第三十章直线与圆的位置关系期中核心知识清单-数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系　知识清单 一、核心知识总结（必背・重点） 1. 直线与圆的位置关系 1.1 三种位置关系的定义 直线与圆有三种位置关系： 位置关系 教材定义 相离 直线与圆没有公共点 相切 直线与圆只有一个公共点，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点 相交 直线与圆有两个公共点，这条直线叫作圆的割线 图1：直线与圆的三种位置关系 示例：钥匙环在直线上方移动，从相离到相切再到相交，公共点个数由 个变为 个，再变为 个。 1.2 用 与 刻画位置关系 设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，根据直线与圆相离、相切、相交的定义，容易得到： 位置关系 与 的关系 公共点个数 直线 与 相离 直线 与 相切 直线 与 相交 图2：用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断位置关系 示例： 半径为 ： 时相离， 时相切， 时相交。 2. 圆的切线 2.1 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径。 示例： 切 于点 ，则 ，连接 即得直角三角形，可用勾股定理计算。 注意：在解决有关圆的切线的问题时，常常需要作过切点的半径。 示例：已知切线而要求角度或线段长时，先连接圆心与切点，得到垂直关系。 2.2 切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 示例： 是 的半径，直线 经过点 且 ，则 是 的切线。 注意：判定切线需要两个条件同时满足——“经过半径外端”与”垂直于这条半径”，缺一不可。 示例：直线 过 的中点且 ，虽垂直但垂足不在圆上， 不是切线。 2.3 切线长 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 示例： 是 外一点， 切 于点 ，线段 的长就是点 到 的切线长。 2.4 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 图3：从圆外一点引圆的两条切线 示例：、 切 于 、，若 ，则 ；若 ，则 。 3. 三角形的内切圆 3.1 内切圆与内心 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。 图4：作三角形两个内角的平分线确定内心 示例：作 的内切圆：作 、 的平分线交于点 ，过 作一边的垂线，垂线段长即半径，以 为圆心作圆。 4. 正多边形与圆 4.1 正多边形的定义 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。 示例：等边三角形、正方形是正多边形；菱形各边相等但各角不一定相等，不一定是正多边形。 4.2 正多边形与圆的互化 只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆。 示例：把 五等分，顺次连接各分点，得到 的内接正五边形。 4.3 正多边形的中心、半径、中心角、边心距 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 图5：正六边形的中心、半径、中心角与边心距 示例：正六边形的中心角为 ；正八边形的中心角为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 双切线图形的隐藏结论 、 切 于 、 时，除 、 平分 外，还有： 平分 ，且 所在直线垂直平分弦 ，、 均为等腰三角形。如 ，，则 为等边三角形，。 1.2 切线长速算公式 从圆外一点 引 的切线，切线长 （ 中用勾股定理）。如 ，，则 。 1.3 内心角公式 为 的内心时，（对任意两个顶点与内心的连线都成立，如 ）。如 ，则 。 【使用提醒】公式只对”内心”成立，外心对应的是圆心角等于圆周角两倍的关系，先分清内心还是外心再选用。 1.4 内切圆半径两公式 直角三角形（直角边 、，斜边 ）：；任意三角形：（ 为面积， 为周长）。如直角边 、、斜边 的三角形，。 【使用提醒】直角三角形公式中 必须是斜边；任意三角形公式来自面积法 ，通用性更强。 1.5 内心与外心对比 内心 外心 交点来源 三条角平分线的交点 三边垂直平分线的交点 到什么等距 三边（距离 内切圆半径） 三个顶点（距离 外接圆半径） 位置 一定在三角形内部 锐角三角形内、直角三角形斜边中点、钝角三角形外 1.6 “有公共点”的参数范围 直线 与 有公共点的条件是 （相切或相交），有且仅有一个公共点即 ，有两个公共点即 。如 半径为 ， 与 有公共点，则 。 【使用提醒】”有公共点”包含相切，等号不能丢；“有两个公共点”才是严格 。 1.7 圆与圆的位置关系（教材”探究与发现”） 设两圆半径为 、（），圆心距为 ： 位置关系 与 、 的关系 公共点个数 外离 外切 相交 内切 内含 【使用提醒】相交要同时比上下限： 太大是外离、太小是内含或内切，别只验证 一头。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 切线判定两条路 直线与圆有已知公共点时，连半径、证垂直；公共点未知时，作垂直、证圆心到直线的距离等于半径。如证 是切线：连 ，证 ；又如证 是切线：作 于 ，证 。 2.2 切线性质使用流程 见切线 → 连过切点的半径 → 得垂直 → 转入直角三角形用勾股定理或角度计算。如 切 于 ，，则 ，。 2.3 内心角度计算流程 连顶点与内心 → 得角平分线 → → 用内角和或 求角。如 ，，则 ，。 2.4 内切圆切点分段求长 设一条切线段长为 ，由切线长相等把三边都用 表示，再按某边实际长度列方程。如三边 ，，：设 ，则 ，，由 得 。 2.5 正多边形计算套路 中心、边中点与相邻顶点构成”半径—边心距—半边长”直角三角形，中心角的一半为 ，用勾股定理（或特殊角性质）求边长、边心距、面积。如正六边形（半径 ）：边长 ，边心距 ，面积 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 含参位置判断 先统一半径：给直径先取半，再拿 与 比大小 直径 （）： 相交， 相切， 相离 切线长勾股速算 ，常与 、、 型勾股数结合 ，， 直角三角形内切圆 ，即”两直角边和减斜边再除以 ” 边 、、： 常用正多边形数值（正多边形的半径 ，即外接圆半径） 正三角形：边长 ，边心距 ；正方形：边长 ，边心距 ；正六边形：边长 ，边心距 的正六边形：边长 ，边心距 中心角与内角外角 中心角 外角 ，内角 正五边形中心角 ，内角 圆周率文化常识 徽率 （刘徽割圆术）、约率 、密率（祖率）（祖冲之） 数学文化选择题常考 4. 常见考试模型 4.1 图形中的位置判断模型 公式： 圆心到直线的垂线段长，常借助面积法（）或中位线求出，再与 比大小。 限定： 必须是圆心到直线的垂直距离，斜线段长不能代入判断。 示例：如教材例题： 中 ，，圆心 为斜边中点、，则 到 的距离 ，相切；到 的距离 ，相离。 4.2 双切线综合模型 公式：，，，在 中 。 限定：、 必须是从同一点 引出的两条切线的切点。 示例：如 ，，则 ，， 为等边三角形，周长 。 4.3 V 形架 / 靠墙模型（两切线夹角） 公式：圆心在角的平分线上，切点与圆心连线垂直于边；特殊角（、、）用特殊直角三角形求切线段。 限定：圆须与角的两边都相切；油桶靠墙时墙与地面垂直，圆与两者都相切。 示例：如钢管半径 放在 的 V 形架内：圆心在角平分线上，切点处构成含 角的直角三角形，。 4.4 三角形内切圆应用模型（铁皮裁圆） 公式：最大裁圆半径 三角形内切圆半径：，直角三角形用 。 限定：圆须与三条边都相切才是最大用料圆。 示例：如直角边 、 的三角形铁皮：。 4.5 正多边形裁剪 / 组合模型 公式：圆形铁片截边长 的正方形：（对角线即直径）；边长 的六角螺帽开口（两对面距离）。 限定：被裁图形必须内接于圆，“至少”取等号。 示例：如边长 的六角螺帽：开口至少 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判定切线只认”垂直”，漏”经过半径外端” 典例： 的半径 ，直线 经过 的中点 ，且 。判断 与 的位置关系。 错解：因为 ，直线垂直于半径，所以 是 的切线。 正解：圆心 到 的距离 ，所以 与 相交。 原因：概念理解错误。切线判定定理要求”经过半径的外端”与”垂直于这条半径”两个条件同时成立，学生只看到”垂直”就下”相切”结论，忽略了垂足 在半径中间、不在圆上，此时距离小于半径是相交而非相切。凡判定切线，先确认直线与圆的公共点是否恰为半径端点。 易错点 2：内心与外心混淆，套错公式 典例： 中，，，点 是 的内心，求 的度数。 错解：由圆周角定理的推论，。 正解：。由内心角公式，。 原因：概念混淆。“”是外心（外接圆圆心）对顶点的圆心角关系，内心对两顶点连线的夹角满足的是 。两个”心”的来源不同——内心是角平分线交点、外心是垂直平分线交点，见到”心”字先确认是哪一个，再选公式。 易错点 3：判断位置关系时， 不是垂线段长 典例： 中，，，，以 为圆心、 为半径作 ，判断 与 的位置关系。 错解：，所以 与 相离。 正解：作 于 ，由面积法 ，所以 与 相交。 原因：概念理解错误。判断依据中的 是圆心到直线的垂直距离，学生却拿圆心到直线上某点（如端点 ）的斜线段 代入比较， 长不代表圆心离直线有多近。凡判断位置关系，先作出或求出圆心到直线的垂线段，再与半径比大小。 易错点 4：两圆相交只比上限，漏下限 典例：两圆半径分别为 和 ，圆心距 ，判断两圆的位置关系。 错解：因为 ，所以两圆相交。 正解：两圆相交的条件是 ，即 。现在 ，所以两圆内切。 原因：漏分类讨论。相交的圆心距被夹在”半径差”与”半径和”之间，学生只验证了上限 ，漏了下限 ，而 恰好等于半径差时是内切不是相交。涉及两圆位置，按”外离—外切—相交—内切—内含”五个分界逐一核对。 易错点 5：中心角与内角混淆 典例：正十边形的中心角等于多少度？ 错解：中心角 。 正解：中心角 ； 是正十边形的内角。 原因：概念混淆。中心角是”一边所对的圆心角”，用 除以边数；内角用内角和公式求。学生把内角公式套到中心角上，根源是没分清”顶点在圆心”还是”顶点在多边形”。记住对应关系：中心角 外角，与内角互补。 易错点 6：“有公共点”求参数范围漏等号 典例： 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，若 与 有公共点，求 的取值范围。 错解：有公共点即相交，所以 。 正解：”有公共点”包括相切（ 个）和相交（ 个），即 。 原因：漏分类讨论。学生把”有公共点”直接等同于”相交”，丢掉了 时相切也恰有一个公共点的情形，导致等号被漏。参数范围题中”有公共点”“有且仅有一个公共点”“有两个公共点”三种问法的范围各不相同，需逐一对应”相离—相切—相交”的分界值。 学科网（北京）股份有限公司 $