湖北武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学试题

武汉市2027届高中毕业生九月调研考试 数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 12345678 ABCDDCBB 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 910 11 BC ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1213 14 8 15 10.V15 35 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题共13分) (1)由女生直方图各矩形面积之和为1，得 10(0.01+0.02+a+0.025+0.005)=1, 解得a=0.04。 以各组中值作为该组评分的代表值，女生平均分估计为 7=55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.25+95×0.05=74.5. 所以a=0.04,女生评分的平均数约为74.5分。 6分 (2)男生合格频率为10(0.03+0.02+0.01)=0.6，女生合格频率为10(0.04+0.025+0.005)=0.7，故 列联表为： 性别 合格 不合格合计 男生 120 80 200 女生 210 90 300 合计 330 170 500 提出零假设：评分等级与性别相互独立。由列联表计算得 X2= 500(120×90-80×210)2 ≈5.348. 200×300×330×170 因为5.348<6.635，所以在小概率值α=0.01的检验标准下，不能拒绝零假设，即没有充分证据 认为评分等级与该校报名者的性别有关联。 13分 湖北省武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学参考答紫第1页/共5页 16.（本小题共15分) (I)连接BD,交AC于O。因为ABCD为平行四边形，所以O是BD的中点。在△PBD中，E、 O分别为PB、BD的中点，故EO/IPD。又EOC平面ACE,PD￠平面ACE,所以PD/∥ 平面ACE。 6分 (2)以A为原点，AD方向为x轴正方向，底面内垂直于AD且指向B所在一侧的方向为y轴正方 向，AP方向为z轴正方向建系。设PA=h>0。 由LBAD=120°，可取 A(0,0,0),D(4,0,0),B(-1,V3,0),C(3,V3,0),P(0,0,h). 则E 15h 222 直线AE、PD的方向向量可分别取 i=(-1,3,h),=(4,0,-h). 由两直线所成角为45°，得 h2+4 吃 Vh2+4Vh2+16 2 平方整理得2(h2+4)=h2+16,所以h2=8,h=2V2。 平面PAC内有AP=(0,0,2V2),AC=(3,V3,0)。 取法向量i=(1,-V3,0),可验元·AP=元.A己=0。 设直线PD与平面PAC所成角为B,则 sing=位.l 4-V6 V24×2-6 15分 iP E D A￥s ---X ---7 B 湖北省武汉市2027届高中毕业生九月调研背试数学参考答案第2页/共5页 17.（本小题共15分) 函数定义域为(0，+∞)，且 f'6,)=20x+0）-42-2r+2a)0c-a) (1)当a=-1时，f(1)=0,f'(1)=-4。故切线方程为y=-4(x-1),即y=-4x+4。 4分 (2)因为x>0,导数的符号由(x+2a)(x-a)决定。 当a>0时，x+2a>0。于是f在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增。 当a<0时，x-a>0。于是f在(0，-2a)上单调递减，在(-2a,+oo)上单调递增。 9分 (3)要使定义域内恒有f(x)>0,只需且必须使其最小值大于0。 当a>0时，最小值为f(a)=4a2(1-lna)。 所以f(a)>0等价于lna<1,得到0<a<e。 当a<0时，最小值为f(-2a)=a2[1-41n(-2a)]。 所以f(-2a)>0等价于1n(-20)<子得到-一<a<0. 综上，ae(uao 15分 18.(本小题共17分) (1)联立 (x-1)2+y2=1, (y2 2px, →x-12+2px=1→x2+(2p-2r=0, 所以x=0或x=2-2p。 圆M与抛物线E的三个公共点分别为(0,0)，(2-2p,±2Vp(1-p可。 这三点恰好构成等腰直角三角形，所以 2-2p=2p(1-可→p=号 故E的标准方程为y2=x。 4分 (2)设直线AB方程为x=my+1,A(y,y1),B(y3,y2),M(1,0)。 联立 x=my+，三y2-my-t=0. y2=x, )因为LAMB=60,M到AB距离d=1-1=1,即m2=P-2。 Vm2+1 tan LAMB= y(0y3-1)-y2(0y好-1) =5. y-1)0y3-1)+y1y2 而0y-1)(0y2-1)=(0y1y2)2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1=2-(m2+2)+1=1, 且Iy1-y2l=Vm2+41=V2+2i。 所以 (1-1）.V2+27 V3白1=-3或1， 1-t 湖北省武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学参考容業第3页/共5页 但1=1时，m2=-1<0舍去。 故1=-3，m=士V西，直线AB的斜率k=是=士⑤ m159 0分 间由AMP=A-hL得-，所以△AMN△ABM,从面ANM=ZAB 由(i)知|tan LAMBI=-V2+2a,而1 tan LANMI=m=V-27 11 所以 Vr2+2t= 1 曰2=2+V5. V2-2 又由AM、MW AB BM →AM·BM=AB.MN =V1+m2.2+2.k-1川=2-1=1+V5. 17分 19.(本小题共17分) (1)每个原数在两两和中出现3次，所以 a1+a2+ag+a4=8+14+16+20+2+28=36. 3 最小的两个和分别是a1+a2=8,a1+a3=14。 设a1=x,则a2=8-x,a3=14-x,a4=14+x。 尚未确定的两个中间和为a1+a4=14+2x,a2+ag=22-2x,它们应分别取16,20。故x=1或 x=3。 得到两组值： (a1,a2,a3,a4)=(1,7,13,15)或(3,5,11,17). 逐对相加，两组均得到8,14,16,20,22,28。 6分 (2)设T=a1+a2+a3+a4+a6。每个原数出现4次，所以 10 T 4 由所给和数列唯一确定。 利用递增关系，可确定四个极端和： S1=a1+a2,S2=a1+a3,S9=a3+a5,S10=a4+a5 于是中间项首先被唯一确定：a3=T-S1-S10。再依次得到 a1=S2-a3,a2=S1-a1,a6=Sg-a3,a4=S10-a6 右端均由已知的和数列唯一确定，因此a1,a2,a3,a4,a6的解唯一。 12分 (3)先证明一个扩充构造。设两组互异的数U、V各有k个元素，并具有相同的两两和多重集。取足 够大的正整数h,使平移后的数都大于未平移的数，构造 U1=UU(V+h),Vi=VU(U+h). 湖北省武汉市2027届高中毕业生九月羽研考试数学参考答案第4页/共5页 这里V+h表示将V中每个数都加上h。U1的两两和分为三类：U内部的和、V内部的和再加 2h、形如4+v+h的交叉和。y的前两类只交换了U、V的角色，两类多重集均不变；第三类 仍由同样的所有u+v+h组成。因此U1、V也具有完全相同的两两和多重集。 从第（1)问的U=(1,7,13,15),V=(3,5,11,17)出发，第一次取h=20,得到 U1=(1,7,13,15,23,25,31,37),V3=(3,5,11,17,21,27,33,35). 第二次取h=40,得到两组16个递增的正整数： (a1,,a8)=(1,7,13,15,23,25,31,37), (ag,·,a16)=(43,45,51,57,61,67,73,75) (b1,·,b8)=(3,5,11,17,21,27,33,35), (bg,·,b16)=(41,47,53,55,63,65,71,77). 由两次扩充构造，它们的号×16×15=120个两两和连同重数完全相同，而a1=1≠3=b1,两 数列不同，所求存在性得证。 17分 湖北省武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学参考答案第5页/共5页 武汉市2027届高中毕业生九月调研考试 数 学 试 卷 2026.9.16 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．平面向量，的夹角为，若，，则 A． B．0 C．1 D．2 3．某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球．已知该地某芯片企业近9个月的月产量构成等比数列，其中前3个月总产量为50万片，前6个月总产量为110万片，则该企业这9个月的总产量为 A．170万片 B．178万片 C．182万片 D．188万片 4．若函数为奇函数，则 A． B．1 C． D． 5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小是 A． B． C． D． 6．某单位有5名员工，需要在小长假三天安排人员值班，每天只需一人值班，不能出现同一人连续两天值班情况，则所有的安排方法种数为 A．60 B．70 C．80 D．100 7．已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则 A． B． C． D． 8．已知，若函数与的最大值相等，则a的值所在区间为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知，为复数，则下列说法中正确的有 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．记双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线l与双曲线E交于A，B两点，则下列说法中正确的有 A．双曲线E的离心率是 B．若，则的周长为18 C．存在四条不同直线l使得 D．线段的中点坐标可能是 11．在空间中，从同一个顶点发出多条射线围成一个“锥”，张开的空间范围就叫“立体角”．如图，以锥的顶点为球心，作半径为1的单位球面，这个锥会在球面截取一块曲面，该曲面的面积就是立体角的大小．现有底面半径为2的圆锥，设母线长为l，记其顶点锥口的立体角为．另有四棱锥，其底面是边长为2的正方形，记其顶点锥口的立体角为．则下列说法中正确的有 A．对任意， B．若，则 C．当平面时，若，则 D．当四棱锥是正四棱锥时，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为________． 13．记公差不为零的等差数列前项和为，若，则正整数的值为________． 14．记椭圆：的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则________；椭圆的离心率________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评．现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图． （1）求的值，并估计女生评分的平均数； （2）若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”．完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联． 性别 评分等级 合计 合格 不合格 男生 女生 合计 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点． （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间； （3）若，求的取值范围． 18．（17分） 已知圆：与抛物线：的三个公共点恰好构成等腰直角三角形． （1）求抛物线的标准方程； （2）过抛物线上一点引射线，该射线与圆相切且与抛物线交于另一点，记该射线与轴的交点为． （ⅰ）若，求所在直线的斜率； （ⅱ）若，求． 19．（17分） 已知个正整数，，…，满足：，这个数两两成对可组成对数，这对数中每对的两个数求和后形成一个数列：．例如1，2，4求和后形成3，5，6． （1）当时，形成对求和数列：，，，，，．试写出，，，可能的两组值． （2）当时，对于形成的，，…，，证明：，，，，的解是唯一的． （3）当时，证明：存在两个不同的数列，，…，和，，…，对应同一个求和数列，，…，． 学科网（北京）股份有限公司 $