精品解析：宁夏回族自治区银川一中2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试卷

银川一中2027届高三年级第二次月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若为第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 《水浒传》《三国演义》《西游记》和《红楼梦》被称为中国古典长篇小说四大名著．书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种 6. 记函数的最小正周期为．若，且的图象的一条对称轴为，关于该函数有下列四个说法： ①； ②； ③在上单调递增； ④为了得到的图象，只要把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 8. 已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 已知幂函数是奇函数，则实数 B. 先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 D. 函数在区间内有零点 11. 已知，下列判断正确的是（ ） A. 时直线为图象的一条对称轴 B. 若，且，则 C. 时将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 D. 若在上恰有9个零点，则的取值范围为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 设随机变量X服从正态分布，若，则______． 13. 在外接圆半径为的中，分别为角的对边，且，则的最大值是_____. 14. 若过点（）有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是______． 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列中，首项，. (1)求的通项公式； (2)若等比数列满足，，求的前项和. 16. 已知，求值： （1）； （2）. 17. 在中，，，分别为内角，，的对边，． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 18. 已知甲乙两个盒中均有3个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球和1个红球．从甲乙两个盒中各任取一个小球交换，重复进行次操作后，记甲盒中红球的个数为，甲盒中恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． （1）求的数学期望； （2）找出与的关系，并求的通项公式； （3）证明：． 19. 已知函数 （1）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （2）已知有两个零点，， ①求实数a的取值范围 ②当时，证明 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2027届高三年级第二次月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，然后根据交集的定义计算． 【详解】由已知，所以． 故选：A． 2. 已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案. 【详解】命题p：因为，所以，解得， 命题q：， 因为p是q的充分不必要条件， 所以. 故选：C 3. 若为第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用为第三象限角，求所在象限，再由三角函数值逐个判断可得. 【详解】因为为第三象限角，所以， 可得，， 所以是第第一，二象限角， 所以，不确定， 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由条件求，由此可得结论. 【详解】设，则，， 所以， 所以. 5. 《水浒传》《三国演义》《西游记》和《红楼梦》被称为中国古典长篇小说四大名著．书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种 【答案】D 【解析】 【分析】分成恰3本相邻，4本相邻两类，利用捆绑法分别计算插法数量，相加得到总方法数． 【详解】解：四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 不同的插法共有600种． 6. 记函数的最小正周期为．若，且的图象的一条对称轴为，关于该函数有下列四个说法： ①； ②； ③在上单调递增； ④为了得到的图象，只要把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，由求出可判断①；由的图象的一条对称轴为求出，求的值可判断②；令，求出的单调增区间可判断③；由三角函数的平移变换可判断④. 【详解】因为， 由可得：，解得：，故①不正确； 的图象的一条对称轴为， 所以，解得：, 因为，所以，所以， ，故②正确； 令，解得：， 令，，所以在上单调递增，③正确； 把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得， 再向左平移个单位长度，则， 故④正确. 故选：C. 7. 若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知不等式变形为，令，将问题转化为在上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得的最大值. 【详解】由可得， 由,且,所以，即， 令，则在上单调递增， 所以，令，则, 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以，故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题. 8. 已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求得，由余弦定理得到，由面积公式得到，联立二式，利用均值不等式得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又，则，因为为锐角，所以， 由余弦定理可知． 由等面积法可知，即，即． 将代入，则 ，当且仅当时取等号， 则的最大值为． 故选：B. 二.多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，设出公比，得到，A正确；B选项，不是常数，B错误；C选项，不恒为0，C错误；D选项，，D正确. 【详解】A选项，因为是等比数列，设， 则，故A正确； B选项，，不是常数，故B错误； C选项，，不恒为0，故C错误； D选项，，故D正确． 故选：AD 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 已知幂函数是奇函数，则实数 B. 先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 D. 函数在区间内有零点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，根据奇偶性的定义，即可得判断A的正误；根据平移伸缩变换的原则，可得变化后的解析式，即可判断B的正误；分析可得当时，符合题意，即可判断C的正误；根据零点存在性定理，可判断D的正误. 【详解】选项A：由为幂函数，得，解得或， 当时，，，为偶函数，故舍去， 当时，，，为奇函数，符合题意，故A正确； 选项B：将曲线向右平移个单位长度，得， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的，得，故B错误； 选项C： 当时，恒成立，此时符合题意，故C错误； 选项D：因为与在均为单调递增函数， 所以在上单调递增， 又，， 所以，则在区间内有零点，故D正确. 11. 已知，下列判断正确的是（ ） A. 时直线为图象的一条对称轴 B. 若，且，则 C. 时将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 D. 若在上恰有9个零点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用二倍角公式将化简，利用三角函数的相关性质依次判断求解即可. 【详解】，， 对于A，当时，，， 所以为的一条对称轴，故A正确； 对于B，根据条件，可得，，，故B错误； 对于C，当时，，将向左平移个单位长度后可得 是偶函数，图象关于轴对称，故C错误； 对于D，由题意，则，因为在上恰有9个零点， 所以，解得，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 设随机变量X服从正态分布，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得； 【详解】解：因为，所以所对应的正态曲线关于对称， 因为，所以， 所以； 故答案为： 13. 在外接圆半径为的中，分别为角的对边，且，则的最大值是_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意及正弦定理可得，由余弦定理求出，根据正弦定理可得，由三角恒等变换可得，利用正弦定理的图象与性质即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理得，∴， ∴， 又，则，， 又∵外接圆半径为，则，故， ， ∵，∴，， 即的最大值是. 14. 若过点（）有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点,求出切线方程，代入点，得，存在三条切线，即等价于函数与的图象有三个交点，由此即可求得的取值范围. 【详解】由题意可得，设切点坐标为，则切线斜率， 所以切线方程为， 将代入得． 因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根， 等价于函数与的图象有三个交点， 设，则， 当时，，单调递增； 在和上，，单调递减， ，，当或时，， 要使函数与的图象有三个交点， 只需，即，即的取值范围是． 故答案为： 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列中，首项，. (1)求的通项公式； (2)若等比数列满足，，求的前项和. 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】(1)设公差为，则，根据列方程，求解即可. (2)由(1)可知，则，从而确定等比数列的公比，根据等比数列前项和公式，求解即可. 【详解】(1)设等差数列的公差为，则 ，即 (2)由(1)可知，则 等比数列的公比 【点睛】本题考查求等差数列通项公式，以及等比数列的前项和公式，属于中等题. 16. 已知，求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对数运算求得，然后利用诱导公式，再化弦为切代入计算可得； （2）利用同角三角函数基本关系及二倍角的正余弦公式化简式子得，再化弦为切代入计算即可求得； 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 . 17. 在中，，，分别为内角，，的对边，． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理边化角，再将化为，化简求解即可. （2）将代入，和联立，求出和，再进一步求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理和得： ， ∵，， ∴， 又∵， ∴, 又∵， ∴ ∵，， ∴，∴ ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 由第（1）问，， ∴ 又∵， ∴， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴的面积为. 18. 已知甲乙两个盒中均有3个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球和1个红球．从甲乙两个盒中各任取一个小球交换，重复进行次操作后，记甲盒中红球的个数为，甲盒中恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． （1）求的数学期望； （2）找出与的关系，并求的通项公式； （3）证明：． 【答案】（1） （2）； （3） 由全概率公式可得 ， 即， 又，所以， 可得， 又， 故， 则，， 所以. 【解析】 【分析】（1）由题意写出随机变量的可能取值，分别求得所有取值的概率，根据数学期望的公式，可得答案； （2）由全概率公式，可得数列的递推公式，利用构造法以及等比数列的通项公式，可得答案； （3）类比（2）求得数列的通项公式，利用数学期望的计算，可得答案. 【小问1详解】 由题意随机变量， 则，，， 所以随机变量的分布列如下： 故数学期望. 【小问2详解】 由全概率公式可得 ， 即，化简可得， 所以，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即. 【小问3详解】 略 19. 已知函数 （1）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （2）已知有两个零点，， ①求实数a的取值范围 ②当时，证明 【答案】（1） （2）①； ②当时，由， 所以，， 所以， ，， 要证明 ， 只需证明 而， 令，则，欲证明 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以 【解析】 【分析】（1）求导，f（x）为增函数，恒成立，参变分离得到，再对进行基本不动处理可解实数a的取值范围. （2）①对函数求导，分类讨论，根据极值确定零点，求得实数a的取值范围. ②根据极值点偏移及齐次化证明不等式. 【小问1详解】 的定义域为，因为在定义域上为增函数， 所以在上恒成立. 即恒成立，，即， ∵，当时取等， ∴. 【小问2详解】 ① 定义域为， 当时，，所以在上单调递减，不合题意. 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是，即， 又， 所以在上存在一个零点. 当时，，所以在上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. ② 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $