一支上， 都随 的增大而减小，因此当 时，。 注意：增减性必须限定”在每一个象限内”。两支曲线分居两个象限， 的值一正一负，跨支比较大小不能直接用增减性。 图2：反比例函数 （）的图象，两支分别位于第二、第四象限 3. 运算法则 / 解题方法 3.1 待定系数法求反比例函数的解析式 已知 是 的反比例函数，可设 （），把一组 ， 的值代入，求出常数 的值。 示例： 是 的反比例函数，且当 时 ：设 ，则 ，解得 ，所以 ；当 时，。 3.2 判断点是否在反比例函数的图象上 把点的坐标代入函数解析式：坐标满足解析式，点在图象上；不满足，则不在。 示例：：点 满足 ，在图象上；点 不满足 ，不在图象上。 3.3 由图象的位置或增减性求参数范围 反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限（），或者位于第二、第四象限（）。由图象所在象限确定 （或含参系数）的符号，解不等式求参数范围。 示例： 的图象的一支位于第二象限，则另一支位于第四象限，且 ，即 。 图3： 的图象的一支位于第一象限，则 3.4 描点法画反比例函数的图象 列表、描点、用平滑的曲线顺次连接描出的点。因为 ，函数图象由两支曲线组成，画图时两支不能相连。 示例：画 的图象：在 与 各取若干个值列表（如 ），描点后分别用平滑曲线连接成两支。 4. 数学模型与实际应用 4.1 总量一定的行程 / 工程模型 路程一定时，平均速度 与运行时间 成反比例；工程总量一定时，工作效率与工作时间成反比例。先由”总量 速度 时间”求出总量，再写解析式。 示例：4 台采摘机采摘 棉花，所需时间 （单位：天）与每台工作效率 （单位：/天）的关系为 ，即 ；每天共采摘 即 ，此时 ，最快 天完成。 4.2 杠杆原理模型 杠杆原理为：阻力 阻力臂 动力 动力臂。阻力与阻力臂一定时，动力 是动力臂 的反比例函数。 示例：阻力和阻力臂分别为 和 ：，即 ；当 时，。 注意：对于 ，当 时， 随 的增大而减小——动力臂越长越省力。 4.3 学科融合中的反比例函数（功、压强、电流、密度） 力 做功 ，功为定值时 关于 是反比例函数；压强、电流、密度等物理量中也广泛存在反比例关系，建模方法相同。 示例：由图象知当 时 ，则 ， 关于 的解析式为 ；要使位移小于 ，由 随 的增大而减小，得 要大于 。 图4：功一定时 的图象（双曲线的一支） 4.4 由实验数据建立函数模型的一般步骤 先用散点图直观分析数据的变化规律，选择合适的函数类型；建立模型后要检验模型，再求解问题。 示例：气体的压强 与体积 ：由散点图发现曲线形似双曲线的一支，尝试选择反比例函数 ；用各组数据求 并取平均值 ，得 ；检验模型与实际数据基本吻合后，把 代入解得 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 反比例函数的等价形式与判定 （）与 （ 为定值）等价，判断反比例函数就看”两个变量的积是否为定值”。含参判定： 是反比例函数，则 且 ，得 。 1.2 的几何意义 双曲线 上任一点 向两坐标轴作垂线，垂线段与坐标轴围成的矩形面积恒为 ，连接该点与垂足构成的直角三角形面积恒为 。如 上任一点的”矩形面积”都是 。 1.3 跨支比较大小：先看符号再比增减 时第一象限支上 、第三象限支上 ； 时相反。两点不在同一支时，先按象限定正负，再在同一支内用增减性。如 ，， 在 上：， 同在第三象限支（递减，故 ），，所以 。 1.4 双曲线的对称性 双曲线 两支关于原点成中心对称，也关于直线 与 成轴对称。因此图象上有点 ，则 ，， 都在图象上。如 在 上，则 ，， 都在。 1.5 两个不同的反比例函数图象没有公共点 若 与 （）有公共点，则公共点处 且 ，得 ，矛盾，故没有公共点。 1.6 越大，双曲线离原点越远 时， 的图象在第一象限位于 的上方（离原点更远）； 时同理在第四象限比较。如 的第一象限支整条位于 上方。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 待定系数法求解析式 设 ，代入图象上（或题目给出）的一组 、 值求 。如过点 ：，，解析式 。 2.2 由图象位置或增减性求参数范围 图象位于哪两个象限，含参系数就带相应符号（一、三象限 ；二、四象限 ）；由”每一象限内 随 的增大而减小（增大）“同样定系数符号。如 在每一个象限内 随 的增大而减小：，得 。 2.3 一次函数与反比例函数交点问题 联立两个解析式得方程（组），解出交点坐标；利用图象可进一步写不等式（组）的解集。如 与 有一个交点纵坐标为 ，则该点横坐标 ，。 2.4 由实验数据建立反比例模型 画散点图判断趋势，形似双曲线一支则设 ；用各组数据求 并取平均值；检验模型与数据吻合后，再代入求解。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 3.1 已知面积反求 由 或 求出 ，再按图象所在象限定 的符号。如双曲线上一点到两轴垂线段围成的矩形面积为 、图象在二、四象限，则 且 ，。 3.2 同支函数值范围 给定同一支上的 范围，直接用增减性写出 的范围。如 中 （第三象限支，递减）： 时 ， 时 ，故 。 3.3 判定前先化简 判断” 是否为 的反比例函数”先把解析式化简：（是）、（不是， 的指数是 ）、（是，）、（不是，多常数项）。 3.4 利用对称性避免重复计算 求双曲线上的点时，先由 检验，再用对称点结论（1.4）一次得多个点；与几何图形（如直线 ）的交点可由对称性直接写出一对。 4. 常见模型 4.1 总量一定模型（行程 / 工程 / 运输） 总量 效率 时间，其中一个量一定时另两个量成反比例：运送 土石方 ；采摘机 ，即 。实际问题中自变量取值要使实际问题有意义（如 ），“不超过”“至少”按增减性翻译不等号方向。 4.2 杠杆原理模型 阻力 阻力臂 动力 动力臂，动力 （ 为定值）。如 ： 时 ；要 ，需 。 4.3 物理学科模型 压强 （压力一定）、电流 （电压一定）、功 （功一定）、密度 （质量一定）。如电流 中 ，由 随 的增大而减小得 。 4.4 由图象读信息的实际模型 实际问题的反比例函数常只取双曲线的一支，需从图象读出一点定 、读出范围定最值。如客车 （）： 时 ， 时 ，故 。 三、高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：根据定义判定反比例函数，只看形式不看指数和系数 典例：若函数 是反比例函数，求 的值。 错解：由 得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解不完整。反比例函数 即 ，要求” 的指数是 “与”比例系数 “同时成立。学生只盯着指数列方程，把系数条件当成自动满足，没有回代检验。这与一元二次方程定义求参数是同一类坑。 易错点 2：跨支比较函数值大小，直接套增减性 典例：点 ， 在反比例函数 的图象上，比较 与 的大小。 错解：因为 ， 随 的增大而减小，且 ，所以 。 正解：，，所以 。（ 在第三象限支上，； 在第一象限支上，。） 原因：忽略使用前提。反比例函数的增减性只在”每一个象限内”成立，两支曲线分居两个象限，函数值一正一负。学生把”递减”当成对整个定义域成立，直接套用结论导致符号错乱。跨支比较大小的正确顺序是：先按象限定正负，再在同一支内用增减性。 易错点 3： 的符号与图象所在象限记反 典例：反比例函数 的图象的一支位于第二象限，求 的取值范围。 错解：一支在第二象限，说明 ，所以 ，即 。 正解：图象的一支位于第二象限，则另一支位于第四象限，双曲线位于第二、第四象限，，即 。 原因：记忆错误。 对应第一、第三象限， 对应第二、第四象限，学生背口诀时把两组对应关系记反，或没有从”、第一象限内 、 同正”的角度自行推导。建议由” 的符号由点的横纵坐标符号决定”现场推导，不硬背。 易错点 4：误认为双曲线关于 轴对称 典例：已知点 在反比例函数 的图象上，点 是否在这个函数的图象上？说明理由。 错解：在。因为双曲线是轴对称图形， 与 关于 轴对称，所以 也在图象上。 正解：不在。当 时，，即 ，点 不满足解析式。（与 关于原点对称的 才在图象上。） 原因：对称性概念错误。学生知道双曲线是”对称图形”，但把对称方式记成关于 轴（或 轴）的轴对称；实际上 的图象关于原点成中心对称、关于直线 和 成轴对称，关于坐标轴不对称——因为 是定值， 变号时 必须同时变号才能保持 。 易错点 5：实际问题中”不超过 / 至少”的方向翻译反 典例：轮船上货物总量 ，卸载速度 （单位：）与卸载时间 （单位：）满足 。要求货物不超过 卸载完，平均每小时至少要卸载多少？ 错解：把 代入得 。因为 越大 越小，所以平均每小时最多卸载 。 正解：把 代入得 。对于 ，当 时， 越小 越大；“不超过 ”即 ，此时 ，所以平均每小时至少要卸载 货物。 原因：忽略隐含条件与方向。学生算出 就收尾，没有把”时间不超过 小时”翻译成”速度不低于 “，增减性的方向用反，把”至少”答成”最多”。实际问题中必须先确认自变量的实际约束（、），再按函数增减性决定答案是下限还是上限。 易错点 6：画双曲线时把两支连在一起或与坐标轴相交 典例：画出反比例函数 的图象。 错解：列表、描点后用平滑曲线把所有点（包括 轴两侧的点）顺次连接成一条连续曲线，曲线穿过 轴并经过原点附近。 正解：因为 ，图象由两支曲线组成： 的一支在第一象限， 的一支在第三象限；两支分别无限接近 轴和 轴，但不与坐标轴相交，两支之间不能连线。 原因：忽略隐含条件 。学生沿用画一次函数、二次函数图象”连续曲线”的经验，把双曲线画成一条穿过坐标轴的连续曲线，出现”图象与坐标轴相交”“经过原点”等错误。反比例函数的图象必须分两支画，这是它与前两类函数图象的本质区别。 学科网（北京）股份有限公司 $