专题04 圆（期中真题汇编，新疆专用）九年级数学上学期

专题04 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（       ） A. 圆上各点到圆心的距离相等 B. 直径是圆中最长的弦 C. 同弧所对的圆周角相等 D. 圆是中心对称图形 【答案】A 【分析】根据车轮的特点和功能进行解答. 【详解】车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变， 是利用了圆上各点到圆心的距离相等. 故选：. 【点睛】本题考查了对圆的基本认识，即墨经所说：圆，一中同长也，属于基础知识，难度较小. 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知的直径为，点A到圆心的距离为，则点A与的位置关系是（       ） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查了对点与圆的位置关系的判断．根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】 解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点A到圆心的距离为， ∴点A与的位置关系是点A在圆外． 故选：C 3．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】 解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选：D． 4．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A. 点，均在内 B. 点，均在外 C. 点在内，点在外 D. 以上选项都不正确 【答案】C 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可． 先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可． 【详解】 解：在中，，，， ， 、分别是上的高和中线， ，， ，， ，， 点在内、点在外． 故选：C． 5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（        ） A. 4 B.  C.  D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查三角形中位线定理，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，点与圆的位置关系，关键是明白当过圆心时，长最大，由三角形中位线定理即可求解． 连接，由抛物线关于轴对称，得到，因此是的中位线，得到，当过圆心时，长最大，长最大，求出的坐标是，得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】 解：连接， 抛物线关于轴对称， ， ， 是的中位线， ， 当长最大时，长最大， 当过圆心时，长最大， 当时， ， 的坐标是， ， 的坐标是， ， ， 的半径是， ， ， ， 的最大值是 故选：B． 6．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）已知的半径为，，则点P与的位置关系是：点P在 　　　　　． 【答案】外 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，据此解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴点P在外， 故答案为：外． 7．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是　　　　　． 【答案】点在圆内 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系知识点，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系． 通过比较点到圆心的距离和圆的半径大小，来判断点与圆的位置关系． 【详解】 设圆的半径为，点到圆心的距离为． 已知，因为． 根据点与圆的位置关系：当时，点在圆内， 当时，点在圆上；当时，点在圆外， 所以点在内． 故答案为：点在圆内． 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知直线 与轴、轴分别交于、两点， 是以为圆心、半径为 的圆上的一动点，连接、．则 面积的最大值是　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查一次函数图象上点的特征、点与圆的位置关系等知识，如图过点作于，延长交于．点与重合时，的面积最大，求出、的值即可解决问题． 【详解】 解：如图过点作于，延长交于． 直线的解析式为 点的坐标为，点的坐标为， 即，，由勾股定理得：， 过作于，连接， ： ， ， 圆上点到直线的最大距离是， 面积的最大值是， 故答案为：． 9．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】 解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 考点02 过三点的圆 1．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（     ） A. 没有一个角是钝角或直角 B. 至多有一个钝角或直角 C. 没有一个角是锐角 D. 没有一个角是钝角 【答案】C 【分析】 此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】 解：用反证法证明“四边形中至少有一个角不是锐角”时第一步应假设：没有一个角是锐角． 故选C． 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）将绕原点顺时针旋转，得到，写出的坐标，求出扫出的面积． （2）作出的外接圆，不写做法，保留作图痕迹，并直接写出圆心的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： 的坐标为，扫出的面积为；     （2） 所作的外接圆如图所示： 圆心的坐标为．      【分析】 （1）根据旋转作图步骤画出，进而写出的坐标，由旋转得到扫出的图形为一个圆心角为的扇形，结合勾股定理求出扇形半径，再结合扇形面积公式求解，即可解题； （2）根据垂直平分线作法，以及方格特点，作的垂直平分线，的垂直平分线交点即为圆心，连接，以为半径画圆即可得到外接圆，再利用垂直平分线特点，以及勾股定理进行计算求解，即可得到圆心的坐标． (1) 小问详解： 解：由图知，的坐标为， ， 扫出的面积为； (2) 小问详解： 解：，，． 由垂直平分线的性质可知，， 设， ， ， 解得， 即圆心的坐标为． 【点睛】 本题考查了旋转作图，扇形面积公式，勾股定理，垂直平分线作法，垂直平分线性质，作三角形外接圆，解题的关键在于熟练掌握相关知识点． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】 解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（     ） A.  B.  C.  D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理求的长，设该桨轮船的轮子半径为，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】 解：由垂径定理，得， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中，，， 由，得 ， 解得， ∴该桨轮船的轮子半径为， 故选：B． 3．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，的弦，半径，垂足为D，且，的半径等于（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 根据垂径定理知道，而，可以连接构造直角三角形，然后利用勾股定理可以得到关于半径的一个方程． 【详解】 解：如图，连接，    ， 为的中点，， 设，则， 在直角三角形中，， ， 解得， 故选：B． 【点睛】 本题考查了垂径定理，解题关键在于利用垂径定理和勾股定理构造关于半径的方程． 4．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（     ） A.  B.  C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解此题的关键．由垂径定理求出，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，先根据的直径，可得出的长及，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】 解：连接， ∵圆的直径， ， ， ， 故选：A． 6．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（       ） A. m B. 6m C. m D. 5m 【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 过点作于，根据已知条件求得勾股定理求得，由垂径定理可得，进而可得的长． 【详解】 如图，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选C． 7．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键；过点作半径于，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】 解：过点作半径于，如图， ∴， 在中，， ∴， 故选B． 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为　　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出OD的长度，最后利用即可求解． 【详解】 如图，作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA， ∵，， ∴， ∵直径为52cm， ∴， ， ， 故答案为：16． 【点睛】 本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 9．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是　　　cm（写出一个符合条件的数值即可） 【答案】6cm（答案不唯一） 【详解】试题分析：∵OC⊥AB，∴∠ACO=90°． ∵OA=5cm，OC=3cm，∴根据勾股定理得：AC=4cm． ∴根据垂径定理得：AB=2AC=8cm． ∵点P是半径OB上任意一点，∴AO≤AP≤AB，即5cm≤AP≤8cm，如6cm（答案不唯一）． 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，测得，． （1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1） 解：如图1所示：      （2）      【分析】 （1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心； （2）在中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半径的长． (1) 小问详解： 解：作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆； (2) 小问详解： 连接，如图2所示： 设， ∵，， ∴， 则根据勾股定理列方程： ， 解得：． 答：圆的半径为． 【点睛】 本题考查了作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键． 11．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度AB=10m，拱高为1m. （1）请你确定圆弧所在圆的圆心（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）求拱桥所在圆的半径. 【答案】（1）如图， （2）13m 【分析】 （1）根据弦的垂直平分线都经过圆心来作．作AB的垂直平分线MN，交弧于C，连接BC，作BC的垂直平分线EF，MN与EF相交于O，点O就是所求的圆心． （2）连接OA，设这个拱桥的半径为r，则OD=r﹣1，根据垂径定理得到AD=BD=AB．在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2，然后即可得到关于r的方程，解方程即可求出r． 【详解】 （1）根据弦的垂直平分线都经过圆心，作AB的垂直平分线MN，交弧于C，连接BC，作BC的垂直平分线EF，MN与EF相交于O，点O就是所求的圆心． （2）连接OA． 设这个拱桥的半径为r，则OD=r﹣1，∴AD=BD=AB=×10=5m． 在Rt△OAD中，AD=5m，OD=r﹣1． 由勾股定理得：OA2=AD2+OD2 即r2=52+（r﹣1）2，∴r=13m． 这个拱桥所在圆的半径长为13m． 【点睛】 本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，解答此题关键是连接OA，构造出直角三角形利用勾股定理解答． 12．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为的的一部分，路面最大宽度约为，求隧道主洞断面的最大高度． 【答案】隧道主洞断面的最大高度的长度为 【分析】 根据垂径定理可得，在中根据勾股定理列方程即可求出的长，进而可得的长． 本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，    经过圆心，， ， 直径为， ， 在中， ∴， ， ． 答：隧道主洞断面的最大高度的长度为． 13．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：是的中点， ， ． 设， ，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 14．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过 【分析】 任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】 解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，直线过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接，设交于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船不能顺利通过． 【点睛】 本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 同弧所对圆心角是圆周角2倍，即． 【详解】 解：， ． 故选：． 【点睛】 此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点、、在上，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半可得答案． 【详解】 解：∵点、、在上，， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图，、、点都在上，若，则的度数等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了圆周角定理：在同圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半，据此可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质，得，根据圆周角定理求出，，进而求出，计算即可． 【详解】 解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ∵ ， 故选：D． 5．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据为的直径，，可利用勾股定理求直径长，再根据，可得△OBD为等边三角形，可求的长． 【详解】 解：∵为的直径，， ∴∠ACB=90°，， 连接OD， ∵， ∴∠DOB=60°， ∵OD=OB， ∴△OBD为等边三角形， ∴, 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆周角的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形和等边三角形． 6．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如图，为上的点，，则的度数是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接根据圆周角定理求解即可． 【详解】 解：∵， ∴=， 故选D． 【点睛】 此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 7．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（       ）． A.  B.  C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】 解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 8．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆周角定理即可求解． 【详解】 ∵是的两条半径，点C在上， ∴∠C= =40° 故选：B 【点睛】 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键． 9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图，点在中，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；等腰三角形中，等边对等角；三角形内角和等于，熟练掌握以上性质和定理是解题的关键． 由圆周角定理得，由得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）如图，的直径经过弦的中点E，连接，，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理应用，先根据垂径定理得出，再根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可求出结果． 【详解】 解：∵的直径经过弦的中点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，圆心角，则圆周角（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， 故选D． 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，是上的三个点，若，，则的半径为（　　） A. 1 B. 2 C. 21 D. 3 【答案】A 【分析】 延长，交于点，连接，由圆周角定理可得，，从而得到为等腰直角三角形，再由勾股定理进行计算得出的长，即可得出的半径． 【详解】 解：延长，交于点，连接，    ， 则：，， ， ， ， 的半径为， 故选：A． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角，是解题的关键． 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）如图，是的直径，是弦，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】 解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 14．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）如图，在中，弦，相交于点，，，则的大小是（       ） A. 35° B. 45° C. 60° D. 70° 【答案】A 【分析】 根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案． 【详解】 解：，，， ， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 15．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图： （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于P点，连接与半圆交于C点； （2）分别以A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于Q点，连接与半圆交于D点； （3）连接与交于E点． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（       ） A. 平分 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用基本作图可判断垂直平分，平分，则，，根据圆周角定理可得到，则可对A进行判断；根据圆周角定理推论得到，则利用互余可计算出，可对B进行判断；过E点作于H点，根据角平分线的性质得到，根据垂线段最短得到，所以，可对C进行判断；证明，则有，可对D进行判断，即可得到答案． 【详解】 解：A、由作法得垂直平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴A正确； B、∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴B正确； C、过E点作于H点，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴C错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D正确． 【点睛】 本题解答的关键是过E点作于H点，构造角平分线模型． 16．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=125°，则∠C的度数为　　　　　　． 【答案】55° 7度 【分析】 根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°，再求出答案即可． 【详解】 解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠A=125°， ∴∠C=180°-125°=55°， 故答案为：55°． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键． 17．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，、、是上的三点，则，则　　　　　　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理即可直接得出答案． 【详解】 解：根据圆周角定理，可得： ， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余，进而得出，根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 【详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 19．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，四边形内接于，为延长线上一点，，则的度数为　　　　　． 【答案】}度 【分析】 本题考查了圆内接四边形． 根据圆内接四边形对角互补得到的度数，即可求出的度数． 【详解】 解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，,则⊙O的半径为 　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 作直径CD，连接BD，根据圆周角定理和推论得到∠CBD=90°，∠D=∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解． 【详解】 解：作直径CD，连接BD， ∵CD为直径， ∴∠CBD=90°， ∵∠D=∠A=30°， ∴CD=2BC=2×3=6， ∴⊙O的半径为3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 21．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）如图，四边形内接于，若，则的度数为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质计算即可得出结果，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴由圆周角定理可得 ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，内接于，为的直径．    （1）用尺规作图作出的平分线，交于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 如图，即为所求．       （2）．      【分析】 （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）根据圆周角定理可得，由角平分线的定义可得，进而可得，在中，利用勾股定理可求出的长，再在中利用勾股定理可得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵为的直径， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】 本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）如图，是的直径，，点A在上， ，B为弧的中点，P是直径上一动点， 则的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点的位置．作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，连接，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． ∵ ∴此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 24．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图，正方形内接于，边长，则图中阴影部分的面积　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理． 连接，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到为直径，即，进而用圆的面积减去正方形的面积即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵正方形， ∴，， ∴，且为直径， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，是的直径，弦相交于点E，，点F在的延长线上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ， ，即， ， ， 是的直径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出．结合三角形的内角和定理推出，即可推出是的切线， （2）由可得，．设，则，．根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ； 是的直径， ， ； 设，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ，， ． 26．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． （1）求证：； （2）延长至点M，使．连接．求证：是的切线． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线；      【分析】 本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理，弧与圆心角之间的关系，切线的判定，做出合适的辅助线是解本题的关键． （1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论； （2）证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 27．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）如图，内接于，为直径，交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，求的半径长． 【答案】（1） 解：如图，连接， 为的切线， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 平分；     （2）证明：， ， 由（1）可得， ∴， ；     （3）的半径长为5      【分析】 本题考查切线性质，圆周角定理，角平分线判定，平行线性质，矩形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，由切线性质得，再由圆周角定理得，后得，再由平行线性质即可得到本题答案； （2）由圆周角定理得，后得，继而得，最后得到本题答案； （3）连接交于点，由圆周角定理得，再由切线性质得，再利用矩形性质得，再设的半径为，利用勾股定理列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接交于点， 是的直径， ， 是的切线， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 设的半径为， ． 在中，， 即的半径长为5． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】 解：由图知，底面直径为5，则底面周长l为，母线长为8， 所以侧面展开图的面积， 故选：C． 【点睛】 本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，比较简单． 2．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）若圆锥的母线长为，半径为，则该圆锥的侧面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式：侧面积底面圆的周长母线长是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】 解：圆锥的底面圆的周长， 圆锥的侧面积． 故选：D． 3．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键； 根据扇形面积公式结合阴影部分的面积求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴该阴影部分的面积； 故选：C． 4．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】 解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】 解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 6．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 18 【答案】C 【分析】根据弧长的公式l=把条件代入进行计算即可得半径长. 【详解】已知120°的圆心角对的弧长是6π，根据弧长的公式l= 可得6π=， 解得r=9． 故答案选C． 考点：弧长的计算． 7．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）用一张半径为，圆心角为的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥帽子底面半径为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长列出方程求解是解题的关键． 【详解】 解：设这个圆锥底面圆的半径为r， 则， 解得． 故选：D． 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）已知圆锥底面圆半径是4，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本体考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，直接进行计算即可．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 【详解】 解：由题意，圆锥的侧面积是； 故答案为：． 9．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为　　　　　　．（计算结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，再利用弧长公式即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）在东方传统建筑中，瓦片（如图1）是屋顶的必备用材，其横截面是一段如图2所示的弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，若，，则的长是　　　　．（结果保留π） 【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式，根据已知可得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】 解：依题意，， ∴的长是， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的母线，底面圆的半径，则此圆锥的侧面积是　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题主要考查了求圆锥的侧面积，圆锥的侧面积（r为底面圆的半径，l为母线长），据此列式求解即可． 【详解】 解：， ∴此圆锥的侧面积是， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 厘米 【分析】 本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长公式是解题的关键；因此此题可根据弧长公式可进行求解． 【详解】 解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长， ∴， ∴底面半径为； 故答案为． 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为　　　． 【答案】6. 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】圆锥的底面周长cm， 设圆锥的母线长为，则： ， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： ． 【详解】 14．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，圆锥的母线长为，底面圆半径为，则该圆锥的侧面积为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据圆锥的侧面积计算公式求解即可． 【详解】 解：∵圆锥的母线长是10cm，底面圆半径为 ∴圆锥的侧面积：S=（cm2）， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化． 15．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆的半径为3，则圆锥的母线　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 求出圆锥的底面圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】 设圆锥的母线长为r， 圆锥的底面圆的周长=2π×3=6π， 则， 解得，r=9， 故答案为：9． 【点睛】 本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 16．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图将绕点顺时针方向旋转得到，，，． （1）作出旋转后的，并写出，两点的坐标； （2）求点旋转到点的弧长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；，；      （2）      【分析】 本题考查了作旋转图形，写出平面直角坐标系中点的坐标，勾股定理，弧长公式． （1）根据要求作图即可，根据平面直角坐标系写出，两点的坐标即可； （2）根据勾股定理求出，进而根据弧长公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 点旋转到点的弧长． 17．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图，E为菱形的对角线上一点，以E为圆心的圆弧恰好经过点A，B，C．若，，则图中阴影部分的面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查菱形的性质，扇形面积的计算．连接，设与相交于点，根据求解即可． 【详解】 解：连接，设与相交于点，如图所示． 在菱形中，， ． ． 恰好经过点，， ． ．则 ． ． ． ． 18．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）（多选）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB1C1，并直接写出点B1、C1的坐标． （2）求线段AB所扫过的图形的面积． 【答案】（1）如图所示，△AB1C1即为所求； B1（4，﹣2）、C1（1，﹣3）；（2）π 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1，再写出点B1、C1的坐标即可； （2）先求出AB的长，然后再利用扇形的面积公式进行计算即可得. 【详解】 （1）略 （2）∵AB==3，且∠BAB1=90°， ∴线段AB所扫过的图形的面积为=π． 【点睛】 本题考查了作图——旋转变换，扇形面积，作图的关键是找到各关键点旋转后的对应点，求扇形面积关键是熟记扇形面积公式. 19．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）如图，在中，，，分别以点，为圆心、的长为半径画弧，与，的延长线分别交于点，．若，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求不规则图形的面积，勾股定理，等边对等角，求出，，则，再根据列式求解即可． 【详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）如图，四边形内接于，是的直径，点E在的延长线上，连接．且，连接，，与相交于点F． （1）求证：是的切线． （2）已知的半径为3． ①若，则阴影部分的面积为_______；（结果保留） ②若，．求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线；     （2）①；②      【分析】 （1）由是的直径，得到，进而推出，即可得证结论； （2）① 求出，根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式即可求解．② 根据，，得出，垂径定理得出，勾股定理求出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①，， ， ， ． ② ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题考查了圆锥的计算，关键是熟练掌握扇形弧长公式．根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】 解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 所以此扇形卡纸的圆心角的度数为． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）（1）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为多少？ （2）随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成某种函数关系，它的图象如图所示． ①求出该函数的解析式； ②若该蓄电池测得电阻R为，则电流I为多少？ 【答案】（1）1；（2）①； ② 【分析】 本题考查圆锥的面积问题，反比例函数的实际应用： （1）扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，由此求解； （2）①将，代入反比例函数解析式即可求解；②将代入① 中解析式求出对应的 I 即可． 【详解】 解：（1）扇形的弧长为：， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则， 解得； （2）① 设该函数的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 该函数的解析式为； ②将代入，得：， 即电流I为． 23．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为　　　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，弧长计算．根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】 解：根据旋转可知：， ∴． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图1，某家具厂设计了一款独特的弧形沙发，其靠背是一整面布料，可看作一段圆弧．图2是其示意图，布料两端点分别为点A，B，已知该弧形的半径米，所在圆弧的圆心角，则这一整面布料弧的长为　　　　　　米．（结果用表示） 【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式的应用．直接利用弧长公式“”求解即可． 【详解】 解：∵弧形的半径米，圆心角， ∴这一整面布料弧的长为(米)， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（       ） A. 圆上各点到圆心的距离相等 B. 直径是圆中最长的弦 C. 同弧所对的圆周角相等 D. 圆是中心对称图形 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知的直径为，点A到圆心的距离为，则点A与的位置关系是（       ） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 无法确定 3．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A. 点，均在内 B. 点，均在外 C. 点在内，点在外 D. 以上选项都不正确 5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（        ） A. 4 B.  C.  D. 5 6．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）已知的半径为，，则点P与的位置关系是：点P在 　　　　　． 7．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是　　　　　． 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知直线 与轴、轴分别交于、两点， 是以为圆心、半径为 的圆上的一动点，连接、．则 面积的最大值是　　　　　　　 9．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是　　　　　　　　　　 考点02 过三点的圆 1．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（     ） A. 没有一个角是钝角或直角 B. 至多有一个钝角或直角 C. 没有一个角是锐角 D. 没有一个角是钝角 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）将绕原点顺时针旋转，得到，写出的坐标，求出扫出的面积． （2）作出的外接圆，不写做法，保留作图痕迹，并直接写出圆心的坐标． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（     ） A.  B.  C.  D. 6 3．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，的弦，半径，垂足为D，且，的半径等于（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（     ） A.  B.  C. 4 D. 5 5．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（       ） A. m B. 6m C. m D. 5m 7．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是　　　cm（写出一个符合条件的数值即可） 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，测得，． （1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 11．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度AB=10m，拱高为1m. （1）请你确定圆弧所在圆的圆心（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）求拱桥所在圆的半径. 12．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为的的一部分，路面最大宽度约为，求隧道主洞断面的最大高度． 13．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 14．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： （1）； （2）． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（          ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点、、在上，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图，、、点都在上，若，则的度数等于（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如图，为上的点，，则的度数是（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（       ）． A.  B.  C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 8．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图，点在中，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）如图，的直径经过弦的中点E，连接，，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，圆心角，则圆周角（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，是上的三个点，若，，则的半径为（　　） A. 1 B. 2 C. 21 D. 3 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）如图，是的直径，是弦，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）如图，在中，弦，相交于点，，，则的大小是（       ） A. 35° B. 45° C. 60° D. 70° 15．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图： （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于P点，连接与半圆交于C点； （2）分别以A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于Q点，连接与半圆交于D点； （3）连接与交于E点． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（       ） A. 平分 B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=125°，则∠C的度数为　　　　　　． 17．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，、、是上的三点，则，则　　　　　　　　　　　度． 18．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 19．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，四边形内接于，为延长线上一点，，则的度数为　　　　　． 20．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，,则⊙O的半径为 　　　　　　　　　　　． 21．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）如图，四边形内接于，若，则的度数为　　　　　． 22．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，内接于，为的直径．    （1）用尺规作图作出的平分线，交于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长度． 23．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）如图，是的直径，，点A在上， ，B为弧的中点，P是直径上一动点， 则的最小值为　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图，正方形内接于，边长，则图中阴影部分的面积　　　　　． 25．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，是的直径，弦相交于点E，，点F在的延长线上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求直径的长． 26．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． （1）求证：； （2）延长至点M，使．连接．求证：是的切线． 27．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）如图，内接于，为直径，交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，求的半径长． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）若圆锥的母线长为，半径为，则该圆锥的侧面积是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 18 7．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）用一张半径为，圆心角为的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥帽子底面半径为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治）已知圆锥底面圆半径是4，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是　　　　　　　． 9．（25-26学年九·新疆鸟鲁木齐第四十一中学·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为　　　　　　．（计算结果保留） 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）在东方传统建筑中，瓦片（如图1）是屋顶的必备用材，其横截面是一段如图2所示的弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，若，，则的长是　　　　．（结果保留π） 11．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的母线，底面圆的半径，则此圆锥的侧面积是　　　　　．（结果保留） 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是　　　　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为　　　． 14．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，圆锥的母线长为，底面圆半径为，则该圆锥的侧面积为　　　　　　　． 15．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆的半径为3，则圆锥的母线　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）如图将绕点顺时针方向旋转得到，，，． （1）作出旋转后的，并写出，两点的坐标； （2）求点旋转到点的弧长． 17．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）如图，E为菱形的对角线上一点，以E为圆心的圆弧恰好经过点A，B，C．若，，则图中阴影部分的面积为　　　　　． 18．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）（多选）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB1C1，并直接写出点B1、C1的坐标． （2）求线段AB所扫过的图形的面积． 19．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）如图，在中，，，分别以点，为圆心、的长为半径画弧，与，的延长线分别交于点，．若，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治·期末）如图，四边形内接于，是的直径，点E在的延长线上，连接．且，连接，，与相交于点F． （1）求证：是的切线． （2）已知的半径为3． ①若，则阴影部分的面积为_______；（结果保留） ②若，．求的长． 21．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为　　　　　　． 22．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）（1）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为多少？ （2）随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成某种函数关系，它的图象如图所示． ①求出该函数的解析式； ②若该蓄电池测得电阻R为，则电流I为多少？ 23．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为　　　　　　　　．（结果保留） 24．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）如图1，某家具厂设计了一款独特的弧形沙发，其靠背是一整面布料，可看作一段圆弧．图2是其示意图，布料两端点分别为点A，B，已知该弧形的半径米，所在圆弧的圆心角，则这一整面布料弧的长为　　　　　　米．（结果用表示） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．【答案】外 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，据此解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴点P在外， 故答案为：外． 7．【答案】点在圆内 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系知识点，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系． 通过比较点到圆心的距离和圆的半径大小，来判断点与圆的位置关系． 【详解】 设圆的半径为，点到圆心的距离为． 已知，因为． 根据点与圆的位置关系：当时，点在圆内， 当时，点在圆上；当时，点在圆外， 所以点在内． 故答案为：点在圆内． 8．【答案】 【分析】 本题考查一次函数图象上点的特征、点与圆的位置关系等知识，如图过点作于，延长交于．点与重合时，的面积最大，求出、的值即可解决问题． 【详解】 解：如图过点作于，延长交于． 直线的解析式为 点的坐标为，点的坐标为， 即，，由勾股定理得：， 过作于，连接， ： ， ， 圆上点到直线的最大距离是， 面积的最大值是， 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】 解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 考点02 过三点的圆 1．C 2．【答案】（1） 所作如图所示： 的坐标为，扫出的面积为；     （2） 所作的外接圆如图所示： 圆心的坐标为．      【分析】 （1）根据旋转作图步骤画出，进而写出的坐标，由旋转得到扫出的图形为一个圆心角为的扇形，结合勾股定理求出扇形半径，再结合扇形面积公式求解，即可解题； （2）根据垂直平分线作法，以及方格特点，作的垂直平分线，的垂直平分线交点即为圆心，连接，以为半径画圆即可得到外接圆，再利用垂直平分线特点，以及勾股定理进行计算求解，即可得到圆心的坐标． (1) 小问详解： 解：由图知，的坐标为， ， 扫出的面积为； (2) 小问详解： 解：，，． 由垂直平分线的性质可知，， 设， ， ， 解得， 即圆心的坐标为． 【点睛】 本题考查了旋转作图，扇形面积公式，勾股定理，垂直平分线作法，垂直平分线性质，作三角形外接圆，解题的关键在于熟练掌握相关知识点． 考点03 垂直于弦的直径 1．B 2．B 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．【答案】16 【分析】 作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出OD的长度，最后利用即可求解． 【详解】 如图，作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA， ∵，， ∴， ∵直径为52cm， ∴， ， ， 故答案为：16． 【点睛】 本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 9．【答案】6cm（答案不唯一） 【详解】试题分析：∵OC⊥AB，∴∠ACO=90°． ∵OA=5cm，OC=3cm，∴根据勾股定理得：AC=4cm． ∴根据垂径定理得：AB=2AC=8cm． ∵点P是半径OB上任意一点，∴AO≤AP≤AB，即5cm≤AP≤8cm，如6cm（答案不唯一）． 10．【答案】（1） 解：如图1所示：      （2）      【分析】 （1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心； （2）在中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半径的长． (1) 小问详解： 解：作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆； (2) 小问详解： 连接，如图2所示： 设， ∵，， ∴， 则根据勾股定理列方程： ， 解得：． 答：圆的半径为． 【点睛】 本题考查了作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键． 11．【答案】（1）如图， （2）13m 【分析】 （1）根据弦的垂直平分线都经过圆心来作．作AB的垂直平分线MN，交弧于C，连接BC，作BC的垂直平分线EF，MN与EF相交于O，点O就是所求的圆心． （2）连接OA，设这个拱桥的半径为r，则OD=r﹣1，根据垂径定理得到AD=BD=AB．在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2，然后即可得到关于r的方程，解方程即可求出r． 【详解】 （1）根据弦的垂直平分线都经过圆心，作AB的垂直平分线MN，交弧于C，连接BC，作BC的垂直平分线EF，MN与EF相交于O，点O就是所求的圆心． （2）连接OA． 设这个拱桥的半径为r，则OD=r﹣1，∴AD=BD=AB=×10=5m． 在Rt△OAD中，AD=5m，OD=r﹣1． 由勾股定理得：OA2=AD2+OD2 即r2=52+（r﹣1）2，∴r=13m． 这个拱桥所在圆的半径长为13m． 【点睛】 本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，解答此题关键是连接OA，构造出直角三角形利用勾股定理解答． 12．【答案】隧道主洞断面的最大高度的长度为 【分析】 根据垂径定理可得，在中根据勾股定理列方程即可求出的长，进而可得的长． 本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，    经过圆心，， ， 直径为， ， 在中， ∴， ， ． 答：隧道主洞断面的最大高度的长度为． 13．【答案】 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：是的中点， ， ． 设， ，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 14．【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过 【分析】 任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】 解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，直线过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接，设交于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船不能顺利通过． 【点睛】 本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 考点04 圆心角 1．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点05 圆周角 1．C 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．D 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．C 14．A 15．C 16．【答案】55° 7度 【分析】 根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°，再求出答案即可． 【详解】 解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠A=125°， ∴∠C=180°-125°=55°， 故答案为：55°． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键． 17．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理即可直接得出答案． 【详解】 解：根据圆周角定理，可得： ， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余，进而得出，根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 【详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 19．【答案】}度 【分析】 本题考查了圆内接四边形． 根据圆内接四边形对角互补得到的度数，即可求出的度数． 【详解】 解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．【答案】3 【分析】 作直径CD，连接BD，根据圆周角定理和推论得到∠CBD=90°，∠D=∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解． 【详解】 解：作直径CD，连接BD， ∵CD为直径， ∴∠CBD=90°， ∵∠D=∠A=30°， ∴CD=2BC=2×3=6， ∴⊙O的半径为3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 21．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质计算即可得出结果，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴由圆周角定理可得 ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 22．【答案】（1） 如图，即为所求．       （2）．      【分析】 （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）根据圆周角定理可得，由角平分线的定义可得，进而可得，在中，利用勾股定理可求出的长，再在中利用勾股定理可得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵为的直径， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】 本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．【答案】 【分析】 此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点的位置．作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，连接，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． ∵ ∴此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理． 连接，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到为直径，即，进而用圆的面积减去正方形的面积即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵正方形， ∴，， ∴，且为直径， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 25．【答案】（1） 证明：， ． ， ， ， ，即， ， ， 是的直径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出．结合三角形的内角和定理推出，即可推出是的切线， （2）由可得，．设，则，．根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ； 是的直径， ， ； 设，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ，， ． 26．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线；      【分析】 本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理，弧与圆心角之间的关系，切线的判定，做出合适的辅助线是解本题的关键． （1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论； （2）证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 27．【答案】（1） 解：如图，连接， 为的切线， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 平分；     （2）证明：， ， 由（1）可得， ∴， ；     （3）的半径长为5      【分析】 本题考查切线性质，圆周角定理，角平分线判定，平行线性质，矩形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，由切线性质得，再由圆周角定理得，后得，再由平行线性质即可得到本题答案； （2）由圆周角定理得，后得，继而得，最后得到本题答案； （3）连接交于点，由圆周角定理得，再由切线性质得，再利用矩形性质得，再设的半径为，利用勾股定理列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接交于点， 是的直径， ， 是的切线， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 设的半径为， ． 在中，， 即的半径长为5． 考点06 弧长和扇形面积 1．C 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．D 8．【答案】 【分析】 本体考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，直接进行计算即可．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 【详解】 解：由题意，圆锥的侧面积是； 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，再利用弧长公式即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式，根据已知可得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】 解：依题意，， ∴的长是， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了求圆锥的侧面积，圆锥的侧面积（r为底面圆的半径，l为母线长），据此列式求解即可． 【详解】 解：， ∴此圆锥的侧面积是， 故答案为：． 12．【答案】 厘米 【分析】 本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长公式是解题的关键；因此此题可根据弧长公式可进行求解． 【详解】 解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长， ∴， ∴底面半径为； 故答案为． 13．【答案】6. 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】圆锥的底面周长cm， 设圆锥的母线长为，则： ， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： ． 【详解】 14．【答案】 【分析】 根据圆锥的侧面积计算公式求解即可． 【详解】 解：∵圆锥的母线长是10cm，底面圆半径为 ∴圆锥的侧面积：S=（cm2）， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化． 15．【答案】9 【分析】 求出圆锥的底面圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】 设圆锥的母线长为r， 圆锥的底面圆的周长=2π×3=6π， 则， 解得，r=9， 故答案为：9． 【点睛】 本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 16．【答案】（1） 如图所示，即为所求；，；      （2）      【分析】 本题考查了作旋转图形，写出平面直角坐标系中点的坐标，勾股定理，弧长公式． （1）根据要求作图即可，根据平面直角坐标系写出，两点的坐标即可； （2）根据勾股定理求出，进而根据弧长公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 点旋转到点的弧长． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查菱形的性质，扇形面积的计算．连接，设与相交于点，根据求解即可． 【详解】 解：连接，设与相交于点，如图所示． 在菱形中，， ． ． 恰好经过点，， ． ．则 ． ． ． ． 18．【答案】（1）如图所示，△AB1C1即为所求； B1（4，﹣2）、C1（1，﹣3）；（2）π 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1，再写出点B1、C1的坐标即可； （2）先求出AB的长，然后再利用扇形的面积公式进行计算即可得. 【详解】 （1）略 （2）∵AB==3，且∠BAB1=90°， ∴线段AB所扫过的图形的面积为=π． 【点睛】 本题考查了作图——旋转变换，扇形面积，作图的关键是找到各关键点旋转后的对应点，求扇形面积关键是熟记扇形面积公式. 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了求不规则图形的面积，勾股定理，等边对等角，求出，，则，再根据列式求解即可． 【详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20．【答案】（1） 证明：∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线；     （2）①；②      【分析】 （1）由是的直径，得到，进而推出，即可得证结论； （2）① 求出，根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式即可求解．② 根据，，得出，垂径定理得出，勾股定理求出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①，， ， ， ． ② ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．【答案】�度 【分析】 本题考查了圆锥的计算，关键是熟练掌握扇形弧长公式．根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】 解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 所以此扇形卡纸的圆心角的度数为． 故答案为：． 22．【答案】（1）1；（2）①； ② 【分析】 本题考查圆锥的面积问题，反比例函数的实际应用： （1）扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，由此求解； （2）①将，代入反比例函数解析式即可求解；②将代入① 中解析式求出对应的 I 即可． 【详解】 解：（1）扇形的弧长为：， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则， 解得； （2）① 设该函数的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 该函数的解析式为； ②将代入，得：， 即电流I为． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，弧长计算．根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】 解：根据旋转可知：， ∴． 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式的应用．直接利用弧长公式“”求解即可． 【详解】 解：∵弧形的半径米，圆心角， ∴这一整面布料弧的长为(米)， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $