湖北荆州市公安县车胤中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

公安县车胤中学2026-2027学年度上学期高三九月月考 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则集合的子集个数为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】解不等式，得，因为， 则集合，所以集合共有个子集. 2．“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，此时，故“”是“”的充分条件； 反之成立时，可以取，，此时均无意义，故“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 3．函数在区间上的图象大致为( ) A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用排除法，先对函数化简，然后判断函数的奇偶性，再取特殊值可求得结果. 【详解】，定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以图象关于原点对称， 所以排除A、D； 因为，且， 所以，所以排除C； 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点，将角α的终边顺时针旋转得到角β，则cosβ=( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得角α的终边经过点，， 根据三角函数的定义得, 5．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：A. 6．2026年7月23日，国际数学家大会在美国费城揭晓了2026年菲尔兹奖得主，中国籍数学家王虹和邓煜双双获奖，实现历史性突破。数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，首次以数学严格方式推导出从 微观粒子系统到宏观玻尔兹曼方程的完整逻辑链条获得菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是( )（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出的具体表达式，通过取常用对数，结合已知的、近似值计算对数值，确定的值. 【详解】已知，分别计算的三个组成部分的对数值： ，因此； ，因此； ，因此. 所以， 故. 7．已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则( ) A. ， B. ， C.， D. ， 【答案】D 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，因为，所以①， 为偶函数，所以②， 当时，，由①②得，， 解得，. 8．设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导可知单调递增. 将不等式转化为，利用单调性得 ，解得. 【详解】设函数，由于， 得，则在上单调递增，， 则，即， 于是，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列结论或等式正确的是( ) A. B. 若函数在上有零点，则 C. 若角α为第二象限角，且|cos|=-cos，则角为第二象限角 D.命题“存在，”的否定是“对于任意的，” 【答案】AD 10．设，，，则下列说法正确的是( ) A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BCD 11．已知定义域为的函数不恒为，，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】使用赋值法计算与，推导函数的周期求解. 【详解】令，则，选项A正确； 令，则，，解得或， 令，则，即， 若，则，即，与条件矛盾，所以，选项B正确； 由，得，选项C错误； 由，令，得， 令，得， 即，则， 所以的周期是4，由，令，得，，，选项D.正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，且，则________. 【答案】 13．已知，则________． 【答案】 14．记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上单调递减，在单调递增， 当时，，故， 则在上单调递减，在单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故，解得，即， 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是确定在上的值 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知幂函数在上单调递减，函数． (1)求实数的值； (2)记集合，集合，若，求实数的取值范围． 解：（1）由题意得，，解得或， 当时，，在上单调递减，满足题意； 当时，，此时在上单调递增，不满足题意. 综上，. （2）由（1）知，，又，则. .   . ，解得， 即实数的取值范围为. 16．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； (2)若函数的图象与的图象有两个公共点，求实数的取值范围. 解：（1） 依题意得，即，解得. 故， 在点处的切线方程为，即； 而在点处的切线方程为，这两条切线平行，故. （2）函数的图象与的图象有两个公共点, 方程有两个不等实根 方程有两个不等实根 方程有两个不等实根 直线与函数的图象有两个交点. 当时，单调递增；当时，单调递减. 有极大值，也是最大值为. 当时，；当时， 可以画出的草图（如图）：    由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 即函数的图象与的图象有两个公共点，故. 17．已知命题：函数的定义域为R；命题：，不等式上有解． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 解：（1）若为真命题，当时， 设t=g(x)，由上有解，得 设，， （2）若p为真命题，当m=0时，1>0恒成立 当m≠0时，只需解得0<m<4 若p，q有且仅有一个为真命题 当p为真命题，q为假命题时 当q为真命题，p为假命题时 综上， 18. 已知函数()的图象关于点成中心对称的充要条件是()是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数a的值； (2)证明：对于任意给定的实数a，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 解：（1）法一：若函数是点奇函数，则是奇函数， 得是奇函数，即，因为， ，比较两式右边，由 所以，解得. 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立， 即，化简得， 所以，解得． (2)，从而，其中， 所以恰有两解，设为，，， 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点. 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)； 当时，， 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此是的极小值点. 综上，可得，极小值点，极大值点. 即的所有极值点为和.极小值点1，极大值点； （3）法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：， 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. . 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即， 化简得恒成立， 所以，解得 所以函数存在唯一的对称中心， 所以函数是点奇函数. 19. 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设函数有两个极值点，（），证明：． 解：（1）由函数，所以函数的定义域为， ①当时：对恒成立，时，单调递减； 时，单调递增 ②当时，当时，单调递增； 当时，单调递增； 当时，单调递减； ③当时：恒成立，在单调递增； ④当时：当时，单调递增； 当时，单调递增；时，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减 (2)由已知，， 则， 函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根， 只需，故， 又，， 所以 ， 要证，即证， 只需证， 令，， 则， 在上单调递减，又，， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以时，，单调递增，时，，单调递减， 则， ∵由对勾函数知在上单调递增， ， ，即，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $ 公安县车胤中学2026-2027学年度上学期高三九月月考 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将姓名、班级及考号填写清楚. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则集合的子集个数为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 2．“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数在区间上的图象大致为( ) A．   B．   C．   D．   4．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点，将角α的终边顺时针旋转得到角β，则cosβ=( ) A． B． C． D． 5．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为( ) A． B． C． D． 6．2026年7月23日，国际数学家大会在美国费城揭晓了2026年菲尔兹奖得主，中国籍数学家王虹和邓煜 双双获奖，实现历史性突破。数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，首次以数学严格方式推导出从 微观粒子系统到宏观玻尔兹曼方程的完整逻辑链条获得菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是( ) (参考数据：，) A． B． C． D． 7．已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时， ，则( ) A. ， B. ， C.， D. ， 8．设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式 的解集为( ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列等式或结论正确的有( ) A. B. 若函数在上有零点，则 C. 若角α为第二象限角，且|cos|=-cos，则角为第二象限角 D.命题“存在，”的否定是“对于任意的，” 10．设，，，则下列说法正确的是( ) A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 11．已知定义域为的函数不恒为，，且，则( ) A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，且，则________. 13．已知，则________． 14．记表示a，b二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则a的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知幂函数在上单调递减，函数． (1)求实数的值； (2)记集合，集合，若，求实数k的取值范围． 16．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数a的值； (2)若函数的图象与的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 17．已知命题：函数的定义域为R；命题：，不等式上有解． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 18．已知函数()的图象关于点成中心对称的充要条件是()是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数a的值； (2)证明：对于任意给定的实数a，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设函数有两个极值点，（），证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $