精品解析：湖北荆州市公安县车胤中学2026-2027学年高三上学期答疑辅导数学检测试卷

公安县车胤中学2027届答疑辅导数学检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则（　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 3. 已知幂函数为偶函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 8. 若对任意的，且，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是2 C. 的最小值是9 D. 的最小值是 10. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（    ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 11. 已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A. B. C. 中所有元素的平均数为190 D. 中所有元素的和为3008 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若__________. 13. 已知，，且，则的值等于___________. 14. 已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，非空集合， （1）若时，求，； （2）是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列是等比数列.求的通项公式. （2）已知，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； （3）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）证明：函数的图象是中心对称图形； （3）若函数为减函数，求实数的取值范围． 19. 若函数在定义域内给定区间上存在（），满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点. （1）已知函数是区间的“平均值函数”，求该函数的平均值点； （2）当函数是区间上的“平均值函数”，且有两个不同的平均值点时，求实数的取值范围； （3）是否存在区间（），使得函数是区间上的“平均值函数”?若存在，求出所有满足条件的区间；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 公安县车胤中学2027届答疑辅导数学检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】全集， 又因为， 所以. 2. 已知命题，则（　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出，可判断各选项的准确性. 【详解】设，则. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 所以对恒成立. 所以成立，即命题为真命题. 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以. 故选：D 3. 已知幂函数为偶函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义与奇偶性求得m，从而得解. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又因为为偶函数，所以， 所以. 故选：B. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】AC选项找出反例即可说明错误； B选项利用作差法比较大小； D选项利用指数函数的单调性判断大小. 【详解】A选项：当时，，故A错； B选项：，当，且时，，，，所以，即，故B错； C选项：当，，此时，故C错； D选项：设，因为，所以单调递减，，即，，故D正确. 故选：D. 5. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段讨论函数的单调性，可求的取值范围. 【详解】由题意：第一：在上单调递减，所以. 第二：在上单调递减. 第三：函数在上单调递减，所以. 综上可得：. 故选：B 6. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得. 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 7. 已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由定义证为奇函数，由常数分离可得为增函数， 即可将，结合奇偶性及单调性可得，即可求解 【详解】令，由得为奇函数，又为增函数， 由，即，解得. 故选：B 8. 若对任意的，且，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数有意义得出，再构造函数，根据题意得出在上单调递减，进而求出的单调递减区间，再根据即可求解. 【详解】解：对任意的，且， 易知：， 化简得：， 即， 即， 令， 则函数在上单调递减， 因为， 由，可得：， 所以的单调递减区间为， 所以， 所以， 因此，实数的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是2 C. 的最小值是9 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，，且， 对于A，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，故A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，故C正确； 对于D，由， 得，当且仅当时等号成立， 则的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 10. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（    ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据，赋值令，即可得结果；对于B，根据是奇函数及可得，即可得结果；对于C，根据可得，即可得结果；对于D，分析可知4为的周期，结合周期性即可求解. 【详解】对于选项A，令，可得，故A不正确； 对于选项B，因为函数是定义域为的奇函数，则， 则，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：因为，所以. 则. 即，所以的图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D，因为，， 令，可得. 令，可得， 又因为，则. 可知4为的周期，可得，即. 因为，所以，故D正确. 11. 已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A. B. C. 中所有元素的平均数为190 D. 中所有元素的和为3008 【答案】AD 【解析】 【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素，直接得到的等比通项；集合元素个数，结合元素和的递推关系，推导出的通项，再逐一验证选项即可. 【详解】选项A，已知，最大元素， 根据定义， 则，A正确； 选项B，由的构造，的最大元素是，则的最大元素是， 因此，即是首项为，公比为2的等比数列：. 当时， ，B错误； 设为所有元素之和，则 ，因为， 所以 .一般地，，其中是的元素个数. 由构造可知，(即每次新增元素与原集合无重复)，因为 ，故. 结合，递推得：， 等式两边同除以得.令 ，则， 累加法求， 则. 选项C，当时，均值为 ，C错误； 选项D，当时， ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式计算，即可求解. 【详解】 13. 已知，，且，则的值等于___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由交集结果得到，从而得到方程，求出，得到，，代入计算得到，求出答案. 【详解】，故， 所以，解得， 故， 又，故，， 所以，解得， . 故答案为； 14. 已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在上的最大值，分类讨论求出的最大值，再根据给定条件建立不等式，借助单调性求出范围. 【详解】由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值， 由函数，求导得， 函数在上单调递增，； 函数的定义域为， 求导得，当时，， 函数在上单调递增，当时，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，令，函数在上单调递增， 不等式，解得， 所以实数a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，非空集合， （1）若时，求，； （2）是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）存在实数 【解析】 【分析】（1）当时，分别求出集合，，根据集合的运算求解. （2）问题先转化为⫋，再根据集合的包含关系确定的取值范围. 【小问1详解】 集合， 或 当时，非空集合 ， . 【小问2详解】 假设存在实数，使得是的必要不充分条件，则⫋， 则，解得. 故存在实数，使得是的必要不充分条件. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列是等比数列.求的通项公式. （2）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） 当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减得，即，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列. 又，即. （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系式，得到与的关系式，再利用等比数列定义证明，再结合等比数列的通项公式可求通项； （2）利用分组求和结合公式法可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当为奇数时，， 当为偶数时，， 故 . 17. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； （3）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出，代入，即可求出函数的解析式； （2）由题意可得恒成立，分和两种情况讨论，求得答案. （3）先化简不等式，再参变分离，根据双勾函数的单调性求出最值，可得实数的取值范围． 【小问1详解】 令，则， ∴ ， 即. 【小问2详解】 由题意可得：恒成立， 当 时， ，满足题意. 当 时，若 恒成立，则 解得. 所以实数 的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得恒成立， 即恒成立， 又因为，∴恒成立， 令，， 又在为减函数，在为增函数. ∴，∴， 即实数的取值范围为. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）证明：函数的图象是中心对称图形； （3）若函数为减函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）由函数， 可得， 所以 +2b ， 即，即， 所以函数的图象关于点中心对称. （3） 【解析】 【分析】（1）先求切点坐标，再利用导数求切线的斜率，利用点斜式可得切线方程. （2）证明，即可得函数的对称中心. （3）根据函数的单调性，利用导数小于或等于0，问题转化为在上恒成立.当时，上式恒成立；当时，分离参数可得，利用换元法，求的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，可得， 又由，可得， 所以函数的图象在处的切线方程，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，其定义域为， 且， 因为函数是减函数，所以在内恒成立， 即在内恒成立， 因为，不等式可化为， 即， 当时，恒成立，此时； 当时，， 令，则，因为且，即且， 则， 令， 令，则，， 当时，取得最大值，此时， 所以的最大值为，则的最小值为， 因为恒成立，所以，即实数的取值范围为. 19. 若函数在定义域内给定区间上存在（），满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点. （1）已知函数是区间的“平均值函数”，求该函数的平均值点； （2）当函数是区间上的“平均值函数”，且有两个不同的平均值点时，求实数的取值范围； （3）是否存在区间（），使得函数是区间上的“平均值函数”?若存在，求出所有满足条件的区间；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给定义得到，求出即可判断； （2）依题意存在，使关于的方程，参变分离可得，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，再求出端点处函数值，即可求出参数的取值范围； （3）利用反证法，令，则在区间上有解，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得到，即，即可得到矛盾，从而得证. 【小问1详解】 解：函数是区间上的“平均值函数”， 由题题意，，得，则或（舍去）， 所以函数是区间上的“平均值点”为； 【小问2详解】 解：因为函数是区间上的“平均值函数”，且有两个不同的平均值点， 所以存在，使关于的方程有两个不同的根和， 即，即，令，其中， 则，令，解得， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，， 所以，因此； 【小问3详解】 假设存在区间（），使得函数是区间上的“平均值函数”， 令， 所以在区间上有解， 又，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即，即，即，即， 又因为，即，所以与相矛盾， 所以不存在区间（），使得函数是区间上的“平均值函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $