第二十八章旋转期中核心知识清单-数学新教材人教版九年级上册

第二十八章 旋转　知识清单 一、核心知识总结（必背・重点） 1. 概念定义 1.1 图形的旋转 把一个平面图形绕着平面内某一点 转动一个角度，叫作图形的旋转，点 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角。如果图形上的点 经过旋转后变为点 ，那么这两个点叫作这个旋转的对应点。 示例：钟表的时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，从 3 时到 5 时，时针转动的旋转角是 ，3 时时针的端点 与 5 时时针的端点 是对应点。 注意：描述一次旋转必须说清三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。三要素不同，旋转的效果不同。 1.2 中心对称 一个图形绕着某一点旋转 ，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点。 示例： 绕点 旋转 后与 重合， 和 关于点 对称，点 与点 是对称点。 1.3 中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 示例：线段绕它的中点旋转 后与它本身重合，线段是中心对称图形；平行四边形绕两条对角线的交点旋转 后与本身重合，平行四边形是中心对称图形。 图1：矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，其对称轴的交点就是对称中心 注意：矩形、菱形、正方形不仅是轴对称图形，也是中心对称图形；等边三角形、角等图形只是轴对称图形，不是中心对称图形。 2. 核心性质 2.1 旋转的性质 一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角。旋转前后，图形的形状、大小未发生变化，也就是说，旋转前后的图形全等。 图2： 绕点 旋转得到 ，， 旋转角 示例：将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ：由旋转的性质可知 ；又 ，所以 。 2.2 中心对称的性质 中心对称是特殊的旋转，具有旋转的全部性质。除此之外，成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分。 图3： 与 关于点 对称，、、 都经过点 且被点 平分 示例：点 是点 绕点 旋转 后得到的，所以点 是线段 的中点；同样地，点 也是 和 的中点。 2.3 关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 关于原点的对称点为 。 示例： 三个顶点 ，， 关于原点的对称点分别为 ，，。 图4：利用坐标变号作出与 关于原点对称的 3. 运算法则 / 解题方法 3.1 画旋转后的图形（关键点法） 对于一些规则的几何图形（如三角形、矩形），只要画出一些关键点（如三角形、矩形的顶点）的对应点，连接这些对应点，就可以画出旋转后的图形。 示例：正方形 中， 是边 上一点，以 为旋转中心把 顺时针旋转 ：点 的对应点是它本身；由 ，，旋转后点 与点 重合；在 的延长线上取点 ，使 ，则 为旋转后的图形。 3.2 中心对称作图 连接图形的关键点与对称中心，在对称点连线的延长线上截取等长，得到各关键点的对称点，依次连接。 示例：选择点 为对称中心作 的对称图形：连接 ，在 的延长线上截取 ，得到点 关于点 的对称点 ；同法作出 ，，依次连接 ，，，就得到 。 3.3 坐标法作关于原点对称的图形 先求出已知图形的特殊点（如多边形的顶点）关于原点对称的点的坐标，描出并连接这些点，就得到关于原点对称的图形。 示例：四边形各顶点坐标 ，，，，关于原点的对称点依次为 ，，，，描点连接即可。 3.4 全等变换 只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换，叫作全等变换。平移、轴对称和旋转都是全等变换。在全等变换中，图形上任意两点间的距离保持不变，图形上任意三点所成的角保持不变。 示例：将 绕点 旋转得到 ：由 ，，，得 ，进而 。 4. 数学模型与实际应用 4.1 用旋转设计图案 利用旋转，可以设计美丽的图案。将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到五角星图案。当选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案时，会出现不同的效果。 示例：五角星图案绕它的中心 旋转，旋转角至少为 时，旋转后的五角星能与自身重合。 4.2 中心对称图形的应用 由于具有中心对称图形形状的物体，能够在所在平面内绕对称中心平稳地旋转，所以常将各种机器中需要旋转的零部件的形状设计成中心对称图形，如水泵叶轮。 示例：风扇叶片、摩天轮的轮辐都设计成中心对称（或旋转对称）形状，转动时保持平衡。 4.3 旋转对称图形 一个平面图形绕着平面上某点 旋转角 （），如果得到的新图形与原图形完全重合，那么称这个图形是旋转对称图形。中心对称图形就是一种特殊的旋转对称图形，它关于对称中心有 的旋转对称性。 示例：风车图案是旋转角为 的旋转对称图形；香港特别行政区区徽中的紫荆花图案是旋转角为 的旋转对称图形；圆是最特殊的，它关于圆心有任意角的旋转对称性。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 旋转角处处相等，任取一对对应点即可确定 同一旋转中，任意一对对应点与旋转中心的连线夹角都等于旋转角。求旋转角时只需任取一对对应点 、， 就是旋转角。如 绕点 旋转 得 ，则 。 1.2 对应点到旋转中心等距，构造等腰三角形 旋转中 （ 为旋转中心），连接对应点与旋转中心必得等腰三角形，顶角即旋转角。求对应点连线长（如 ）时，用 加旋转角，配合勾股定理或等腰性质求解。如 、： 是等边三角形，。 1.3 对称中心是对称点连线的中点 成中心对称的两图形中，对称中心是任意一对对称点连线的中点。已知两对称点 、，对称中心坐标为 。如点 与 关于某点对称，该对称中心为 。 1.4 正 边形的最小旋转角为 正 边形绕中心旋转 的整数倍后与自身重合；旋转对称图形的最小旋转角 。如正三角形最小旋转角 ，正方形 ，正五边形 ，正六边形 。 1.5 连续两次轴对称（关于 轴、 轴）等于关于原点中心对称 点 关于 轴对称得 ， 再关于 轴对称得 ，恰好是 关于原点的对称点。即关于两条互相垂直的坐标轴连续轴对称，等价于关于交点（原点）中心对称。 1.6 既轴对称又中心对称的常见图形 线段、矩形、菱形、正方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，其对称轴的交点就是对称中心；等边三角形、等腰三角形、角只是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形（含一般的）是中心对称图形但不是轴对称图形。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 旋转作图：三要素定好再逐点转 先确定旋转中心、旋转方向、旋转角三要素；再对每个关键点：连旋转中心、转同一角度、截等长，得对应点；最后连接对应点成图。如画 绕点 逆时针旋转 的图形：分别作出 ，， 的对应点 ，，，连接成 。 2.2 中心对称作图：延长截等长或坐标变号 给定对称中心：连关键点与中心，延长截取等长得对称点，顺次连接。在坐标系中关于原点：直接把各顶点坐标变号 ，描点连接。 2.3 利用旋转说明等线段（手拉手模型） 两个共顶点的等腰（等边）三角形，绕公共顶点旋转某一角度后可以重合，由旋转性质得对应线段相等。如 与 都是等边三角形： 绕点 旋转 得 ， 同步转到 ，故 。 2.4 分析图案的形成过程 先找基本图形，再判断变换类型（平移 / 轴对称 / 旋转 / 组合）；旋转型图案要指出旋转中心、旋转次数与每次的旋转角。如风车图案由一个”叶片”绕中心连续旋转 次、每次 得到。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 3.1 求旋转角：找对应点连线夹角，别用对应边 旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角（如 ），不是两条对应边之间的夹角；方向（顺 / 逆时针）必须交代。如正六边形绕中心至少旋转 才能与自身重合。 3.2 坐标变换三种情形对照记 关于 轴 ，关于 轴 ，关于原点 ；原点对称 = 两个坐标全变号。如 关于原点对称点为 ，关于 轴对称点为 。 3.3 已知两点关于原点对称，快速求参数 利用横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数列方程。如点 与 关于原点对称：，。 3.4 旋转求线段长：先找等腰，再用勾股 由对应点到旋转中心等距构造等腰三角形，顶角即旋转角，再用勾股定理或三线合一求目标线段。如 、旋转角 ：。 4. 常见模型 4.1 手拉手模型（共顶点等边 / 等腰三角形） 两个共顶点的等边（等腰）三角形：旋转一组对应边可得另一组，对应线段相等，且其夹角等于旋转角。如 与 都是等边三角形且 ，， 共线： 可由 绕点 顺时针旋转 得到。 4.2 正方形旋转 模型 正方形中含顶点的一个直角三角形绕顶点旋转 ，直角边转到相邻边上，构造”截长补短”结构。如正方形 中点 在 上，把 绕点 逆时针旋转 得 ：，，。 4.3 周角封闭图案模型 基本图形绕中心旋转 次、每次 ，恰好布满周角形成封闭图案。如三叶风扇的一个叶片绕中心旋转 次、每次 ，得到完整图案。 4.4 中心对称图形的稳定旋转模型 中心对称图形绕对称中心旋转时重心不变、旋转平稳，常用于旋转零部件设计；反过来，判断零件能否平稳旋转就看它是否中心对称（或旋转对称）。如飞机螺旋桨、汽车轮毂都成中心对称（或旋转对称），高速旋转时不偏摆。 三、高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把对应边之间的夹角当成旋转角 典例：将 绕点 顺时针旋转 ，得到 。若 ，求 的度数。 错解：旋转角是 ，，所以 。 正解：由旋转的性质可知 。又 ，所以 。 原因：审题与概念错误。旋转角是”对应点与旋转中心所连线段的夹角”（如 ），而 的两边 、 不是一对对应点的连线—— 与 才是对应线段。学生看到”旋转 “就把 从 里减一次，没有先在图中标出两对对应点的连线，画出 与 两个 再相减两次。求旋转角类题目先连对应点、标出旋转角，是防错的第一步。 易错点 2：作旋转图形漏掉旋转方向 典例：画出 绕点 逆时针旋转 后得到的图形。 错解：以 为中心，把 、、 沿顺时针方向转 ，截取等长得 ，，，连接成图。 正解：连接 ，绕点 沿逆时针方向转 （用量角器在 的另一侧作 ），截取 ；同法作出 ，，连接成 。 原因：条件遗漏。旋转三要素是旋转中心、旋转方向、旋转角，学生作图时只盯着”转多少度”，漏掉方向，图形转到对称的另一侧，整题失分。作图前先在图上用箭头标出旋转方向，再逐点操作。 易错点 3：混淆”中心对称”与”中心对称图形” 典例：判断：线段是中心对称吗？ 错解：是。线段绕它的中点旋转 后与原来的线段重合，所以线段是中心对称。 正解：这种说法不对。线段绕中点旋转 后能与自身重合，应说”线段是中心对称图形”；而”中心对称”说的是两个图形之间的关系——一个图形绕某点旋转 后与另一个图形重合，这两个图形关于该点成中心对称。 原因：概念混淆。“中心对称”描述两个图形的关系（类似”两个图形成轴对称”），“中心对称图形”描述一个图形自身的性质（类似”轴对称图形”），两者的关系与轴对称和轴对称图形的关系类似。学生把两个概念混为一谈，答题时表述错误。判断题先分清”说的是一个图形还是两个图形”。 易错点 4：关于原点对称的坐标只变一个符号 典例：写出点 关于原点对称的点的坐标。 错解：。 正解： 关于原点的对称点为 ，，即 。 原因：记忆混乱。学生把”关于原点对称 “与”关于 轴对称 ““关于 轴对称 ”记混，只变了一个坐标。三种对称可由几何位置现场验证：关于原点对称的两点连线必经过原点且被平分，把 和 代入检验——连线不过原点，立即露馅。 易错点 5：把”对应点的连线”当成旋转前后的对应边 典例：在 中，，，。将 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为 ，求 的长。 错解：由旋转的性质可知对应线段相等，所以 。 正解：在 中，。由旋转的性质得 ，且 等于旋转角 。在 中，。 原因：概念理解错误。旋转的”对应线段相等”指的是旋转前后图形的边（，），而 是两个对应点之间的连线，根本不是图形的边，不满足”相等”结论。学生机械套”旋转前后对应线段相等”，把 错配到 上。正确路径是：对应点到旋转中心等距 构造等腰三角形 ，顶角为旋转角 ，再用勾股定理。 易错点 6：把”旋转对称”当成”中心对称” 典例：等边三角形、平行四边形、圆中，哪些是中心对称图形？ 错解：等边三角形也是中心对称图形，因为等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，应该也关于中心对称。 正解：平行四边形和圆是中心对称图形；等边三角形不是——把等边三角形绕它的中心旋转 后，三个顶点的位置不能与原顶点重合（其最小旋转对称角是 ）。 原因：概念理解错误。学生由”图形很对称”直觉推广，没有紧扣定义验证”旋转 后与自身重合”。等边三角形是旋转对称图形（旋转 重合），但 ，所以不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形却是中心对称图形。判断时紧扣”是否恰好转 重合”，不能凭对称感猜测。 学科网（北京）股份有限公司 $