专题05 直线与圆的位置关系（期中真题汇编，新疆专用）九年级数学上学期

专题05 直线与圆的位置关系 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 三角形的内切圆 考点04 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．C 2．【答案】① 圆外    ② 相离 【分析】 此题考查的是点、直线与圆的位置关系，根据点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断点与圆的位置关系．若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与半径的大小；根据直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径的大小． 【详解】 对于点P：∵点P到圆心O的距离为，的半径为，且， ∴点P在外． 对于直线l：∵圆心O到直线l的距离为，的半径为，且， ∴直线l与相离． 故答案为：圆外；相离． 3．【答案】相切或相交． 【分析】 根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】 当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切； 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交． 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题． 4．【答案】 【分析】 过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解． 【详解】 解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示： ∵H是BG的中点，且BO与HE平行， ∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE， 故要使得HE最短，只需要BO最短即可， 当E点位于C点时，则O点与C点重合， 当E点位于D点时，则O点与A点重合， 故E点在CD上运动时，O点在AC上运动， 由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短， ∵四边形ABCD是正方形， ∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段BO上． 考点02 圆的切线 1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 （1）连接，根据切线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出，进而可得，然后设，则，在和中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算可求出的长，再根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，最后利用三角形的中位线定理，进行计算即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 是的直径， ， ， ， 设， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， 是的中位线， ． 的长为．  【点睛】 本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线定理，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．【答案】厘米 【分析】 本题考查圆中求线段长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．设切线与切于点，如图所示，由切线长定理可得，数形结合，表示出三角形的周长，代值求解即可得到答案． 【详解】 解：设切线与切于点，如图所示： ∴由切线长定理可得， ， ， 故答案为：． 10．【答案】（1） 证明：如图，连接OD， ∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠ABC=90°． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB，即∠ABC=∠ODB． ∵DC=AC， ∴∠A=∠ADC， ∴∠ODB+∠ADC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴CD⊥OD． ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线；     （2）BC=8．      【分析】 （1）连接OD，根据题意可知∠A+∠ABC=90°．根据等边对等角可得∠ABC=∠ODB，∠A=∠ADC，即得出∠ODB+∠ADC=90°，从而可求出∠ODC=90°，即证明CD是⊙O的切线； （2）根据勾股定理即可求出OC的长，从而即可求出BC的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在Rt△ODC中，OD=3，CD=4， ∴ ∴BC=OB+OC=3+5=8． 【点睛】 本题考查切线的判定，等腰三角形的性质以及勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键． 11．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径； ∴直线是的切线；     （2）的直径长为20      【分析】 本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出，利用平行线的性质判定可得出，利用平行线的性质可得出，然后利用切线的判定即可得证； （2）作于点I，由垂径定理得，再证明四边形是矩形，得，则，由勾股定理得，求得，即可求的直径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作于点I， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的直径长为20． 12．【答案】（1） ① 如图， ∵， ∴， ∴． ② 如图2，连接，并延长交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③ 如图3，连接，并延长交于点D， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了切线长定理，圆周角定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键． （1）① 当点O在的边上时，先推导出，得到，即可解答；② 连接，并延长交于点D，先推导出，继而推导出，则，即可解答； ③ 连接，并延长交于点D，先推导出，继而推导出，则，即可解答； （2）如图4，先根据（1）中的结论可得，由切线的性质可得，可得，从而得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图4，连接， ∵， ∴， ∵分别与相切于点A，B， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．【答案】（1） 如图所示；      （2），直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．      【分析】 本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，尺规作图---线段的垂直平分线，关键是通过作图构造直径所对的圆周角． （1）先作出的中点M，然后以点M为圆心作圆M，则圆M与圆O的交点即为点A，B，则即为所求； （2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：是的直径， （直径所对的圆周角是直角）， ． 又是的半径， 是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）， 同理，是的切线． 故答案为：，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 14．【答案】 【分析】 与的三边分别相切于、、，可得，，，， (cm)，可得，即可求解． 【详解】 解：如图，与的三边分别相切于、、，    是的内切圆， 的切线与、相交于点、， ，， ，， 周长为20cm，， (cm)， 周长为 ()． 故答案：． 【点睛】 本题主要考查了切线长定理，掌握定理是解题的关键． 15．【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， 在中，， 即． 为的切线；     （2）     （3）      【分析】 （1）连接，欲证明为的切线，只需利用等腰三角形的性质，证明即可； （2）连接，构建直角，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得，然后利用勾股定理来求弦的长度； （3）图中阴影部分的面积扇形的面积的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接， 是的直径， ， 由（1）知，， ， 根据勾股定理得． 的长是； (3) 小问详解： 由（2）知，在中，， ; ∵点O是斜边上的中点， , ， 图中阴影部分的面积是． 【点睛】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积公式，正确作出辅助线，合理利用所学知识是解题的关键． 16．【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 17．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴，即， ∵在中，，D为的中点， ∴， ∴点E是的中点， 又∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）的长为      【分析】 本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线以及三角形中位线，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线性质是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出是的中位线，再根据平行线的性质得出即可； （2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半求出斜边，由勾股定理求出，再根据中点的定义可得，再由勾股定理求出，由三角形面积公式求出，最后由勾股定理求出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， 在中，，， ∴． 18．【答案】（1）如图所示：⊙O即为所求△ABC的外接圆； （2）∠BOC=120°；（3） 【分析】 （1）画出边AC，AB的垂直平分线，两线交于一点O，以O为圆心，OB长为半径画圆即可； （2）由圆周角定理即可求出∠BOC的度数； （3）过点O作OD⊥BC于点D，即可得出CD的长以及∠COD的度数，进而利用锐角三角函数关系求出即可． 【详解】 略 （2）∵∠A=60°， ∴∠BOC=2∠A=120°； （3）过点O作OD⊥BC于点D， ∵∠A=60°，BC=6， ∴∠COD=60°，CD=BC=3， ∴sin∠COD=， ∴OC=． 即⊙O的半径为2． 19．【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线．      （2）      【分析】 （1）连接，根据“等边对等角”可得，又由可得 ，根据圆周角定理可得，进而可得，根据切线的判定定理可得是的切线． （2）过点作，垂足为点．根据圆周角定理可得，根据勾股定理可得，，进而可得，则． 本题考查了切线的判定，圆周角定理和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． (1) 小问详解： （1）略 (2) 小问详解： 解：过点作，垂足为点， 是的直径， ， 点是中点， ， ， ， ，是等腰直角三角形， 在等腰中， ， ∴， 在等腰中， ， ， 在中，， ． 20．【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D在⊙O上， ∴是的切线；     （2）2      【分析】 （1）连接，由圆的基本性质可得，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而证明，，即可证明是的切线； （2）连接，交于H，易证四边形是矩形，，因此只需求出即可，由垂径定理可得，可得是的中位线，进而求出，． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接，交于H， ∵是的直径， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】 本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 21．【答案】（1） 证明：如图，连接． 是半圆的三等分点， ，， ， ． 又， ， 是的切线．      （2）2      【分析】 本题考查了切线的判定，扇形面积； （1）根据点为半圆的三等分点，则，得出，再根据可得为的切线； （2）根据题意可得是等边三角形，，，可得，根据图阴影部分面积为，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ，（舍） 的半径为2 22．【答案】（1） 证明：如图：连接OD， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 又是⊙O的半径 DE是⊙O的切线；     （2）      【分析】 (1) 连接OD，根据圆周角定理可证得，，再根据平行线的性质，即可证得，即可证得结论； (2) 过点O作，根据垂径定理可得，可证得四边形OFED是矩形，，据此即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：过点O作于点F， ， ， ， 四边形OFED是矩形， ， ． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键． 23．【答案】（1） 证明：如图，连接． ，， ∴． ， ， ． 是的半径， 直线是的切线．     （2）      【分析】 本题考查了证明直线是圆的切线，弧长公式，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接．由等边对等角结合三角形内角和定理可得，从而得出，求出，即可得证； （2）求出，，再由弧长公式计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ． ， ． ， ． 24．【答案】（1） 证明：连接， ， ， 点为弧的中点， ， ， ． ，即为的切线；      （2）2.5      【分析】 本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线性质是解答的关键． （1）连接，先由等腰三角形的性质得到，结合圆周角定理得到．进而证，则，然后根据切线的判定可得结论； （2）设半径，利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得为直角三角形，设半径 在，，， ． 解得， ⊙O的半径为2.5． 25．【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理．连接，，设交于点，证明四边形是矩形，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】 解：连接，，设交于点， ∵与x轴相切于点C，轴，， ∴，轴， ∴四边形是矩形， ∵点A坐标为， ∴， ∵半径为5， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴点B坐标为， 故答案为：． 26．【答案】（1） 证明：如图1，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，即， 是的半径， 直线是的切线；     （2）      【分析】 本题考查圆的切线判定定理，勾股定理和相似三角形，正确掌握切线的判定定理和相似三角形的判定是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理得，再根据等边对等角得，根据角之间的等量代换得，从而证明，根据切线的判定定理即证； （2）先根据勾股定理求出，，利用“”易证，根据相似三角形对应边成比例，可得，最后根据勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图2， 在中，，， 则， ， ，， ， ，即， ， 在中，，， 即，解得， ， 则的长为． 27．【答案】（1） 证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是圆的切线．     （2）      【分析】 本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点和准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据角度等量代换得，可证，即可证得直线是圆的切线； （2）连接，连接交于点，首先结合勾股定理及等积代换求出、的长度，由可求出的长度，结合可求出，最终即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，连接交于点，如下图所示： ∵，，， 由勾股定理得， ∵， 代入求解得， ∵， ， ∴， ∴， 解得， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 28．【答案】（1） 证明：如图；连接，则 于点 是的半径，且 ∴是的切线     （2）；      【分析】 （1）根据等边对等角可得，则可证明，然后根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据直径所对的圆周角是直角得出，在中，根据勾股定理可求出 ，然后根据等面积法求出，最后在中根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接； ∵是的直径，，的半径为5， ∴ ∴在中，根据勾股定理得 ∴在中， ∴的长是． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 考点03 三角形的内切圆 1．【答案】3 【分析】 根据三角形内切圆的性质可得，即可根据三角形的面积和周长即可计算出半径． 【详解】 解：设圆的半径为， ∵， ∴， ∴cm， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的相关知识． 考点04 正多边形与圆 1．C 2．A 3．D 4．D 5．【答案】 【分析】 本题考查正六边形性质，正六边形中心角计算等．根据题意可知正六边形的六个中心角均相等，再利用除法算式计算即可． 【详解】 解：∵正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 6．【答案】5 【分析】 本题考查了多边形的外角和定理．根据外角和为，除以每个外角的度数即可得出多边形的边数． 【详解】 解：， ∴这个多边形的边数为5． 故答案为：5． 7．【答案】 【分析】 本题考查正多边形和圆，利用分割法求出正六边形的面积即可． 【详解】 解：设正六边形的中心为，连接，作，则： ，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴螺帽的面积为； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线与圆的位置关系 4大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 三角形的内切圆 考点04 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行 【答案】C 【分析】 先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解． 【详解】 解：∵， ∴ ，， ∵的半径是一元二次方程 的一个根， ∴或 ∵ ， ∴ ， ∴直线l与的位置关系是相离，故C正确． 故选：C． 【点睛】 本题考查的解一元二次方程以及直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定直线与圆的位置关系是解题的关键． 2．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是　　　　　　　；若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是　　　　　　　 【答案】① 圆外    ② 相离 【分析】 此题考查的是点、直线与圆的位置关系，根据点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断点与圆的位置关系．若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与半径的大小；根据直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径的大小． 【详解】 对于点P：∵点P到圆心O的距离为，的半径为，且， ∴点P在外． 对于直线l：∵圆心O到直线l的距离为，的半径为，且， ∴直线l与相离． 故答案为：圆外；相离． 3．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足OP=2，则直线l与⊙O的位置关系是　　．． 【答案】相切或相交． 【分析】 根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】 当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切； 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交． 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题． 4．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）如图，正方形的边长为4，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为　　　　　　 【答案】 【分析】 过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解． 【详解】 解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示： ∵H是BG的中点，且BO与HE平行， ∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE， 故要使得HE最短，只需要BO最短即可， 当E点位于C点时，则O点与C点重合， 当E点位于D点时，则O点与A点重合， 故E点在CD上运动时，O点在AC上运动， 由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短， ∵四边形ABCD是正方形， ∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段BO上． 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（     ） A. 6 B. 8 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】 解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，、分别与半径为3的相切于点，，直线分别交、于点，，并切于点，当时，的周长为（       ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】C 【分析】 连接OB,根据切线性质求出PB,根据切线长定理求出PA,再根据切线长定理得出DE=DB,CE=CA,进而算出三角形周长即可. 【详解】 解:连接OB， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO=90°， ∴PB==4 ∵PA、PB分别与⊙O相切， ∴PA=PB=4， ∵CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E, ∴DE=DB，CE=CA， ∴△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CA+DE+PD=PA+PB=8， 故选C. 【点睛】 本题考查切线的性质及切线长定理,关键在于转换线段的长度. 3．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 连接，，，如图，设的半径为r，利用勾股定理计算出，再证明四边形为正方形，则，所以，，进而可证，，因此，由此可解． 【详解】 解：连接，，，如图， 设的半径为r， ∵，，， ∴， ∵F点、D点为切点， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为2． 故选C． 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明四边形为正方形． 4．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，P为圆O外一点，为的切线，A为切点，交于点B，，则线段的长为（     ） A. 6 B.  C. 4 D. 8 【答案】D 【分析】 连接，根据切线的性质，含角的直角三角形的性质解答即可． 本题考查了圆的性质，切线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：连接， ∵为的切线，A为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是(     ) A.  B.  C. 1 D. -2 【答案】C 【分析】 取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据，可得结论． 【详解】 解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆， ∴， ∴DM的最小值为1， 故选：C． 【点睛】 本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题． 6．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是⊙O上一点，且，连接OE，过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC，结合同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，求出∠COE，再利用四边形内角和360求出∠F. 【详解】解：∵∠ACB=90º，∠A=50º， ∴∠ABC=40º. ∵， ∴∠COE=2∠ABC=80º. ∵∠OCF=∠OEF=90º， ∴∠F=360º-90º-90º-80º=100º. 故选B. 【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和定理. 7．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令，根据选项中关系式计算比较判断即可． 【详解】 解：为直角三角形， 令． 选项A：，选项B：，选项C：，选项D：， 只有D选项结果跟其他选项结果不一致， 表达式错误的是D选项， 故选：D． 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，是的直径，点在上，且是的切线，过点作的平行线交于点，交于点，连接并延长与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 （1）连接，根据切线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出，进而可得，然后设，则，在和中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算可求出的长，再根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，最后利用三角形的中位线定理，进行计算即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 是的直径， ， ， ， 设， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， 是的中位线， ． 的长为．  【点睛】 本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线定理，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）如图，、分别切于A、B，并与的切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题考查圆中求线段长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．设切线与切于点，如图所示，由切线长定理可得，数形结合，表示出三角形的周长，代值求解即可得到答案． 【详解】 解：设切线与切于点，如图所示： ∴由切线长定理可得， ， ， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，且DC=AC． （1）求证：DC为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BC的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接OD， ∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠ABC=90°． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB，即∠ABC=∠ODB． ∵DC=AC， ∴∠A=∠ADC， ∴∠ODB+∠ADC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴CD⊥OD． ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线；     （2）BC=8．      【分析】 （1）连接OD，根据题意可知∠A+∠ABC=90°．根据等边对等角可得∠ABC=∠ODB，∠A=∠ADC，即得出∠ODB+∠ADC=90°，从而可求出∠ODC=90°，即证明CD是⊙O的切线； （2）根据勾股定理即可求出OC的长，从而即可求出BC的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在Rt△ODC中，OD=3，CD=4， ∴ ∴BC=OB+OC=3+5=8． 【点睛】 本题考查切线的判定，等腰三角形的性质以及勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键． 11．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径； ∴直线是的切线；     （2）的直径长为20      【分析】 本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出，利用平行线的性质判定可得出，利用平行线的性质可得出，然后利用切线的判定即可得证； （2）作于点I，由垂径定理得，再证明四边形是矩形，得，则，由勾股定理得，求得，即可求的直径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作于点I， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的直径长为20． 12．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）在中，是弧所对的圆心角，是弧AB所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况， （1）请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 【答案】（1） ① 如图， ∵， ∴， ∴． ② 如图2，连接，并延长交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③ 如图3，连接，并延长交于点D， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了切线长定理，圆周角定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键． （1）① 当点O在的边上时，先推导出，得到，即可解答；② 连接，并延长交于点D，先推导出，继而推导出，则，即可解答； ③ 连接，并延长交于点D，先推导出，继而推导出，则，即可解答； （2）如图4，先根据（1）中的结论可得，由切线的性质可得，可得，从而得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图4，连接， ∵， ∴， ∵分别与相切于点A，B， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知：如图，及外一点P， （1）求作：过点P的的切线（要求使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，是的直径， _______°（                  ）（填依据） ． 又为的半径， 直线是的切线（                  ）（填依据） 同理可证，直线也是的切线． 【答案】（1） 如图所示；      （2），直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．      【分析】 本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，尺规作图---线段的垂直平分线，关键是通过作图构造直径所对的圆周角． （1）先作出的中点M，然后以点M为圆心作圆M，则圆M与圆O的交点即为点A，B，则即为所求； （2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：是的直径， （直径所对的圆周角是直角）， ． 又是的半径， 是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）， 同理，是的切线． 故答案为：，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 14．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，周长为20cm，，圆是的内切圆，圆的切线与、相交于点、，则的周长为　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 与的三边分别相切于、、，可得，，，， (cm)，可得，即可求解． 【详解】 解：如图，与的三边分别相切于、、，    是的内切圆， 的切线与、相交于点、， ，， ，， 周长为20cm，， (cm)， 周长为 ()． 故答案：． 【点睛】 本题主要考查了切线长定理，掌握定理是解题的关键． 15．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知的半径为4，是的直径，为的弦，B为延长线上的一点，，且．    （1）求证：为的切线； （2）求弦的长； （3）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， 在中，， 即． 为的切线；     （2）     （3）      【分析】 （1）连接，欲证明为的切线，只需利用等腰三角形的性质，证明即可； （2）连接，构建直角，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得，然后利用勾股定理来求弦的长度； （3）图中阴影部分的面积扇形的面积的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接， 是的直径， ， 由（1）知，， ， 根据勾股定理得． 的长是； (3) 小问详解： 由（2）知，在中，， ; ∵点O是斜边上的中点， , ， 图中阴影部分的面积是． 【点睛】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积公式，正确作出辅助线，合理利用所学知识是解题的关键． 16．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 17．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）如图，在中，，D为的中点，以为直径作，交边于点E，过点E作，垂足为点F． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴，即， ∵在中，，D为的中点， ∴， ∴点E是的中点， 又∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）的长为      【分析】 本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线以及三角形中位线，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线性质是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出是的中位线，再根据平行线的性质得出即可； （2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半求出斜边，由勾股定理求出，再根据中点的定义可得，再由勾股定理求出，由三角形面积公式求出，最后由勾股定理求出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， 在中，，， ∴． 18．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）（多选）已知△ABC中，∠A=60°，BC=6. （1）用尺规作△ABC的外接圆 （2）求∠BOC的度数 （3）求圆O的半径 【答案】（1）如图所示：⊙O即为所求△ABC的外接圆； （2）∠BOC=120°；（3） 【分析】 （1）画出边AC，AB的垂直平分线，两线交于一点O，以O为圆心，OB长为半径画圆即可； （2）由圆周角定理即可求出∠BOC的度数； （3）过点O作OD⊥BC于点D，即可得出CD的长以及∠COD的度数，进而利用锐角三角函数关系求出即可． 【详解】 略 （2）∵∠A=60°， ∴∠BOC=2∠A=120°； （3）过点O作OD⊥BC于点D， ∵∠A=60°，BC=6， ∴∠COD=60°，CD=BC=3， ∴sin∠COD=， ∴OC=． 即⊙O的半径为2． 19．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，直径，弦，是延长线上的一点，连接，且． （1）求证；是的切线； （2）点是直径下方弧上的一点，且点是的中点，连接，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线．      （2）      【分析】 （1）连接，根据“等边对等角”可得，又由可得 ，根据圆周角定理可得，进而可得，根据切线的判定定理可得是的切线． （2）过点作，垂足为点．根据圆周角定理可得，根据勾股定理可得，，进而可得，则． 本题考查了切线的判定，圆周角定理和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． (1) 小问详解： （1）略 (2) 小问详解： 解：过点作，垂足为点， 是的直径， ， 点是中点， ， ， ， ，是等腰直角三角形， 在等腰中， ， ∴， 在等腰中， ， ， 在中，， ． 20．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D在⊙O上， ∴是的切线；     （2）2      【分析】 （1）连接，由圆的基本性质可得，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而证明，，即可证明是的切线； （2）连接，交于H，易证四边形是矩形，，因此只需求出即可，由垂径定理可得，可得是的中位线，进而求出，． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接，交于H， ∵是的直径， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】 本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 21．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图，为的直径，是半圆的三等分点，过点作延长线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若图阴影部分面积为，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 是半圆的三等分点， ，， ， ． 又， ， 是的切线．      （2）2      【分析】 本题考查了切线的判定，扇形面积； （1）根据点为半圆的三等分点，则，得出，再根据可得为的切线； （2）根据题意可得是等边三角形，，，可得，根据图阴影部分面积为，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ，（舍） 的半径为2 22．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求AE的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接OD， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 又是⊙O的半径 DE是⊙O的切线；     （2）      【分析】 (1) 连接OD，根据圆周角定理可证得，，再根据平行线的性质，即可证得，即可证得结论； (2) 过点O作，根据垂径定理可得，可证得四边形OFED是矩形，，据此即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：过点O作于点F， ， ， ， 四边形OFED是矩形， ， ． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键． 23．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）如图，在中，，．O是边上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆，经过点C． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ，， ∴． ， ， ． 是的半径， 直线是的切线．     （2）      【分析】 本题考查了证明直线是圆的切线，弧长公式，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接．由等边对等角结合三角形内角和定理可得，从而得出，求出，即可得证； （2）求出，，再由弧长公式计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ． ， ． ， ． 24．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）如图，是⊙O的直径，是延长线上的一点，点在⊙O上，，与⊙O于点，且点是弧的中点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 点为弧的中点， ， ， ． ，即为的切线；      （2）2.5      【分析】 本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线性质是解答的关键． （1）连接，先由等腰三角形的性质得到，结合圆周角定理得到．进而证，则，然后根据切线的判定可得结论； （2）设半径，利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得为直角三角形，设半径 在，，， ． 解得， ⊙O的半径为2.5． 25．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，经过点A，与x轴相切于点C，过点A作y轴的垂线交于点B，若半径为5，点A坐标为，则点B坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理．连接，，设交于点，证明四边形是矩形，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】 解：连接，，设交于点， ∵与x轴相切于点C，轴，， ∴，轴， ∴四边形是矩形， ∵点A坐标为， ∴， ∵半径为5， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴点B坐标为， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，是的直径，C是异于，的一点，点D是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径是，，求的长．（结果保留根号） 【答案】（1） 证明：如图1，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，即， 是的半径， 直线是的切线；     （2）      【分析】 本题考查圆的切线判定定理，勾股定理和相似三角形，正确掌握切线的判定定理和相似三角形的判定是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理得，再根据等边对等角得，根据角之间的等量代换得，从而证明，根据切线的判定定理即证； （2）先根据勾股定理求出，，利用“”易证，根据相似三角形对应边成比例，可得，最后根据勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图2， 在中，，， 则， ， ，， ， ，即， ， 在中，，， 即，解得， ， 则的长为． 27．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，为的直径，点是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点，使得； （1）求证：直线是圆的切线； （2）请你在图中连接，交于点，若的直径为，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是圆的切线．     （2）      【分析】 本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点和准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据角度等量代换得，可证，即可证得直线是圆的切线； （2）连接，连接交于点，首先结合勾股定理及等积代换求出、的长度，由可求出的长度，结合可求出，最终即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，连接交于点，如下图所示： ∵，，， 由勾股定理得， ∵， 代入求解得， ∵， ， ∴， ∴， 解得， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 28．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：如图；连接，则 于点 是的半径，且 ∴是的切线     （2）；      【分析】 （1）根据等边对等角可得，则可证明，然后根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据直径所对的圆周角是直角得出，在中，根据勾股定理可求出 ，然后根据等面积法求出，最后在中根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接； ∵是的直径，，的半径为5， ∴ ∴在中，根据勾股定理得 ∴在中， ∴的长是． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 考点03 三角形的内切圆 1．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是　　　　　　cm． 【答案】3 【分析】 根据三角形内切圆的性质可得，即可根据三角形的面积和周长即可计算出半径． 【详解】 解：设圆的半径为， ∵， ∴， ∴cm， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的相关知识． 考点04 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，正六边形内接于，G是上的一点，连接．则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算．利用圆内接正多边形中心角及同弧所对的圆周角是圆心角一半定理即可． 【详解】 解：如图，连接、，           ∵正六边形是的内接正六边形， ， ， 故选：C． 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）如图，正六边形内接于，连接，，若，则的长为（     ） A. 3 B. 2 C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由正六边形内接于，则，从而证明是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解． 【详解】 解：∵正六边形内接于， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：A． 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，正多边形和圆的综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出，再证明等边三角形，从而可求得正六边形地基的周长． 【详解】 解：∵，， ∴等边三角形， ∴， ∴这个正六边形地基的周长为， 故选：D． 4．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查正五边形和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】 解：如图所示，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：D． 5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正六边形性质，正六边形中心角计算等．根据题意可知正六边形的六个中心角均相等，再利用除法算式计算即可． 【详解】 解：∵正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如果正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了多边形的外角和定理．根据外角和为，除以每个外角的度数即可得出多边形的边数． 【详解】 解：， ∴这个多边形的边数为5． 故答案为：5． 7．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正多边形和圆，利用分割法求出正六边形的面积即可． 【详解】 解：设正六边形的中心为，连接，作，则： ，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴螺帽的面积为； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线与圆的位置关系 4大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 三角形的内切圆 考点04 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行 2．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是　　　　　　　；若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是　　　　　　　 3．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足OP=2，则直线l与⊙O的位置关系是　　．． 4．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）如图，正方形的边长为4，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为　　　　　　 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（     ） A. 6 B. 8 C.  D.  2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，、分别与半径为3的相切于点，，直线分别交、于点，，并切于点，当时，的周长为（       ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 3．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  4．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，P为圆O外一点，为的切线，A为切点，交于点B，，则线段的长为（     ） A. 6 B.  C. 4 D. 8 5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是(     ) A.  B.  C. 1 D. -2 6．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是⊙O上一点，且，连接OE，过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 7．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，是的直径，点在上，且是的切线，过点作的平行线交于点，交于点，连接并延长与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 9．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）如图，、分别切于A、B，并与的切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于　　　　　　． 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，且DC=AC． （1）求证：DC为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BC的长． 11．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的直径． 12．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）在中，是弧所对的圆心角，是弧AB所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况， （1）请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 13．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知：如图，及外一点P， （1）求作：过点P的的切线（要求使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，是的直径， _______°（                  ）（填依据） ． 又为的半径， 直线是的切线（                  ）（填依据） 同理可证，直线也是的切线． 14．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，周长为20cm，，圆是的内切圆，圆的切线与、相交于点、，则的周长为　　　　　　cm． 15．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知的半径为4，是的直径，为的弦，B为延长线上的一点，，且．    （1）求证：为的切线； （2）求弦的长； （3）求图中阴影部分的面积． 16．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 17．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）如图，在中，，D为的中点，以为直径作，交边于点E，过点E作，垂足为点F． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 18．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）（多选）已知△ABC中，∠A=60°，BC=6. （1）用尺规作△ABC的外接圆 （2）求∠BOC的度数 （3）求圆O的半径 19．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，直径，弦，是延长线上的一点，连接，且． （1）求证；是的切线； （2）点是直径下方弧上的一点，且点是的中点，连接，求的长． 20．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 21．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图，为的直径，是半圆的三等分点，过点作延长线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若图阴影部分面积为，求的半径． 22．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求AE的长． 23．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）如图，在中，，．O是边上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆，经过点C． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的长． 24．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）如图，是⊙O的直径，是延长线上的一点，点在⊙O上，，与⊙O于点，且点是弧的中点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径． 25．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，经过点A，与x轴相切于点C，过点A作y轴的垂线交于点B，若半径为5，点A坐标为，则点B坐标为　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，是的直径，C是异于，的一点，点D是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径是，，求的长．（结果保留根号） 27．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，为的直径，点是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点，使得； （1）求证：直线是圆的切线； （2）请你在图中连接，交于点，若的直径为，，求的值． 28．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，求的长． 考点03 三角形的内切圆 1．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是　　　　　　cm． 考点04 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，正六边形内接于，G是上的一点，连接．则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）如图，正六边形内接于，连接，，若，则的长为（     ） A. 3 B. 2 C. 1 D.  3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如果正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积为　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $