专题02 二次函数与反比例函数（期中真题汇编，新疆专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数与反比例函数 7大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点07 反比例函数的图象和性质 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）下列是关于x 的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A. 2，， B. ，4，1 C. 2，，1 D. ，4， 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）下列函数是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）下列函数中，y是x的二次函数是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）二次函数中，二次项系数为　　　　　　　，一次项系数为　　　　　　　，常数项为　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）已知：是关于的二次函数，则　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）若是关于x的二次函数，则m 的值为　　　　　　． 10．（25-26学年九上·新疆阿克苏地·期中）若是关于x的二次函数，则m的值为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）已知是关于的二次函数，那么　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）关于函数y=x2的性质表达正确的一项是（   ） A. 无论x为任何实数，y值总为正 B. 当x值增大时，y的值也增大 C. 它的图象关于y轴对称 D. 它的图象在第一、三象限内 3．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）抛物线的开口向　　　　　　　　．（填“上”或“下”） 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中） 二次函数的顶点坐标是（        ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（       ） A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（　 　） A. 直线x=－1 B. 直线x=1 C. 直线y=－1 D. 直线y=1 7．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 8．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）抛物线，下列说法正确的是（       ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向上，顶点坐标 D. 开口向下，顶点坐标 9．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 11．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为(　　) A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）对于抛物线，下列判断不正确的是（     ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，有最大值1 C. 当时，随的增大而增大 D. 对称轴为直线 15．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（     ） A. 1， B. 1，2 C. 1，3 D. ， 16．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）对于抛物线的说法错误的是 （       ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是（1，-3） C. 抛物线的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 17．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·新疆阿克苏地·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·新疆阿克苏地·期中）下列关于抛物线的描述中，错误的是（       ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 22．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）对于抛物线，下列判断正确的是（     ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 23．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）抛物线的顶点坐标是（　 ） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1） 24．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 25．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位，所得图象的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A. （1，5） B. （2，1） C. （2，5） D. （﹣1，5） 27．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）下列关于抛物线说法正确的是（       ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，函数有最小值2 29．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 30．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 其图像开口向上 B. 其图像的对称轴是直线 C. 其图像有最高点，坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 31．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）抛物线y＝－3(x－2)2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是() A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 32．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）关于二次函数的图象与性质，下列结论正确的是（       ） A. 函数图象的顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 二次函数的图象与轴有两个交点 D. 二次函数的图象可由经过平移得到 33．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）在下列对抛物线的描述中，正确的是（       ） A. 开口向上 B. 顶点在轴上 C. 对称轴是直线 D. 与轴的交点是 34．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）抛物线的顶点坐标是　　　　　　． 35．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）已知抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是　　　　　　　　． 36．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）函数的图象可由函数的图象向　　　　　　平移3个单位，再向　　　　　　平移2个单位得到． 37．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）抛物线的顶点坐标为　　　　　 38．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）二次函数图象的顶点坐标是　　　　　　　，开口方向　　　　　　　，当x　　　　　　　时，随的增大而增大； 40．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是　　　　　　　　．（用“”连接） 41．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，得到抛物线的解析式为　　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）将抛物线 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式是　　　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到新抛物线为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 44．（25-26学年九上·新疆阿克苏地·期中）将抛物线向右平移2个单位长度后，得到新抛物线　　　　　　． 45．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）函数，当　　　　　　时，函数值y随x的增大而增大． 46．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）二次函数，当　　　　　　时，y有最小值． 47．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）二次函数y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是　　　　　． 48．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为　　　　　　　　　　 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）二次函数的图象不经过（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数为（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（） A.  B.  C.  D.  8．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象（     ） A.  B.  C.  D.  9．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 12．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 13．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）将二次函数化为的形式，结果为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最大值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时y随x的增大而增大 15．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于和之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是(     ) A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）；⑥若，，是抛物线上三点，则；⑦关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（                 ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 19．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（       ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 20．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 21．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（       ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A.  B.  C.  D.  24．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数，下列说法正确的是(          ) A. 方程必有实数根 B. 若移动函数图象使其经过原点，则只能将图像向右移动1个单位 C. 若，则当时，必有y随着x的增大而增大 D. 若，则当时，必有y随着x的增大而增大 25．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点，，都在抛物线上，则（　　） A.  B.  C.  D.  26．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移2个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 27．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，其中，则以下结论正确的个数是（     ） x … 0 2 m … … n n … ①，②，③，④不等式的解集为，⑤对于任意实数t，． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 28．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）函数与的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则．其中正确的结论有（     ） A. ②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 30．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根 是，；④方程有一个实根大于；⑤当时随增大而增大． 其中结论正确的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（     ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 32．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①，②，③；④y有最大值是3，其中正确的有（　　）个．（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 33．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）如图是二次函数的图象，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④．其中正确的是（       ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 34．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m n s … 其中．以下结论：①；②若抛物线经过点，，则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 35．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）已知二次函数的图象如图，则下列说法中：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④；⑤当时，．其中正确的有（   ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 36．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（         ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 39．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（       ）． A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ①③④⑤ 40．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示是抛物线的部分图象，对称轴是，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 若点，在抛物线上，则 41．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若(﹣5，y1)、(，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有(　　)个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 42．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）在同一直角坐标系中,一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2-b的图象大致为(　　) A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）二次函数y＝x2﹣4x+1的最小值是 　　　． 44．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）抛物线（）的对称轴是直线　　　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）二次函数的对称轴为，则的值是　　　． 46．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求直线AC的函数关系式； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值． 47．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）已知抛物线， （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （2）直接写出，当x为何值时，y随x的增大而减小． 48．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）若原点是抛物线的顶点，则抛物线的开口向　　　　　　． 49．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为　　　　　元/平方米． 50．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）二次函数的最小值是　　　　　　　　　． 51．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）二次函数的图象经过点A． （1）求二次函数的对称轴； （2）当时． ①求此时二次函数的表达式； ②把化为的形式，并写出顶点坐标． 52．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是　　　　　　． 53．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣12t2．飞机着陆后滑行 　　　米才能停下来． 54．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，当销售单价为　　　　　　　元时，能获得最大利润． 55．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　． 56．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 57．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，则y1、y2、y3大小关系为　　　　　　　　　　　（用“＜”连接）． 58．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）如果是抛物线上两点，那么　　　　　　．（填“>”或“<”） 59．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）已知二次函数的图像经过点． （1）求m的值； （2）当时，求y的取值范围； （3）将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 60．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④（m为任意实数）；⑤．其中结论正确的为　　　　　　　　． 61．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知抛物线经过点 （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）画出函数的图象 （3）当时，结合函数图象直接写的取值范围． x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 62．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 63．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）已知函数（为常数），为常数且，函数的图象经过点． （1）求函数的表达式． （2）若函数的图象始终经过定点， ①用含有的式子表示： ②若时，总有，求的取值范围． 64．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）如图，抛物线经过，两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 65．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标． 66．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）已知二次函数（） 的图像如图所示，则下列结论中正确的有　　　　　（填序号） ①，②，③，④，⑤方程的两根和为正数 67．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）函数的最大值为　　　　　　　　　　　　． 68．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 69．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 70．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）已知关于x 的二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； （3）当时，y随x的增大而                                    ．（填“增大”或“减小”） 71．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）根据下列条件，分别求二次函数的表达式 （1）已知函数的顶点坐标（-1，-8），且过点（0，-6） （2）已知图象经过点（3,0），（2，-3），并以直线x=0为对称轴. 72．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 73．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点．    （1）求此二次函数的解析式； （2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标． 74．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）已知函数图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标______； （2）对称轴为______； （3）当______时，y有最大值； （4）当______时，y随着x的增大而增大； （5）当______时，． 75．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△BCD的面积． 76．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． （1）请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． （2）观察图象，当时，y的范围是_______，当时x的范围是_______． 5 0 0 5 77．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为___________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为 ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标； ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值； 【拓展提高】 （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有，请直接写出的值；若没有，请说明理由． 78．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）求点，，，的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； （3）试判断点、点、点这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明；若不在同一个圆上，请说明理由． 79．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 80．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点． （1）求二次函数图象的解析式； （2）连接，求的面积： （3）在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标． 81．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求点C的坐标； （2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 82．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）已知抛物线经过点和． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）若将该抛物线向右平移4个单位长度，得到新抛物线，求新抛物线的对称轴． 83．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，求m的值； （2）当时，求y的最小值（用含m的代数式表示）； （3）若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 84．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a+c＜1；正确的结论有　　　　　（填序号） 85．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． （1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； （4）当时，的取值范围是______． 86．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）【概念学习】 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若图形上存在一点，且满足当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． 【初步理解】 （1）如图1，图形为线段，点，． ①试判断点______（填“是”或“不是”）线段的“垂近点”． ②请在图中画出点M所有可能的位置．（用阴影部分表示） 【知识应用】 （2）若图形为直线，二次函数图象上仅有一个“垂近点”，求的值． （3）如图2，若图形为抛物线，正方形的边长为2，中心（对角线的交点）为，如果正方形上存在“垂近点”，求出的取值范围． 87．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线，直线（）与抛物线相交于点A，直线与抛物线分别相交于点B． （1）当时，求A，B两点坐标． （2）在（1）的条件下，第一象限一点P在抛物线上，当时，求P点的横坐标． （3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 88．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图1，二次函数图象经过，两点． （1）求这个二次函数解析式； （2）点是抛物线上一点，若，求点的坐标； （3）如图2所示，将二次函数图象在轴上方部分沿轴翻折，当直线与新图象恰有两个公共点时，求的取值范围． 89．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线表达式； （2）求A，B两点的坐标； （3）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使三角形的面积最大？若存在，求点P的坐标及三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（       ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 与轴的交点坐标为 C. 与轴的交点坐标为和 D. 当时，对应的函数值为 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）若关于的二次函数与轴有交点，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D. 且 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C. 或 D.  6．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，已知二次函数（实数为常数）的图象与轴交点有整点，则这样的整数a有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的有（     ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 10．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 11．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）已知二次函数下列说法正确的是（     ） A. 点一定在该函数的图象上 B. 当且时，有 C. 该函数的图象与x轴一定有两个交点 D. 当时，该函数图象的对称轴在直线的右侧 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图，抛物线的顶点为，此抛物线交轴于、两点．    （1）求此抛物线的解析式． （2）求的面积． 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式． （2）求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 14．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是　　　　　　； 15．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）已知二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为　　　　　　. 16．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）下表是二次函数自变量x取不同值时对应的函数值，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程的根是　　　　　　　． x … 0 1 2 3 … … 6 0 0 2 6 … 17．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）抛物线与轴的交点坐标是　　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二次方程的解为　　　　　 19．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）若二次函数的图象经过点，利用抛物线可知不等式的解集是　　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 则的解为　　　　　　　　． 22．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　　　． 23．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为， （1）求二次函数的解析式； （2）写出不等式的解． 24．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，已知抛物线y＝x2-2x-3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C． （1）求线段BD的长； （2）求△ABC的面积； （3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值． 25．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 　　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数（如图所示）的图象，关于x的方程有四个不相等的实数根，则m的取值范围为　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为　　　　　　． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（       ）米． A. 3米 B. 4米 C. 9米 D. 10米 2．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称．轴，，最低点在轴上，高，则右轮廓线的函数解析式为(       ) A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A. 4米 B. 10米 C. 4米 D. 12米 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）某超市销售一种水果，进价为每千克元．规定每千克售价不低于成本，且不高于元．经市场调查发现，日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 销售量（千克） 超市要想每天获得最大利润，每千克水果应定价为（     ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是　　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 7．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 8．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）若某飞机落地时，飞机在地面滑行距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系近似满足：，则该飞机从落地到停止，在地面滑行的时间为　　　　　　　　秒． 9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． （1）求抛物线的解析式： （2）现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； （3）如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行　　　　　　　　秒才能停下来． 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）【项目式学习】 项目主题：合理设计   智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一   测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二   设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 13．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）【项目式学习】某项目小组准备合作制作出一个水流装置，下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 方案及示意图 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（为1个单位长度），水流最终落到轴上的点处．     已知条件 轴，，，，点为水流抛物线的顶点，点，，在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流进圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计）． 15．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）将小球按一定角度击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系式是，当小球飞行高度时，小球的飞行时间　　　　　　． 16．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系： （1）求拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？ AI 17．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为　　　米． 18．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． （1）如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； （2）一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 19．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成矩形场地，设矩形场地垂直于墙的一边长； （1）当矩形场地的面积为时，求x的值； （2）求所围成的矩形场地的面积最大值. 20．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可销售件．市场调查发现：售价每上涨元，月销量减少件．设售价上涨 x 元． （1）求月销量y（件）与 x 的函数关系式； （2）求月利润 w 元与 x 的函数关系式； （3）当售价定为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？ 21．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）综合与实践 如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P距地面的距离）时，水线的跨度． 请你结合所学知识解决下列问题： （1）在图2中建立以为单位长度，点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A与垂直的直线为y轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． （2）若喷水池中心C到A的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内? （3）在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，，，，，） 22．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系（其中，，为常数），且进货量为吨时，销售利润为万元；进货量为吨时，销售利润为万元． 求（万元）与（吨）之间的函数关系式． 如果市场准备进甲、乙两种水果共吨，设乙种水果的进货量为吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和（万元）与（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？ 23．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． （1）设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； （3）求车棚面积的最大值． 24．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售，经调查，该商品每降价1元，每月可多售出5件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 25．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．       （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 26．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象． （1）图中点P所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________； （2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？ 27．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点 P 到点B后，运动停止，设运动时间为． （1）用含x的式子表示，及 （2）当x为何值时，的面积最大？最大是多少？ （3）当时，求x的值． 28．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）廊桥是我国古老的文化遗产，某座抛物线形廊桥主桥洞的示意图如下图所示，已知抛物线对应的函数解析式为，为了保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为的点E、F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离的长． 29．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某种苹果到了收获季节，投入市场销售时，调查市场行情，发现该苹果的销售不会亏本，且该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x（元） 10 15 23 28 日销售量y（千克） 200 150 70 m 日销售利润w（元） 400 1050 1050 400 （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）求y关于x的函数解析式（要写出x的取值范围）及m的值； （2）根据以上信息，填空：产品的成本单价是　     　元，当销售单价x＝　     　元时，日销售利润w最大，最大值是　     　元； （3）某农户今年共采摘苹果4800千克，该品种苹果的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批苹果？请说明理由 30．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 31．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 32．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，该加工品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销售量每件的利润） （3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是128元？若能，求出销售单价应为多少元；若不能，请说明理由． 33．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称“刹车距离”．某轿车的刹车距离与车速之间有下述函数关系式：，现该车在限速为的杭甬高速公路上出了交通事故，事后交警部门测得刹车距离为，请推断：刹车时，汽车　　　　　　　　超速（填“是”或“不是”）． 34．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）如图，一位身高的篮球运动员在距离篮下处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为．求他跳离地面的高度． 35．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 36．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）如图为石河子某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为8米，宽为16米．以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 37．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）一个直角三角形的两直角边长的和为，其中一直角边长为，三角形的面积为． （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当时，求y的值； （3）求这个三角形的面积y的最大值． 38．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　　　　　　m. 39．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）某超市茶叶专柜经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体的变化如下表： （元/千克） （千克） （1）求与的函数关系式； （2）设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元）．那么该茶叶每千克定价为多少元时，获得最大利润？且最大利润为多少元？ 40．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点的正前方处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为． 在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况） 守门员乙站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？ 41．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 42．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）某茶叶公司经销一种茶叶，每千克成本为元，市场调查发现在一段时间内，销量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具有关系为：，物价部门规定每千克的利润不得超过元．设这种茶叶在这段时间内的销售利润（元），解答下列问题： 求与的关系式； 当取何值时，的值最大？并求出最大值； 当销售利润的值最大时，销售额也是最大吗？判断并说明理由． 43．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）体育测试时，九年级一名男生双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．如果实心球出手处距离地面的高度是米，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则该男生本次扔实心球的成绩是　　　　　　　　　米．（结果保留根号） 44．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，设菜园垂直于墙的一边长为． （1）当的长为多少时，菜园的面积为？ （2）当的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 45．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如图，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x 之间的函数关系如图②所示，其中，M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积为　　　　　　　　 46．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． （1）当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ （2）当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 47．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． （1）若矩形菜地的面积是，求x的值． （2）当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 48．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的高度h（单位：）与运动时间t：（单位：）之间的关系式是．解答以下问题： （1）小球从被击出到落地要用多少时间？ （2）小球运动过程中的最大高度是多少？此时运动了多少时间？ 49．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）某书店销售儿童期刊，一天可售出20套．每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？ （2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？ 50．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 51．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）根据下列素材，按要求完成任务． 学生活动：如何设计利润最大方案 素材1 临近春节，某商场以每件25元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于50元． 素材2 市场调查分析 销售单价x（元） … 35 40 45 50 … 每天的销售量y（件） … 70 60 50 40 … 任务一 确定销售量与销售单价之间的关系 请求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系； 任务二 预估销售单价 若商场销售这种吉祥物每天想获得900元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ 任务三 拟定销售方案 设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大？ 52．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图1所示的直角坐标系，其中出手点A的坐标为，篮筐点B的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为． （1）b的值为______，c的值为______； （2）若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点的水平距离． 53．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃，其中，且墙长为． （1）设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为_____，x的取值范围为_____； （2）求矩形花圃面积的最大值． 54．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）综合与实践 某商家销售一批具有中国传统文化意义的水杯，已知每个水杯的成本为20元，当地物价部门规定，该水杯的单价最高不超过40元．在销售过程中发现，这种水杯的日销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求与的函数关系式． （2）当水杯的销售单价为多少时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）因原材料价格发生变动．该种水杯的进价变为元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变．在实际销售过程中，发现该种水杯每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 55．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧作，且，点在射线上．设点的运动时间为．与的重叠部分的面积为，则当　　　　　　（）时最大；当 　　　　　　　　（s）时S的值为． 56．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在边处设计有宽的通道方便出入，若墙的长不小于，求这个花园可围成的最大面积是　　　　　　　　． 考点07 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A. 它的图象分布在一、三象限 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 点在这个函数图象上 D. 它的图象关于原点对称 3．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，已知点，反比例函数图象的一支与线段有交点，下列符合条件的整数k是（     ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 12 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点B，点P在x轴上，若的面积为2，则k的值为（       ） A.  B. 4 C. 2 D.  5．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 6．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，点M是线段的中点，点B在反比例函数的图象上，若的面积为，则　　　　　 ． 7．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象直接写出当时，x的取值范围． 8．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系为　　　　　．（用“”连接） 9．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？ 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，则的面积是　　　　　　． 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求关于x的函数表达式及点B的坐标． （2）当时，；当时，．求t的取值范围． 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度：y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 14．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，交轴于点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式和的坐标； （2）求一次函数的表达式和的坐标； （3）连接、，求的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与反比例函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点07 反比例函数的图象和性质 考点01 二次函数的概念 1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】 解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 8．【答案】0 【分析】 本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数最高次项指数必须为2且二次项系数不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵是关于的二次函数， ∴且， ∴或，且， 即， 故答案为：0 9．【答案】2 【分析】 本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】 解：∵是关于x的二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：2． 10．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的定义，自变量的最高次项为二次且二次项系数不为零． 【详解】 解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得 ， ∴ 或 ， 又∵， ∴． 故答案为 2． 11．【答案】2 【分析】 利用二次函数定义可得：，且，再解出的值即可． 【详解】 解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义． 12．【答案】（1）     （2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是      【分析】 本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． (1) 小问详解： 解：根据二次函数的定义得 ， 由得， 由得且， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．A 2．C 3．【答案】下 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，根据的正负判断函数的开口朝向，如果，开口向上；如果，开口向下． 【详解】 解：抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下， 故答案为：下． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．C 2．A 3．A 4．A 5．D 6．A 7．D 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．B 14．D 15．A 16．D 17．A 18．B 19．D 20．B 21．C 22．C 23．B 24．B 25．C 26．A 27．A 28．C 29．C 30．C 31．C 32．C 33．B 34．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案，熟记的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数 【详解】 解∶ 因为抛物线的图象开口向下， 所以，即． 故答案为：． 36．【答案】① 右    ② 上 【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的平移确定图象的平移比较简单，二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据两个函数的顶点坐标间的平移规律即可得到函数图象的平移规律． 【详解】 解：∵函数的顶点坐标是， 函数的顶点坐标是，且将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位即可得到点， ∴的图象可由函数的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到． 故答案为：右， 上． 37．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据抛物线的顶点式，直接确定顶点坐标即可． 【详解】 解：抛物线是顶点形式，其中，，， 因此顶点坐标为， 故答案为：． 38．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式的特征是解题的关键． 由二次函数的顶点式可直接得出顶点坐标． 【详解】 抛物线， 此为顶点形式，对照标准顶点式 ， 可得 ，， 因此顶点坐标为， 故答案为：． 39．【答案】①     ② 向下    ③ 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 通过二次函数的顶点形式，确定顶点坐标、开口方向和增减性． 【详解】 二次函数可写为顶点形式 ， ，，， 顶点坐标为，对称轴为， ， 开口向下， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 故答案是：；向下；． 40．【答案】 【分析】 本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 41．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律，根据平移规律“上加下减，左加右减”进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后， ∴得到平移后的抛物线的解析式为， 故答案为：． 42．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移规律，关键是熟练应用； 根据“左加右减，上加下减”的平移规律计算即可． 【详解】 解：∵将抛物线 向左平移个单位长度，根据“左加右减”的规则， ∴函数解析式变为 ； ∵再向上平移个单位长度，根据“上加下减”的规则， ∴函数解析式变为 ． 故答案为： ． 43．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律，根据平移规律：左加右减，上加下减，进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度， ∴， 即得到新抛物线为， 故答案为： 44．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的平移规律，根据“左加右减”的规则，向右平移2个单位长度，需将原函数中的x替换为． 【详解】 解：将抛物线 向右平移2个单位长度，根据平移规律，新抛物线为 ． 故答案为：． 45．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】 解：根据二次函数的图象与性质可知：函数图象的对称轴是， ， 函数图象开口向上， 当时，函数值随的增大而增大， 故答案为：． 46．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得开口向上，对称轴为直线，进而问题可求解． 【详解】 解：由二次函数，可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y有最小值； 故答案为． 47．【答案】 【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a≠0)，其顶点坐标为(h，k). 【详解】解：由顶点式的定义可知该二次函数的顶点坐标为. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式. 48．【答案】 【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：，且a，h，k是常数，它的对称轴是，顶点坐标是． 【详解】是顶点式， 故抛物线的顶点坐标是． 故答案为（1，-7） 【点睛】本题主要是对一般形式中对称轴，顶点坐标的考查． 49．【答案】 【分析】 根据二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】 解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得，即：， 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查二次函数的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．A 3．D 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．A 10．B 11．D 12．B 13．C 14．A 15．C 16．C 17．C 18．C 19．D 20．C 21．C 22．C 23．B 24．A 25．A 26．A 27．B 28．B 29．D 30．B 31．D 32．C 33．C 34．C 35．B 36．D 37．B 38．C 39．B 40．B 41．D 42．D 43．【答案】-3 【分析】 把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解． 【详解】 解：由二次函数y＝x2﹣4x+1化为顶点式为， ∵该二次函数开口向上， ∴当x=2时，有最小值，最小值为-3； 故答案为-3． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 44．【答案】1 【分析】 此题考查了二次函数的图像和性质．把二次函数的解析式化为顶点式即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴抛物线（）的对称轴是直线， 故答案为： 45．【答案】2 【分析】 由抛物线的对称轴列出方程，求出的值即可． 【详解】 解：的对称轴为， 对称轴为， ， ， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，准确解一元一次方程是解题的关键． 46．【答案】（1）y＝−x2−2x＋3     （2）y＝−x＋1     （3）      【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法确定直线解析式； （3）根据（2）的结论，设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3），过点作轴，交于点，根据三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：由抛物线y＝−x2＋bx＋c过点A（1，0），C（−2，3），得 ， 解得 ， 故抛物线为y＝−x2−2x＋3； (2) 小问详解： 设直线为y＝kx＋n过点A（1，0），C（−2，3），则 ， 解得 ， 故直线AC为y＝−x＋1； (3) 小问详解： 如图，过点作轴，交于点， ∵直线AC为y＝−x＋1； 设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3）， ∴PQ＝（−x2−2x＋3）−（−x＋1）＝−x2−x＋2， ∴S△APC＝ ＝ ＝， ∴△APC面积的最大值为 【点睛】 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 47．【答案】（1）当时，y有最小值，最小值为；     （2）当时，y随x的增大而减小．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答； （2）根据二次函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：， ∴抛物线开口向上，顶点为，对称轴为直线， ∴当时，y有最小值，最小值为； (2) 小问详解： 解：由（1）知抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 48．【答案】上 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键． 由顶点在原点，得出对称轴为y轴，从而求出a的值，再根据二次项系数的正负判断开口方向． 【详解】 解：抛物线方程为 ，其顶点在原点， ， ， 解得：， 代入原方程，得 ， 二次项系数 ， 抛物线开口向上， 故答案为：上． 49．【答案】2080 【分析】从图象中找出顶点坐标、对称轴，利用对称性即可解答． 【详解】解：由图象可知（4，2200）是抛物线的顶点， ∵x=4是对称轴， ∴点（2，2080）关于直线x=4的对称点是（6，2080）． ∴6楼房子的价格为2080元． 故答案为：2080 【点睛】本题考查二次函数顶点坐标、对称轴的应用． 50．【答案】1 【分析】 先确定抛物线的开口方向，把抛物线配方变顶点式，确定顶点的最值位置即可得出答案． 【详解】 二次函数=（x-1）2+1， ∵a=10,抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点（1，1）， 抛物线的最小值是1． 故答案为:1． 【点睛】 本题考查抛物线的最值问题，会确定抛物线的开口方向，会把抛物线变成顶点式，特别是自变量由范围时，考虑对称轴是否在区间内，会求边值比较是关键． 51．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征以及利用配方法将一般式化为顶点式． （1）根据二次函数的对称轴是直线即可求解； （2）① 将代入，即可求出此时二次函数的表达式； ② 利用配方法即可把化为的形式，再根据顶点式的特点写出顶点坐标． (1) 小问详解： 解：二次函数的对称轴是直线，即直线， 二次函数的对称轴是直线； (2) 小问详解： 解：①二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 此时二次函数的表达式为； ② ∵， 顶点坐标为． 52．【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据抛物线的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把点代入求出，即可得到完整解析式． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 53．【答案】75 【分析】 将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义解题． 【详解】 解：s＝60t﹣12t2 = 当t=2.5时，s取最大值， 即飞机着陆后滑行75 m后才能停下来 故答案为：75． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解题关键是理解飞机滑行的最远距离即为函数的最大值． 54．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将写成顶点式的形式即可得到答案． 【详解】 解：将写为顶点式的形式得：， ∴当时，取最大值， ∴当销售单价为元时，能获得最大利润． 故答案为：． 55．【答案】 【分析】 本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，利用配方法将二次函数化为顶点式，可求得顶点坐标． 【详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴原抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 56．【答案】（1）     （2）点坐标为或      【分析】 本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是用待定系数法求出二次函数解析式． （1）将、两点坐标代入抛物线即可求解； （2）由、两点坐标得出，结合三角形面积公式、点在轴下方得，代入抛物线解析式即可得对应的自变量的值，从而得到符合题意的点坐标． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得： ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， 点在轴下方， ， 在中，当时，， 解得，， 点坐标为或． 57．【答案】 【分析】 利用图象法即可解决问题． 【详解】 解：y＝y＝x2﹣4x+1， 对称轴为x＝2， 二次函数的图像为： 根据二次函数的图象可知：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小． 58．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的增减性，求二次函数值．根据自变量的值先求解二次函数值，再比较大小即可得到答案． 【详解】 解：当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 59．【答案】（1）     （2）     （3）3      【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）依据题意，由（1）可得二次函数为，从而当时，y取最小值为，结合当时，；当时，，然后判断即可解答； （3）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时和当时两种情形解答即可． (1) 小问详解： 解：由题意：将点代入可得： ，解得：． (2) 小问详解： 解：由（1）可得二次函数为， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围为． (3) 小问详解： 解：由题意，∵二次函数为， ∴可设向右平移后得到的新函数为． ∴新抛物线的对称轴是直线， ① 当时，即， 又∵若当时，，则或（不合题意，舍去）； 若当时，，则（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴． ② 当时，即， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去． 综上，． 答：平移的距离为3． 60．【答案】④ ⑤ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定是关键． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：①由图象可知：，， ， ， ，故①错误，不符合题意； ② 根据图象可得当时，，故②错误，符合题意； ③ 根据图象可得当时，y随x的增大而减小，故③错误，不符合题意； ④当时，取最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故④正确，符合题意； ⑤当时，， ，故⑤正确，符合题意； 故答案为：④ ⑤． 61．【答案】（1），顶点坐标为     （2） 描点、连线，如图：      （3）      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟知二次函数图象上点的坐标特征，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解答的关键． （1）将已知点代入函数解析式中求得m值，然后将函数解析式化为顶点式即可求解； （2）利用列表、描点、连线的步骤作函数图象即可； （3）根据所画的图象即可解答． (1) 小问详解： 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：列表： x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … (3) 小问详解： 解：由图象可知，该抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 62．【答案】（1）     （2）①，且；②或或；③      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，且关于的对称点为，进而求解即可； ②根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解． (1) 小问详解： ∵抛物线过原点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： ① ∵抛物线； ∴抛物线开口向下，对称轴为 则关于的对称点为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为， ∴当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； ② ∵，矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4 ∴当点M的纵坐标为时， ∴ 解得； 当点M的纵坐标为时， ∴ 解得， 综上所述，或或； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点，     解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， 令点，则， ∴， 设直线解析式为，则 ， 解得 ， ∴， 将点Q代入可得：， 解得：， ∵点P在y轴下方， ∴， ∴， ∴P点的坐标为． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 63．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）结合题意，利用待定系数法求解即可； （2）① 结合题意，利用待定系数法，将代入求解，即可得到答案； ② 根据题意得，再结合的取值范围计算，即可完成求解． (1) 小问详解： 将代入解析式， 得： ∴， ∴； (2) 小问详解： ① 将代入， 得： ∴， ∴； ②， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即； ∵ ∴． 【点睛】 本题主要考查了二次函数、二次函数与不等式的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用二次函数的性质，即可完成求解． 64．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数综合． （1）把，两点代入求出、的值即可； （2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可． (1) 小问详解： 解：抛物线经过，两点， ， 解得：，， 此拋物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图，连接，交对称轴于点， 则， 此时最小，，     拋物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ， 又， 设的解析式为， ， 解得： ， 的解析式为， 当时，， ， . 65．【答案】（1），     （2）或或或      【分析】 本题考查了二次函数与特殊三角形，待定系数法法等知识，解题的关键是： （1）把点、代入求解即可； （2）分；；三种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴ ， 解得 ， ∴， ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴， 设， 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为或， 综上，P的坐标为或或或． 66．【答案】① ③ ④ ⑤ 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的图像和性质逐项进行判断即可． 【详解】 解：根据抛物线开口向上可得，， 故① 正确，符合题意； 根据对称轴位于轴的右侧， ∴异号， ∴， 故② 错误，不符合题意； ③ 根据抛物线交轴于负半轴， ∴， 故③ 正确，符合题意； ④ 根据抛物线与轴有两个交点得， ， 故④ 正确，符合题意； ⑤ 方程的两根为抛物线与轴交点的横坐标， ∴两根之和为， 故⑤ 正确，符合题意； 综上，正确选项为：① ③ ④ ⑤ ， 故答案为：① ③ ④ ⑤ ． 67．【答案】5 【分析】 本题考查了二次函数的最值问题，由即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 68．【答案】（1），     （2）     （3）点的坐标为或      【分析】 （1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； (3) 小问详解： 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 69．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． (1) 小问详解： 解：将代入， 得 ， 解得 ， 所以，二次函数的表达式为． (2) 小问详解： 设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 70．【答案】（1）     （2） 如图所示：      （3）减小      【分析】 本题考查了画二次函数的图象，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，即可作答． （2）先找出图象经过点，再结合题干的该二次函数图象经过点，再描点连线，即可作答． （3）函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴的右边，y随着x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵关于x 的二次函数的图象经过点． ∴ ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得二次函数的解析式， 令，则， 令，则， 令，则， ∵图象经过点． ∴把，分别在平面直角坐标系上表示出来，再依次连接即可； (3) 小问详解： 解：∵二次函数的解析式， ∴得出函数图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴的右边，y随着x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小． 71．【答案】(1) 2x2＋4x－6.(2) y＝x2－. 【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线顶点式，把（0，﹣6）代入求出a的值，即可确定解析式；（2）根据抛物线以直线x＝0为对称轴，设出抛物线解析式，把已知两点坐标代入求出a与c的值即可求出解析式. 【详解】设抛物线解析式为y＝a（x＋1）2－8，把（0，﹣6）代入得﹣6＝a－8，解得a＝2，则二次函数解析式为y＝2（x＋1）2－8＝2x2＋4x－6. 根据题意，设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，将（3,0）与（2，﹣3）代入得 ，解得a＝，c＝﹣，则抛物线的解析式为y＝x2－. 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 72．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． (1) 小问详解： 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 73．【答案】（1）     （2），顶点坐标为，点的坐标是      【分析】 （1）把点、、的坐标代入函数表达式，然后根据三元一次方程组的解法求出、、的值，即可得到二次函数的解析式； （2）利用配方法整理，然后根据顶点式写出顶点坐标，再根据抛物线的对称轴与点的坐标求出与轴的另一交点坐标． (1) 小问详解： 根据题意得， ， 分别代入、得， ， ， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， 方程组的解是 ， 此二次函数的解析式为； (2) 小问详解： ， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为， 对称轴为， 设另一点坐标为， 则， 解得， 点的坐标是． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点的坐标代入函数表达式，然后解三元一次方程组即可，熟练掌握二次函数的性质以及三种形式的相互转化也很重要． 74．【答案】（1）     （2）直线     （3）     （4）     （5）      【分析】 本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由抛物线与轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得对称轴； （3）根据抛物线顶点坐标即可求解； （4）根据二次函数的性质即可求解； （5）抛物线在轴上方的部分对应的的取值即为所求． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于点， 顶点横坐标为， 由图可知顶点纵坐标为， 故顶点坐标为：； (2) 小问详解： 解：对称轴为； (3) 小问详解： 解：当时，y有最大值是； (4) 小问详解： 解：当时，y随着x的增大而增大； (5) 小问详解： 解：当时，． 75．【答案】（1）；（2）6 【分析】 （1）设抛物线顶点式解析式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解； （2）令，解方程得出点，坐标，再用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】 解：（1）抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， 或， ，； ， ． 【点睛】 本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题． 76．【答案】（1） 描点连线，如图所示；      （2），      【分析】 本题考查了画二次函数图象，抛物线与轴的交点问题； （1）运用描点法，描出关键点，画出经过各点的平滑曲线； （2）观察函数图象即可求解． (1) 小问详解： 解： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当，； 当时，． 列表如下： 5 0 0 5 (2) 小问详解： 解：根据函数图象可得：当时，y的范围是，当时x的范围是， 故答案为：，． 77．【答案】（1）； （2）① ∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③7；（3）存在，， 【分析】 本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一次函数、二次函数等知识，正确理解一元二次方程的衍生点的定义是解题关键． （1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）① 利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ② 根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③ 先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，再代入计算即可得． 【详解】 解：（1）， 因式分解，得， 解得（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． （2）① 略 ② ∵该方程的衍生点的坐标为， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③ ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为7． （3）将代入直线得：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ∴ ， ∴，， 故存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 78．【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点坐标为，点的坐标为     （2）     （3） 点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是，理由： ∵点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为， ∴，，， ∵，∴， ∴是直角三角形，并且是直角三角形的斜边， ∴点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是．      【分析】 （1）令，可得点，的坐标，令，可得点的坐标，将抛物线化为顶点式，可得点的坐标； （2）点A、点B关于对称轴对称，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可； （3）求出线段的长，利用勾股定理的逆定理即可判断的形状即可． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为. ∵， ∴顶点的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为：， ∴其对称轴为直线， 连接，过作轴交于点，连接，如图所示， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为， 由抛物线的对称性质可知， ∴的最小值， ∴点即为所求作的点， 当时，， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称求最短路线问题、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是要注意数形结合的应用． 79．【答案】任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出E点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】 解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 80．【答案】（1）     （2）3     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数综合，求二次函数对称轴，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线利用分割思想进行求解是解题的关键． （1）根据解析式为顶点式结合顶点坐标即可求出对应的函数解析式； （2）如图所示，过点D作于E，交于F，求出直线的解析式为，则，再根据进行求解即可； （3）如图所示，过点M作于H，交于N，设，则，同（2）得到，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵关于x的二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点D作于E，交于F， 令，则， ∴点C的坐标为； 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为， 当时，则， ∴， ∴， ∴ ； (3) 小问详解： 解：如图所示，过点M作于H，交于N， 设，则， ∴， 同（2）可得， ∵， ∴当时，最大，此时点． 81．【答案】（1）；     （2）；     （3）的最大值为，此时．      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的周长及面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）令，求得，即可得出点的坐标； （2）连接交对称轴于点，先求出抛物线的对称轴为直线，根据关于对称轴对称，得到，则，得到当三点共线时，的周长最小，再求出直线的解析式为，即可求出答案； （3）过点作轴交于点，设点坐标为，则，则，得到，∴当时，的最大值为，此时． (1) 小问详解： 解：当时 ， ∴； (2) 小问详解： 解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ； (3) 小问详解： 解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时． 82．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，熟练掌握函数图像的平移与函数解析式是解题的关键． （1）将点和代入抛物线，即可求解； （2）将函数解析式转化为顶点式根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，再求解对称轴即可． (1) 小问详解： 解：将点和代入抛物线，得 ， 解得： ， ； (2) 小问详解： 解：由（1）得，抛物线的函数解析式为， ， 其函数向右平移4个单位长度的新抛物线的函数解析式为：， ， 新抛物线的对称轴为． 83．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 考查知识点：二次函数的图象与性质（顶点式、对称轴、最值）、区间最值的分类讨论、函数与 x 轴交点距离计算． （1）代入点到函数式，解方程得． （2）对称轴为，开口向上： → 最小值在处，为； → 最小值在处，为；→ 最小值在处，为． （3）由最小值得，求函数与 x 轴交点，得． (1) 小问详解： 解：将点代入： (2) 小问详解： 解：二次函数的对称轴为，开口向上． 情况1： 在时，y随x的增大而增大，最小值在处： 情况2： 最小值在对称轴处： 情况3： 在时，y随x的增大而减小，最小值在处： 综上，最小值为 (3) 小问详解： 解：当 x 可取全体实数时，y 的最小值为． 已知且，得： 此时函数为． 令，解方程： 所以，， ． 84．【答案】② ③ ④ 【分析】 根据开口方向，对称轴以及与轴的交点位置即可判断① ，根据抛物线与轴有两个不同的交点即可判断② ，根据时的函数值大于0，即可判断③ ，结合图象当时，结合③ 即可判断④ 【详解】 解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上， ∴， ∵对称轴，抛物线与轴交于负半轴 ∴， ∴ 故① 不正确 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与轴有两个不同的交点 即 故② 正确； 时，，即 故③ 正确； 时， 即 故④ 正确 故正确的是② ③ ④ 故答案为：② ③ ④ 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 85．【答案】（1），；     （2） 如图所示：      （3）     （4）或；      【分析】 本题考查了二次函数图像及性质，以及函数平移，解题关键是熟悉二次函数的图像和性质. （1）利用配方法求出写出顶点式即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意由函数平移原则“左加右减，上加下减”写出即可； （4）根据函数图像可求解. (1) 小问详解： 解： 故 ∵点C在y轴上 ∴ 故答案为：， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则： 故答案为：； (4) 小问详解： ∵，由图像可得：或； 故答案为：或. 86．【答案】（1）① 是；②M所有可能的位置，如图所示，    （2）或 （3）或 【分析】 （1）根据“垂近点”的定义，即可进行判断， （2）将化成顶点式，分，，两种情况进行讨论，根据“垂近点”的定义，即可求解， （3）由题意得，，，，设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，，分，，两种情况，点分别与点、、、重合时，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了，新定义“垂近点”，函数图像上点的特征，解题的关键是：充分理解新定义，结合函数图像上的点的性质与特点． 【详解】 解：（1）① 当时，， ∴点是线段的“垂近点”， ② 略 （2）将化成顶点式，， 当时，， 当时，， ∴或， （3）∵点是正方形的中心，正方形的边长为2， ∴，，，， 设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，， 当点在轴右侧时，， 如图1，当点与点重合时，，    ∴，解得：或（舍）， 如图2，当点与点重合时，，     ∴，解得：或（舍）， 当点在轴左侧时，， 如图3，当点与点重合时，，    ∴，解得：或（舍）， 如图4，当点与点重合时，，    ∴，解得：或（舍）， ∴当或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”， 故答案为：（1）① 是；② 图见解析（2）或（3）或． 87．【答案】（1），     （2）P点的横坐标为或     （3）直线经过定点      【分析】 （1）当时，联立和，可求出A点坐标，联立和可求出B点坐标． （2）先求出直线的解析式为．设，过P点作轴，交直线于E点，则．根据求出m的值，即可得P点的横坐标． （3）由得，由得．设直线的解析式为，则可求得，由此可得直线经过定点． (1) 小问详解： 解：当时， 联立 ， 得 （舍去）， ， ． 联立 ， 得 （舍去）， ， ． (2) 小问详解： 解：如图，过P点作轴，交直线于E点， 设直线的表达式为，则 ，解得 ， ∴：． 设，则． ∴， ， ， ， ． ① 当时， 解得，（舍去）． ② 当时， 解得，（舍去）． ∴P点的横坐标为或． (3) 小问详解： 解：由，得（舍去），， ∴． 由，得（舍去），， ∴． 设直线的解析式为，则 ， 解得，． ∴直线的解析式为． ∴直线经过定点． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数脚钉问题，二次函数与三角形面积问题，掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 88．【答案】（1）     （2），，或     （3）或      【分析】 本题考查二次函数图象与性质的综合应用，包括待定系数法求解析式、三角形面积与函数坐标的关系、函数图象翻折及一次函数与二次函数的交点问题，涉及的核心知识点有一元二次方程的求解、判别式与根的分布、函数图象的几何变换等． （1）已知二次函数图象经过轴上的两个点，将两点坐标代入一般式，建立关于系数、的方程组，解方程组即可得到解析式； （2）先根据、两点坐标求出线段的长度，再利用三角形面积公式列出关于点纵坐标绝对值的方程，求出纵坐标后分情况代入解析式求解横坐标，得到点的坐标； （3）先求出原抛物线轴上方部分翻折后的解析式，再分两种情况讨论直线与新图象的交点情况：① 直线与翻折部分无交点，与原抛物线轴下方部分有两个交点；② 直线与翻折部分有一个交点，与原抛物线轴下方部分有一个交点，结合一元二次方程的判别式和根的分布确定的取值范围． （3）先确定翻折后新图象的分段解析式，再分情况讨论直线与新图象的交点个数，结合一元二次方程的判别式和根的分布，确定的取值范围． (1) 小问详解： 解：将，代入， 得 ，解得 ， 二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：，， ， 设点的纵坐标为， ， 解得或． 当时，解得或， 点的坐标为或； 当，解得， 点的坐标为或； 综上，点的坐标为，，或； (3) 小问详解： 解：原二次函数，其顶点坐标为， 将轴上方的图象沿轴翻折后，翻折部分的解析式为， ∴ ． ① 当直线与和的图象各有一个交点，且与翻折部分无交点时： 联立 ，得，， 直线与翻折部分无交点，即联立 的方程无实根， ∴，解得， 此时当时，，当时，， 满足，符合条件； ② 当直线与翻折部分有一个交点，与的图象有一个交点，且与的图象无交点时： 此时当时，，当时，， 解得． 综上，的取值范围是或． 89．【答案】（1）     （2）点的坐标为，点的坐标为     （3）存在点，使的面积最大，面积的最大值为16      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据对称轴公式可以求出a，从而可得抛物线解析式， （2）解出抛物线解析式时的两个根，即可得到A，B的坐标； （3）根据解析式可求出C点坐标，然后设直线的解析式为，从而可求该解析式方程，假设存在点，使三角形的面积最大，设点的坐标为，然后过点作轴，交直线于点，从而可求答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：存在； 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 假设存在点，使三角形的面积最大， 设点的坐标为， 如图所示，过点作轴，交直线于点， 则点的坐标为， 则， ∴ ∴当时，的面积最大，最大值是，此时； ∴存在点，使的面积最大，面积的最大值为16． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．C 7．C 8．B 9．B 10．A 11．B 12．【答案】（1）     （2）9      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求抛物线的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的图象和性质推得点B的坐标是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标求得抛物线与x轴的交点坐标，根据待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）根根据点A和点B的坐标，结合三角形的面积公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点为， 即抛物线的对称轴为， 故点， 设抛物线的解析式为：， 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴． 13．【答案】（1）     （2）、      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，理解并掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）当时，即，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 15．【答案】(-1,0) 【分析】抛物线与x轴的另一个交点的横坐标=对称轴-（3-1）=-1，纵坐标为0． 【详解】解：易得对称轴为1，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等，那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1-（3-1）=-1，纵坐标为0．∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）． 【点睛】抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴． 16．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息可得二次函数图象 的对称轴为，由此即可求解． 【详解】 解：当时，；当时，； ∴二次函数图象的对称轴为， ∵当时，， ∴当时，； ∴的解为， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】 解∶当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为∶ ． 18．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象与一元二次方程的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性求出点的横坐标． 一元二次方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，已知一个交点，再根据对称轴求出另一个交点的横坐标． 【详解】 解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 19．【答案】且 【分析】 本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 令，根据根的判别式大于等于零即可求解； 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴令时，根的判别式大于等于零； 即， 解得：， ， 故答案为：且． 20．【答案】 【分析】 本题考查利用二次函数图象解不等式，涉及二次函数图象与性质、二次函数图象与坐标轴交点坐标求法，先由待定系数法确定抛物线解析式，求出抛物线与轴的交点，再由二次函数图象与性质得到抛物线开口向上，即可确定不等式的解集，熟练掌握利用二次函数图象解不等式的方法是解决问题的关键． 【详解】 解：二次函数的图象经过点， ，解得，则抛物线， 令，则，即，解得，， ， 抛物线开口向上， 当，抛物线在轴及轴下方， 不等式的解集是， 故答案为：． 21．【答案】或 【分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x轴的另一个交点．继而求得答案. 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2）， ∴此抛物线的对称轴为：直线x=-， ∵此抛物线过点（1，0）， ∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（-2，0）， ∴ax2+bx+c=0的解为：x=-2或1． 故答案为x=-2或1. 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键. 22．【答案】0或1或0 【详解】 分类讨论： ① 若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ② 若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据对称轴得出b的值，再将代入解析式求出c即可； （2）先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线开口向下，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 把代入，得， 解得， ∴解析式为； (2) 小问详解： ∵抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为， ∴与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向下， ∴不等式的解为． 24．【答案】（1）4     （2）3     （3）      【分析】 对于（1），令y=0，求出方程的解，可知点D，B的坐标，即可求BD； 对于（2），连接AO，再求出抛物线的顶点坐标及点C的坐标，最后根据得出答案即可； 对于（3），先确定点P的位置，即BC与对称轴的交点，再说明PC+PD的最小值，最后求出值即可. (1) 小问详解： 当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3， 则（x﹣3）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， 故D（﹣1，0），B（3，0）， 则BD＝4； (2) 小问详解： 连接AO， y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 则抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4）， 当x＝0时，y＝﹣3，故C（0，﹣3）， 则； (3) 小问详解： 连接BC交对称轴于点P， ∵y=(x-1)2-4， ∴对称轴是直线x=1． ∵点B与点D关于对称轴x=1对称， ∴DP=BP， ∴PC+PD=PC+PB≥BC， ∴当P，B，C三点共线时，PC+PD得值最小． ∵点B（3，0），C（0，-3）， ∴， ∴PC+PD的最小值是． 【点睛】 本题是一道关于二次函数的综合问题，应该熟练掌握二次函数的图象和性质，会利用轴对称求线段和最短是解题的关键． 25．【答案】， 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 26．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，图象法求参数的范围，将方程，看作是函数与函数的图象的交点的个数问题，利用图象法进行求解即可． 【详解】 解：当时，解得或， 由图象可知，图象的对称轴为直线， ∴当时，， 关于x的方程的解的个数，可以看作是函数与函数的图象的交点的个数问题， ∴当时，函数与函数的图象有4个交点， 即：关于x的方程有四个不相等的实数根， ∴； 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：把，，代入得， ， 解得 ， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由 ，解得 ， ， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 考点06 实际问题与二次函数 1．C 2．A 3．B 4．A 5．【答案】 【分析】 根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件，依据每件利润，销售数量，总利润之间的关系可得函数关系式，根据每件售价不能高于72元，可得自变量的取值范围． 【详解】 解：根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件， ∴， ∵每件售价不能高于72元， ∴， 故答案为：． 【点睛】 题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键． 6．【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】 解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 7．【答案】（1）4s；     （2）小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m．      【分析】 （1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； (1) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． (2) 小问详解： 解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．【答案】15 【分析】 本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质即可得解． 飞机停止时滑行距离达到最大值，根据二次函数的性质，顶点横坐标即为滑行时间． 【详解】 解：二次函数的二次项系数，函数图象开口向下，有最大值，， 当时，取得最大值，飞机停止滑行． 故答案为15． 9．【答案】（1）     （2）     （3）能      【分析】 本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答． （3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论． (1) 小问详解： 由题意，设该抛物线的解析式为， ，O为AB的中点，， 点A，B的坐标分别为， 把代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度， 点M的横坐标为，点N的横坐标为5， 当时，， 照明灯距地面的高度为； (3) 小问详解： 能满足安装设计要求，理由如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米）， （米）， 如图：延长交抛物线于一点，设， ∵电子显示屏，为确保行车安全， 距左右墙紧需各留至少1米的安全距离， ∴令， 则， 把代入中， ， ∴点F到地面距离为 (米)， ∵， ∴满足安装设计要求． 10．【答案】40 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，根据无人机停下时，最大，根据顶点的横坐标公式进行求解即可． 【详解】 解：由题意，当秒时，无人机停下来， 故答案为：40． 11．【答案】（1）；（2）要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米 【分析】 本题考查了二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征 （1）设抛物线解析式为，把代入求出的值，即可得抛物线解析式； （2）把代入解析式求出的值，即可求解． 【详解】 （1）设，过点 ∴代入，解得， ∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； （2）当时， 解得： ∴第一象限部分的抛物线与轴的交点为， ∴要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米． 12．【答案】（1）     （2）2或6m      【分析】 （1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， (2) 小问详解： 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 13．【答案】4 【分析】 将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH． 【详解】 解：当时，，解得：或， 结合图形可知：， 故答案为：4 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值． 14．【答案】任务一：； 任务二：水流能流到圆柱形水杯内， 理由如下： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，， ∵， ∴水流能流到圆柱形水杯内． 【分析】 本题考查求二次函数解析式及二次函数的应用． 任务一：根据题意得到抛物线的顶点坐标为，，利用待定系数法解答即可； 任务二：先求出圆柱形水杯最左端到点O的距离及高度，求出抛物线在此处的高度比较即可得到答案． 【详解】 解：任务一：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，， ∵水流所在抛物线的函数表达式为， ∴水流所在抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流所在抛物线的函数表达式为； 任务二：略 15．【答案】1或3 【分析】 本题主要考查求自变量的值，把代入函数解析式计算即可． 【详解】 解：把代入，得： ， 解得，，， 即小球飞行高度时，小球的飞行时间为1秒或3秒， 故答案为：1或3 16．【答案】（1）y=﹣x2+2;（2） 【分析】（1）设出抛物线解析式，由已知条件求出点B、点C的坐标，将B、C的坐标代入抛物线解析式，列方程组求出未知参数即可；（2）令y=﹣1，解出x，即可求出水面的宽度. 【详解】解：（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2+b（a≠0）， ∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m， ∴点C（0，2），点B（2，0）， 代入得： ， 解得： ， ∴拱桥所在抛物线的解析式为y=﹣x2+2； （2）当水位下降1m时，水位纵坐标为﹣1， 令y=﹣1， 则﹣1=﹣x2+2， 解得x=±， ∴水面宽度为2米. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式是解题的关键. 17．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】 解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故答案为：26． 18．【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用． （1）设抛物线解析式为，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入，得出，进而加上船的高度，即可求解． (1) 小问详解： 解：设抛物线解析式为，依题意，点在抛物线上 ∴， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 解：当时， ∴水面与拱顶的高度为米． 19．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）设的长度为，则的长度为．然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可． （2）设矩形场地的面积为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设的长度为，则的长度为，依题意得， 整理得， 解得，． (2) 小问详解： 解：设矩形的面积为， 则， ∵利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个矩形场地， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，S取得最大值72． ∴矩形场地的面积最大是． 20．【答案】（1）     （2）     （3）售价为50元，最大利润为4000元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，售价上涨元，即可得月销量（件）； （2）设售价上涨元，则单件利润为为，销量为，再根据月利润每件商品的利润每月销售量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：已知售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，售价上涨元， 所以月销量（件） (2) 小问详解： 解： ， (3) 小问详解： ∵，， ∴当时，由最大值为，此时售价为元， 故当售价定为元时，月销售利润最大，最大利润是元． 21．【答案】（1）     （2）喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内     （3）王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内      【分析】 本题主要考查了抛物线的性质及其在实际问题中的应用，熟练抛物线的解析式、抛物线的对称性和与x轴的交点等性质是解题的关键； （1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，即可得出解析式； （2）表示出水池的半径，在加上水平距离即可； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的x值，由此即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意，构造平面直角坐标系如图所示． 由题意可知，，抛物线的顶点， 设抛物线的函数解析式为， 将点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：由题可知C为喷水池中心，则为喷水池的半径时，喷出的水都落在水池内， ，， ∴． 答：喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内． (3) 小问详解： 解：当时，， 解得， ． 答：王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内． 22．【答案】(1) y乙=-0.1（x-12） 2+14.4；(2) W=-0.1x2+2.1x+3, 甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元 【分析】（1）根据题意列出一元一次方程，求出b的值即可求出函数关系式的解； （2）根据甲种水果的销售利润y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润y乙（万元），得出等式求出即可；已知w=y甲+y乙=0.3（10-t）+（-0.1t2+2.4t），用配方法化简函数关系式即可求出w的最大值． 【详解】（1）由题意得：进货量x为1吨时，销售利润y乙为1.4万元， -1+b=1.4， 解得：b=2.4， ∴y乙=-0.1x2+2.4x=-0.1（x2-24x）=-0.1（x-12） 2+14.4； （2）当甲种水果的销售利润y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润y乙（万元）， 则0.3x=14.4， 解得：x=28， 答：需要进货28吨； W=y甲+y乙=0.3（10-x）+（-0.1x2+2.4x）， ∴W=-0.1x2+2.1x+3， W=-0.1（t-10.5）2+6.6． ∴t=6时，W有最大值为：6.6． ∴10-6=4（吨）． 答：甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元． 【点睛】考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法等知识，根据已知利用配方法得出二次函数最值是解题关键． 23．【答案】（1）；；     （2）长为，宽为或长为，宽为；     （3）；      【分析】 本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽． （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ ， ∴，， ∴与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． (2) 小问详解： 由题意得： 整理得： 解得：，； 当宽，长，符合题意； 当宽，长，符合题意； 答：自行车车棚的长为，宽为；或自行车车棚的长为，宽为； (3) 小问详解： 自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ∵ ，， ∴当 时，有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到． 24．【答案】当定价为90元时，最大的月利润是4500元 【分析】 本题主要考查二次函数的实际运用，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 设销售定价为每件x元，每月利润为y元，再根据利润=每件利润销售总数，结合二次函数最值即可求解． 【详解】 解：设销售定价为每件x元，每月利润为y元， 则， ∵， ∴当元时，y最大为4500元． 答：当定价为90元时，最大的月利润是4500元． 25．【答案】（1），球不能射进球门     （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门      【分析】 （1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； (2) 小问详解： 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 26．【答案】（1）增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg；0.5     （2）y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0<x≤80)     （3）增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg      【分析】 (1) ①根据图像可知，增种果树为x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，可以得出图中点P表示的实际意义；② 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，可以得出每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少的量； (2) 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，设y与x的函数关系式为y=kx+b，将x=10，y=75；x=28，y=66代入可得y与x的函数关系式； (3) 根据题意，果园的总产量w=每棵果树平均产量×果树总棵树；可得w与x的二次函数关系式，根据二次函数的图像和性质即可解得． (1) 小问详解： ① 根据图像可知，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为， 所以图中点P表示的实际意义是：增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg， 所以答案为：增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg， ② 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为． 增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg， 可以得出：每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少为： (75-66)÷（28-10）=9÷18=0.5（kg） 所以答案为：0.5 (2) 小问详解： 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，设y与x的函数关系式为y=kx+b 将x=10，y=75；x=28，y=66代入可得 解得 ∴y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0<x≤80) (3) 小问详解： 根据题意，果园的总产量w=每棵果树平均产量×果树总棵树可得 w=(-0.5x+80)(60+x) =-0.5x2+50x+4800 ∵a=-0.5<0 所以当x= 时，w有最大值 w最大=6050 所以增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg 【点睛】 本题考查了一次函数，二次函数的应用，解答本题的关键是看懂图像，明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． 27．【答案】（1），，；     （2）当时，有最大值，最大值为；     （3）或．      【分析】 本题考查了列代数式，二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，则，利用勾股定理得出； （2）根据三角形面积公式得到，即可得出答案； （3）把代入，求解即可． (1) 小问详解： 解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意可得： ， ∴当时，有最大值，最大值为； (3) 小问详解： 解：当时，即， ∴， ∴， 解得：，经检验均符合题意， ∴当，或． 28．【答案】这两盏灯的水平距离的长是． 【分析】 本题考查了二次函数的应用，令，即，求解得到点坐标，即可得出答案，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】 解：令，即， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 答：这两盏灯的水平距离的长是． 29．【答案】（1）y＝﹣10x+300（8≤x≤30）； （2）8，19，1210； （3）不能销售完这批苹果，理由： 由（2）知，当获得最大利润时，定价为19元/千克， 则每天的销售量为y＝﹣10×19+300＝110千克， ∵保质期为40天， ∴总销售量为40×110＝4400， 又∵4400＜4800， ∴不能销售完这批苹果． 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值； （3）求出在（2）中情况下，即x＝19时的销售量，据此求得40天的总销售量，比较即可得出答案． 【详解】 解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 将（10，200）、（15，150）代入，得： ， 解得： ， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）； （2）设每天销售获得的利润为w， 则w＝（x﹣8）y ＝（x﹣8）（﹣10x+300） ＝﹣10（x﹣19）2+1210， ∵8≤x≤30， ∴当x＝19时，w取得最大值，最大值为1210； 故答案为8，19，1210； （3）略 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质． 30．【答案】（1）抛物线的表达式     （2）水火箭距离地面的竖直高度米      【分析】 本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． (1) 小问详解： 解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则 ，解得 ， 则抛物线的表达式， (2) 小问详解： 解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 31．【答案】（1）；     （2）能，     （3）的最大值为800，此时      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． (1) 小问详解： 解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； (2) 小问详解： 解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； (3) 小问详解： 解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 32．【答案】（1），     （2），每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元     （3）能，销售单价为14元/件      【分析】 此题考查了二次函数、一次函数、一元二次方程的实际应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质进行解答即可； （3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元．据此得到，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设与的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得： ， 所以与的函数表达式为， （元/件）， ； (2) 小问详解： 根据题意知， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，        最大值为； 每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元； (3) 小问详解： 该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元． 根据题意知，， 则， 解得或（舍去）， 答：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元，销售单价为14元/件． 33．【答案】是 【分析】将S=35.6代入函数解析式，求出车速x，与120km/h比较即可得出答案． 【详解】由题意得：S=35.6，代入函数解析式得：35.6=x2+x，解得：x≈131，即刹车时的速度大约为130km/h＞120km/h，故可判断刹车时，汽车超速． 故答案为是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将S的值代入，解一元二次方程，注意将实际问题转化为数学模型． 34．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，根据题意，可知该抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入抛物线解析式并求解，即可获得解析式，将代入抛物线解析式，然后根据题意求解即可． 【详解】 解：根据题意得，顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵点在此抛物线上， ∴， 解得， ∴所求抛物线的解析式为， 当时，， ∴他跳离地面的高度为． 35．【答案】（1）10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元． 【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解； （2）销售定价为每件m元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2＝81， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9， 经检验x2＝1.9不符合题意， ∴x＝0.1＝10%， 答：每次降价百分率为10%； （2）设销售定价为每件m元，每月利润为y元，则 y＝（m﹣60）[100+5×（100﹣m）]＝﹣5（m﹣90）2+4500， ∵a＝﹣5＜0， ∴当m＝90元时，w最大为4500元． 答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程． 36．【答案】（1）；     （2）能行驶宽米、高米的消防车辆．      【分析】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽米时，，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为，即； (2) 小问详解： 解：当时，， 故能行驶宽2.4米、高米的消防车辆． 37．【答案】（1）；     （2）16；     （3）这个三角形的面积y的最大值为．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据两直角边之间的关系可得出另一条直角边为，利用三角形的面积计算公式，即可找出y与x之间的函数关系式，结合各直角边均为正值，即可得出x的取值范围； （2）把代入，即可求出y值； （3）配方成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直角三角形的两条直角边的和为，且它的一条直角边长为， ∴另一条直角边为， ∴直角三角形的面积， ∴y与x之间的函数关系式； (2) 小问详解： 解：当时，； (3) 小问详解： 解：∵， ， ∴当时，y有最大值，最大值为． 38．【答案】 【分析】 根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得：    所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 故答案是： 【点睛】 考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 39．【答案】（1）     （2）每千克定价为元时，获得最大利润，且最大利润为元      【分析】 （）根据表格数据利用待定系数法即可求解； （）求出与的函数关系式，进而利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设与的函数关系式为， 由表可知，当时，；当时，， ∴ ， 解得 ， ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由题意可得，利润与销售定价之间的关系式为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：该茶叶每千克定价为元时，获得最大利润，且最大利润为元． 40．【答案】（1）能射中球门；（2）他至少后退，才能阻止球员甲的射门． 【分析】(1) 、根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2) 、求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案． 【详解】(1) 、抛物线的顶点坐标是（4，3）， 设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3， 把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-， 则抛物线是y=-（x-4）2+3， 当x=0时，y=-×16+3=3-=＜2.44米， 故能射中球门； （2）当x=2时，y=-（2-4）2+3=＞2.52， ∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门， 当y=2.52时，y=-（x-4）2+3=2.52， 解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去）， ∴2-1.6=0.4（m）， 答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出函数的顶点坐标，求得函数解析式是解题的关键． 41．【答案】（1）     （2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． （1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． (1) 小问详解： 解：设每次上涨的百分率为，列方程为： ， 解得：，（舍去）， 答：每次上涨的百分率为； (2) 小问详解： 解：设销售单价降低元，销售利润为元， ， ∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元． 42．【答案】(1) y；; (2) 当时，的值最大，; (3) 当销售利润的值最大时，销售额不是最大,理由如下： 设这段时间内的销售额为S元，则S=xW=x（﹣x+240）（80≤x≤140），即S=﹣x2+240x，当，x=120时，销售额S最大，所以当销售利润y的值最大时，销售额不是最大． 【分析】 （1）根据销售利润=每天的销售量×（销售单价﹣成本价），即可列出函数关系式； （2）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值； （3）设这段时间内的销售额为S元，于是得到S=xW=x（﹣x+240）（80≤x≤140），由S=﹣x2+240x，当x=120时，销售额S最大，于是得到当销售利润y的值最大时，销售额不是最大． 【详解】 （1）由题意得y=（x﹣80）W=（x﹣80）（﹣x+240）， 即y=﹣x2+320x﹣19200；（80≤x≤140）， （2）y=﹣x2+320x﹣19200=﹣（x﹣160）2+6400，抛物线的对称轴是x=160，而80≤x≤140， ∴当x=140时，y的值最大，y最大=6000． （3）略 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握利用配方法求二次函数的最大值． 43．【答案】 【分析】 根据题意建立平面直角坐标系，已知抛物线的顶点坐标与图象上一点坐标，可设出顶点式并代入求解得到抛物线解析式，再令函数值为，进而求出实心球落地点的水平距离，即该男生本次扔实心球的成绩． 【详解】 解：以地面所在直线为轴，过点与地面的垂线作为轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，， 设抛物线解析式为， 在抛物线上， 代入得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，（舍去）， ． 则该男生本次扔实心球的成绩是米． 44．【答案】（1）当时，菜园的面积为     （2）当时，菜园的面积最大，最大面积为      【分析】 （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为 ，根据题意列出方程，即可求解； （2）设菜园的面积为 ，根据题意得，利用二次函数的最值，即可求解． 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，明确题意，得到等量关系，注意配方法求最值在实际中的应用． (1) 小问详解： 解：∵，则平行于墙的一边长为，根据题意得 ， 解得，， ， ， 不符合题意． 答：当时，菜园的面积为． (2) 小问详解： 解：设菜园的面积为， ， 当时，菜园的面积最大，最大面积为． 45．【答案】 【分析】 当AP=0时，y=2=PB=AB，当x=1时，即AP=1时，此时BP为△ABC的h可求，进而求PC，则面积可求 【详解】 解：由图像及题意可得：当x=0时，BP=AB=2，AC=5， 根据点到直线垂线段最短可得当BP为最小值时，BP⊥AC，此时AP=1， ∴， 当点P到达点C时，y=4=BC，则PC= 则AC=AP+PC=1+ △ABC的面积= 故答案为： 【点睛】 本题主要考查勾股定理及二次函数的图像与性质，熟练掌握勾股定理及二次函数的图像与性质是解题的关键． 46．【答案】（1）当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元     （2）当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元      【分析】 本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）设每顶头盔的售价为x元，根据利润公式列出一元二次方程求解即可； （2）设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元，然后根据题意建立起二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， 解得，（舍）， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元； (2) 小问详解： 解：设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， ∵，且不能亏本且降价不低于5元，即, ∴当时，w取得最大值6250， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元． 47．【答案】（1）     （2）当时，围成的菜地面积最大，最大值为      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设围成的菜地的面积为平方米，根据矩形面积计算公式用含的式子表示出，再根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为198平方米； (2) 小问详解： 解：设围成的菜地的面积为平方米， 由题意得， ， 当时，，符合题意， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当时，围成的菜地面积最大，最大值为． 48．【答案】（1）     （2）小球运动过程中的最大高度是，此时运动了      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意和熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）求出时的t的值即可得到答案； （2）把解析式化为顶点式，求出h的最大值和此时t的值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：当时，， 解得或， 答：小球从被击出到落地要用； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴当，即时，h有最大值，最大值为24， 答：小球运动过程中的最大高度是，此时运动了． 49．【答案】（1）降价15元     （2）当降价10元时，书店可获最大利润，最大利润为800元      【分析】 此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题． （1）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题； （2）运用二次函数的性质即可解决． (1) 小问详解： 解：由题意， 化简得： 为了尽快减少库存 答：需要降价15元； (2) 小问详解： 解：由题意， ∵， 当时，y有最大值，最大值为， 答：每套书降价10元时，书店可获最大利润，最大利润为800元． 50．【答案】（1）     （2）能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 略 51．【答案】任务一： 任务二：40元 任务三：47.5元 【分析】 考查知识点一次函数的建立与应用、二次函数的利润模型、二次函数的最值求解． 任务一：观察表格数据，单价每增加1元，销售量减少2件，用待定系数法求出一次函数． 任务二：建立利润方程，解得或，舍去超出定义域的，得售价为40元． 任务三：建立利润函数，求出对称轴，在自变量内，故当时利润最大． 【详解】 任务一： 观察表格，单价每增加1元，销售量减少2件， 故y是x的一次函数关系， 设，代入和： ， 解得，， 所以销售量与单价的关系为： 任务二： 解得或． 因售价不高于50元，故． 答：每件商品的售价应定为40元． 任务三： 总利润， 对称轴为： ，， 当时，利润最大， 答：将销售单价定为47.5元时，每天获得的总利润最大． 52．【答案】（1），     （2） 解：能，理由如下： 由（1）得抛物线表达式为：， 由题意得，将代入， 得，， 整理得：， 解得：或， ∵或均在范围内， ∴小明能成功将正在空中飞行的球拦截，小明距离小星出手点的水平距离为米或米．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式，解题的关键是读懂题意，求出函数解析式． （1），将代入即可求解，而顶点为，根据对称轴公式即可求解； （2）将代入，求出方程的根，再判断是否在范围内即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，将代入得：， 由题意得：抛物线顶点为， ∴， 解得：， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 53．【答案】（1）；     （2）300平方米      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键： （1）先求出，利用矩形面积公式求出函数关系式，由 得到x的取值范围； （2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴矩形的面积， ∵ ， ∴， 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最大值为， ∴矩形花圃面积的最大值为． 54．【答案】（1）与的关系式为；     （2）该商品每天获得的利润的最大值为450元；     （3）最小值为30．      【分析】 本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用等知识点， (1)根据图中所给的数据，利用待定系数法即可求得其关系式； (2)根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值； (3)根据日销售利润=日销售量（销售单价-成本单价）列出函数解析式，求出函数对称轴为直线，再根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，，得出，求解即可； 熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． (1) 小问详解： 解：设与的关系式为， 将代入解析式得， ，解得 ， 与的关系式为； (2) 小问详解： 解：设商家获得的利润为， ∴ ， ，， 当时，有最大值，最大值为450， 该商品每天获得的利润的最大值为450元； (3) 小问详解： 解：由题意得： ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 水杯的单价最高不超过40元， ∴， 在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大， ， 解得：， 最小值为30． 55．【答案】①     ② 或 【分析】 根据题意得出，然后根据题意画出图形，找到临界点，分情况讨论，得出 ，根据二次函数的性质，求得最值，进而根据面积为，建立方程，解方程即可求解． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴，， 作于点， 由题意得，， ∴，， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，，则， 当点Q运动到与点重合时， ∴， 当点P运动到与点重合时， ∴，， ∴当时，， 当时，如图所示， ∵，则， 则是等边三角形， 则，， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 综上所述， ， ∴当时，取得最大值， 当时， ，解得：（负值舍去）， 或， 解得：或（舍去）， 故答案为：；或． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，二次函数的性质，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 56．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用．设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值． 【详解】 解：设与墙垂直的一边长为，围成的矩形面积为，则与墙平行的一边长为， ∴矩形围栏的面积为， ∵， ∴当时，矩形有最大面积为， 此时与墙平行的一边长为，符合题意， 故答案为：． 考点07 反比例函数的图象和性质 1．B 2．B 3．C 4．D 5．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴ ，解得： ， ∴一次函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 6．【答案】 【分析】 过点作轴于点，根据题意易证明为的中位线，则，，根据的面积为可得，因此，再根据反比例函数系数的几何意义得，以此即可求解． 【详解】 解：过点作轴于点，如图，    轴， ∴， 点是线段的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，即， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查反比例函数系数的几何意义、三角形中位线的判定与性质，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题关键． 7．【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为     （2）6     （3）或      【分析】 本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用． （1）把代入，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式； （2）先求得点C的坐标，利用即可求解； （3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案． (1) 小问详解： 解：把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入， 得：， ∴． 把，代入，可得， ，解得： ， ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图： 令，则， ∴， ∵ ； (3) 小问详解： 当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，或． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了比较反比例函数值，掌握相关知识是解题的关键．根据反比例函数解析式，分别计算各点纵坐标，再比较大小即可． 【详解】 解：对于点，； 对于点，； 对于点 ，； ， ， 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）天      【分析】 本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入函数解析式求出函数解析式即可． (1) 小问详解： 解：设与的函数解析式为， 依题意得：， ∴与的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：把代入得：， 答：这片甘蔗要砍10天． 10．【答案】 【分析】 把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】 ∵直线与双曲线（其中）相交于，两点， ∴ ∴， ∴双曲线的表达式为：，， ∵过点作轴，交轴于点， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】 本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键． 11．【答案】4 【分析】 此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，如图所示，设直线与y轴交于点C，首先求出，联立直线与反比例函数表达式求出交点坐标，再根据三角形面积公式计算面积． 【详解】 解：如图所示，设直线与y轴交于点C， 当时，， ∴， 联立和，得， 整理得， 解得，． ∴． 故答案为：4． 12．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法，数形结合的数学思想是解题关键． （1）将点代入可求得，进而得点，故可求；令，可得点； （2）数形结合，分类讨论 两种情况即可求解； (1) 小问详解： 解：将点代入， 得，解得， ∴点， ∴． 令，解得，， 当时，， ∴点． (2) 小问详解： 解：观察图象，分两种情况讨论： ① ，解得； ② 解得． 综上所述，t的取值范围是或． 13．【答案】（1）     （2）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．      【分析】 （1）由表格可推得：为定值，即当时，y是x的反比例函数，进而求得结果； （2）将代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，得出结论． (1) 小问详解： 解：， y是x的反比例函数， (2) 小问详解： 解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下： 当时，， y随x的增大而减小， 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【点睛】 本题考查了反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象性质，解题的关键是正确求出反比例函数解析式并且熟练掌握反比例函数以及有关性质． 14．【答案】（1），     （2）；     （3）      【分析】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得点坐标； （2）利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （3）利用与的面积之和得出的面积；． (1) 小问详解： 反比例函数的图象经过点， ． ． 反比例函数的解析式为：． 在反比例函数图象上， ， ． ． (2) 小问详解： 根据题意得： ， 解得： ． 一次函数的表达式为：， 令，得，解得：， ． (3) 小问详解： 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 令，则， ． ． 、， ，． ； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与反比例函数 7大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点07 反比例函数的图象和性质 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）下列是关于x 的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的一般式进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、不是二次函数，故该选项不符合题意； D、是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】 解：由题意得： ， ∴， 故选：3． 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A. 2，， B. ，4，1 C. 2，，1 D. ，4， 【答案】B 【分析】 本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】 解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，1． 故选：B． 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】 根据二次函数的定义，可得答案． 解：A．是二次函数，故本选项符合题意； B．是二次函数，故本选项不符合题意； C．是一次函数，故本选项不符合题意； D．右边是分式，不是整式，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（a．b．c为常数，）的函数，叫二次函数． 5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）下列函数是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】 解：A、若，则不是二次函数，故不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、，未知数的最高次是3，不是二次函数，不符合题意， 故选：C． 6．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）下列函数中，y是x的二次函数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】 解：A、不是二次函数，故不符合题意； B、当时，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）二次函数中，二次项系数为　　　　　　　，一次项系数为　　　　　　　，常数项为　　　　　　　． 【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】 解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）已知：是关于的二次函数，则　　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数最高次项指数必须为2且二次项系数不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵是关于的二次函数， ∴且， ∴或，且， 即， 故答案为：0 9．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）若是关于x的二次函数，则m 的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】 解：∵是关于x的二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：2． 10．（25-26学年九上·新疆阿克苏地·期中）若是关于x的二次函数，则m的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的定义，自变量的最高次项为二次且二次项系数不为零． 【详解】 解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得 ， ∴ 或 ， 又∵， ∴． 故答案为 2． 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）已知是关于的二次函数，那么　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 利用二次函数定义可得：，且，再解出的值即可． 【详解】 解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义． 12．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1）     （2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是      【分析】 本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． (1) 小问详解： 解：根据二次函数的定义得 ， 由得， 由得且， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，掌握相关知识是解题的关键．二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线，在对称轴右侧随的增大而增大． 【详解】 解：二次函数的开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 故选：A． 2．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）关于函数y=x2的性质表达正确的一项是（   ） A. 无论x为任何实数，y值总为正 B. 当x值增大时，y的值也增大 C. 它的图象关于y轴对称 D. 它的图象在第一、三象限内 【答案】C 【详解】函数y=3x2具有的性质是：有最小值为0，图象关于y轴对称，当x>0时，y随x的增大而增大，当y<0时，y随x的增大而减小，所以只有选项C正确，故选C. 3．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）抛物线的开口向　　　　　　　　．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，根据的正负判断函数的开口朝向，如果，开口向上；如果，开口向下． 【详解】 解：抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下， 故答案为：下． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了二次函数的图像和性质．根据抛物线的顶点为即可得到答案． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是， 故选：C． 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中） 二次函数的顶点坐标是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是直接根据顶点式的特点写出顶点坐标即可． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是． 故选A． 4．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】 解：将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线是， 故选：A． 5．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】 解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】 本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 6．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（　 　） A. 直线x=－1 B. 直线x=1 C. 直线y=－1 D. 直线y=1 【答案】A 【分析】抛物线y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是x=h． 【详解】y=（x+1）2+2， 对称轴是x=-1． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，题目是以二次函数顶点式的形式给出，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． 7．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键；根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案． 【详解】 解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 故选：． 8．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）抛物线，下列说法正确的是（       ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向上，顶点坐标 D. 开口向下，顶点坐标 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的开口方向和顶点坐标的确定，关键是把函数解析式顶点式的识别.根据二次函数顶点式的性质， 的符号决定开口方向，顶点坐标为 ． 【详解】 解：∵中 ， ∴开口向上； 又∵， ∴顶点坐标为 ， 故选 ：C． 9．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“左加右减，上加下减”的平移规则求解即可． 【详解】 解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是， 故选：A． 10．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【分析】 根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】 ∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 11．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规律是关键． 根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】 解：抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，即， 故选：B． 12．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】 解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 13．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：B． 【点睛】 此题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握利用顶点的平移解决二次函数的平移问题． 14．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）对于抛物线，下列判断不正确的是（     ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，有最大值1 C. 当时，随的增大而增大 D. 对称轴为直线 【答案】D 【分析】 根据抛物线顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、最值及增减性． 【详解】 解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向下，故A正确； ∴ 对称轴为直线，顶点为， ∴ 当时，有最大值1，故B正确； ∵ ，对称轴， ∴ 当时，随的增大而增大，故C正确； 对称轴为，不是，故D错误． ∴ 不正确的是D， 故选：D． 15．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（     ） A. 1， B. 1，2 C. 1，3 D. ， 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．直接根据二次函数图象的平移规则判断即可． 【详解】 解：∵， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移个单位得到解析式， ∴，， 故选：A． 16．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）对于抛物线的说法错误的是 （       ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是（1，-3） C. 抛物线的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】找到题目中函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性后即可得出答案． 【详解】解：中，抛物线开口向下，顶点坐标为（1，-3），对称轴为直线，当时，随的增大而减小． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是抛物线的性质，能正确的说出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标是解此题的关键． 17．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】 解：∵抛物线先向左平移2个单位， ∴， ∵抛物线向下平移3个单位， ∴， 故选：A． 18．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数的平移，根据二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】 解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 19．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】 解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 20．（25-26学年九上·新疆阿克苏地·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物线的解析式得出其顶点C的坐标，进而可得右边抛物线的顶点F的坐标，再根据左右轮廓相同可得右轮廓所在抛物线的解析式． 【详解】 解：∵左轮廓所在抛物线的解析式为， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 21．（25-26学年九上·新疆阿克苏地·期中）下列关于抛物线的描述中，错误的是（       ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】C 【分析】 该题考查了二次函数的性质，通过将二次函数化为顶点式 ，分析开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标． 【详解】 解：∵ 抛物线为 ， ∴ 与顶点式对比，得 ， ， ． 对于 A：∵ ， ∴ 开口向下，正确． 对于 B：对称轴为 ，正确． 对于 C：∵ 开口向下，对称轴为 ， ∴ 当 时，y 随 x 的增大而增大，故选项描述错误． 对于 D：顶点坐标为 ，正确． ∴ 错误的是 C． 故选：C． 22．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）对于抛物线，下列判断正确的是（     ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，时，函数开口向下． 根据二次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，故A不正确，不符合题意； ∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；故C正确，符合题意； 当时，，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 23．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）抛物线的顶点坐标是（　 ） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1） 【答案】B 【分析】 根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标． 【详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为（-2，1）， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为（，）是解题的关键． 24．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【答案】B 【详解】 解：将的图象向左平移2个单位后得函数的函数图象， 将的图象向下平移3个单位得到的函数图象， ∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：B． 25．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位，所得图象的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律解答即可． 【详解】 解：将二次函数的图象向右平移2个单位，所得图象的表达式为， 故选：C． 26．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A. （1，5） B. （2，1） C. （2，5） D. （﹣1，5） 【答案】A 【分析】 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】 解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）． 故选：A． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 27．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】 由抛物线可得，顶点坐标为． 故选：A 28．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）下列关于抛物线说法正确的是（       ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，函数有最小值2 【答案】C 【分析】 此题考查了二次函数的应用－销售问题，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，称轴为直线，顶点坐标为，当时，函数有最大值2． 故选C． 29．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解： ，开口向上，A选项错误，不符合题意； 对称轴为：，B选项错误，不符合题意； 顶点坐标为，C选项正确，符合题意； 函数的最小值为2，与x轴没有交点，D选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】 此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 30．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 其图像开口向上 B. 其图像的对称轴是直线 C. 其图像有最高点，坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴、顶点和增减性，根据解析式中的参数判断各选项，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】 解：∵二次函数为， ∴，开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线． A、，开口向下，故选项不符合题意； B、对称轴应为直线，故选项不符合题意； C、开口向下，顶点为最高点，故选项符合题意； D、，当时，y随x的增大而减小，故选项不符合题意； 故选：C． 31．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）抛物线y＝－3(x－2)2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是() A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】C 【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝－3x2＋1向右平移2个单位可得到抛物线y=-（x-2）2+1， 由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-（x-2）2+1向下平移4个单位可得到抛物线y=（x+3）2-3， 故选C． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 32．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）关于二次函数的图象与性质，下列结论正确的是（       ） A. 函数图象的顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 二次函数的图象与轴有两个交点 D. 二次函数的图象可由经过平移得到 【答案】C 【分析】 根据二次函数的图象与性质对各项进行分析解答即可． 【详解】 解：由可知， 二次函数顶点坐标为，故A选项错误； ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，故B选项错误； ∵二次函数开口向上，且顶点坐标为位于轴下方， ∴二次函数的图象与轴有两个交点，故C选项正确； ∵二次函数的，与二次函数开口方向相反， ∴二次函数的图象不是由经过平移得到的，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题的关键． 33．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）在下列对抛物线的描述中，正确的是（       ） A. 开口向上 B. 顶点在轴上 C. 对称轴是直线 D. 与轴的交点是 【答案】B 【分析】 根据函数y=a（x-h）2的性质逐项排查即可． 【详解】 解：∵ ∴该抛物线开口方向向下，顶点坐标（1，0），顶点在x轴上，对称轴为直线x=1，与y轴交点为（0，-1）， 所以A、C、D选项错误，B选项正确， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了函数y=a（x-h）2的性质，掌握根据函数解析式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法成为解答本题的关键． 34．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）抛物线的顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案，熟记的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 35．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）已知抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数 【详解】 解∶ 因为抛物线的图象开口向下， 所以，即． 故答案为：． 36．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）函数的图象可由函数的图象向　　　　　　平移3个单位，再向　　　　　　平移2个单位得到． 【答案】① 右    ② 上 【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的平移确定图象的平移比较简单，二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据两个函数的顶点坐标间的平移规律即可得到函数图象的平移规律． 【详解】 解：∵函数的顶点坐标是， 函数的顶点坐标是，且将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位即可得到点， ∴的图象可由函数的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到． 故答案为：右， 上． 37．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）抛物线的顶点坐标为　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据抛物线的顶点式，直接确定顶点坐标即可． 【详解】 解：抛物线是顶点形式，其中，，， 因此顶点坐标为， 故答案为：． 38．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式的特征是解题的关键． 由二次函数的顶点式可直接得出顶点坐标． 【详解】 抛物线， 此为顶点形式，对照标准顶点式 ， 可得 ，， 因此顶点坐标为， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）二次函数图象的顶点坐标是　　　　　　　，开口方向　　　　　　　，当x　　　　　　　时，随的增大而增大； 【答案】①     ② 向下    ③ 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 通过二次函数的顶点形式，确定顶点坐标、开口方向和增减性． 【详解】 二次函数可写为顶点形式 ， ，，， 顶点坐标为，对称轴为， ， 开口向下， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 故答案是：；向下；． 40．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是　　　　　　　　．（用“”连接） 【答案】 【分析】 本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 41．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，得到抛物线的解析式为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律，根据平移规律“上加下减，左加右减”进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后， ∴得到平移后的抛物线的解析式为， 故答案为：． 42．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）将抛物线 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移规律，关键是熟练应用； 根据“左加右减，上加下减”的平移规律计算即可． 【详解】 解：∵将抛物线 向左平移个单位长度，根据“左加右减”的规则， ∴函数解析式变为 ； ∵再向上平移个单位长度，根据“上加下减”的规则， ∴函数解析式变为 ． 故答案为： ． 43．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到新抛物线为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律，根据平移规律：左加右减，上加下减，进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度， ∴， 即得到新抛物线为， 故答案为： 44．（25-26学年九上·新疆阿克苏地·期中）将抛物线向右平移2个单位长度后，得到新抛物线　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的平移规律，根据“左加右减”的规则，向右平移2个单位长度，需将原函数中的x替换为． 【详解】 解：将抛物线 向右平移2个单位长度，根据平移规律，新抛物线为 ． 故答案为：． 45．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）函数，当　　　　　　时，函数值y随x的增大而增大． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】 解：根据二次函数的图象与性质可知：函数图象的对称轴是， ， 函数图象开口向上， 当时，函数值随的增大而增大， 故答案为：． 46．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）二次函数，当　　　　　　时，y有最小值． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得开口向上，对称轴为直线，进而问题可求解． 【详解】 解：由二次函数，可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y有最小值； 故答案为． 47．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）二次函数y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a≠0)，其顶点坐标为(h，k). 【详解】解：由顶点式的定义可知该二次函数的顶点坐标为. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式. 48．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：，且a，h，k是常数，它的对称轴是，顶点坐标是． 【详解】是顶点式， 故抛物线的顶点坐标是． 故答案为（1，-7） 【点睛】本题主要是对一般形式中对称轴，顶点坐标的考查． 49．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】 解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得，即：， 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查二次函数的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）二次函数的图象不经过（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据二次函数的图象的开口，对称轴，与轴的交点，判断图象经过的象限，然后作答即可． 【详解】 解：∵，二次项系数为 ∴图象开口向上， 对称轴为直线， 当时，，即图象过原点， ∴图象经过第一、第二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 2．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数为（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【分析】 根据二次函数图象与系数的关系可得a，b，c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】 解：由图象知，，且抛物线与x轴的两个交点坐标分别为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故① 符合题意； ，故② 不符合题意； ，故③ 符合题意； ，故④ 不符合题意； 当时，或，故⑤ 不符合题意； 从而正确的有① ③ ， 故选：A． 【点睛】 此题考查了二次函数的系数与图象的关系，利用二次函数的图象判断式子的正负，正确理解二次函数图象得到系数的关系是解题的关键． 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，直接利用二次函数对称轴公式计算即可 【详解】 解：二次函数中，，， 对称轴， 对称轴为直线， 故选：D 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系．根据一次函数通过的象限确定a、b的正负是解题的关键． 根据一次函数的位置确定出，再结合二次函数的图像与系数的关系逐选项去分析即可． 【详解】 解：由图象可知，一次函数的图象经过一、二、三象限，可得， A． 由二次函数图象可知，，不符合题意； B． 由二次函数图象可知，，符合题意； C． 由二次函数图象可知，，不符合题意； D． 由二次函数图象可知，，不符合题意； 故答案为：B． 5．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征. 抛物线开口向上时，离对称轴越远的点，函数值越大. 计算各点与对称轴的距离即可比较大小. 【详解】 二次函数开口向上，对称轴为. 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为. 由于开口向上，距离对称轴越远的点，函数值越大. 因此，. 故答案为：B. 6．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可． 【详解】 解：如图： 图象开口向下， ， 图象交轴于正半轴， ， 对称轴是直线， ， ， ， ，故① 错； ， ，故② 对； 图象与轴两个交点， △，即，故③ 对； 根据图像可知关于对称的点为， 故图象与轴交点在和3之间，且开口向下， 时，，故④ 对； 由图象知：时，， ， ，即，故⑤ 对；共四个对， 故选：D． 7．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由，得出函数有最大值，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答． 【详解】 解∶二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3， ． 故选∶D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及对称轴的求法，函数的增减性，掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．先根据一次函数图象所过象限，判断的符号，进而判断出二次函数的图象即可． 【详解】 解：∵直线过一，三，四象限， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴，与轴交于正半轴， 故符合题意的只有选项C； 故选：C． 9．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】 解∶ 中 抛物线开口向上，有最小值． 关于直线的对称点是，当时，y随x的增大而增大， ， 故选：A． 10．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴是y随x的增大而增大， 是y随x的增大而减小， 又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键． 11．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】 解：由题意得 ，解得 ， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 12．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【分析】 本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．将解析式化为顶点式即可得解． 【详解】 解：∵， 抛物线的对称轴是是直线， 故选：B． 13．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）将二次函数化为的形式，结果为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了将二次函数一般式转化为顶点式． 利用配方法转化即可． 【详解】 解： ． 故选：C． 14．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最大值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时y随x的增大而增大 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】 解：A．∵二次函数，， ∴该函数图象开口向上，故选项A正确； B．函数的最小值为1，故选项B错误； C．函数图象的对称轴为直线，故选项C错误； D．当时y随x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 15．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象确定出a的符号，进而判断二次函数的图象开口方向，再结合两个图象的交点即可判断求解，掌握二次函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：A、由于一次函数和二次函数的图象都经过点，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，且图象都经过点，故此选项符合题意； D、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向下，故此选项不符合题意； 故选：C． 16．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 A、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误． B、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意， D、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选：C． 17．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于和之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为、，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；根据根的判别式即可判断；解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】 解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴， 故正确； ∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴， 由图象可得，当时， ， ∴， 故错误； ∵直线是抛物线的对称轴， 设，两点横坐标与对称轴的距离为、， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴， 故正确； ∵关于的一元二次方程 无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴，故正确； ∴正确的结论有个， 故选：． 18．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）；⑥若，，是抛物线上三点，则；⑦关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（                 ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数图象系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图形的性质，会求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解本题的关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况推理，抛物线的性质进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：① 由图象可知：，，，则， ，故① 正确，符合题意； ② 当，，则，故② 正确，符合题意； ③ 当，，则， ， ，故③ 错误，不符合题意； ④ 根据图象得抛物线与x轴有两个交点，则，故④ 错误，不符合题意； ⑤抛物线的对称轴为，则时，有最小值为， ，即，故⑤ 错误，不符合题意； ⑥抛物线的对称轴为，且开口向上， 抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，反之则越小， ，，是抛物线上三点， 且，即， ，故⑥ 正确，符合题意； ⑦，，且， 将看作一条平行于x轴的平行线，且位于x轴上方（包括与x轴重合）， 抛物线的图象与这条直线始终有两个交点，且位于x轴上方（包括与x轴上）， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑦ 正确，符合题意； 综上所述，共有① ② ⑥ ⑦ 符合题意，共3个， 故选：C． 19．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（       ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】D 【分析】 根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】 解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 20．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】 解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . . 故① 正确. 是关于二次函数对称轴对称， . 在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，    . 故② 正确. 图象与轴交于点， ，. . . 故③ 正确. ， . 当时，， . ， ， . 故④ 不正确. 综上所述，正确的有① ② ③ . 故选：C. 【点睛】 本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点. 21．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一次函数和二次函数的图像特征，理解一次函数、二次函数图像位置与系数的关系成为解题的关键．根据一次函数和二次函数的图像特征，逐项分析判断即可． 【详解】 解：A、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； B、由抛物线可知，图像与y轴交在正半轴，开口方向向下；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在正半轴，不存在矛盾，故此选项正确；    D、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在负半轴，出现矛盾，故此选项错误． 故选C． 22．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（       ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确． 【详解】 解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②正确； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：C． 23．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符合，判断是否一致，即可获得答案． 【详解】 解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：B． 24．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数，下列说法正确的是(          ) A. 方程必有实数根 B. 若移动函数图象使其经过原点，则只能将图像向右移动1个单位 C. 若，则当时，必有y随着x的增大而增大 D. 若，则当时，必有y随着x的增大而增大 【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，把函数解析式化为一般式，再结合方程、函数图象等进行判断即可． 【详解】 A、整理方程得， ∵， ∴方程必有实数根，故此选项正确； B、若移动函数图象使其经过原点，可向右移动一个单位或向左移动个单位，故此选项错误； C、∵抛物线的对称轴为， ∴当且，即时，必有y随着x的增大而增大，故此选项错误； D、由抛物线的对称轴为知，当且，即时，必有y随着x的增大而增大，故此选项错误； 故选A． 25．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点，，都在抛物线上，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性判断即可求解，理解“抛物线开口方向向上时，到对称轴距离越大的点，对应的函数值越大.”是解题的关键. 【详解】 解： ， 抛物线开口向上，对称轴为， 到对称轴的距离为个单位长度， 到对称轴的距离为个单位长度， 到对称轴的距离为个单位长度， 抛物线开口向上，到对称轴距离越大的点，对应的函数值越大， ． 故选：A． 26．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移2个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的图形与性质、二次函数图像的平移等知识，理解并掌握二次函数图像平移的规律是解题关键．首先将原抛物线解析式转化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的规律得到平移后抛物线的解析式，进而可得平移后得到的抛物线的顶点为，结合确定平移后得到的抛物线的顶点所在象限即可． 【详解】 解： ， 将抛物线沿轴向下平移2个单位， 则平移后的抛物线解析式为， ∴平移后得到的抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴平移后得到的抛物线的顶点一定在第一象限． 故选：A． 27．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，其中，则以下结论正确的个数是（     ） x … 0 2 m … … n n … ①，②，③，④不等式的解集为，⑤对于任意实数t，． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，以及二次函数与不等式综合．将代入中，求出．根据二次函数的对称性得到二次函数对称轴，即可判断② ，利用不等式的性质得到，即可判断① ，利用二次函数对称轴为直线，且与的函数值相同，列式求出的值，即可判断③ ，根据抛物线与直线的交点为和，即可判断④ ，根据当时，二次函数有最小值，得到，即可判断⑤ ． 【详解】 解：当时，，即， 当时，， 二次函数对称轴为直线， ，，故② 正确； ，故① 错误； 二次函数对称轴为直线，且与的函数值相同， ，解得，故③ 正确； ， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 抛物线开口向上， 抛物线过点和， 抛物线与直线的交点为和， 当或时，， 不等式的解集为或，故④ 错误； 当时，，当时，， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， 对于任意实数t，有，即，故⑤ 正确； 综上所述，正确的个数是3个， 故选：B． 28．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）函数与的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别根据函数的图象和函数的图象判断a的符号是否一致即可得解． 本题主要考查了二次函数的图象和一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 A、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； B、由函数的图象知，由函数的图象知，相符； C、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； D、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符． 故选：B． 29．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则．其中正确的结论有（     ） A. ②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，与轴的交点位置可得，，再由对称轴为直线可得，可判断① ；由抛物线与轴有两个交点，可判断② ；当时，，可得，再结合可判断③ ；当时，有最小值，可判断④ ；图象经过点，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，得到方程的两根为和，可判断⑤ ，即可得出结论． 【详解】 解：由图象得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ， ， ，故① 错误； 由图象得，抛物线与轴有两个交点， ，故② 正确； 由图象得，当时，， ， ， 又， ，故③ 正确； 由图象得，当时，有最小值， （为任意实数）， ，故④ 正确； 图象经过点，对称轴为直线， 图象也经过点， 抛物线与直线的两个交点为和， 方程的两根为和， ，， ，故⑤ 错误； 综上所述，正确的结论有② ③ ④ ． 故选：D． 30．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根 是，；④方程有一个实根大于；⑤当时随增大而增大． 其中结论正确的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数图象的开口方向、对称轴、坐标轴的交点等对各选项进行判断即可． 【详解】 解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴，c=3， ∴b=﹣2a＞0，c＞0， ∴abc＜0， 故①正确； ∵当x=﹣1时，函数值y=a﹣b+c＜0，即a+2a+c=3a+c＜0， 故② 错误； 根据抛物线的对称性，由x=0时，y=3可知，当x=2时，函数值y=3， ∴方程的两个根 是，， 故③ 正确； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点小于0， 则根据抛物线的对称性，与x轴的另一个交点大于2， ∴方程有一个实根大于， 故④正确； ∵当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， 故⑤ 正确， 综上，正确的有4个， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的基本知识，正确运用数形结合思想是解答的关键． 31．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（     ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论① ② ；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③ ；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④ ． 【详解】 解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故② 正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论① 正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③ 正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④ 正确； 综上所述，结论正确的有① ② ③ ④ ，合计4个． 故选：D． 32．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①，②，③；④y有最大值是3，其中正确的有（　　）个．（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 根据二次函数的图像与性质、二次函数的图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】 解：由图易知抛物线与x轴有两个交点，即有两个实数根，因此，故① 错误； 由图可知抛物线的对称轴为，因此，所以，故② 正确； 由抛物线与x轴的交点A在点和之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，因此当时，，故③ 正确； 由抛物线的顶点为，可知y的最大值是3，故④ 正确； 综上可知，正确的有② ③ ④ ，共3个， 故选C． 【点睛】 本题主要考查根据二次函数判断式子的符号，属于中等题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 33．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）如图是二次函数的图象，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④．其中正确的是（       ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质分别对各项进行判断即可． 【详解】∵二次函数开口向下 ∴ ∵对称轴为直线 ∴，即，② 错误 ∴ 由图象得当， ∴，① 正确 由图象得当时，随的增大而增大，③ 错误 由图象得当，，④ 正确 故正确的有① ④ 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 34．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m n s … 其中．以下结论：①；②若抛物线经过点，，则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查利用二次函数对称性、开口方向、点坐标求参数关系，结合不等式分析函数值和方程根的情况；根据相关知识逐项判断即可． 【详解】 解：∵ 和时，， ∴ 对称轴， ∴ ，即， 当时，， ∵ ， ∴， 又∵ 抛物线过， ∴即得， ∴，抛物线开口向上， ∴， ∴ ，故①正确； ∵ 抛物线开口向上，对称轴， 点到对称轴距离， 点到对称轴距离， ∴，故②正确； ∵ 对称轴，点和点对称， ∴ ， 当时，， 代入，得 ，即， ∴ ， ∴ ， 当时，， ∴， ∴ ， ∵，即，解得， ∴，即，故④正确； 对于方程，即， ∴当或时有两个不相等的实数根， ∵， ∴解得， 解得不符合要求， 当时有三个不相等的实数根， 解得不符合要求， 当时有四个不相等的实数根， 解得， 当时无解， 解得，故③错误， 综上，正确结论为① ② ④，共3个， 故选C． 35．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）已知二次函数的图象如图，则下列说法中：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④；⑤当时，．其中正确的有（   ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 ① 根据函数图象得出，，，即可判断得出① 错误； ② 根据函数增减性判断② 错误； ③ 根据时，，可以判断③ 错误； ④ 根据抛物线的对称轴为直线，得出，判断④ 正确； ⑤ 先求出抛物线与x轴的另外一个交点，然后根据函数图象得出⑤ 正确． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∴，故① 错误； 根据函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小，故② 错误； ∵时，， ∴，故③ 错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故④ 正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴另外一个交点为， ∴当时，，故⑤ 正确； 综上分析可知，正确的有2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式等知识点的应用，注意：根据抛物线的开口方向即可得到a的正负，根据抛物线与y轴的交点的纵坐标即可求出c的值，根据顶点的横坐标得出和b的关系式，把或代入即可求出和的值，题型较好，但有一定的难度． 36．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据各选项中抛物线的位置确定a、b的符号，再根据a、b的符号对一次函数的大致位置进行判断即可． 【详解】 解：A. 根据抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧可得a<0，b>0，所以一次函数图象过第一、三、四象限，故A选项错误； B. 根据抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧可得a<0，b<0，所以一次函数图象过第二、三、四象限，故B选项错误； C. 根据抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧可得a>0，b>0，所以一次函数图象过第一、二、三象限，故C选项错误； D. 根据抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧可得a>0，b>0，所以一次函数图象过第一、二、三象限，故D选项正确； 故选D． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象．解题的关键在于熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质． 37．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】 解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 38．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（         ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论，结论进行判断，据此可得出此题的答案． 【详解】 解：二次函数图象的开口向上， ， 二次函数图象的顶点在第三象限， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，故结论正确，符合题意； 对于，当时，， 点在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 点在轴下方的抛物线上， ，故结论正确，符合题意； 二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，消去得：，故结论正确，符合题意； 二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数图象的在轴的下方， ，即：，故结论错误，不符合题意； 综上所述：结论正确， 故选：． 39．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（       ）． A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质． ① 利用对称轴，即可得到系数的关系； ② 代入到函数表达式判断代数式的符号，得出结论； ③ 利用函数与轴交点处坐标，得到，，继而代入，根据，得出结论； ④ 利用函数达到最值时的取值，分别代入和，得到； ⑤ 根据对称轴和已知交点，得到另一交点坐标，将方程的解转化为二次函数图象与直线交点的问题，结合图象判断根的分布． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故① 正确； ∵时，， ∴，即，故② 错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故③ 正确； ∵当时，，达到最大值， 当时，， ∴， ∴，故④ 错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线解析式为， ∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标， ∴，故⑤ 正确； ∴正确的结论有① ③ ⑤ ． 40．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示是抛物线的部分图象，对称轴是，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数图象和性质，直接利用二次函数的图象和性质逐一判断即可求解．熟练利用二次函数图象和性质进行判断式子的符号是解题的关键． 【详解】 解：由图知：抛物线开口向下，且与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， 故A选项错误； 由图知：抛物线的对称轴为， ∴， ∴ ∴， 故B选项正确； 由图知：时，， ∴， ∴， ∴， 故C选项错误； ∵抛物线的对称轴为，且点离对称轴的距离为3，点离对称轴的距离为1.5， ∴， 故D选项错误． 故选：B． 41．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若(﹣5，y1)、(，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有(　　)个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对② 进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对① 进行判断；由于x＝﹣1时，y＜0，则得到a﹣2a+c＜0，则可对③ 进行判断；通过点(﹣5，y1)和点(，y2)离对称轴的远近对④ 进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以② 正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以① 正确； ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝2a， ∴a﹣2a+c＜0，即﹣a+c＜0，所以③ 正确； ∵点(﹣5，y1)离对称轴要比点(，y2)离对称轴要远， ∴y1＞y2，所以④ 正确． 故答案为D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，灵活运用二次函数解析式和图像是解答本题的关键．. 42．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）在同一直角坐标系中,一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2-b的图象大致为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可得出答案． 【详解】A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B错误； C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，故C错误； D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故D正确； 故选D 【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是解题关键. 43．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）二次函数y＝x2﹣4x+1的最小值是 　　　． 【答案】-3 【分析】 把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解． 【详解】 解：由二次函数y＝x2﹣4x+1化为顶点式为， ∵该二次函数开口向上， ∴当x=2时，有最小值，最小值为-3； 故答案为-3． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 44．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）抛物线（）的对称轴是直线　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 此题考查了二次函数的图像和性质．把二次函数的解析式化为顶点式即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴抛物线（）的对称轴是直线， 故答案为： 45．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）二次函数的对称轴为，则的值是　　　． 【答案】2 【分析】 由抛物线的对称轴列出方程，求出的值即可． 【详解】 解：的对称轴为， 对称轴为， ， ， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，准确解一元一次方程是解题的关键． 46．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求直线AC的函数关系式； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值． 【答案】（1）y＝−x2−2x＋3     （2）y＝−x＋1     （3）      【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法确定直线解析式； （3）根据（2）的结论，设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3），过点作轴，交于点，根据三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：由抛物线y＝−x2＋bx＋c过点A（1，0），C（−2，3），得 ， 解得 ， 故抛物线为y＝−x2−2x＋3； (2) 小问详解： 设直线为y＝kx＋n过点A（1，0），C（−2，3），则 ， 解得 ， 故直线AC为y＝−x＋1； (3) 小问详解： 如图，过点作轴，交于点， ∵直线AC为y＝−x＋1； 设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3）， ∴PQ＝（−x2−2x＋3）−（−x＋1）＝−x2−x＋2， ∴S△APC＝ ＝ ＝， ∴△APC面积的最大值为 【点睛】 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 47．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）已知抛物线， （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （2）直接写出，当x为何值时，y随x的增大而减小． 【答案】（1）当时，y有最小值，最小值为；     （2）当时，y随x的增大而减小．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答； （2）根据二次函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：， ∴抛物线开口向上，顶点为，对称轴为直线， ∴当时，y有最小值，最小值为； (2) 小问详解： 解：由（1）知抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 48．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）若原点是抛物线的顶点，则抛物线的开口向　　　　　　． 【答案】上 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键． 由顶点在原点，得出对称轴为y轴，从而求出a的值，再根据二次项系数的正负判断开口方向． 【详解】 解：抛物线方程为 ，其顶点在原点， ， ， 解得：， 代入原方程，得 ， 二次项系数 ， 抛物线开口向上， 故答案为：上． 49．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为　　　　　元/平方米． 【答案】2080 【分析】从图象中找出顶点坐标、对称轴，利用对称性即可解答． 【详解】解：由图象可知（4，2200）是抛物线的顶点， ∵x=4是对称轴， ∴点（2，2080）关于直线x=4的对称点是（6，2080）． ∴6楼房子的价格为2080元． 故答案为：2080 【点睛】本题考查二次函数顶点坐标、对称轴的应用． 50．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）二次函数的最小值是　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 先确定抛物线的开口方向，把抛物线配方变顶点式，确定顶点的最值位置即可得出答案． 【详解】 二次函数=（x-1）2+1， ∵a=10,抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点（1，1）， 抛物线的最小值是1． 故答案为:1． 【点睛】 本题考查抛物线的最值问题，会确定抛物线的开口方向，会把抛物线变成顶点式，特别是自变量由范围时，考虑对称轴是否在区间内，会求边值比较是关键． 51．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）二次函数的图象经过点A． （1）求二次函数的对称轴； （2）当时． ①求此时二次函数的表达式； ②把化为的形式，并写出顶点坐标． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征以及利用配方法将一般式化为顶点式． （1）根据二次函数的对称轴是直线即可求解； （2）① 将代入，即可求出此时二次函数的表达式； ② 利用配方法即可把化为的形式，再根据顶点式的特点写出顶点坐标． (1) 小问详解： 解：二次函数的对称轴是直线，即直线， 二次函数的对称轴是直线； (2) 小问详解： 解：①二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 此时二次函数的表达式为； ② ∵， 顶点坐标为． 52．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据抛物线的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把点代入求出，即可得到完整解析式． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 53．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣12t2．飞机着陆后滑行 　　　米才能停下来． 【答案】75 【分析】 将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义解题． 【详解】 解：s＝60t﹣12t2 = 当t=2.5时，s取最大值， 即飞机着陆后滑行75 m后才能停下来 故答案为：75． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解题关键是理解飞机滑行的最远距离即为函数的最大值． 54．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，当销售单价为　　　　　　　元时，能获得最大利润． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将写成顶点式的形式即可得到答案． 【详解】 解：将写为顶点式的形式得：， ∴当时，取最大值， ∴当销售单价为元时，能获得最大利润． 故答案为：． 55．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，利用配方法将二次函数化为顶点式，可求得顶点坐标． 【详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴原抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 56．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 【答案】（1）     （2）点坐标为或      【分析】 本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是用待定系数法求出二次函数解析式． （1）将、两点坐标代入抛物线即可求解； （2）由、两点坐标得出，结合三角形面积公式、点在轴下方得，代入抛物线解析式即可得对应的自变量的值，从而得到符合题意的点坐标． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得： ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， 点在轴下方， ， 在中，当时，， 解得，， 点坐标为或． 57．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，则y1、y2、y3大小关系为　　　　　　　　　　　（用“＜”连接）． 【答案】 【分析】 利用图象法即可解决问题． 【详解】 解：y＝y＝x2﹣4x+1， 对称轴为x＝2， 二次函数的图像为： 根据二次函数的图象可知：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小． 58．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）如果是抛物线上两点，那么　　　　　　．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的增减性，求二次函数值．根据自变量的值先求解二次函数值，再比较大小即可得到答案． 【详解】 解：当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 59．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）已知二次函数的图像经过点． （1）求m的值； （2）当时，求y的取值范围； （3）将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）     （2）     （3）3      【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）依据题意，由（1）可得二次函数为，从而当时，y取最小值为，结合当时，；当时，，然后判断即可解答； （3）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时和当时两种情形解答即可． (1) 小问详解： 解：由题意：将点代入可得： ，解得：． (2) 小问详解： 解：由（1）可得二次函数为， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围为． (3) 小问详解： 解：由题意，∵二次函数为， ∴可设向右平移后得到的新函数为． ∴新抛物线的对称轴是直线， ① 当时，即， 又∵若当时，，则或（不合题意，舍去）； 若当时，，则（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴． ② 当时，即， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去． 综上，． 答：平移的距离为3． 60．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④（m为任意实数）；⑤．其中结论正确的为　　　　　　　　． 【答案】④ ⑤ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定是关键． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：①由图象可知：，， ， ， ，故①错误，不符合题意； ② 根据图象可得当时，，故②错误，符合题意； ③ 根据图象可得当时，y随x的增大而减小，故③错误，不符合题意； ④当时，取最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故④正确，符合题意； ⑤当时，， ，故⑤正确，符合题意； 故答案为：④ ⑤． 61．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知抛物线经过点 （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）画出函数的图象 （3）当时，结合函数图象直接写的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为     （2） 描点、连线，如图：      （3）      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟知二次函数图象上点的坐标特征，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解答的关键． （1）将已知点代入函数解析式中求得m值，然后将函数解析式化为顶点式即可求解； （2）利用列表、描点、连线的步骤作函数图象即可； （3）根据所画的图象即可解答． (1) 小问详解： 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：列表： x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … (3) 小问详解： 解：由图象可知，该抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 62．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）①，且；②或或；③      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，且关于的对称点为，进而求解即可； ②根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解． (1) 小问详解： ∵抛物线过原点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： ① ∵抛物线； ∴抛物线开口向下，对称轴为 则关于的对称点为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为， ∴当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； ② ∵，矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4 ∴当点M的纵坐标为时， ∴ 解得； 当点M的纵坐标为时， ∴ 解得， 综上所述，或或； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点，     解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， 令点，则， ∴， 设直线解析式为，则 ， 解得 ， ∴， 将点Q代入可得：， 解得：， ∵点P在y轴下方， ∴， ∴， ∴P点的坐标为． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 63．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）已知函数（为常数），为常数且，函数的图象经过点． （1）求函数的表达式． （2）若函数的图象始终经过定点， ①用含有的式子表示： ②若时，总有，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）结合题意，利用待定系数法求解即可； （2）① 结合题意，利用待定系数法，将代入求解，即可得到答案； ② 根据题意得，再结合的取值范围计算，即可完成求解． (1) 小问详解： 将代入解析式， 得： ∴， ∴； (2) 小问详解： ① 将代入， 得： ∴， ∴； ②， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即； ∵ ∴． 【点睛】 本题主要考查了二次函数、二次函数与不等式的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用二次函数的性质，即可完成求解． 64．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）如图，抛物线经过，两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数综合． （1）把，两点代入求出、的值即可； （2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可． (1) 小问详解： 解：抛物线经过，两点， ， 解得：，， 此拋物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图，连接，交对称轴于点， 则， 此时最小，，     拋物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ， 又， 设的解析式为， ， 解得： ， 的解析式为， 当时，， ， . 65．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1），     （2）或或或      【分析】 本题考查了二次函数与特殊三角形，待定系数法法等知识，解题的关键是： （1）把点、代入求解即可； （2）分；；三种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴ ， 解得 ， ∴， ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴， 设， 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为或， 综上，P的坐标为或或或． 66．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）已知二次函数（） 的图像如图所示，则下列结论中正确的有　　　　　（填序号） ①，②，③，④，⑤方程的两根和为正数 【答案】① ③ ④ ⑤ 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的图像和性质逐项进行判断即可． 【详解】 解：根据抛物线开口向上可得，， 故① 正确，符合题意； 根据对称轴位于轴的右侧， ∴异号， ∴， 故② 错误，不符合题意； ③ 根据抛物线交轴于负半轴， ∴， 故③ 正确，符合题意； ④ 根据抛物线与轴有两个交点得， ， 故④ 正确，符合题意； ⑤ 方程的两根为抛物线与轴交点的横坐标， ∴两根之和为， 故⑤ 正确，符合题意； 综上，正确选项为：① ③ ④ ⑤ ， 故答案为：① ③ ④ ⑤ ． 67．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）函数的最大值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了二次函数的最值问题，由即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 68．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1），     （2）     （3）点的坐标为或      【分析】 （1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； (3) 小问详解： 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 69．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． (1) 小问详解： 解：将代入， 得 ， 解得 ， 所以，二次函数的表达式为． (2) 小问详解： 设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 70．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）已知关于x 的二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； （3）当时，y随x的增大而                                    ．（填“增大”或“减小”） 【答案】（1）     （2） 如图所示：      （3）减小      【分析】 本题考查了画二次函数的图象，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，即可作答． （2）先找出图象经过点，再结合题干的该二次函数图象经过点，再描点连线，即可作答． （3）函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴的右边，y随着x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵关于x 的二次函数的图象经过点． ∴ ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得二次函数的解析式， 令，则， 令，则， 令，则， ∵图象经过点． ∴把，分别在平面直角坐标系上表示出来，再依次连接即可； (3) 小问详解： 解：∵二次函数的解析式， ∴得出函数图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴的右边，y随着x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小． 71．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）根据下列条件，分别求二次函数的表达式 （1）已知函数的顶点坐标（-1，-8），且过点（0，-6） （2）已知图象经过点（3,0），（2，-3），并以直线x=0为对称轴. 【答案】(1) 2x2＋4x－6.(2) y＝x2－. 【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线顶点式，把（0，﹣6）代入求出a的值，即可确定解析式；（2）根据抛物线以直线x＝0为对称轴，设出抛物线解析式，把已知两点坐标代入求出a与c的值即可求出解析式. 【详解】设抛物线解析式为y＝a（x＋1）2－8，把（0，﹣6）代入得﹣6＝a－8，解得a＝2，则二次函数解析式为y＝2（x＋1）2－8＝2x2＋4x－6. 根据题意，设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，将（3,0）与（2，﹣3）代入得 ，解得a＝，c＝﹣，则抛物线的解析式为y＝x2－. 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 72．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． (1) 小问详解： 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 73．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点．    （1）求此二次函数的解析式； （2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标． 【答案】（1）     （2），顶点坐标为，点的坐标是      【分析】 （1）把点、、的坐标代入函数表达式，然后根据三元一次方程组的解法求出、、的值，即可得到二次函数的解析式； （2）利用配方法整理，然后根据顶点式写出顶点坐标，再根据抛物线的对称轴与点的坐标求出与轴的另一交点坐标． (1) 小问详解： 根据题意得， ， 分别代入、得， ， ， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， 方程组的解是 ， 此二次函数的解析式为； (2) 小问详解： ， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为， 对称轴为， 设另一点坐标为， 则， 解得， 点的坐标是． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点的坐标代入函数表达式，然后解三元一次方程组即可，熟练掌握二次函数的性质以及三种形式的相互转化也很重要． 74．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）已知函数图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标______； （2）对称轴为______； （3）当______时，y有最大值； （4）当______时，y随着x的增大而增大； （5）当______时，． 【答案】（1）     （2）直线     （3）     （4）     （5）      【分析】 本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由抛物线与轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得对称轴； （3）根据抛物线顶点坐标即可求解； （4）根据二次函数的性质即可求解； （5）抛物线在轴上方的部分对应的的取值即为所求． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于点， 顶点横坐标为， 由图可知顶点纵坐标为， 故顶点坐标为：； (2) 小问详解： 解：对称轴为； (3) 小问详解： 解：当时，y有最大值是； (4) 小问详解： 解：当时，y随着x的增大而增大； (5) 小问详解： 解：当时，． 75．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△BCD的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】 （1）设抛物线顶点式解析式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解； （2）令，解方程得出点，坐标，再用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】 解：（1）抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， 或， ，； ， ． 【点睛】 本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题． 76．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． （1）请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． （2）观察图象，当时，y的范围是_______，当时x的范围是_______． 【答案】（1） 描点连线，如图所示；      （2），      【分析】 本题考查了画二次函数图象，抛物线与轴的交点问题； （1）运用描点法，描出关键点，画出经过各点的平滑曲线； （2）观察函数图象即可求解． (1) 小问详解： 解： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当，； 当时，． 列表如下： 5 0 0 5 (2) 小问详解： 解：根据函数图象可得：当时，y的范围是，当时x的范围是， 故答案为：，． 77．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为___________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为 ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标； ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值； 【拓展提高】 （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有，请直接写出的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）① ∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③7；（3）存在，， 【分析】 本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一次函数、二次函数等知识，正确理解一元二次方程的衍生点的定义是解题关键． （1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）① 利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ② 根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③ 先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，再代入计算即可得． 【详解】 解：（1）， 因式分解，得， 解得（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． （2）① 略 ② ∵该方程的衍生点的坐标为， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③ ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为7． （3）将代入直线得：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ∴ ， ∴，， 故存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 78．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）求点，，，的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； （3）试判断点、点、点这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明；若不在同一个圆上，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点坐标为，点的坐标为     （2）     （3） 点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是，理由： ∵点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为， ∴，，， ∵，∴， ∴是直角三角形，并且是直角三角形的斜边， ∴点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是．      【分析】 （1）令，可得点，的坐标，令，可得点的坐标，将抛物线化为顶点式，可得点的坐标； （2）点A、点B关于对称轴对称，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可； （3）求出线段的长，利用勾股定理的逆定理即可判断的形状即可． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为. ∵， ∴顶点的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为：， ∴其对称轴为直线， 连接，过作轴交于点，连接，如图所示， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为， 由抛物线的对称性质可知， ∴的最小值， ∴点即为所求作的点， 当时，， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称求最短路线问题、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是要注意数形结合的应用． 79．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 【答案】任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出E点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】 解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 80．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点． （1）求二次函数图象的解析式； （2）连接，求的面积： （3）在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标． 【答案】（1）     （2）3     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数综合，求二次函数对称轴，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线利用分割思想进行求解是解题的关键． （1）根据解析式为顶点式结合顶点坐标即可求出对应的函数解析式； （2）如图所示，过点D作于E，交于F，求出直线的解析式为，则，再根据进行求解即可； （3）如图所示，过点M作于H，交于N，设，则，同（2）得到，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵关于x的二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点D作于E，交于F， 令，则， ∴点C的坐标为； 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为， 当时，则， ∴， ∴， ∴ ； (3) 小问详解： 解：如图所示，过点M作于H，交于N， 设，则， ∴， 同（2）可得， ∵， ∴当时，最大，此时点． 81．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求点C的坐标； （2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 【答案】（1）；     （2）；     （3）的最大值为，此时．      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的周长及面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）令，求得，即可得出点的坐标； （2）连接交对称轴于点，先求出抛物线的对称轴为直线，根据关于对称轴对称，得到，则，得到当三点共线时，的周长最小，再求出直线的解析式为，即可求出答案； （3）过点作轴交于点，设点坐标为，则，则，得到，∴当时，的最大值为，此时． (1) 小问详解： 解：当时 ， ∴； (2) 小问详解： 解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ； (3) 小问详解： 解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时． 82．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）已知抛物线经过点和． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）若将该抛物线向右平移4个单位长度，得到新抛物线，求新抛物线的对称轴． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，熟练掌握函数图像的平移与函数解析式是解题的关键． （1）将点和代入抛物线，即可求解； （2）将函数解析式转化为顶点式根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，再求解对称轴即可． (1) 小问详解： 解：将点和代入抛物线，得 ， 解得： ， ； (2) 小问详解： 解：由（1）得，抛物线的函数解析式为， ， 其函数向右平移4个单位长度的新抛物线的函数解析式为：， ， 新抛物线的对称轴为． 83．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，求m的值； （2）当时，求y的最小值（用含m的代数式表示）； （3）若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 考查知识点：二次函数的图象与性质（顶点式、对称轴、最值）、区间最值的分类讨论、函数与 x 轴交点距离计算． （1）代入点到函数式，解方程得． （2）对称轴为，开口向上： → 最小值在处，为； → 最小值在处，为；→ 最小值在处，为． （3）由最小值得，求函数与 x 轴交点，得． (1) 小问详解： 解：将点代入： (2) 小问详解： 解：二次函数的对称轴为，开口向上． 情况1： 在时，y随x的增大而增大，最小值在处： 情况2： 最小值在对称轴处： 情况3： 在时，y随x的增大而减小，最小值在处： 综上，最小值为 (3) 小问详解： 解：当 x 可取全体实数时，y 的最小值为． 已知且，得： 此时函数为． 令，解方程： 所以，， ． 84．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a+c＜1；正确的结论有　　　　　（填序号） 【答案】② ③ ④ 【分析】 根据开口方向，对称轴以及与轴的交点位置即可判断① ，根据抛物线与轴有两个不同的交点即可判断② ，根据时的函数值大于0，即可判断③ ，结合图象当时，结合③ 即可判断④ 【详解】 解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上， ∴， ∵对称轴，抛物线与轴交于负半轴 ∴， ∴ 故① 不正确 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与轴有两个不同的交点 即 故② 正确； 时，，即 故③ 正确； 时， 即 故④ 正确 故正确的是② ③ ④ 故答案为：② ③ ④ 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 85．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． （1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； （4）当时，的取值范围是______． 【答案】（1），；     （2） 如图所示：      （3）     （4）或；      【分析】 本题考查了二次函数图像及性质，以及函数平移，解题关键是熟悉二次函数的图像和性质. （1）利用配方法求出写出顶点式即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意由函数平移原则“左加右减，上加下减”写出即可； （4）根据函数图像可求解. (1) 小问详解： 解： 故 ∵点C在y轴上 ∴ 故答案为：， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则： 故答案为：； (4) 小问详解： ∵，由图像可得：或； 故答案为：或. 86．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）【概念学习】 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若图形上存在一点，且满足当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． 【初步理解】 （1）如图1，图形为线段，点，． ①试判断点______（填“是”或“不是”）线段的“垂近点”． ②请在图中画出点M所有可能的位置．（用阴影部分表示） 【知识应用】 （2）若图形为直线，二次函数图象上仅有一个“垂近点”，求的值． （3）如图2，若图形为抛物线，正方形的边长为2，中心（对角线的交点）为，如果正方形上存在“垂近点”，求出的取值范围． 【答案】（1）① 是；②M所有可能的位置，如图所示，    （2）或 （3）或 【分析】 （1）根据“垂近点”的定义，即可进行判断， （2）将化成顶点式，分，，两种情况进行讨论，根据“垂近点”的定义，即可求解， （3）由题意得，，，，设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，，分，，两种情况，点分别与点、、、重合时，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了，新定义“垂近点”，函数图像上点的特征，解题的关键是：充分理解新定义，结合函数图像上的点的性质与特点． 【详解】 解：（1）① 当时，， ∴点是线段的“垂近点”， ② 略 （2）将化成顶点式，， 当时，， 当时，， ∴或， （3）∵点是正方形的中心，正方形的边长为2， ∴，，，， 设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，， 当点在轴右侧时，， 如图1，当点与点重合时，，    ∴，解得：或（舍）， 如图2，当点与点重合时，，     ∴，解得：或（舍）， 当点在轴左侧时，， 如图3，当点与点重合时，，    ∴，解得：或（舍）， 如图4，当点与点重合时，，    ∴，解得：或（舍）， ∴当或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”， 故答案为：（1）① 是；② 图见解析（2）或（3）或． 87．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线，直线（）与抛物线相交于点A，直线与抛物线分别相交于点B． （1）当时，求A，B两点坐标． （2）在（1）的条件下，第一象限一点P在抛物线上，当时，求P点的横坐标． （3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1），     （2）P点的横坐标为或     （3）直线经过定点      【分析】 （1）当时，联立和，可求出A点坐标，联立和可求出B点坐标． （2）先求出直线的解析式为．设，过P点作轴，交直线于E点，则．根据求出m的值，即可得P点的横坐标． （3）由得，由得．设直线的解析式为，则可求得，由此可得直线经过定点． (1) 小问详解： 解：当时， 联立 ， 得 （舍去）， ， ． 联立 ， 得 （舍去）， ， ． (2) 小问详解： 解：如图，过P点作轴，交直线于E点， 设直线的表达式为，则 ，解得 ， ∴：． 设，则． ∴， ， ， ， ． ① 当时， 解得，（舍去）． ② 当时， 解得，（舍去）． ∴P点的横坐标为或． (3) 小问详解： 解：由，得（舍去），， ∴． 由，得（舍去），， ∴． 设直线的解析式为，则 ， 解得，． ∴直线的解析式为． ∴直线经过定点． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数脚钉问题，二次函数与三角形面积问题，掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 88．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图1，二次函数图象经过，两点． （1）求这个二次函数解析式； （2）点是抛物线上一点，若，求点的坐标； （3）如图2所示，将二次函数图象在轴上方部分沿轴翻折，当直线与新图象恰有两个公共点时，求的取值范围． 【答案】（1）     （2），，或     （3）或      【分析】 本题考查二次函数图象与性质的综合应用，包括待定系数法求解析式、三角形面积与函数坐标的关系、函数图象翻折及一次函数与二次函数的交点问题，涉及的核心知识点有一元二次方程的求解、判别式与根的分布、函数图象的几何变换等． （1）已知二次函数图象经过轴上的两个点，将两点坐标代入一般式，建立关于系数、的方程组，解方程组即可得到解析式； （2）先根据、两点坐标求出线段的长度，再利用三角形面积公式列出关于点纵坐标绝对值的方程，求出纵坐标后分情况代入解析式求解横坐标，得到点的坐标； （3）先求出原抛物线轴上方部分翻折后的解析式，再分两种情况讨论直线与新图象的交点情况：① 直线与翻折部分无交点，与原抛物线轴下方部分有两个交点；② 直线与翻折部分有一个交点，与原抛物线轴下方部分有一个交点，结合一元二次方程的判别式和根的分布确定的取值范围． （3）先确定翻折后新图象的分段解析式，再分情况讨论直线与新图象的交点个数，结合一元二次方程的判别式和根的分布，确定的取值范围． (1) 小问详解： 解：将，代入， 得 ，解得 ， 二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：，， ， 设点的纵坐标为， ， 解得或． 当时，解得或， 点的坐标为或； 当，解得， 点的坐标为或； 综上，点的坐标为，，或； (3) 小问详解： 解：原二次函数，其顶点坐标为， 将轴上方的图象沿轴翻折后，翻折部分的解析式为， ∴ ． ① 当直线与和的图象各有一个交点，且与翻折部分无交点时： 联立 ，得，， 直线与翻折部分无交点，即联立 的方程无实根， ∴，解得， 此时当时，，当时，， 满足，符合条件； ② 当直线与翻折部分有一个交点，与的图象有一个交点，且与的图象无交点时： 此时当时，，当时，， 解得． 综上，的取值范围是或． 89．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线表达式； （2）求A，B两点的坐标； （3）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使三角形的面积最大？若存在，求点P的坐标及三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）点的坐标为，点的坐标为     （3）存在点，使的面积最大，面积的最大值为16      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据对称轴公式可以求出a，从而可得抛物线解析式， （2）解出抛物线解析式时的两个根，即可得到A，B的坐标； （3）根据解析式可求出C点坐标，然后设直线的解析式为，从而可求该解析式方程，假设存在点，使三角形的面积最大，设点的坐标为，然后过点作轴，交直线于点，从而可求答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：存在； 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 假设存在点，使三角形的面积最大， 设点的坐标为， 如图所示，过点作轴，交直线于点， 则点的坐标为， 则， ∴ ∴当时，的面积最大，最大值是，此时； ∴存在点，使的面积最大，面积的最大值为16． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（       ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 与轴的交点坐标为 C. 与轴的交点坐标为和 D. 当时，对应的函数值为 【答案】C 【分析】 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，则可得抛物线的顶点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的一个交点坐标为，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为；结合抛物线的对称性可知，对应的函数值与对应的函数值相等，则可得当时，对应的函数值为． 【详解】 解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为．故A选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 与轴的交点坐标为．故B选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和，故C选项不正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 对应的函数值与对应的函数值相等， 由表格可知，当时，， 当时，对应的函数值为．故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）若关于的二次函数与轴有交点，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点，需方程有实数根且二次项系数不为0，利用判别式进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵二次函数与轴有交点， ∴方程有实数根，且， 判别式， 解得，且， 故选：D． 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质； 一元二次方程的根即为二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合图象即可得到答案． 【详解】 解：∵一元二次方程的根即为二次函数的图象与轴的交点的横坐标， 结合图象，可知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】 解：抛物线与直线交于，两点， 由图可知：抛物线在直线上方时，的范围是：或， 即的解集是或， 故选：C． 6．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，已知二次函数（实数为常数）的图象与轴交点有整点，则这样的整数a有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数与轴的交点问题，在中，令，得，解得：或，当当是的因数时，是整数，即可得出的值，从而得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：函数是二次函数， ， ， 在中，令，得， 解得：或， ，是整数， 当是的因数时，是整数， 或或或或或或或， 解得：或或或或或或或， 是整数， 或或或，共4个， 故选：C． 7．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 先联立两函数解析式求出交点坐标，再根据M的定义结合图形，利用二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】 解：由题意得 ， 解得 ， 所以，抛物线与直线的两交点坐标为（0，1），（1，0）， ∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2． ∴① 当x＜0时，由图象可得y1＜y2，故M＝y1；故此选项正确； ② 当1＞x＞0时，y1＞y2，M＝y2，直线y2＝﹣x+1中y随x的增大而减小，故M随x的增大而减小，此选项错误； ③ 由图象可得出：M最大值为1，故使得M大于1的x值不存在，故此选项正确； ④ 当﹣1＜x＜0，M＝时，即y1＝﹣x2+1＝， 解得：x1＝﹣，x2＝（不合题意舍去）， 当0＜x＜1，M＝时，即y2＝﹣x+1＝， 解得：x＝， 故使得M＝的值是﹣或，此选项正确． 故正确的有3个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，主要利用了两函数的交点的求解，二次函数的增减性，以及二次函数与x轴的交点问题，读懂题目信息并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】 解：二次函数与轴有两个交点， ，故①错误， 观察图象可知：当时，随增大而减小，故②正确， 抛物线与轴的另一个交点为在和之间， 时，，故③错误， 当时，抛物线与直线没有交点， 方程没有实数根，故④正确， 对称轴， ， ， ，故⑤正确， 故选：B． 9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的有（     ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象及性质，等腰直角三角形判定及性质等．根据二次函数知识点逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】 解：∵，对称轴是直线， ∴函数在时取最大值，即当时，，即， ∴①正确， ∵且， ∴，即：， ∴②正确， 设，对称轴是直线， ∴，，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴将代入中，得， ∴， ∴③正确， ∵，，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点在抛物线的对称轴上，且， ∴当点在上方时，过点作轴，连接，如下图所示： ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，即：， ∴， ∴④不正确， 故选：B． 10．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】 由二次函数解析式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解． 【详解】 解：由知，当时，即 解得： 作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有： 平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点 当的函数图像由的图像关于x轴对称得到 当时对应的解析式为 即，整理得： 综上所述或 故答案是：A． 【点睛】 本题主要考查二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件． 11．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）已知二次函数下列说法正确的是（     ） A. 点一定在该函数的图象上 B. 当且时，有 C. 该函数的图象与x轴一定有两个交点 D. 当时，该函数图象的对称轴在直线的右侧 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】 解：A．当，时，，∵，∴，∴点不在图象上，故错误； B．当时，，则对称轴为， 当时，；当时，， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值为3， ∴当时，，故正确； C．方程的判别式， 当时，，方程无实根， ∴图象与x轴不一定有两个交点，故错误． D．，则对称轴为， 当时，， ∴对称轴在左侧，故错误． 故选B． 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）如图，抛物线的顶点为，此抛物线交轴于、两点．    （1）求此抛物线的解析式． （2）求的面积． 【答案】（1）     （2）9      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求抛物线的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的图象和性质推得点B的坐标是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标求得抛物线与x轴的交点坐标，根据待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）根根据点A和点B的坐标，结合三角形的面积公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点为， 即抛物线的对称轴为， 故点， 设抛物线的解析式为：， 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴． 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式． （2）求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 【答案】（1）     （2）、      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，理解并掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）当时，即，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 14．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 15．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）已知二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为　　　　　　. 【答案】(-1,0) 【分析】抛物线与x轴的另一个交点的横坐标=对称轴-（3-1）=-1，纵坐标为0． 【详解】解：易得对称轴为1，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等，那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1-（3-1）=-1，纵坐标为0．∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）． 【点睛】抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴． 16．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）下表是二次函数自变量x取不同值时对应的函数值，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程的根是　　　　　　　． x … 0 1 2 3 … … 6 0 0 2 6 … 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息可得二次函数图象 的对称轴为，由此即可求解． 【详解】 解：当时，；当时，； ∴二次函数图象的对称轴为， ∵当时，， ∴当时，； ∴的解为， 故答案为：． 17．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）抛物线与轴的交点坐标是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】 解∶当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为∶ ． 18．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二次方程的解为　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象与一元二次方程的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性求出点的横坐标． 一元二次方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，已知一个交点，再根据对称轴求出另一个交点的横坐标． 【详解】 解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 令，根据根的判别式大于等于零即可求解； 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴令时，根的判别式大于等于零； 即， 解得：， ， 故答案为：且． 20．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）若二次函数的图象经过点，利用抛物线可知不等式的解集是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查利用二次函数图象解不等式，涉及二次函数图象与性质、二次函数图象与坐标轴交点坐标求法，先由待定系数法确定抛物线解析式，求出抛物线与轴的交点，再由二次函数图象与性质得到抛物线开口向上，即可确定不等式的解集，熟练掌握利用二次函数图象解不等式的方法是解决问题的关键． 【详解】 解：二次函数的图象经过点， ，解得，则抛物线， 令，则，即，解得，， ， 抛物线开口向上， 当，抛物线在轴及轴下方， 不等式的解集是， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 则的解为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x轴的另一个交点．继而求得答案. 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2）， ∴此抛物线的对称轴为：直线x=-， ∵此抛物线过点（1，0）， ∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（-2，0）， ∴ax2+bx+c=0的解为：x=-2或1． 故答案为x=-2或1. 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键. 22．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　　　． 【答案】0或1或0 【详解】 分类讨论： ① 若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ② 若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 23．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为， （1）求二次函数的解析式； （2）写出不等式的解． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据对称轴得出b的值，再将代入解析式求出c即可； （2）先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线开口向下，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 把代入，得， 解得， ∴解析式为； (2) 小问详解： ∵抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为， ∴与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向下， ∴不等式的解为． 24．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，已知抛物线y＝x2-2x-3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C． （1）求线段BD的长； （2）求△ABC的面积； （3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值． 【答案】（1）4     （2）3     （3）      【分析】 对于（1），令y=0，求出方程的解，可知点D，B的坐标，即可求BD； 对于（2），连接AO，再求出抛物线的顶点坐标及点C的坐标，最后根据得出答案即可； 对于（3），先确定点P的位置，即BC与对称轴的交点，再说明PC+PD的最小值，最后求出值即可. (1) 小问详解： 当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3， 则（x﹣3）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， 故D（﹣1，0），B（3，0）， 则BD＝4； (2) 小问详解： 连接AO， y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 则抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4）， 当x＝0时，y＝﹣3，故C（0，﹣3）， 则； (3) 小问详解： 连接BC交对称轴于点P， ∵y=(x-1)2-4， ∴对称轴是直线x=1． ∵点B与点D关于对称轴x=1对称， ∴DP=BP， ∴PC+PD=PC+PB≥BC， ∴当P，B，C三点共线时，PC+PD得值最小． ∵点B（3，0），C（0，-3）， ∴， ∴PC+PD的最小值是． 【点睛】 本题是一道关于二次函数的综合问题，应该熟练掌握二次函数的图象和性质，会利用轴对称求线段和最短是解题的关键． 25．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 　　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 26．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数（如图所示）的图象，关于x的方程有四个不相等的实数根，则m的取值范围为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，图象法求参数的范围，将方程，看作是函数与函数的图象的交点的个数问题，利用图象法进行求解即可． 【详解】 解：当时，解得或， 由图象可知，图象的对称轴为直线， ∴当时，， 关于x的方程的解的个数，可以看作是函数与函数的图象的交点的个数问题， ∴当时，函数与函数的图象有4个交点， 即：关于x的方程有四个不相等的实数根， ∴； 故答案为：． 27．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：把，，代入得， ， 解得 ， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由 ，解得 ， ， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（       ）米． A. 3米 B. 4米 C. 9米 D. 10米 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的应用．取，求得x的值，取正值，即为小明将铅球推出的距离． 【详解】 解：当时，， ， 或， ∴（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故选：C． 2．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称．轴，，最低点在轴上，高，则右轮廓线的函数解析式为(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用关于轴对称，，可得到点坐标为，由，最低点在轴上，则关于直线对称，可得到左边抛物线的顶点的坐标为，于是得到右边抛物线的顶点的坐标为，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式． 【详解】 ∵高，，且关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴右轮廓线的函数解析式为L， 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A. 4米 B. 10米 C. 4米 D. 12米 【答案】B 【分析】 以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 【详解】 解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）某超市销售一种水果，进价为每千克元．规定每千克售价不低于成本，且不高于元．经市场调查发现，日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 销售量（千克） 超市要想每天获得最大利润，每千克水果应定价为（     ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数及二次函数的最值问题，关键是将实际问题转化成函数模型； 根据表格数据求出销售量与售价的一次函数关系，再表示出利润函数，利用二次函数性质求最大值. 【详解】 解：设，代入点和， ∵ ， ∴解得 ， ∴， 设利润为：， 则， ∵， ∴有最大值，顶点横坐标， ∵， ∴每千克定价元时利润最大. 故答案选：A. 5．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件，依据每件利润，销售数量，总利润之间的关系可得函数关系式，根据每件售价不能高于72元，可得自变量的取值范围． 【详解】 解：根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件， ∴， ∵每件售价不能高于72元， ∴， 故答案为：． 【点睛】 题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键． 6．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】 解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 7．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】（1）4s；     （2）小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m．      【分析】 （1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； (1) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． (2) 小问详解： 解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）若某飞机落地时，飞机在地面滑行距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系近似满足：，则该飞机从落地到停止，在地面滑行的时间为　　　　　　　　秒． 【答案】15 【分析】 本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质即可得解． 飞机停止时滑行距离达到最大值，根据二次函数的性质，顶点横坐标即为滑行时间． 【详解】 解：二次函数的二次项系数，函数图象开口向下，有最大值，， 当时，取得最大值，飞机停止滑行． 故答案为15． 9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． （1）求抛物线的解析式： （2）现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； （3）如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 【答案】（1）     （2）     （3）能      【分析】 本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答． （3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论． (1) 小问详解： 由题意，设该抛物线的解析式为， ，O为AB的中点，， 点A，B的坐标分别为， 把代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度， 点M的横坐标为，点N的横坐标为5， 当时，， 照明灯距地面的高度为； (3) 小问详解： 能满足安装设计要求，理由如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米）， （米）， 如图：延长交抛物线于一点，设， ∵电子显示屏，为确保行车安全， 距左右墙紧需各留至少1米的安全距离， ∴令， 则， 把代入中， ， ∴点F到地面距离为 (米)， ∵， ∴满足安装设计要求． 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行　　　　　　　　秒才能停下来． 【答案】40 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，根据无人机停下时，最大，根据顶点的横坐标公式进行求解即可． 【详解】 解：由题意，当秒时，无人机停下来， 故答案为：40． 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）【项目式学习】 项目主题：合理设计   智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一   测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二   设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 【答案】（1）；（2）要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米 【分析】 本题考查了二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征 （1）设抛物线解析式为，把代入求出的值，即可得抛物线解析式； （2）把代入解析式求出的值，即可求解． 【详解】 （1）设，过点 ∴代入，解得， ∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； （2）当时， 解得： ∴第一象限部分的抛物线与轴的交点为， ∴要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米． 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1）     （2）2或6m      【分析】 （1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， (2) 小问详解： 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 13．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH． 【详解】 解：当时，，解得：或， 结合图形可知：， 故答案为：4 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值． 14．（25-26学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）【项目式学习】某项目小组准备合作制作出一个水流装置，下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 方案及示意图 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（为1个单位长度），水流最终落到轴上的点处．     已知条件 轴，，，，点为水流抛物线的顶点，点，，在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流进圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计）． 【答案】任务一：； 任务二：水流能流到圆柱形水杯内， 理由如下： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，， ∵， ∴水流能流到圆柱形水杯内． 【分析】 本题考查求二次函数解析式及二次函数的应用． 任务一：根据题意得到抛物线的顶点坐标为，，利用待定系数法解答即可； 任务二：先求出圆柱形水杯最左端到点O的距离及高度，求出抛物线在此处的高度比较即可得到答案． 【详解】 解：任务一：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，， ∵水流所在抛物线的函数表达式为， ∴水流所在抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流所在抛物线的函数表达式为； 任务二：略 15．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）将小球按一定角度击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系式是，当小球飞行高度时，小球的飞行时间　　　　　　． 【答案】1或3 【分析】 本题主要考查求自变量的值，把代入函数解析式计算即可． 【详解】 解：把代入，得： ， 解得，，， 即小球飞行高度时，小球的飞行时间为1秒或3秒， 故答案为：1或3 16．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系： （1）求拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？ AI 【答案】（1）y=﹣x2+2;（2） 【分析】（1）设出抛物线解析式，由已知条件求出点B、点C的坐标，将B、C的坐标代入抛物线解析式，列方程组求出未知参数即可；（2）令y=﹣1，解出x，即可求出水面的宽度. 【详解】解：（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2+b（a≠0）， ∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m， ∴点C（0，2），点B（2，0）， 代入得： ， 解得： ， ∴拱桥所在抛物线的解析式为y=﹣x2+2； （2）当水位下降1m时，水位纵坐标为﹣1， 令y=﹣1， 则﹣1=﹣x2+2， 解得x=±， ∴水面宽度为2米. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式是解题的关键. 17．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】 解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故答案为：26． 18．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． （1）如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； （2）一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用． （1）设抛物线解析式为，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入，得出，进而加上船的高度，即可求解． (1) 小问详解： 解：设抛物线解析式为，依题意，点在抛物线上 ∴， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 解：当时， ∴水面与拱顶的高度为米． 19．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成矩形场地，设矩形场地垂直于墙的一边长； （1）当矩形场地的面积为时，求x的值； （2）求所围成的矩形场地的面积最大值. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）设的长度为，则的长度为．然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可． （2）设矩形场地的面积为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设的长度为，则的长度为，依题意得， 整理得， 解得，． (2) 小问详解： 解：设矩形的面积为， 则， ∵利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个矩形场地， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，S取得最大值72． ∴矩形场地的面积最大是． 20．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可销售件．市场调查发现：售价每上涨元，月销量减少件．设售价上涨 x 元． （1）求月销量y（件）与 x 的函数关系式； （2）求月利润 w 元与 x 的函数关系式； （3）当售价定为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）     （3）售价为50元，最大利润为4000元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，售价上涨元，即可得月销量（件）； （2）设售价上涨元，则单件利润为为，销量为，再根据月利润每件商品的利润每月销售量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：已知售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，售价上涨元， 所以月销量（件） (2) 小问详解： 解： ， (3) 小问详解： ∵，， ∴当时，由最大值为，此时售价为元， 故当售价定为元时，月销售利润最大，最大利润是元． 21．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）综合与实践 如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P距地面的距离）时，水线的跨度． 请你结合所学知识解决下列问题： （1）在图2中建立以为单位长度，点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A与垂直的直线为y轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． （2）若喷水池中心C到A的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内? （3）在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）     （2）喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内     （3）王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内      【分析】 本题主要考查了抛物线的性质及其在实际问题中的应用，熟练抛物线的解析式、抛物线的对称性和与x轴的交点等性质是解题的关键； （1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，即可得出解析式； （2）表示出水池的半径，在加上水平距离即可； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的x值，由此即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意，构造平面直角坐标系如图所示． 由题意可知，，抛物线的顶点， 设抛物线的函数解析式为， 将点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：由题可知C为喷水池中心，则为喷水池的半径时，喷出的水都落在水池内， ，， ∴． 答：喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内． (3) 小问详解： 解：当时，， 解得， ． 答：王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内． 22．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系（其中，，为常数），且进货量为吨时，销售利润为万元；进货量为吨时，销售利润为万元． 求（万元）与（吨）之间的函数关系式． 如果市场准备进甲、乙两种水果共吨，设乙种水果的进货量为吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和（万元）与（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) y乙=-0.1（x-12） 2+14.4；(2) W=-0.1x2+2.1x+3, 甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元 【分析】（1）根据题意列出一元一次方程，求出b的值即可求出函数关系式的解； （2）根据甲种水果的销售利润y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润y乙（万元），得出等式求出即可；已知w=y甲+y乙=0.3（10-t）+（-0.1t2+2.4t），用配方法化简函数关系式即可求出w的最大值． 【详解】（1）由题意得：进货量x为1吨时，销售利润y乙为1.4万元， -1+b=1.4， 解得：b=2.4， ∴y乙=-0.1x2+2.4x=-0.1（x2-24x）=-0.1（x-12） 2+14.4； （2）当甲种水果的销售利润y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润y乙（万元）， 则0.3x=14.4， 解得：x=28， 答：需要进货28吨； W=y甲+y乙=0.3（10-x）+（-0.1x2+2.4x）， ∴W=-0.1x2+2.1x+3， W=-0.1（t-10.5）2+6.6． ∴t=6时，W有最大值为：6.6． ∴10-6=4（吨）． 答：甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元． 【点睛】考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法等知识，根据已知利用配方法得出二次函数最值是解题关键． 23．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． （1）设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； （3）求车棚面积的最大值． 【答案】（1）；；     （2）长为，宽为或长为，宽为；     （3）；      【分析】 本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽． （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ ， ∴，， ∴与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． (2) 小问详解： 由题意得： 整理得： 解得：，； 当宽，长，符合题意； 当宽，长，符合题意； 答：自行车车棚的长为，宽为；或自行车车棚的长为，宽为； (3) 小问详解： 自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ∵ ，， ∴当 时，有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到． 24．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售，经调查，该商品每降价1元，每月可多售出5件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】当定价为90元时，最大的月利润是4500元 【分析】 本题主要考查二次函数的实际运用，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 设销售定价为每件x元，每月利润为y元，再根据利润=每件利润销售总数，结合二次函数最值即可求解． 【详解】 解：设销售定价为每件x元，每月利润为y元， 则， ∵， ∴当元时，y最大为4500元． 答：当定价为90元时，最大的月利润是4500元． 25．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．       （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门     （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门      【分析】 （1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； (2) 小问详解： 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 26．（25-26学年九上·新疆生产建设兵·期中）果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象． （1）图中点P所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________； （2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？ 【答案】（1）增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg；0.5     （2）y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0<x≤80)     （3）增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg      【分析】 (1) ①根据图像可知，增种果树为x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，可以得出图中点P表示的实际意义；② 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，可以得出每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少的量； (2) 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，设y与x的函数关系式为y=kx+b，将x=10，y=75；x=28，y=66代入可得y与x的函数关系式； (3) 根据题意，果园的总产量w=每棵果树平均产量×果树总棵树；可得w与x的二次函数关系式，根据二次函数的图像和性质即可解得． (1) 小问详解： ① 根据图像可知，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为， 所以图中点P表示的实际意义是：增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg， 所以答案为：增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg， ② 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为． 增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg， 可以得出：每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少为： (75-66)÷（28-10）=9÷18=0.5（kg） 所以答案为：0.5 (2) 小问详解： 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，设y与x的函数关系式为y=kx+b 将x=10，y=75；x=28，y=66代入可得 解得 ∴y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0<x≤80) (3) 小问详解： 根据题意，果园的总产量w=每棵果树平均产量×果树总棵树可得 w=(-0.5x+80)(60+x) =-0.5x2+50x+4800 ∵a=-0.5<0 所以当x= 时，w有最大值 w最大=6050 所以增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg 【点睛】 本题考查了一次函数，二次函数的应用，解答本题的关键是看懂图像，明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． 27．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点 P 到点B后，运动停止，设运动时间为． （1）用含x的式子表示，及 （2）当x为何值时，的面积最大？最大是多少？ （3）当时，求x的值． 【答案】（1），，；     （2）当时，有最大值，最大值为；     （3）或．      【分析】 本题考查了列代数式，二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，则，利用勾股定理得出； （2）根据三角形面积公式得到，即可得出答案； （3）把代入，求解即可． (1) 小问详解： 解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意可得： ， ∴当时，有最大值，最大值为； (3) 小问详解： 解：当时，即， ∴， ∴， 解得：，经检验均符合题意， ∴当，或． 28．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）廊桥是我国古老的文化遗产，某座抛物线形廊桥主桥洞的示意图如下图所示，已知抛物线对应的函数解析式为，为了保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为的点E、F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离的长． 【答案】这两盏灯的水平距离的长是． 【分析】 本题考查了二次函数的应用，令，即，求解得到点坐标，即可得出答案，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】 解：令，即， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 答：这两盏灯的水平距离的长是． 29．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某种苹果到了收获季节，投入市场销售时，调查市场行情，发现该苹果的销售不会亏本，且该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x（元） 10 15 23 28 日销售量y（千克） 200 150 70 m 日销售利润w（元） 400 1050 1050 400 （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）求y关于x的函数解析式（要写出x的取值范围）及m的值； （2）根据以上信息，填空：产品的成本单价是　     　元，当销售单价x＝　     　元时，日销售利润w最大，最大值是　     　元； （3）某农户今年共采摘苹果4800千克，该品种苹果的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批苹果？请说明理由 【答案】（1）y＝﹣10x+300（8≤x≤30）； （2）8，19，1210； （3）不能销售完这批苹果，理由： 由（2）知，当获得最大利润时，定价为19元/千克， 则每天的销售量为y＝﹣10×19+300＝110千克， ∵保质期为40天， ∴总销售量为40×110＝4400， 又∵4400＜4800， ∴不能销售完这批苹果． 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值； （3）求出在（2）中情况下，即x＝19时的销售量，据此求得40天的总销售量，比较即可得出答案． 【详解】 解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 将（10，200）、（15，150）代入，得： ， 解得： ， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）； （2）设每天销售获得的利润为w， 则w＝（x﹣8）y ＝（x﹣8）（﹣10x+300） ＝﹣10（x﹣19）2+1210， ∵8≤x≤30， ∴当x＝19时，w取得最大值，最大值为1210； 故答案为8，19，1210； （3）略 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质． 30．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】（1）抛物线的表达式     （2）水火箭距离地面的竖直高度米      【分析】 本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． (1) 小问详解： 解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则 ，解得 ， 则抛物线的表达式， (2) 小问详解： 解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 31．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期中）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】（1）；     （2）能，     （3）的最大值为800，此时      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． (1) 小问详解： 解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； (2) 小问详解： 解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； (3) 小问详解： 解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 32．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，该加工品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销售量每件的利润） （3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是128元？若能，求出销售单价应为多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1），     （2），每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元     （3）能，销售单价为14元/件      【分析】 此题考查了二次函数、一次函数、一元二次方程的实际应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质进行解答即可； （3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元．据此得到，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设与的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得： ， 所以与的函数表达式为， （元/件）， ； (2) 小问详解： 根据题意知， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，        最大值为； 每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元； (3) 小问详解： 该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元． 根据题意知，， 则， 解得或（舍去）， 答：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元，销售单价为14元/件． 33．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称“刹车距离”．某轿车的刹车距离与车速之间有下述函数关系式：，现该车在限速为的杭甬高速公路上出了交通事故，事后交警部门测得刹车距离为，请推断：刹车时，汽车　　　　　　　　超速（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】将S=35.6代入函数解析式，求出车速x，与120km/h比较即可得出答案． 【详解】由题意得：S=35.6，代入函数解析式得：35.6=x2+x，解得：x≈131，即刹车时的速度大约为130km/h＞120km/h，故可判断刹车时，汽车超速． 故答案为是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将S的值代入，解一元二次方程，注意将实际问题转化为数学模型． 34．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）如图，一位身高的篮球运动员在距离篮下处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为．求他跳离地面的高度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，根据题意，可知该抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入抛物线解析式并求解，即可获得解析式，将代入抛物线解析式，然后根据题意求解即可． 【详解】 解：根据题意得，顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵点在此抛物线上， ∴， 解得， ∴所求抛物线的解析式为， 当时，， ∴他跳离地面的高度为． 35．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治·期中）某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元． 【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解； （2）销售定价为每件m元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2＝81， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9， 经检验x2＝1.9不符合题意， ∴x＝0.1＝10%， 答：每次降价百分率为10%； （2）设销售定价为每件m元，每月利润为y元，则 y＝（m﹣60）[100+5×（100﹣m）]＝﹣5（m﹣90）2+4500， ∵a＝﹣5＜0， ∴当m＝90元时，w最大为4500元． 答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程． 36．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）如图为石河子某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为8米，宽为16米．以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 【答案】（1）；     （2）能行驶宽米、高米的消防车辆．      【分析】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽米时，，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为，即； (2) 小问详解： 解：当时，， 故能行驶宽2.4米、高米的消防车辆． 37．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）一个直角三角形的两直角边长的和为，其中一直角边长为，三角形的面积为． （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当时，求y的值； （3）求这个三角形的面积y的最大值． 【答案】（1）；     （2）16；     （3）这个三角形的面积y的最大值为．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据两直角边之间的关系可得出另一条直角边为，利用三角形的面积计算公式，即可找出y与x之间的函数关系式，结合各直角边均为正值，即可得出x的取值范围； （2）把代入，即可求出y值； （3）配方成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直角三角形的两条直角边的和为，且它的一条直角边长为， ∴另一条直角边为， ∴直角三角形的面积， ∴y与x之间的函数关系式； (2) 小问详解： 解：当时，； (3) 小问详解： 解：∵， ， ∴当时，y有最大值，最大值为． 38．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　　　　　　m. 【答案】 【分析】 根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得：    所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 故答案是： 【点睛】 考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 39．（24-25学年九上·新疆治区吐鲁番·期中）某超市茶叶专柜经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体的变化如下表： （元/千克） （千克） （1）求与的函数关系式； （2）设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元）．那么该茶叶每千克定价为多少元时，获得最大利润？且最大利润为多少元？ 【答案】（1）     （2）每千克定价为元时，获得最大利润，且最大利润为元      【分析】 （）根据表格数据利用待定系数法即可求解； （）求出与的函数关系式，进而利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设与的函数关系式为， 由表可知，当时，；当时，， ∴ ， 解得 ， ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由题意可得，利润与销售定价之间的关系式为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：该茶叶每千克定价为元时，获得最大利润，且最大利润为元． 40．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点的正前方处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为． 在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况） 守门员乙站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？ 【答案】（1）能射中球门；（2）他至少后退，才能阻止球员甲的射门． 【分析】(1) 、根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2) 、求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案． 【详解】(1) 、抛物线的顶点坐标是（4，3）， 设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3， 把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-， 则抛物线是y=-（x-4）2+3， 当x=0时，y=-×16+3=3-=＜2.44米， 故能射中球门； （2）当x=2时，y=-（2-4）2+3=＞2.52， ∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门， 当y=2.52时，y=-（x-4）2+3=2.52， 解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去）， ∴2-1.6=0.4（m）， 答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出函数的顶点坐标，求得函数解析式是解题的关键． 41．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． （1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． (1) 小问详解： 解：设每次上涨的百分率为，列方程为： ， 解得：，（舍去）， 答：每次上涨的百分率为； (2) 小问详解： 解：设销售单价降低元，销售利润为元， ， ∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元． 42．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）某茶叶公司经销一种茶叶，每千克成本为元，市场调查发现在一段时间内，销量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具有关系为：，物价部门规定每千克的利润不得超过元．设这种茶叶在这段时间内的销售利润（元），解答下列问题： 求与的关系式； 当取何值时，的值最大？并求出最大值； 当销售利润的值最大时，销售额也是最大吗？判断并说明理由． 【答案】(1) y；; (2) 当时，的值最大，; (3) 当销售利润的值最大时，销售额不是最大,理由如下： 设这段时间内的销售额为S元，则S=xW=x（﹣x+240）（80≤x≤140），即S=﹣x2+240x，当，x=120时，销售额S最大，所以当销售利润y的值最大时，销售额不是最大． 【分析】 （1）根据销售利润=每天的销售量×（销售单价﹣成本价），即可列出函数关系式； （2）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值； （3）设这段时间内的销售额为S元，于是得到S=xW=x（﹣x+240）（80≤x≤140），由S=﹣x2+240x，当x=120时，销售额S最大，于是得到当销售利润y的值最大时，销售额不是最大． 【详解】 （1）由题意得y=（x﹣80）W=（x﹣80）（﹣x+240）， 即y=﹣x2+320x﹣19200；（80≤x≤140）， （2）y=﹣x2+320x﹣19200=﹣（x﹣160）2+6400，抛物线的对称轴是x=160，而80≤x≤140， ∴当x=140时，y的值最大，y最大=6000． （3）略 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握利用配方法求二次函数的最大值． 43．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）体育测试时，九年级一名男生双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．如果实心球出手处距离地面的高度是米，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则该男生本次扔实心球的成绩是　　　　　　　　　米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 根据题意建立平面直角坐标系，已知抛物线的顶点坐标与图象上一点坐标，可设出顶点式并代入求解得到抛物线解析式，再令函数值为，进而求出实心球落地点的水平距离，即该男生本次扔实心球的成绩． 【详解】 解：以地面所在直线为轴，过点与地面的垂线作为轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，， 设抛物线解析式为， 在抛物线上， 代入得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，（舍去）， ． 则该男生本次扔实心球的成绩是米． 44．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，设菜园垂直于墙的一边长为． （1）当的长为多少时，菜园的面积为？ （2）当的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 【答案】（1）当时，菜园的面积为     （2）当时，菜园的面积最大，最大面积为      【分析】 （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为 ，根据题意列出方程，即可求解； （2）设菜园的面积为 ，根据题意得，利用二次函数的最值，即可求解． 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，明确题意，得到等量关系，注意配方法求最值在实际中的应用． (1) 小问详解： 解：∵，则平行于墙的一边长为，根据题意得 ， 解得，， ， ， 不符合题意． 答：当时，菜园的面积为． (2) 小问详解： 解：设菜园的面积为， ， 当时，菜园的面积最大，最大面积为． 45．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如图，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x 之间的函数关系如图②所示，其中，M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 当AP=0时，y=2=PB=AB，当x=1时，即AP=1时，此时BP为△ABC的h可求，进而求PC，则面积可求 【详解】 解：由图像及题意可得：当x=0时，BP=AB=2，AC=5， 根据点到直线垂线段最短可得当BP为最小值时，BP⊥AC，此时AP=1， ∴， 当点P到达点C时，y=4=BC，则PC= 则AC=AP+PC=1+ △ABC的面积= 故答案为： 【点睛】 本题主要考查勾股定理及二次函数的图像与性质，熟练掌握勾股定理及二次函数的图像与性质是解题的关键． 46．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． （1）当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ （2）当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元     （2）当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元      【分析】 本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）设每顶头盔的售价为x元，根据利润公式列出一元二次方程求解即可； （2）设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元，然后根据题意建立起二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， 解得，（舍）， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元； (2) 小问详解： 解：设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， ∵，且不能亏本且降价不低于5元，即, ∴当时，w取得最大值6250， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元． 47．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． （1）若矩形菜地的面积是，求x的值． （2）当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 【答案】（1）     （2）当时，围成的菜地面积最大，最大值为      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设围成的菜地的面积为平方米，根据矩形面积计算公式用含的式子表示出，再根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为198平方米； (2) 小问详解： 解：设围成的菜地的面积为平方米， 由题意得， ， 当时，，符合题意， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当时，围成的菜地面积最大，最大值为． 48．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的高度h（单位：）与运动时间t：（单位：）之间的关系式是．解答以下问题： （1）小球从被击出到落地要用多少时间？ （2）小球运动过程中的最大高度是多少？此时运动了多少时间？ 【答案】（1）     （2）小球运动过程中的最大高度是，此时运动了      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意和熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）求出时的t的值即可得到答案； （2）把解析式化为顶点式，求出h的最大值和此时t的值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：当时，， 解得或， 答：小球从被击出到落地要用； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴当，即时，h有最大值，最大值为24， 答：小球运动过程中的最大高度是，此时运动了． 49．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）某书店销售儿童期刊，一天可售出20套．每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？ （2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）降价15元     （2）当降价10元时，书店可获最大利润，最大利润为800元      【分析】 此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题． （1）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题； （2）运用二次函数的性质即可解决． (1) 小问详解： 解：由题意， 化简得： 为了尽快减少库存 答：需要降价15元； (2) 小问详解： 解：由题意， ∵， 当时，y有最大值，最大值为， 答：每套书降价10元时，书店可获最大利润，最大利润为800元． 50．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】（1）     （2）能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 略 51．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）根据下列素材，按要求完成任务． 学生活动：如何设计利润最大方案 素材1 临近春节，某商场以每件25元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于50元． 素材2 市场调查分析 销售单价x（元） … 35 40 45 50 … 每天的销售量y（件） … 70 60 50 40 … 任务一 确定销售量与销售单价之间的关系 请求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系； 任务二 预估销售单价 若商场销售这种吉祥物每天想获得900元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ 任务三 拟定销售方案 设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大？ 【答案】任务一： 任务二：40元 任务三：47.5元 【分析】 考查知识点一次函数的建立与应用、二次函数的利润模型、二次函数的最值求解． 任务一：观察表格数据，单价每增加1元，销售量减少2件，用待定系数法求出一次函数． 任务二：建立利润方程，解得或，舍去超出定义域的，得售价为40元． 任务三：建立利润函数，求出对称轴，在自变量内，故当时利润最大． 【详解】 任务一： 观察表格，单价每增加1元，销售量减少2件， 故y是x的一次函数关系， 设，代入和： ， 解得，， 所以销售量与单价的关系为： 任务二： 解得或． 因售价不高于50元，故． 答：每件商品的售价应定为40元． 任务三： 总利润， 对称轴为： ，， 当时，利润最大， 答：将销售单价定为47.5元时，每天获得的总利润最大． 52．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图1所示的直角坐标系，其中出手点A的坐标为，篮筐点B的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为． （1）b的值为______，c的值为______； （2）若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点的水平距离． 【答案】（1），     （2） 解：能，理由如下： 由（1）得抛物线表达式为：， 由题意得，将代入， 得，， 整理得：， 解得：或， ∵或均在范围内， ∴小明能成功将正在空中飞行的球拦截，小明距离小星出手点的水平距离为米或米．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式，解题的关键是读懂题意，求出函数解析式． （1），将代入即可求解，而顶点为，根据对称轴公式即可求解； （2）将代入，求出方程的根，再判断是否在范围内即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，将代入得：， 由题意得：抛物线顶点为， ∴， 解得：， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 53．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃，其中，且墙长为． （1）设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为_____，x的取值范围为_____； （2）求矩形花圃面积的最大值． 【答案】（1）；     （2）300平方米      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键： （1）先求出，利用矩形面积公式求出函数关系式，由 得到x的取值范围； （2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴矩形的面积， ∵ ， ∴， 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最大值为， ∴矩形花圃面积的最大值为． 54．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）综合与实践 某商家销售一批具有中国传统文化意义的水杯，已知每个水杯的成本为20元，当地物价部门规定，该水杯的单价最高不超过40元．在销售过程中发现，这种水杯的日销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求与的函数关系式． （2）当水杯的销售单价为多少时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）因原材料价格发生变动．该种水杯的进价变为元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变．在实际销售过程中，发现该种水杯每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 【答案】（1）与的关系式为；     （2）该商品每天获得的利润的最大值为450元；     （3）最小值为30．      【分析】 本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用等知识点， (1)根据图中所给的数据，利用待定系数法即可求得其关系式； (2)根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值； (3)根据日销售利润=日销售量（销售单价-成本单价）列出函数解析式，求出函数对称轴为直线，再根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，，得出，求解即可； 熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． (1) 小问详解： 解：设与的关系式为， 将代入解析式得， ，解得 ， 与的关系式为； (2) 小问详解： 解：设商家获得的利润为， ∴ ， ，， 当时，有最大值，最大值为450， 该商品每天获得的利润的最大值为450元； (3) 小问详解： 解：由题意得： ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 水杯的单价最高不超过40元， ∴， 在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大， ， 解得：， 最小值为30． 55．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧作，且，点在射线上．设点的运动时间为．与的重叠部分的面积为，则当　　　　　　（）时最大；当 　　　　　　　　（s）时S的值为． 【答案】①     ② 或 【分析】 根据题意得出，然后根据题意画出图形，找到临界点，分情况讨论，得出 ，根据二次函数的性质，求得最值，进而根据面积为，建立方程，解方程即可求解． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴，， 作于点， 由题意得，， ∴，， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，，则， 当点Q运动到与点重合时， ∴， 当点P运动到与点重合时， ∴，， ∴当时，， 当时，如图所示， ∵，则， 则是等边三角形， 则，， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 综上所述， ， ∴当时，取得最大值， 当时， ，解得：（负值舍去）， 或， 解得：或（舍去）， 故答案为：；或． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，二次函数的性质，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 56．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在边处设计有宽的通道方便出入，若墙的长不小于，求这个花园可围成的最大面积是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用．设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值． 【详解】 解：设与墙垂直的一边长为，围成的矩形面积为，则与墙平行的一边长为， ∴矩形围栏的面积为， ∵， ∴当时，矩形有最大面积为， 此时与墙平行的一边长为，符合题意， 故答案为：． 考点07 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】 解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A. 它的图象分布在一、三象限 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 点在这个函数图象上 D. 它的图象关于原点对称 【答案】B 【分析】 直接利用反比例函数的性质：图象，增减性，图象上点的坐标，分别判断即可． 【详解】 解：A. 关于反比例函数，它的图象分布在一、三象限，故此选项不合题意； B. 当时，y随x的增大而减小，故此选项符合题意； C.由，可知 点在这个函数图象上，故此选项不合题意； D.由反比例函数的图象可知，两个分支关于原点成中心对称，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握其基本性质是解题的关键． 3．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，已知点，反比例函数图象的一支与线段有交点，下列符合条件的整数k是（     ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查反比例函数的图象和性质，分别求出图象经过点A和B时的k值，得到k的取值范围，即可求解． 【详解】 解：当图象与线段交于点时， ， 当图象与线段交于点时， ， ， 观察可知，只有选项C满足条件， 故选：C． 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点B，点P在x轴上，若的面积为2，则k的值为（       ） A.  B. 4 C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握几何图形的面积与比例系数的关系是解题的关键． 如图，连接，由轴，可得，，然后计算作答即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：D． 5．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴ ，解得： ， ∴一次函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 6．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，点M是线段的中点，点B在反比例函数的图象上，若的面积为，则　　　　　 ． 【答案】 【分析】 过点作轴于点，根据题意易证明为的中位线，则，，根据的面积为可得，因此，再根据反比例函数系数的几何意义得，以此即可求解． 【详解】 解：过点作轴于点，如图，    轴， ∴， 点是线段的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，即， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查反比例函数系数的几何意义、三角形中位线的判定与性质，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题关键． 7．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为     （2）6     （3）或      【分析】 本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用． （1）把代入，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式； （2）先求得点C的坐标，利用即可求解； （3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案． (1) 小问详解： 解：把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入， 得：， ∴． 把，代入，可得， ，解得： ， ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图： 令，则， ∴， ∵ ； (3) 小问详解： 当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，或． 8．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系为　　　　　．（用“”连接） 【答案】 【分析】 本题主要考查了比较反比例函数值，掌握相关知识是解题的关键．根据反比例函数解析式，分别计算各点纵坐标，再比较大小即可． 【详解】 解：对于点，； 对于点，； 对于点 ，； ， ， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？ 【答案】（1）     （2）天      【分析】 本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入函数解析式求出函数解析式即可． (1) 小问详解： 解：设与的函数解析式为， 依题意得：， ∴与的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：把代入得：， 答：这片甘蔗要砍10天． 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】 ∵直线与双曲线（其中）相交于，两点， ∴ ∴， ∴双曲线的表达式为：，， ∵过点作轴，交轴于点， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】 本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键． 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，则的面积是　　　　　　． 【答案】4 【分析】 此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，如图所示，设直线与y轴交于点C，首先求出，联立直线与反比例函数表达式求出交点坐标，再根据三角形面积公式计算面积． 【详解】 解：如图所示，设直线与y轴交于点C， 当时，， ∴， 联立和，得， 整理得， 解得，． ∴． 故答案为：4． 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求关于x的函数表达式及点B的坐标． （2）当时，；当时，．求t的取值范围． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法，数形结合的数学思想是解题关键． （1）将点代入可求得，进而得点，故可求；令，可得点； （2）数形结合，分类讨论 两种情况即可求解； (1) 小问详解： 解：将点代入， 得，解得， ∴点， ∴． 令，解得，， 当时，， ∴点． (2) 小问详解： 解：观察图象，分两种情况讨论： ① ，解得； ② 解得． 综上所述，t的取值范围是或． 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度：y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】（1）     （2）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．      【分析】 （1）由表格可推得：为定值，即当时，y是x的反比例函数，进而求得结果； （2）将代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，得出结论． (1) 小问详解： 解：， y是x的反比例函数， (2) 小问详解： 解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下： 当时，， y随x的增大而减小， 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【点睛】 本题考查了反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象性质，解题的关键是正确求出反比例函数解析式并且熟练掌握反比例函数以及有关性质． 14．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，交轴于点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式和的坐标； （2）求一次函数的表达式和的坐标； （3）连接、，求的面积． 【答案】（1），     （2）；     （3）      【分析】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得点坐标； （2）利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （3）利用与的面积之和得出的面积；． (1) 小问详解： 反比例函数的图象经过点， ． ． 反比例函数的解析式为：． 在反比例函数图象上， ， ． ． (2) 小问详解： 根据题意得： ， 解得： ． 一次函数的表达式为：， 令，得，解得：， ． (3) 小问详解： 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 令，则， ． ． 、， ，． ； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $