第二十九章圆期中核心知识清单-数学新教材人教版九年级上册

第二十九章 圆　知识清单 一、核心知识总结（必背・重点） 1. 概念定义 1.1 圆的定义 在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫作圆。其固定的端点 叫作圆心，线段 叫作半径。以点 为圆心的圆，记作 ，读作”圆 “。 圆心为 、半径为 的圆可以看成平面内所有到定点 的距离等于定长 的点的集合。 示例：圆上各点到定点（圆心 ）的距离都等于定长（半径 ）；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 1.2 点与圆的位置关系 平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内。设 的半径为 ，任意一点 到圆心的距离 ，则有： 点与圆的位置关系 数量关系 点 在圆外 点 在圆上 点 在圆内 示例： 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 时点在圆内；为 时在圆上；为 时在圆外。 图1：平面内的点与圆的三种位置关系 1.3 弦、直径、弧 连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，直径长是半径长的 倍。圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。 能够重合的两个圆叫作等圆。同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。 示例：弦 、 中若 经过圆心，则 是直径；弧 （用三个字母表示）是优弧，弧 是劣弧。 1.4 圆心角与圆周角 顶点在圆心的角叫作圆心角。顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。 示例： 中 的顶点 是圆心，是圆心角； 的顶点 在圆上且两边 、 都与圆相交，是圆周角。 1.5 圆的内接多边形与三角形的外接圆 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形。 示例：作 的外接圆：分别作线段 、 的垂直平分线，交点 就是外心，以 为圆心、 为半径作圆。 2. 核心性质 2.1 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形。 示例：沿任意一条直径对折圆形纸片，两部分都能重合；圆形纸片绕圆心旋转 或任意角度，都与自身重合。 2.2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。进一步，还可以得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 图2：直径 垂直于弦，垂足平分弦与弦所对的两条弧 注意：推论中”平分弦（不是直径）“的括号条件不可省略——若被平分的弦恰好是直径，结论不一定成立。 2.3 弧、弦、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 示例： 中弧 = 弧 （能互相重合），则 ， 是等腰三角形；若又有 ，则 是等边三角形，。 2.4 圆周角定理及其推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。进一步，可以得到推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。 图3：圆心与圆周角的位置关系有三种：在一条边上、内部、外部，证明时分三种情况讨论 示例： 的直径 长 ，弦 长 ：由 是直径得 ，由勾股定理得 。 2.5 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补。 示例：四边形 是 的内接四边形：，。 3. 运算法则 / 解题方法 3.1 过三点的圆与反证法 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法。 示例：经过同一条直线上的三点不能作圆：假设可以作圆，圆心既在 的垂直平分线上，又在 的垂直平分线上，两线都垂直于直线 ，与”过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。 3.2 垂径定理的计算模型 涉及弦长、弦心距、半径的计算，作弦心距、连半径，构造直角三角形，用勾股定理求解。 示例：赵州桥主桥拱跨度 ，拱高 ：设半径为 ，则 ，，在 中 ，解得 。 图4：赵州桥主桥拱问题抽象为求弧所在圆的半径 3.3 弧长公式 在半径为 的圆中，因为 的圆心角所对的弧长就是圆周长 ，所以 的圆心角所对的弧长是 ，即 。于是， 的圆心角所对的弧长为 示例：弯管中 的圆心角、半径 的弧长 。 3.4 扇形面积公式 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。圆心角为 的扇形面积是 比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积：，其中 为扇形的弧长， 为半径。 示例：半径 、水面高 的排水管截面：有水部分面积 。 3.5 圆锥的侧面展开图 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线。沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为 ，底面圆的半径为 ，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为底面圆的周长 ，因此圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 。 图5：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形半径为母线 ，弧长为底面圆周长 4. 数学模型与实际应用 4.1 拱桥 / 隧道 / 弯路模型（垂径定理应用） 跨度（弦长）、拱高（弧的中点到弦的距离）与半径构成直角三角形模型。 示例：公路转弯处圆弧 ，， 为弧上一点， 于 ，：设半径 ，则 ，，，解得 。 4.2 射门 / 危险角模型（圆周角应用） 同弧上的圆周角相等；点在圆内时对弦的张角比圆上大，点在圆外时比圆上小。 示例：海港浅滩范围是弧 ，（弧 上任意一点 与两灯塔所成的角）为危险角，船只航行中保持 ，就能保证船在浅滩弧外。 4.3 圆柱圆锥组合体模型 组合体的表面积（侧面）分块计算再求和。 示例：毡房由圆锥和圆柱组成，底面积 、外围高 、总高 ：圆柱侧面积约 ，圆锥侧面积约 ，搭 个约需毛毡 。 4.4 车轮为什么是圆的（等宽曲线） 用硬纸板剪一个圆，让它沿直尺在桌面上滚动，可以发现，圆心与桌面的距离始终是不变的，这个距离等于圆的半径。无论圆怎样滚动，圆的任何一条直径总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，它是一条等宽曲线。 示例：把车轮做成圆形，车轮在平坦的地面上滚动时，车轮中心与地面的距离始终保持不变，坐车的人才会感到非常平稳。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 弦长、弦心距、半径”知二求一” 弦长 、弦心距 、半径 满足 ，三个量知道任意两个就能求第三个。如半径 、弦 ：弦心距 。 1.2 圆中平行弦所夹的弧相等 同圆中两条平行弦所夹的弧相等（由圆的轴对称性，垂直平分两弦的直径是对称轴）。如 ，则弧 = 弧 （所夹的 两段弧相等）。 1.3 弦心距与弦长的对应关系 同圆或等圆中，弦相等则弦心距相等；弦大则弦心距小，弦小则弦心距大。如 ，，：则 。由 立得。 1.4 圆内接四边形的外角等于内对角 圆内接四边形对角互补，任一外角等于它的内对角。如四边形 内接于 ， 在 延长线上：。 1.5 见直径想直角，见直角想直径 直径所对的圆周角是直角：题目出现直径，连直径两端与圆上一点即得直角三角形；反过来出现 圆周角，它所对的弦就是直径。如 内接 中 ，则 必是直径。 1.6 同圆中弧长的比等于圆心角之比 同圆中两段弧的长度之比等于它们所对圆心角之比。大半圆弧长 与 个小半圆弧长之和 （直径都在大直径上）： 大直径，与分点位置无关。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 垂径定理计算四步 把实际问题（拱桥、隧道、管道）抽象成几何图 → 过圆心作弦的垂线（弦心距）→ 连半径构造直角三角形 → 用勾股定理列方程。如隧道截面： 是弦 中点， 过圆心且 ，：设半径 ，则 ，解得 。 2.2 圆周角定理实现角的转移 同弧或等弧所对的圆周角相等，是把分散的角集中到同一个三角形的关键。如 （，，， 共圆）： 与 同对弧 ，得 ，同理 ， 是等边三角形。 2.3 弧、弦、圆心角三组量的互化 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中有一组相等，其余两组对应相等；比较大小同样三组联动。如 = 弧 ：先转成弦 ，再入三角形处理。 2.4 不规则图形面积：和差法与割补法 弓形面积 = 扇形面积 三角形面积（劣弧弓形）；组合图形用割补、平移转化为规则图形之和差。如正方形边长 、以各边为直径在形内画半圆：阴影（四叶形）面积 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 3.1 弧长与扇形公式联动互求 ，：已知其中任意两个量可求第三个。如扇形弧长 、面积 ：，。 3.2 圆锥三个量的三角形关系 母线 、底面半径 、高 满足 ；侧面展开图圆心角 。如底面半径 、母线 ：；圆心角 、半径 的扇形围成圆锥：。 3.3 圆锥侧面上的最短路径 侧面最短路径问题：展开侧面成扇形，“曲化直”——两点之间线段最短，在展开图上连线段求长。 3.4 点的运动路径与扫过面积 点绕定点旋转的路径是弧，用弧长公式求路径长；线段绕端点旋转扫过的图形是扇形，用扇形面积公式求。如半径为 、圆心角 的扇形：弧 长 ，弦 。 4. 常见模型 4.1 拱桥隧道模型（垂径定理） 跨度 、拱高 与半径 的通用关系：，由 展开（消去 ）直接解出，避免解一元二次方程的繁琐。如 、：。 4.2 张角比较模型（圆周角） 同弧上张角处处相等；点在弧内（圆内）张角变大，在弧外（圆外）变小。射门问题：球员离球门越近且越正，对球门的张角越大，射门越有利；比较 与 即可判断点位优劣。 4.3 组合几何体侧面积模型 圆锥 + 圆柱组合体：分别算圆柱侧面积 、圆锥侧面积 （ 为柱高、 为锥母线），再求和。如粮仓顶部圆锥底面周长 、母线 ：油毡面积 。 4.4 传送带 / 环形跑道模型 与两个等圆相切的传动带（跑道）长度 = 两条平行直段 + 一个整圆周（两段弧拼成一圆）。如两轮半径相同、圆心距 ：带长 一个圆的周长，与直段所夹角度无关。 三、高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：垂径定理的推论漏掉”不是直径”这个条件 典例：判断：“平分弦的直径垂直于弦。”这句话正确吗？ 错解：正确。因为平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这是垂径定理的推论。 正解：不正确。推论中必须加上”不是直径”：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。反例：两条直径 、 相交于圆心 ， 平分 ，但 与 不一定垂直。 原因：忽略隐含条件。被平分的”弦”如果是直径，就出现”两条直径互相平分”的情形——任意两条直径都互相平分，但未必垂直，此时结论不成立。学生背推论时把括号里的限制条件丢掉，把一个有条件的命题当成无条件命题使用。凡使用垂径定理的推论，先检查被平分的弦是否可能恰好是直径。 易错点 2：把”长度相等的弧”当成”等弧” 典例： 的半径为 ， 的半径为 ，两圆中各有一段长度相等的弧，这两段弧是等弧吗？ 错解：是等弧。因为等弧就是长度相等的弧，这两段弧长度相等。 正解：不是等弧。等弧的定义是”在同圆或等圆中，能够互相重合的弧”。两圆半径不同，不是等圆，两段弧无论如何平移旋转都无法重合，所以不是等弧（尽管弧长相等）。 原因：概念理解错误。学生把”等弧”简化为”弧长相等”，丢掉了”能够互相重合”这一本质，也忽略了”同圆或等圆”的前提。长度相等只是重合的必要条件之一；半径不同的圆中，弯曲程度不同，长度相等的弧不能重合。判断等弧先问两个问题：在不在同圆或等圆中？能不能重合？ 易错点 3：用圆周角定理求角，漏掉点的位置分类讨论 典例：在 中，圆心角 ，点 在 上，求 的度数。 错解：由圆周角定理，。 正解：分两种情况：① 点 在优弧 上时， 对劣弧 ，；② 点 在劣弧 上时， 对优弧 ，优弧所对圆心角为 ，。所以 为 或 。 原因：漏分类讨论。题目只说”点 在 上”，没有说明 在哪一段弧上，两种位置对应的圆周角互补。学生画图时习惯把 画在优弧上，直接套定理得 ，把另一种情况漏掉。圆中未指明位置的点，必须分情况讨论——这是圆周角类题目最经典的坑。 易错点 4：圆内接四边形外角与内对角的方向搞反 典例：四边形 是 的内接四边形， 为 延长线上一点。若 ，求 的度数。 错解：因为圆内接四边形对角互补， 与 是一对对角，所以 。 正解：四边形 内接于 ，对角互补，； 是 的邻补角，。（即外角 等于内对角 。） 原因：审题与方向错误。学生对”对角互补”的对应关系没找准—— 的对角是 （），不是 ；先算出 再由邻补角得 ，或者直接用”外角等于内对角”一步到位。图形中延长线改变了角的常规位置，必须重新确认每个角的对弧。 易错点 5：圆锥侧面展开图中把底面半径当成扇形半径 典例：圆锥的底面半径是 ，母线长 ，求它的侧面展开图的圆心角。 错解：由弧长公式，，得 。（或：。） 正解：侧面展开图是扇形，扇形的半径是母线 ，扇形的弧长等于底面圆的周长 。由 ，得 。（即 。） 原因：概念混淆。学生把”扇形的半径”当成底面圆的半径 ，而展开图中扇形的半径是母线 ；把 的比值位置放反，得到的圆心角超过 ，明显不合理却没有检验。记住对应关系：扇形半径对应母线，扇形弧长对应底面周长，再列等式就不会错；求出的角若超过 一定是用反了。 易错点 6：弧长公式与扇形面积公式的分母记混 典例： 的圆心角所对的弧长是 ，求此弧所在圆的半径。 错解：由 ，得 ，解得 。 正解：弧长用 （不是面积公式）：，解得 。 原因：公式记忆混淆。弧长公式 与扇形面积公式 只差一个 和分母，学生两者记混，把半径的量纲算成”开根号”也不觉得异常。检验的习惯：弧长是一次量纲（长度），解出 不需要开方；面积才带平方。另外 与三角形面积公式形式相同，可帮助记忆。 学科网（北京）股份有限公司 $