专题01 一元二次方程（知识&考点&公式&8高频&3易错&5重难&6模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材人教版

专题01 一元二次方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . 3、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数． 知识点02 一元二次方程的解（根） 1、一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 2、一元二次方程的解（根）满足的条件： （1） 未知数的值；（2）使方程左右两边相等. 知识点03 一元二次方程的解法 1、直接开平方法 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 2、配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 3、因式分解法 （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． 4、公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点04 一元二次方程根的判别式 ◆1、一元二次根的判别式：一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac． ◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． ◆3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤: ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a，b，c的值； ③计算b2﹣4ac的值； ④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况． ◆4、运用根的判别式时的注意事项 （1）将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值． （2）确定a，b，c 的值时不要漏掉符合． 知识点05一元二次方程的根与系数的关系 ◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． ◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． 知识点06实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 考点01 一元二次方程的识别 考点内容：一元二次方程的定义与判定；一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）；二次项、一次项、常数项及各项系数． 常见考法： ①判断一个方程是不是一元二次方程（紧扣“整式、一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0”）； ②指出一元二次方程中的二次项、一次项、常数项，确定各项系数（注意符号）； ③含参数的方程中，由“它是一元二次方程”确定参数的值（注意二次项系数a≠0）． 考点02 一元二次方程的解（根） 考点内容：方程的解（根）的定义；用代入法判断一个数是否为方程的根；由已知根求参数；整体思想求代数式的值． 常见考法： ①判断所给的数是不是一元二次方程的根（代入检验）； ②已知方程的一个根，求方程中的参数或另一个根； ③利用根的定义整体代入，求相关代数式的值． 考点03 用直接开平方法与因式分解法解方程 考点内容：直接开平方法（x²＝p、（nx+m）²＝p）；因式分解法（提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘）． 常见考法： ①用直接开平方法解方程，注意等号右边必须是非负数； ②用因式分解法解方程（移项、分解因式、令因式为0）； ③判断方程是否有实数根或根的个数． 考点04 用配方法解方程 考点内容：配方法的原理与步骤；把一般式配方为（x+m）²＝n的形式． 常见考法： ①用配方法解一元二次方程； ②判断配方法每一步变形是否正确； ③由“用配方法可化为（x+m）²＝n”等条件求参数的值． 考点05 用公式法解方程与根的判别式 考点内容：求根公式；根的判别式Δ＝b²－4ac与根的情况；用公式法解方程的一般步骤． 常见考法： ①用公式法解一元二次方程（先化一般式，再算判别式）； ②由判别式的符号判断方程根的情况； ③已知方程根的情况（两个不等实根／两个相等实根／无实根），求参数的取值范围（注意a≠0）． 考点06 一元二次方程的实际应用 考点内容：列一元二次方程解应用题的一般步骤；增长率、面积、利润等常见模型． 常见考法： ①增长率（降低率）问题：a(1±x)²＝b； ②面积与几何问题：围栏、道路、图形剪拼等； ③利润与销售问题：由单价变化与销售量变化关系列方程； ④解出根后检验是否符合题意，舍去不合题意的根． 1. 一元二次方程的解法与求根公式 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c＝0（a≠0） a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 2 直接开平方法 x²＝p⇒x＝±（p≥0）； （nx+m）²＝p⇒nx+m＝±（p≥0） 等号右边必须是非负数 3 完全平方公式 （a±b）²＝a²±2ab＋b² 用于配方时把左边配成完全平方式 4 配方——完全平方式 x²＋2mx＋m²＝（x＋m）² 配方关键：加“一次项系数一半的平方” 5 求根公式 x＝（b2﹣4ac≥0） 用于公式法解一元二次方程 6 根的判别式 Δ＝b²－4ac Δ＞0两不等实根；Δ＝0两相等实根；Δ＜0无实根 2 根与系数的关系与实际应用 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 根与系数的关系（韦达定理） x1＋x2＝－，x1·x2＝ 前提：方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有实数根 8 增长率（降低率）模型 a(1＋x)²＝b 或 a(1－x)²＝b a为基数，x为增长率（降低率），b为两次变化后的量 辨析01 一元二次方程必须同时满足三个条件，缺一不可 判断一个方程是否是一元二次方程，必须同时满足：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0．四项缺一不可，不要只凭“有平方项”就断定是一元二次方程． 辨析02 一般形式中二次项系数a不能为0，而b、c可为任意实数 为ax2+bx+c＝0（中，只有当a≠0时才是二次方程；若a＝0而b≠0，则变为一元一次方程bx+c＝0．因此一次项系数b、常数项c可以取任意实数（包括0），二次项系数a则必须不等于0． 辨析03 “解”与“根”是同一概念 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．两者含义完全相同，只是在不同的语境下习惯用词不同，不要误认为是两个不同的概念． 辨析04 直接开平方法中，等号右边必须是非负数 形如x²＝p（p≥0）或（nx+m）²＝p（p≥0）才可直接开平方；当p＜0时，方程没有实数根，不能直接开平方． 辨析05 用因式分解法前必须把右边化为0，不能“约分” 因式分解法要求方程右边为0、左边分解为两个一次因式的乘积．不能在两边同时除以含未知数的式子，否则可能漏掉该式子等于0的情形而造成失根． 辨析06 配方法加的是“一次项系数一半的平方”，不是“一次项系数的一半” 配方的关键是两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使左边配成（x+m）²的形式；常见错误是只加“一次项系数的一半”或漏乘系数． 辨析07 用公式法前须化为一般形式，并先算判别式b²－4ac 用公式法前要把方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式，正确确定a、b、c（含符号），并先算出Δ＝b²－4ac；只有当Δ≥0时才能代入求根公式，不能盲目代入． 辨析08 根的判别式决定根的情况，不要误判为“一个根” 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根（不是说“只有一个根”）；当Δ＜0时，方程没有实数根；当Δ＞0时，有两个不相等的实数根． 辨析09 求出的根必须检验，实际问题中不合题意的根要舍去 列一元二次方程解应用题，求出的两个根都要检验是否符合题意．如增长率应为正、边长应为正、件数应为整数等，不符合题意的根要舍去． 辨析10 四种解法的选择：先看能否直接开平方或因式分解，再用公式法或配方法 解一元二次方程时，优先考虑直接开平方法和因式分解法（更简便）；若不适合，再用配方法或公式法（公式法是通法，适用范围最广）． 【题型一】一元二次方程的识别 【例1】（26-27九年级上·广东中山·阶段检测）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、在中，当时，二次项系数为0，不是一元二次方程，故不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故符合题意； C、变形得，，是一元一次方程，故不符合题意； D、的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意． 【变式1-1】（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D．5x+3=0 【答案】B 【详解】解：A、∵ 含两个未知数，∴ A不符合一元二次方程要求． B、∵ 是只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，∴ B符合要求． C、∵分母含未知数，∴ C不符合一元二次方程要求． D、∵未知数最高次数为1，∴ D不符合一元二次方程要求． 【变式1-2】下列方程中不一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，即含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此即可一一判定． 【详解】解：A．方程是一元二次方程，故选项A不符合题意； B．方程是一元二次方程，故选项B不符合题意； C．方程是一元二次方程，故选项C不符合题意； D．当时，方程不是一元二次方程，故选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键． 【变式1-3】（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 【题型二】一元二次方程的一般形式 【例2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）方程化为一元二次方程的一般形式 是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（26-27九年级上·山东济南·开学考试）把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程化成一般形式是__________；一次项系数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般形式． 先将方程右边的括号展开，然后移项使方程右边为0，合并同类项化为一般形式，再根据一般形式识别一次项系数． 【详解】解： ． ， ． 可知一次项系数为． 故答案为：，． 【变式2-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 (2)一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 (3)一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 (4)一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 【分析】通过移项，合并同类项，根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则，把方程转化成一元二次方程的一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 【详解】（1）解：， 移项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项； （2）解：， 移项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项； （3）解：， 去括号，得：， 移项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项； （4）解：， 左边展开，得：， 移项，合并同类项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项． 【题型三】一元二次方程的解（根）与参数 【例3】若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 【变式3-1】已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 【变式3-2】若方程是关于的一元二次方程，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，要求含未知数的最高次数为2，即；且二次项系数非零，根据这两个条件即可求得m的值． 【详解】由题意，得 解得：m=3或m=－3 而当m=－3时，m+3=0，此时方程不是一元二次方程，不符合题意，应舍去 所以m=3 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握此定义是解题的关键，同时一定要保证二次项系数不为零． 【变式3-3】若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，求解即可； 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 整理，得， 解得或， 一元二次方程， ， 解得， 故 【题型四】由一元二次方程的解求式子的值 【例4-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 【变式4-1】（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 【变式4-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【分析】将代入方程得到关系式，整理得到的值，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． 【变式4-3】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，则可变形为，通分得到原式，然后把代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 【题型五】解一元二次方程 【例5-1】（26-27九年级上·湖北·期中）把方程化为的形式，则的值 是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过配方法将二次方程化为，从而确定和的值，然后求出的值即可． 【详解】解：∵， 配方得，即， ∴， ∵方程化为的形式， ∴，， ∴． 【变式5-1】（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【变式5-2】用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， 或， ，． 【变式5-3】解方程： (1)用直接开平方法解； (2)用配方法解； (3)用公式法解； (4)用因式分解法解． 【答案】(1)x1=1+，x2=1-； (2)x1=3+，x2=3-； (3)x1=，x2=； (4)x1=0，x2=2.5． 【分析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得； （3）利用公式法求解可得； （4）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：∵3（x-1）2=6， ∴（x-1）2=2， 则x-1=±， ∴x1=1+，x2=1-； （2）解：∵x2-6x=-3， ∴x2-6x+9=-3+9，即（x-3）2=6， 则x-3=±， ∴x1=3+，x2=3-； （3）解：∵9x2+10x-4=0， ∴a=9，b=10，c=-4， 则△=102-4×9×（-4）=244＞0， ∴x===， 即x1=，x2=； （4）解：∵2x2-5x=0， ∴x（2x-5）=0， 则x=0或2x-5=0， 解得x1=0，x2=2.5． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 题型六 利用根的判别式判别根的情况 【例6-1】（26-27九年级上·广东中山·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【详解】解：一元二次方程， ∵，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根. 【变式6-1】关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号相反，故选项B错误， 故选：C． 【变式6-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根． (2)方程有两个相等的实数根． (3)方程没有实数根． 【详解】（1）解：将方程整理为一般形式，得． ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：方程已为一般形式， ∵，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． （3）解：将方程整理为一般形式，得． ∵，，， ∴， ∴方程没有实数根． 题型七 利用根与系数的关系求值 【例7-1】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 【变式7-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 【变式7-2】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 【变式7-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）设，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，． 原式 ． （2）解：由题意，得，． 原式 ． 题型八 一元二次方程的实际应用 【例8】如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 【变式8-1】（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（     ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】设每个枝干长出的小分支个数为，根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设每个枝干长出的小分支个数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； 故每个枝干长出的小分支的个数为6个. 【变式8-3】（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 【答案】C 【分析】根据“总利润 =单件利润 销售量”建立方程，求解后根据题目限制条件对根进行取舍． 【详解】解：由题意，设台灯的定价应为元（）． 销售单价上涨了元． 因为售价每上涨元，月销售量就减少个， 所以月销售量减少了个， 月销售量为：， 要实现每月元的销售利润， 可得， 整理方程得，， 因式分解得：， 解得：， ． ，不符合题意，舍去． 因此，台灯的定价应为元． 【题型一】忽视“二次项系数不为0”而致错 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程． (1)当a取何值时，该方程为一元一次方程？ (2)当a取何值时，该方程为一元二次方程？ 【答案】(1)当时，该方程为一元一次方程． (2)当时，该方程为一元二次方程． 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，令二次项系数为0且一次项系数不为0求解． （2）根据一元二次方程的定义，令二次项系数不为0求解． 【详解】（1）解：∵方程为一元一次方程， ∴二次项系数为0，且一次项系数不为0， 即，且， 解得． （2）解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数不为0， 即， 解得． 易错警示 含参数“关于x的一元二次方程”，二次项系数a≠0；若只说“关于x的方程”，还要分a＝0（一元一次方程）与a≠0（一元二次方程）两种情况讨论，不要漏解． 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 【变式1-2】如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（    ）． A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个实数根， ∴， 解得且． 【题型二】因式分解法“约分”致错（失根） 【例2】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）某中学数学社团组织了一场“方程解谜大挑战”活动，小颖要解决这样一个方程问题；若社团活动室的矩形文化墙的长和宽（单位：米）的值都满足方程，求文化墙的长和宽．以下是小颖解方程的过程： 解：．第一步 第二步 第三步 ，第四步 ．第五步 (1)小颖的解题过程从第___________步开始出现错误． (2)请完成这个方程的正确解题过程，帮小颖算出文化墙的长和宽． 【答案】(1)四 (2)文化墙的长和宽分别是和 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤即可判断． （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：小颖的解题过程中，从第四步开始出现错误．错误的原因是漏掉了一个解． 故答案为：四； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 社团活动室的矩形文化墙的长和宽的值都满足方程， 文化墙的长和宽分别是和． 易错警示 方程两边同时除以含有未知数的式子时，可能漏掉该式子等于0的情形而造成失根；应先移项使一边为0，再用因式分解法求解． 【变式2-1】（23-24九年级上·河北保定·期中）在学习一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：． 嘉嘉同学的解答过程如下： 方程两边同时除以，第一步 得，第二步 所以，第三步 因此，方程的解为．第四步 (1)判断嘉嘉的解法是否正确，若不正确，请说明原因； (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的解法不正确．原因见解析 (2)，．过程见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是关键； （1）由方程两边不能同时除以，不符合等式的性质可得答案； （2）先移项，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【详解】（1）解：嘉嘉的解法不正确． 原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以，不符合等式的性质； （2）解： ， ，即， 或， ∴方程的解为，． 【变式2-2】小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【题型三】忽视检验，把不合题意的根当作答案 【例3】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 【答案】 【分析】设方程两根为直角三角形两直角边长，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合面积求出两根之积，再通过勾股定理和完全平方公式计算斜边长． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，， 即直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 直角三角形的面积为3， ， ， ， ， ， ， 该直角三角形斜边长为． 易错警示 解应用题求出根后，必须检验是否符合题意（如增长率应为正、边长应为正、件数为整数），不符合的要舍去． 【变式3-1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）若，则的值 为（     ） A． B．4 C．4或 D．或2 【答案】B 【分析】采用换元法简化方程，结合的非负性舍去负根． 【详解】解：设，由平方的非负性得． 方程可化为． 整理得． ． 解得，． ∵， ∴不符合题意，舍去． ∴． 【变式3-2】阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． (2)解方程： 【答案】(1)换元；转化 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键． （1）解方程运用了换元法，即体现了转化的数学思想； （2）设，则，解方程得到，进而得到方程，，分别解这两个方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想； （2）解：设， ∴原方程可变为， ∴， 解得， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无解； 当时，，即， ∴， 解得． 【题型一】利用根与系数的关系求参数 【例1】已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 【变式1-1】已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数关系代入求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∵， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系：，． 【变式1-2】若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当时，方程有两个实数根”． 根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故选B． 【题型二】根的判别式的综合应用 【例2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求原方程的解． (2)若原方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入方程，再利用配方法求解可得； （2）根据方程有实数根得出，据此列出关于m的不等式求解可得． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ， ， ； （2）解：原方程有实数根， ， 解得， 该方程是一元二次方程， ， 且． 【变式2-1】（23-24九年级上·福建南平·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，写出一个满足条件的m的整数值，并求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 当时，，； 当时，，． 【分析】本题考查了解一元二次方程及一元二次方程根的判别式： （1）根据一元二次方程根的情况利用根的判别式即可求解； （2）当时，方程为：；当时，方程为；解一元二次方程即可， 熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ，即：， 解得：． （2）解：由题意可知，，m为整数， 所以，或； 当时，方程为：， 解得：，； 当时，方程为， 解得：，． 【变式2-2】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时 ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 【题型三】根与判别式、根与系数关系的综合 【例3】已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 【变式3-1】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【答案】(1)证明： ． 方程总有两个实数根 (2)整数的值为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 【变式3-2】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两根满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论； （2）由根与系数的关系可用m表示出和，利用已知条件可得到关于m的方程，则可求得m的值． 【详解】（1）∵原方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）∵方程的两实根分别为，， ∴， ∵， ∴，即． 解得， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系及判别式，由根的情况得到判别式的符号是解题的关键，在（2）中注意m的值需要满足判别式大于或等于0． 【题型四】 一元二次方程与新定义问题 【例4】（2026九年级上·全国·专题练习）对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 【答案】 或 【分析】根据定义新运算的法则，解方程即可． 【详解】解：依题意得， ， ， 或， 解得或． 【变式4-1】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_________． 【答案】2019 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， 解得， ， 则代数式能取的最小值是2019． 故答案为：2019 【变式4-2】（25-26九年级上·江西上饶·期末）我们规定：对于任意实数有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)10 (2)且 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意求值即可； （2）根据一元二次方程的判别式得，解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 此方程有两个实数根， ， 解得且． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·单元测试）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； (3)m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）观察定义可知，一组“倒方程”之间，二次项系数与常数项互换，一次项系数相同，根据此规则求解即可． （2）先列出原方程的“倒方程”，再将代入原方程的“倒方程”后即解出常数项． （3）同样先列出原方程的“倒方程”，将代入，再将方程变形后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：． （2）解：由题可知，方程的倒方程为， 将代入此方程， 得， 解得． （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， 是此方程的一个实数根， ， ， ． 【题型五】一元二次方程的实际应用（综合模型） 【例5】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）传染病就像隐藏的敌人，随时可能偷袭你，做好日常预防，爱护自己，至关重要．德尔塔（）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔病毒，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒．在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设在每轮传染中平均一个人传染了人，则第一轮传染后共有人感染，第二轮传染后有人感染，根据一共有人感染了德尔塔病毒，列方程求解即可． 【详解】解：设在每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不符题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 【变式5-1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 【变式5-2】（26-27九年级上·北京·课后作业）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 【变式5-3】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 【题型一】直接开平方法模型 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答． （2）先移项，再直接开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 解得 【变式1-1】（2025九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得， 即，； （2） 解得 即，； （3） 解得 即，． 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）移项后化用直接开平方法求解； （2）移项后用直接开平方法求解； （3）系数化为1后用直接开平方法求解； （4）移项、系数化为1后用直接开平方法求解． 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 当时，； 当时，， ∴，． （2）解：， 移项得， 开方得， 当时，，； 当时，，， ∴，． （3）解：， 移项得， 开方得， 当时，，； 当时，，， ∴，． （4）解：， 移项得， 系数化为1得， 开方得， ∴，． 【题型二】因式分解法模型 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 可得或 解得，； （2）解： 解得． 【变式2-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得 ； （2）解： 或 解得 ； （3）解： 或 解得 ； （4）解： 或 解得 ． 【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【题型三】配方法模型 【例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) ，. (2) ，. 【详解】（1）解：， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方得， 整理得， 开方得， 解得 ，； （2）解：， 两边同乘得， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方得， 整理得， 开方得， 解得 ，. 【变式3-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 移项，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 解得； （2）解： ， 移项，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， ∴． 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） 解： 即 开方得 解得； （2）解： 配方得 即 开方得 解得 ； （3）解： 配方得 即 开方得 解得； （4）解： 配方得 即 开方得 解得 ． 【题型四】公式法模型 【例4】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 【变式4-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 【变式4-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【题型五】换元法模型 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答； （2）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答． 【详解】（1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 【变式5-1】阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 【答案】；． 【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程可变为，即， 解得，． 当时，，即， ， ∴此方程无解； 当时，，即， ∴， ∴；； ∴原方程有两个根：；． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键． 【变式5-2】我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 【题型六】实际应用模型 【例6】（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】(1)123 (2)小亮说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可； （2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）解：小亮的说法是正确的． 理由：设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程 ， 即 ，     解得（负数舍去），， 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确． 【变式6-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）某市每年都举行篮球赛，去年初赛阶段，共15支队伍参赛，每两队之间都比赛一场．今年，参赛的队伍比去年有所增加，组委会决定初赛阶段共安排40场比赛，并将参赛队伍平均分成4个小组，各小组每两队之间都比赛一场．问今年比去年增加了多少支队伍? 【答案】今年比去年增加了5支队伍 【分析】设每个小组有支参赛队伍，则每一个队伍比赛场，由于每两队之间都比赛一场，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】解：由题意可得，每个小组比赛场数为（场）， 设每个小组有支参赛队伍， 列方程得， 解得（不合题意，舍去）， ∴今年比去年增加的队伍数为（支）． 答：今年比去年增加了5支队伍． 【变式6-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）随着我国汽车产业的快速发展以及居民收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，截至2020年底，该市汽车保有量为15万辆；截至2022年底，汽车保有量已达万辆．若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长率． 【答案】这个增长率为． 【分析】根据2020年底与2022年底的汽车保有量，结合年均增长率相同的条件建立一元二次方程求解． 【详解】解：设该市这两年汽车保有量的增长率为x，2020年底汽车保有量为15万辆，年均增长率相同，2022年底汽车保有量可表示为万辆，根据题意得 ， 解得，． ∵增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． ∴增长率为． 答：这个增长率为． 【变式6-3】（2026九年级上·全国·专题练习）为推动青少年文化学习与体育锻炼协调发展，实验中学计划在操场空地用防护网搭建如图所示的两个矩形网球场，中间用防护网隔开．网球场一面靠墙（墙长m），并在平行于墙的边上的两处各留宽为m的门．已知计划使用的防护网总长为m，设网球场长为m． (1)_______m；（用含x的代数式表示） (2)矩形网球场ABCD的面积是否能达到？请说明理由． 【答案】(1) (2)矩形网球场的面积不能达到． 理由如下： 由（1）可知，． 根据题意，得， 整理，得． ， ∴原方程没有实数根， ∴矩形网球场的面积不能达到． 【分析】（1）由题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可 【详解】（1）解：（1）设网球场长为m， m （2）略 技巧 一句话要点 判断是否为一元二次方程——“三条件检查法” 整式、一个未知数、最高次数为2，且二次项系数≠0，缺一不可。 识别一般形式与各项系数——“按幂排列法” 先移项化为ax²+bx+c=0，再对照确定a、b、c（注意符号）。 判断是否为方程的根——“代入检验法” 把数代入原方程，看左右两边是否相等。 由方程的根求参数——“代回方程法” 把根代入方程得关于参数的方程，解出参数（含参时注意a≠0）。 解方程方法选择——“先看结构法” 先看能否直接开平方或因式分解，不行再用公式法或配方法。 直接开平方法——“先化平方，再看非负” 化成x²=p或（nx+m）²=p（p≥0），再开平方；p＜0无实根。 因式分解法——“一边为零，因式相乘” 先把一边化为0，再分解因式，令每个因式为0。 配方法——“二次化1，加半平方” 二次项系数化为1，两边加“一次项系数一半的平方”。 公式法——“先化一般，再算判别式” 化为一般式确定a、b、c，先算Δ=b²-4ac，Δ≥0再代入求根公式。 根的判别式判断根的情况 Δ＞0两不等实根；Δ＝0两相等实根；Δ＜0无实根。 含参问题——“代回检验” 由根的情况求参数后，代回方程检验是否满足a≠0及题意。 实际应用题——“审设列解检验答” 设元、列方程、解根后必须检验根是否符合题意，舍去不合题意的根。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫一元二次方程． 2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是 ；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . 3、一元二次方程的一般形式： （a≠0）．其中ax2叫做 ，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做 ．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数． 知识点02 一元二次方程的解（根） 1、一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边 的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 2、一元二次方程的解（根）满足的条件： （1） 未知数的值；（2）使方程左右两边相等. 知识点03 一元二次方程的解法 1、直接开平方法 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝ ； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝ ． 2、配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 ，并把常数项移到方程 ； ③方程两边同时加上一次项系数 的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 3、因式分解法 （1）若一元二次方程整理后右边为 ，且左边能进行 ，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为 的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． 4、公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定 的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：① ；② ． 知识点04 一元二次方程根的判别式 ◆1、一元二次根的判别式：一般地，式子 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝ ． ◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个 的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个 的实数根； ③当Δ＜0时，方程 ． 上面的结论反过来也成立． ◆3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤: ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定 的值； ③计算 的值； ④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况． ◆4、运用根的判别式时的注意事项 （1）将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值． （2）确定a，b，c 的值时不要漏掉符合． 知识点05一元二次方程的根与系数的关系 ◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． ◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． 知识点06实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“ ”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“ ”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“ ”：即根据题中等量关系列方程； (4)“ ”：即求出所列方程的根； (5)“ ”：即验证根是否符合题意； (6)“ ”：即回答题目中要解决的问题． 考点01 一元二次方程的识别 考点内容：一元二次方程的定义与判定；一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）；二次项、一次项、常数项及各项系数． ①判断一个方程是不是一元二次方程（紧扣“整式、一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0”）； ②指出一元二次方程中的二次项、一次项、常数项，确定各项系数（注意符号）； ③含参数的方程中，由“它是一元二次方程”确定参数的值（注意二次项系数a≠0）． 考点02 一元二次方程的解（根） 考点内容：方程的解（根）的定义；用代入法判断一个数是否为方程的根；由已知根求参数；整体思想求代数式的值． ①判断所给的数是不是一元二次方程的根（代入检验）； ②已知方程的一个根，求方程中的参数或另一个根； ③利用根的定义整体代入，求相关代数式的值． 考点03 用直接开平方法与因式分解法解方程 考点内容：直接开平方法（x²＝p、（nx+m）²＝p）；因式分解法（提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘）． ①用直接开平方法解方程，注意等号右边必须是非负数； ②用因式分解法解方程（移项、分解因式、令因式为0）； ③判断方程是否有实数根或根的个数． 考点04 用配方法解方程 考点内容：配方法的原理与步骤；把一般式配方为（x+m）²＝n的形式． ①用配方法解一元二次方程； ②判断配方法每一步变形是否正确； ③由“用配方法可化为（x+m）²＝n”等条件求参数的值． 考点05 用公式法解方程与根的判别式 考点内容：求根公式；根的判别式Δ＝b²－4ac与根的情况；用公式法解方程的一般步骤． ①用公式法解一元二次方程（先化一般式，再算判别式）； ②由判别式的符号判断方程根的情况； ③已知方程根的情况（两个不等实根／两个相等实根／无实根），求参数的取值范围（注意a≠0）． 考点06 一元二次方程的实际应用 考点内容：列一元二次方程解应用题的一般步骤；增长率、面积、利润等常见模型． ①增长率（降低率）问题：a(1±x)²＝b； ②面积与几何问题：围栏、道路、图形剪拼等； ③利润与销售问题：由单价变化与销售量变化关系列方程； ④解出根后检验是否符合题意，舍去不合题意的根． 1. 一元二次方程的解法与求根公式 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c＝0（a≠0） a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 2 直接开平方法 x²＝p⇒x＝±（p≥0）； （nx+m）²＝p⇒nx+m＝±（p≥0） 等号右边必须是非负数 3 完全平方公式 （a±b）²＝a²±2ab＋b² 用于配方时把左边配成完全平方式 4 配方——完全平方式 x²＋2mx＋m²＝（x＋m）² 配方关键：加“一次项系数一半的平方” 5 求根公式 x＝（b2﹣4ac≥0） 用于公式法解一元二次方程 6 根的判别式 Δ＝b²－4ac Δ＞0两不等实根；Δ＝0两相等实根；Δ＜0无实根 2 根与系数的关系与实际应用 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 根与系数的关系（韦达定理） x1＋x2＝－，x1·x2＝ 前提：方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有实数根 8 增长率（降低率）模型 a(1＋x)²＝b 或 a(1－x)²＝b a为基数，x为增长率（降低率），b为两次变化后的量 辨析01 一元二次方程必须同时满足三个条件，缺一不可 判断一个方程是否是一元二次方程，必须同时满足：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0．四项缺一不可，不要只凭“有平方项”就断定是一元二次方程． 辨析02 一般形式中二次项系数a不能为0，而b、c可为任意实数 为ax2+bx+c＝0（中，只有当a≠0时才是二次方程；若a＝0而b≠0，则变为一元一次方程bx+c＝0．因此一次项系数b、常数项c可以取任意实数（包括0），二次项系数a则必须不等于0． 辨析03 “解”与“根”是同一概念 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．两者含义完全相同，只是在不同的语境下习惯用词不同，不要误认为是两个不同的概念． 辨析04 直接开平方法中，等号右边必须是非负数 形如x²＝p（p≥0）或（nx+m）²＝p（p≥0）才可直接开平方；当p＜0时，方程没有实数根，不能直接开平方． 辨析05 用因式分解法前必须把右边化为0，不能“约分” 因式分解法要求方程右边为0、左边分解为两个一次因式的乘积．不能在两边同时除以含未知数的式子，否则可能漏掉该式子等于0的情形而造成失根． 辨析06 配方法加的是“一次项系数一半的平方”，不是“一次项系数的一半” 配方的关键是两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使左边配成（x+m）²的形式；常见错误是只加“一次项系数的一半”或漏乘系数． 辨析07 用公式法前须化为一般形式，并先算判别式b²－4ac 用公式法前要把方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式，正确确定a、b、c（含符号），并先算出Δ＝b²－4ac；只有当Δ≥0时才能代入求根公式，不能盲目代入． 辨析08 根的判别式决定根的情况，不要误判为“一个根” 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根（不是说“只有一个根”）；当Δ＜0时，方程没有实数根；当Δ＞0时，有两个不相等的实数根． 辨析09 求出的根必须检验，实际问题中不合题意的根要舍去 列一元二次方程解应用题，求出的两个根都要检验是否符合题意．如增长率应为正、边长应为正、件数应为整数等，不符合题意的根要舍去． 辨析10 四种解法的选择：先看能否直接开平方或因式分解，再用公式法或配方法 解一元二次方程时，优先考虑直接开平方法和因式分解法（更简便）；若不适合，再用配方法或公式法（公式法是通法，适用范围最广）． 【题型一】一元二次方程的识别 【例1】（26-27九年级上·广东中山·阶段检测）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D．5x+3=0 【变式1-2】下列方程中不一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【题型二】一元二次方程的一般形式 【例2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）方程化为一元二次方程的一般形式 是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·山东济南·开学考试）把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-2】（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程化成一般形式是__________；一次项系数是__________． 【变式2-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三】一元二次方程的解（根）与参数 【例3】若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【变式3-1】已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【变式3-2】若方程是关于的一元二次方程，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【题型四】由一元二次方程的解求式子的值 【例4-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【变式4-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若a是方程的一个解，则的值是________． 【变式4-3】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知是方程的一个根，求的值． 【题型五】解一元二次方程 【例5-1】（26-27九年级上·湖北·期中）把方程化为的形式，则的值 是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【变式5-3】解方程： (1)用直接开平方法解； (2)用配方法解； (3)用公式法解； (4)用因式分解法解． 题型六 利用根的判别式判别根的情况 【例6-1】（26-27九年级上·广东中山·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【变式6-1】关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 【变式6-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)． 题型七 利用根与系数的关系求值 【例7-1】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【变式7-2】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）设，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)． (2)． 题型八 一元二次方程的实际应用 【例8】如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8-1】（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（     ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【变式8-3】（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 【题型一】忽视“二次项系数不为0”而致错 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程． (1)当a取何值时，该方程为一元一次方程？ (2)当a取何值时，该方程为一元二次方程？ 易错警示 含参数“关于x的一元二次方程”，二次项系数a≠0；若只说“关于x的方程”，还要分a＝0（一元一次方程）与a≠0（一元二次方程）两种情况讨论，不要漏解． 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（    ）． A． B．且 C．且 D． 【题型二】因式分解法“约分”致错（失根） 【例2】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）某中学数学社团组织了一场“方程解谜大挑战”活动，小颖要解决这样一个方程问题；若社团活动室的矩形文化墙的长和宽（单位：米）的值都满足方程，求文化墙的长和宽．以下是小颖解方程的过程： 解：．第一步 第二步 第三步 ，第四步 ．第五步 (1)小颖的解题过程从第___________步开始出现错误． (2)请完成这个方程的正确解题过程，帮小颖算出文化墙的长和宽． 易错警示 方程两边同时除以含有未知数的式子时，可能漏掉该式子等于0的情形而造成失根；应先移项使一边为0，再用因式分解法求解． 【变式2-1】（23-24九年级上·河北保定·期中）在学习一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：． 嘉嘉同学的解答过程如下： 方程两边同时除以，第一步 得，第二步 所以，第三步 因此，方程的解为．第四步 (1)判断嘉嘉的解法是否正确，若不正确，请说明原因； (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 【变式2-2】小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【题型三】忽视检验，把不合题意的根当作答案 【例3】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 易错警示 解应用题求出根后，必须检验是否符合题意（如增长率应为正、边长应为正、件数为整数），不符合的要舍去． 【变式3-1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）若，则的值 为（     ） A． B．4 C．4或 D．或2 【变式3-2】阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． (2)解方程： 【题型一】利用根与系数的关系求参数 【例1】已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【变式1-1】已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-2】若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【题型二】根的判别式的综合应用 【例2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求原方程的解． (2)若原方程有实数根，求m的取值范围． 【变式2-1】（23-24九年级上·福建南平·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，写出一个满足条件的m的整数值，并求此时方程的根． 【变式2-2】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【题型三】根与判别式、根与系数关系的综合 【例3】已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【变式3-1】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【变式3-2】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两根满足，求m的值． 【题型四】 一元二次方程与新定义问题 【例4】（2026九年级上·全国·专题练习）对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 【变式4-1】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_________． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西上饶·期末）我们规定：对于任意实数有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·单元测试）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； (3)m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【题型五】一元二次方程的实际应用（综合模型） 【例5】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）传染病就像隐藏的敌人，随时可能偷袭你，做好日常预防，爱护自己，至关重要．德尔塔（）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔病毒，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒．在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ 【变式5-1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【变式5-2】（26-27九年级上·北京·课后作业）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【变式5-3】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【题型一】直接开平方法模型 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-1】（2025九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二】因式分解法模型 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【变式2-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三】配方法模型 【例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1) (2) 【变式3-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型四】公式法模型 【例4】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【变式4-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【变式4-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【题型五】换元法模型 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【变式5-1】阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 【变式5-2】我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【题型六】实际应用模型 【例6】（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【变式6-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）某市每年都举行篮球赛，去年初赛阶段，共15支队伍参赛，每两队之间都比赛一场．今年，参赛的队伍比去年有所增加，组委会决定初赛阶段共安排40场比赛，并将参赛队伍平均分成4个小组，各小组每两队之间都比赛一场．问今年比去年增加了多少支队伍? 【变式6-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）随着我国汽车产业的快速发展以及居民收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，截至2020年底，该市汽车保有量为15万辆；截至2022年底，汽车保有量已达万辆．若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长率． 【变式6-3】（2026九年级上·全国·专题练习）为推动青少年文化学习与体育锻炼协调发展，实验中学计划在操场空地用防护网搭建如图所示的两个矩形网球场，中间用防护网隔开．网球场一面靠墙（墙长m），并在平行于墙的边上的两处各留宽为m的门．已知计划使用的防护网总长为m，设网球场长为m． (1)_______m；（用含x的代数式表示） (2)矩形网球场ABCD的面积是否能达到？请说明理由． 技巧 一句话要点 判断是否为一元二次方程——“三条件检查法” 整式、一个未知数、最高次数为2，且二次项系数≠0，缺一不可。 识别一般形式与各项系数——“按幂排列法” 先移项化为ax²+bx+c=0，再对照确定a、b、c（注意符号）。 判断是否为方程的根——“代入检验法” 把数代入原方程，看左右两边是否相等。 由方程的根求参数——“代回方程法” 把根代入方程得关于参数的方程，解出参数（含参时注意a≠0）。 解方程方法选择——“先看结构法” 先看能否直接开平方或因式分解，不行再用公式法或配方法。 直接开平方法——“先化平方，再看非负” 化成x²=p或（nx+m）²=p（p≥0），再开平方；p＜0无实根。 因式分解法——“一边为零，因式相乘” 先把一边化为0，再分解因式，令每个因式为0。 配方法——“二次化1，加半平方” 二次项系数化为1，两边加“一次项系数一半的平方”。 公式法——“先化一般，再算判别式” 化为一般式确定a、b、c，先算Δ=b²-4ac，Δ≥0再代入求根公式。 根的判别式判断根的情况 Δ＞0两不等实根；Δ＝0两相等实根；Δ＜0无实根。 含参问题——“代回检验” 由根的情况求参数后，代回方程检验是否满足a≠0及题意。 实际应用题——“审设列解检验答” 设元、列方程、解根后必须检验根是否符合题意，舍去不合题意的根。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $